Геодезическое отклонение

редактировать

В общей теории относительности, геодезическое отклонение описывает тенденцию объектов приближаться или удаляться друг от друга при движении под действием пространственно изменяющегося гравитационного поля. Другими словами, если два объекта приводятся в движение по двум изначально параллельным траекториям, наличие приливной гравитационной силы приведет к изгибу траекторий друг к другу или от него, создавая относительное ускорение . между объектами.

Математически приливная сила в общей теории относительности описывается тензором кривизны Римана, а траектория движения объекта, находящегося исключительно под влиянием силы тяжести, называется геодезический. Уравнение геодезического отклонения связывает тензор кривизны Римана с относительным ускорением двух соседних геодезических. В дифференциальной геометрии уравнение геодезического отклонения более широко известно как уравнение Якоби.

Содержание

1 Математическое определение
2 Предел слабого поля
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Математическое определение

Чтобы количественно оценить геодезическое отклонение, нужно начать с создания семейства близко расположенных геодезических, индексированных непрерывной переменной s и параметризованных аффинным параметр τ. То есть для каждого фиксированного s кривая, заметаемая на γ s (τ) при изменении τ, является геодезической. При рассмотрении геодезической массивного объекта часто бывает удобно выбрать τ в качестве собственного времени объекта. Если x (s, τ) - координаты геодезической γ s (τ), то касательный вектор этой геодезической равен

T μ = ∂ x μ (s, τ) ∂ τ. {\ displaystyle T ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial \ tau}}.}

{\ displaystyle T ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial \ tau}}.}

Если τ - собственное время, то T - это четыре скорости объекта, движущегося по геодезической.

Также можно определить вектор отклонения, который представляет собой смещение двух объектов, движущихся по двум бесконечно удаленным геодезическим:

X μ = ∂ x μ (s, τ) ∂ s. {\ displaystyle X ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial s}}.}

{\ displaystyle X ^ {\ mu} = {\ frac { \ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial s}}.}

Относительное ускорение A двух объектов определяется, грубо говоря, как вторая производная вектора разделения X по мере продвижения объектов по своим геодезическим. В частности, A находится путем двукратного взятия направленной ковариантной производной от X вдоль T:

A μ = T α α (T β ∇ β X μ). {\ displaystyle A ^ {\ mu} = T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha} (T ^ {\ beta} \ nabla _ {\ beta} X ^ {\ mu}).}

A ^ {\ mu} = T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha} (T ^ {\ beta} \ nabla _ {\ beta} X ^ {\ mu}).

Уравнение геодезического отклонения связывает A, T, X и тензор Римана R νρσ :

A μ = R μ ν ρ σ T ν T ρ X σ. {\ displaystyle A ^ {\ mu} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ {\ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}

A ^ {\ mu} = {R ^ {\ mu}} _ {{\ nu \ rho \ sigma}} T ^ {\ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.

Альтернативное обозначение ковариантной производной по направлению $T α ∇ α {\ displaystyle T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha}}$ $T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha}$ : $D / d τ {\ displaystyle D / d \ tau}$ $D / d \ tau$ , поэтому уравнение геодезического отклонения также можно записать как

D 2 X μ d τ 2 = R μ ν ρ σ T ν T ρ X σ. {\ displaystyle {\ frac {D ^ {2} X ^ {\ mu}} {d \ tau ^ {2}}} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ { \ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}

{\ displaystyle {\ frac {D ^ {2} X ^ {\ mu}} {d \ tau ^ { 2}}} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ {\ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}

Уравнение геодезического отклонения может быть получено из точечной частицы лагранжиана вдоль геодезических или из первого варианта комбинированный лагранжиан. У лагранжевого подхода есть два преимущества. Во-первых, он позволяет применять различные формальные подходы квантования к системе геодезических отклонений. Во-вторых, он позволяет сформулировать отклонение для гораздо более общих объектов, чем геодезические (любая динамическая система, которая имеет единый пространственно-временной индексированный импульс, по-видимому, имеет соответствующее обобщение геодезического отклонения).

Предел слабого поля

Связь между геодезическим отклонением и приливным ускорением можно более явно увидеть, исследуя геодезическое отклонение в предел слабого поля, где метрика приблизительно равна Минковскому, и скорости пробных частиц предполагаются много меньше c. Тогда касательный вектор T приблизительно равен (1, 0, 0, 0); т.е. отлична от нуля только времениподобная компонента.

Пространственные компоненты относительного ускорения тогда задаются как

A i = - R i 0 j 0 X j, {\ displaystyle A ^ {i} = - {R ^ {i}} _ {0j0} X ^ {j},}

{\ displaystyle A ^ {i} = - {R ^ {i}} _ {0j0} X ^ {j},}

где i и j пробегают только пространственные индексы 1, 2 и 3.

В частном случае метрики, соответствующей ньютоновскому потенциалу Φ ( x, y, z) массивного объекта в точке x = y = z = 0, мы имеем

R i 0 j 0 = - ∂ 2 Φ ∂ xi ∂ xj, {\ displaystyle {R ^ {i}} _ {0j0} = - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial x ^ {i} \ partial x ^ {j}}},}

{\ displaystyle {R ^ {i}} _ {0j0} = - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial x ^ {i} \ partial x ^ {j}}},}

который является приливным тензором ньютоновского потенциала.

См. Также

Ссылки

Стефани, Ханс (1982), Общая теория относительности - введение в теорию поле гравитации, Cambridge University Press, ISBN 0-521-37066-3.
Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности, ISBN 978-0-226-87033-5.

Внешние ссылки