Пространство Эйленберга – Маклейна

Топологическое пространство с гомотопией, сосредоточенной в одной степени

В математике, и алгебраическая топология, в частности, пространство Эйленберга – Маклейна - это топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопической группой. По существу, пространство Эйленберга – Маклейна представляет собой особый вид топологического пространства, которое можно рассматривать как строительный блок для теории гомотопии ; Общие топологические пространства могут быть построены из них с помощью системы Постникова. Эти пространства важны во многих контекстах алгебраической топологии, включая построение пространств, вычисления гомотопических групп сфер и определение операций когомологий. Это имя для Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Мак-Лейна, которые представили такие пространства в конце 1940-х годов.

Пусть G - группа, а n - положительное целое число. Связное топологическое пространство X называется пространством Эйленберга – Маклейна типа $K\; (G,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n)\}$, если оно имеет n-ю гомотопию группа $\pi \; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (X)\}$, изоморфная G, и все другие гомотопические группы тривиальны. Если $n>1\; \{\backslash \; displaystyle\; n>1\}$, тогда G должно быть абелевым. Такое пространство существует, является CW-комплексом и уникально до слабой гомотопической эквивалентности. Из-за злоупотребления языком любое такое пространство часто называют просто $K\; (G,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n)\}$.

Обобщенное пространство Эйленберга – Маклейна - это пространство, которое имеет гомотопический тип продукт пространств Эйленберга – Маклейна $\prod \; n\; K\; (G\; n,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\}\; K\; (G\_\; \{n\},\; n)\}$.

• 1 Примеры
  • 1.1 Замечание о построении высших пространств Эйленберга-Маклейна
• 2 Свойства пространств Эйленберга – Маклейна
  • 2.1 Взаимосвязь между гомотопическими классами отображений и когомологий
  • 2.2 Пространства петель
  • 2.3 Функториальность
  • 2.4 Связь с башней Постникова
  • 2.5 Операции когомологии
• 3 Приложения
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
  • 6.1 Основные статьи cles
  • 6.2 Семинар Картана и приложения
  • 6.3 Приложения
  • 6.4 Другие энциклопедические ссылки

• единичный круг $S\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{1\}\; \}$- это $K\; (Z,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 1)\}$.
• Бесконечномерное сложное проективное пространство $CP\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{CP\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$является моделью $K\; (Z,\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 2)\}$. Его кольцо когомологий - это $Z\; [x]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [x]\}$, а именно свободное кольцо многочленов на одном двумерном образующем $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в степени 2. Генератор может быть представлен в когомологии де Рама с помощью Fubini–Study 2-формы. Применение $K\; (Z,\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 2)\}$описывается как абстрактная бессмыслица.
• Бесконечномерное реальное проективное пространство $RP\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{RP\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$- это $K\; (Z\; /\; 2,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2,1)\}$.
• сумма клина k единичных окружностей $\bigvee \; i\; =\; 1\; k\; S\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; bigvee\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; S\; ^\; \{1\}\}$представляет собой $K\; (F\; k,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (F\_\; \{k\},\; 1)\}$для $F\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{k\}\}$свободная группа на k образующих.
• Дополнение к любому узлу в 3- размерная сфера $S\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{3\}\}$имеет тип $K\; (G,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; 1)\}$; это называется «асферичностью узлов» и является теоремой 1957 года Христоса Папакириакопулоса.
• Любое компактное, связное неположительно искривленное многообразие M является $К\; (\Gamma ,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; Gamma,\; 1)\}$, где $\Gamma \; =\; \pi \; 1\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (\; M)\}$- фундаментальная группа M.
• Бесконечное линзовое пространство, заданное частным $S\; \infty \; /\; (Z\; /\; q)\; =\; L\; (\; \infty ,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; /\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; q)\; =\; L\; (\backslash \; infty,\; q)\}$равно $K\; (Z\; /\; q,\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; q,\; 1)\}$. Это можно показать с помощью длинной точной последовательности на гомотопических группах для расслоения $Z\; /\; q\; \to \; S\; \infty \; \to \; L\; (\infty ,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; q\; \backslash \; to\; S\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; в\; L\; (\backslash \; infty,\; q)\}$, поскольку $\pi \; 1\; (S\; \infty )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (S\; ^\; \{\backslash \; infty\})\; =\; 0\}$, потому что бесконечная сфера сжимаема. Обратите внимание, что это включает $RP\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{RP\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$как $K\; (Z\; /\; 2,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\; \}\; /\; 2,1)\}$.

Из них можно построить еще несколько элементарных примеров, используя тот факт, что произведение $K\; (G,\; n)\; \times \; K\; (H,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n)\; \backslash \; times\; K\; (H,\; n)\}$равно $K\; (G\; \times \; H,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G\; \backslash \; times\; H,\; n)\}$.

A $K\; (G,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n)\}$можно построить поэтапно, как комплекс CW, начиная с клина из n- сфер, по одной для каждого генератора группы G, и добавление ячеек в (возможно бесконечное число) более высоких измерений, чтобы уничтожить всю лишнюю гомотопию. Соответствующий цепной комплекс задается соответствием Дольда – Кана.

Замечание о построении высших пространств Эйленберга – Маклейна

Существует несколько методов построения высших пространств Эйленберга – Маклейна. Один из них - построить пространство Мура $M\; (A,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (A,\; n)\}$для абелевой группы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и итеративно уничтожает высшие гомотопические группы $M\; (A,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (A,\; n)\}$, так как низшие гомотопические группы все тривиальны. Это следует из теоремы Гуревича.

Другой полезный метод - сначала построить $K\; (G,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; 1)\}$для каждой группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, используя симплициальные методы, а затем построить высшие пространства Эйленберга-Маклейна, используя гомотопические кофеволокна. Обратите внимание, что для неабелевой $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$,

$K\; (G,\; 2)\; \simeq \; K\; (G\; /\; [G,\; G],\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; 2)\; \backslash \; simeq\; K\; (\; G\; /\; [G,\; G],\; 2)\}$

, поскольку все высшие гомотопические группы абелевы. Высшие группы могут быть построены с использованием $K\; (G,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; 1)\}$, потому что мы можем рекурсивно использовать гомотопический кофайбер расслоения

$К\; (G,\; n)\; \to \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n)\; \backslash \; к\; *\}$

, чтобы построить $K\; (G,\; n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n\; +\; 1)\}$, что дает последовательность расслоений

$K\; (G,\; n)\; \to \; \ast \; \to \; K\; (G,\; n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n)\; \backslash \; to\; *\; \backslash \; to\; K\; (G,\; n\; +\; 1)\}$

, который можно использовать для изучения когомологий $K\; (G,\; n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n\; +\; 1)\}$из $K\; (\; G,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n)\}$с использованием спектральной последовательности Лере. Этим воспользовался Жан-Пьер Серр, когда он изучал гомотопические группы сфер, используя систему Постникова и спектральные последовательности.

Еще одна техника - использовать геометрическую реализацию симплициальных абелевых групп. Это дает явное представление симплициальных абелевых групп, которые представляют пространства Эйленберга-Маклейна. Другая симплициальная конструкция в терминах классифицирующих пространств и универсальных расслоений приведена в J. Книга Питера Мэя.

Взаимосвязь между гомотопическими классами отображений и когомологий

Важное свойство $K\; (\; G,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n)\}$означает, что для любой абелевой группы G и любого CW-комплекса X множество

$[X,\; K\; (G,\; n)\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; K\; (G,\; n)]\}$

гомотопических классов отображений из X в $K\; (G,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (G,\; n)\}$находится в естественной биекции с n-й группой сингулярных когомологий

$H\; n\; (X;\; G)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\; (X;\; G)\}$

пространства X. Таким образом, говорят, что $[X,\; K\; (G,\; n)]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; K\; (G,\; n)]\}$являются , представляющими пространства для когомологий с коэффициентами из G.Так как

$H\; n\; (K\; (G,\; n);\; G)\; =\; Hom\; \; (H\; n\; (K\; (G,\; n);\; Z),\; G)\; =\; Hom\; \; (\pi \; n\; (K\; (G,\; n)),\; G)\; знак\; равно\; Hom\; \; (G,\; G),\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\; (K\; (G,\; n);\; G)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (H\_\; \{n\}\; (K\; (G,\; n);\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}),\; G)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (\backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (K\; (G,\; n)),\; G)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (G,\; G),\}$

существует выделенный элемент $u\; \in \; H\; n\; (K\; (G,\; n);\; G)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{n\}\; (K\; (G,\; n);\; G)\}$, соответствующий тождеству. Вышеупомянутая биекция дается откатом этого элемента - $f\; \mapsto \; f\; \ast \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; mapsto\; f\; ^\; \{*\}\; u\}$. Это похоже на лемму Йонеды из теории категорий.

Другая версия этого результата, принадлежащая Питеру Дж. Хуберу, устанавливает биекцию с n-й группой когомологий Чеха, когда X - это Хаусдорф и паракомпакт и G счетно, или когда X - Хаусдорф, паракомпакт и компактно сгенерированный и G произвольно. Дальнейший результат Киити Морита устанавливает биекцию с n-й числовой группой когомологий Чеха для произвольного топологического пространства X и G с произвольной абелевой группой.

Пространства петель

Пространство петель пространства Эйленберга – Маклейна также является пространством Эйленберга – Маклейна: $\Omega \; K\; (G,\; n)\; =\; K\; (\; G,\; n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; K\; (G,\; n)\; =\; K\; (G,\; n-1)\}$. Это свойство означает, что пространства Эйленберга – Маклейна с различными n образуют омега-спектр, называемый спектром Эйленберга – Маклейна. Этот спектр соответствует стандартной теории гомологий и когомологий.

Функториальность

Из теоремы об универсальных коэффициентах для когомологий следует, что пространство Маклейна Эйленберга является квазифунктором группы; то есть для каждого положительного целого числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, если $a:\; G\; \to \; G\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; двоеточие\; G\; \backslash \; to\; G\; \text{'}\}$- любой гомоморфизм абелевых групп, то существует непустое множество

$K\; (a,\; n)\; =\; \{[f]:\; f:\; K\; (G,\; n)\; \to \; K\; (G\; \prime ,\; n),\; H\; n\; (\; е)\; знак\; равно\; а\},\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (а,\; п)\; =\; \backslash \; \{[е]:\; е\; \backslash \; двоеточие\; К\; (г,\; п)\; \backslash \; к\; К\; (г\; \text{'},\; п),\; Н\_\; \{п\}\; (е)\; =\; а\; \backslash \},\}$

удовлетворяет $K\; (a\; \circ \; b,\; n)\; \supset \; K\; (a,\; n)\; \circ \; K\; (b,\; n)\; и\; 1\; \in \; K\; (1,\; n),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (a\; \backslash \; circ\; b,\; n)\; \backslash \; supset\; K\; (a,\; n)\; \backslash \; circ\; K\; (b,\; n)\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; 1\; \backslash \; in\; K\; (1,\; n),\}$где $[\; f]\; \{\backslash \; displaystyle\; [f]\}$обозначает гомотопический класс непрерывного отображения $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $S\; \circ \; T:\; =\; \{s\; \circ \; t:\; s\; \in \; S,\; t\; \in \; T\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; circ\; T:\; =\; \backslash \; \{s\; \backslash \; circ\; t:\; s\; \backslash \; in\; S,\; t\; \backslash \; in\; T\; \backslash \}.\}$

Связь с башней Постникова

Каждый CW-комплекс имеет Башня Постникова, т. Е. Гомотопически эквивалентна повторному расслоению, слои которого являются пространствами Эйленберга – Маклейна.

Операции когомологий

Группы когомологий пространств Эйленберга – Маклейна могут использоваться для классификации всех операций когомологий.

Описанная выше конструкция пространства циклов является используется в теории струн для получения, например, группы струн, группы пятибранов и т. д., поскольку возникает башня Уайтхеда из короткой точной последовательности

$0\; \to \; K\; (Z,\; 2)\; \to \; String\; \; (n)\; \to \; Spin\; \; (n)\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; rightarrow\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 2)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; operatorname\; \{String\}\; (n)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; operatorname\; \{Spin\}\; (n)\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$

с $String\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{String\}\}\; (n)\}$группа строк и $Spin\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Spin\}\}\; (n)\}$группа spin. Актуальность $K\; (Z,\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 2)\}$заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности

$K\; (Z,\; 1)\; \simeq \; U\; (1)\; \simeq \; BZ\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 1)\; \backslash \; simeq\; U\; (1)\; \backslash \; simeq\; B\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$

для классифицирующего пространства $BZ\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$и факт $K\; (Z,\; 2)\; \simeq \; BU\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 2)\; \backslash \; simeq\; BU\; (1)\}$. Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы

$,\; 0\; \to \; K\; (Z,\; 1)\; \to \; Spin\; C\; (n)\; \to \; Spin\; (n)\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 1)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; text\; \{Spin\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; (n)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; text\; \{Spin\}\}\; (n)\; \backslash \; to\; 0\}$

группу String можно рассматривать как " высшее "расширение комплексной спиновой группы в смысле теории высших групп, поскольку пространство $K\; (Z,\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; 2)\}$- это пример высшей группы. Это может быть топологическая реализация группоида $BU\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; U\; (1)\}$, объект которой представляет собой единственную точку и морфизмами которых является группа $U\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (1)\}$. Из-за этих гомотопических свойств конструкция обобщает: любое заданное пространство $K\; (Z,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; n)\}$можно использовать для начала короткого точного последовательность, убивающая гомотопическую группу $\pi \; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\; +\; 1\}\}$в топологической группе .

• теорему о представимости Брауна, относительно пространств представления
• пространство Мура, аналог гомологии.
• Сфера гомологии

Основные статьи

• Эйленберг, Самуэль ; Маклейн, Сондерс (1945), «Отношения между гомологиями и гомотопическими группами пространств», Annals of Mathematics, (Second Series), 46 (3): 480–509, doi : 10.2307 / 1969165, MR 0013312
• Эйленберг, Сэмюэль ; Маклейн, Сондерс (1950). «Связь между гомологиями и гомотопическими группами пространств. II». Анналы математики. (Вторая серия). 51 (3): 514–533. doi : 10.2307 / 1969365. MR 0035435.
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1954). «О группах $H\; (\Pi ,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (\backslash \; Pi,\; n)\}$. III. Действия и препятствия». Анналы математики. 60(3): 513–557. doi : 10.2307 / 1969849. MR 0065163.

Семинар Картана и приложения

Семинар Картана содержит множество фундаментальных результатов о пространствах Эйленберга-Маклейна, включая их гомологии и когомологии, и приложения для вычисления гомотопических групп сфер.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

Приложения

• Хубер, Питер Дж. (1961). "Гомотопические когомологии и когомологии Чеха". Mathematische Annalen. 144 (1): 73–76. doi : 10.1007 / BF01396544. MR 0133821.
• Морита, Киити (1975). «Когомологии Чеха и размерность покрытия для топологических пространств». Fundamenta Mathematicae. 87: 31–52. doi : 10.4064 / fm-87-1-31-52.
• Папакириакопулос, Христос Д. (1957). «О лемме Дена и асферичности узлов». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 43(1): 169–172. doi : 10.1073 / pnas.43.1.169. PMC 528404. PMID 16589993.
• Папакириакопулос, Христос Д. (1957). «О лемме Дена и асферичности узлов». Анналы математики. 66(1): 1–26. DOI : 10.2307 / 1970113. JSTOR 1970113. ПМК 528404.

Другие энциклопедические ссылки

• Рудяк, Ю.Б. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Пробел Эйленберга-Мак-Лейна в nLab