Деконволюция

редактировать

До и после деконволюции изображение лунного кратера Коперник с использованием алгоритма Ричардсона-Люси.

В математике, деконволюция - это процесс, основанный на алгоритме используется для усиления сигналов из записанных данных. Если записанные данные могут быть смоделированы как чистый сигнал, искаженный фильтром (процесс, известный как свертка ), деконволюцию можно использовать для восстановления исходного сигнала. Концепция деконволюции широко используется в методах обработки сигналов и обработки изображений.

. Основы деконволюции и анализа временных рядов были в значительной степени заложены Норберт Винер из Массачусетского технологического института в своей книге «Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных рядов» (1949). Книга основана на работе Винера во время Второй мировой войны, но в то время она была засекречена. Некоторые из первых попыток применить эти теории были в областях прогнозирования погоды и экономики.

Содержание

1 Описание
2 Приложения
- 2.1 Сейсмология
- 2.2 Оптика и другие изображения
- 2.3 Радиоастрономия
- 2.4 Спектры поглощения
- 2.5 Аспекты преобразования Фурье
3 См. Также
4 Ссылки

Описание

В общем, цель деконволюция заключается в нахождении решения f уравнения свертки вида:

f ∗ g = h {\ displaystyle f * g = h \,}

f * g = h \,

Обычно h - некоторый записанный сигнал, а f - некоторый сигнал который мы хотим восстановить, но был свернут с функцией фильтра или искажения g, прежде чем мы его записали. Функция g может представлять передаточную функцию инструмента или движущую силу, которая была приложена к физической системе. Если мы знаем g или, по крайней мере, знаем форму g, мы можем выполнить детерминированную деконволюцию. Однако, если мы не знаем g заранее, нам нужно его оценить. Чаще всего это делается с использованием методов статистической оценки.

В физических измерениях ситуация обычно ближе к

(f ∗ g) + ε = h {\ displaystyle (f * g) + \ varepsilon = h \,}

(f * g) + \ varepsilon = h \,

В этом случае ε - это шум, который вошел в наш записанный сигнал. Если предполагается, что зашумленный сигнал или изображение не содержат шумов, статистическая оценка g будет неверной. В свою очередь, оценка ƒ также будет неверной. Чем ниже отношение сигнал / шум, тем хуже будет оценка деконволютивного сигнала. По этой причине обратная фильтрация сигнала обычно не является хорошим решением. Однако, если есть хотя бы некоторые сведения о типе шума в данных (например, белый шум ), оценку можно улучшить с помощью таких методов, как деконволюция Винера.

Деконволюция. обычно выполняется путем вычисления преобразования Фурье записанного сигнала h и функции искажения (в общих чертах она известна как передаточная функция ) g. Затем деконволюция выполняется в частотной области (в отсутствие шума) с использованием:

F = H / G {\ displaystyle F = H / G \,}

{\ displaystyle F = H / G \,}

где F, G и H - преобразования Фурье. функций f, g и h соответственно. Наконец, выполняется обратное преобразование Фурье функции F, чтобы найти оцененный сигнал f после деконволюции.

Приложения

Сейсмология

Концепция деконволюции на первых порах получила применение в сейсмологии отражений. В 1950 году был аспирантом MIT. Вместе с другими сотрудниками Массачусетского технологического института, такими как Норберт Винер, Норман Левинсон и экономист Пол Самуэльсон, он разработал «сверточную модель» отражения сейсмограмма. Эта модель предполагает, что записанная сейсмограмма s (t) представляет собой свертку функции отражательной способности Земли e (t) и сейсмического сигнала w (t) из точки . источник, где t - время записи. Таким образом, наше уравнение свертки:

s (t) = (e ∗ w) (t). {\ displaystyle s (t) = (e * w) (t). \,}

s (t) = (e * w) (t). \,

Сейсмологу интересует e, которое содержит информацию о строении Земли. По теореме свертки это уравнение может быть преобразовано Фурье в

S (ω) = E (ω) W (ω) {\ displaystyle S (\ omega) = E (\ omega) W (\ omega) \,}

S (\ omega) = E (\ omega) W (\ omega) \,

в частотной области, где $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - частотная переменная. Предполагая, что коэффициент отражения белый, мы можем предположить, что спектр мощности отражательной способности является постоянным, и что спектр мощности сейсмограммы представляет собой спектр вейвлета, умноженный на эту постоянную. Таким образом,

| S (ω) | ≈ k | W (ω) |. {\ displaystyle | S (\ omega) | \ приблизительно k | W (\ omega) |. \,}

| S (\ omega) | \ приблизительно k | W (\ omega) |. \,

Если мы предположим, что вейвлет имеет минимальную фазу, мы можем восстановить его, вычислив минимальный фазовый эквивалент только что найденного спектра мощности. Отражательная способность может быть восстановлена путем разработки и применения фильтра Винера, который преобразует оцененный вейвлет в дельта-функцию Дирака (то есть пик). Результат можно рассматривать как серию масштабированных сдвинутых дельта-функций (хотя это не является математически строгим):

e (t) = ∑ i = 1 N ri δ (t - τ i), {\ displaystyle e ( t) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} r_ {i} \ delta (t- \ tau _ {i}),}

{\ displaystyle e (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} r_ {i} \ delta (t- \ tau _ {i}),}

где N - количество событий отражения, $ri { \ displaystyle r_ {i}}$ $r_ {i}$ - коэффициенты отражения, $t - τ i {\ displaystyle t- \ tau _ {i}}$ ${\ displaystyle t- \ tau _ {i}}$ время отражения каждого события, а $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ - это дельта-функция Дирака.

На практике, поскольку мы имеем дело с зашумленной, конечной полосой пропускания, конечная длина, наборы данных с дискретной выборкой, описанная выше процедура дает только приблизительное значение фильтра, необходимого для деконволюции данных. Однако, формулируя задачу как решение матрицы Теплица и используя рекурсию Левинсона, мы можем относительно быстро оценить фильтр с наименьшей возможной среднеквадратичной ошибкой.. Мы также можем выполнить деконволюцию непосредственно в частотной области и получить аналогичные результаты. Этот метод тесно связан с линейным прогнозированием.

Оптикой и другим отображением

Пример деконволюции изображения микроскопа.

В оптике и отображении термин «деконволюция» специально используется для обозначения процесса устранение оптического искажения, которое имеет место в оптическом микроскопе, электронном микроскопе, телескопе или другом визуализирующем инструменте, тем самым создавая более четкие изображения. Обычно это делается в цифровой области с помощью программного обеспечения алгоритма, как части набора методов обработки изображений микроскопа. Деконволюция также удобна для повышения резкости изображений, которые страдают от быстрого движения или покачивания во время захвата. Ранние изображения космического телескопа Хаббла были искажены дефектным зеркалом и были усилены деконволюцией.

Обычный метод состоит в том, чтобы предположить, что оптический путь через инструмент является идеальным, свернутым с функцией рассеяния точки (PSF), то есть математической функцией, который описывает искажение с точки зрения пути, который теоретический точечный источник света (или других волн) проходит через инструмент. Обычно такой точечный источник вносит небольшую размытость в окончательное изображение. Если эта функция может быть определена, тогда нужно вычислить ее , обратную или дополнительную функцию и свертить полученное изображение с ней. В результате получается исходное неискаженное изображение.

На практике найти истинную PSF невозможно, и обычно используется ее аппроксимация, теоретически рассчитанная или основанная на некоторой экспериментальной оценке с использованием известных датчиков. Реальная оптика также может иметь разные PSF в разных фокальных и пространственных положениях, и PSF может быть нелинейным. Точность приближения PSF будет определять окончательный результат. Для получения лучших результатов могут использоваться различные алгоритмы, но за счет более интенсивных вычислений. Поскольку исходная свертка отбрасывает данные, некоторые алгоритмы используют дополнительные данные, полученные в ближайших фокусных точках, чтобы восполнить часть потерянной информации. Регуляризация в итерационных алгоритмах (как в алгоритмах максимизации ожидания ) может применяться, чтобы избежать нереалистичных решений.

Если PSF неизвестен, можно вывести его, систематически пробуя различные возможные PSF и оценивая, улучшилось ли изображение. Эта процедура называется слепой деконволюцией. Слепая деконволюция - это хорошо зарекомендовавший себя метод восстановления изображений в астрономии, где точечный характер сфотографированных объектов раскрывает PSF, что делает его более осуществимым. Он также используется в флуоресцентной микроскопии для восстановления изображений и во флуоресцентной спектральной визуализации для спектрального разделения множества неизвестных флуорофоров. Наиболее распространенным итеративным алгоритмом для этой цели является алгоритм деконволюции Ричардсона – Люси ; деконволюция Винера (и приближения) являются наиболее распространенными неитеративными алгоритмами.

ТГц изображение высокого разрешения достигается за счет деконволюции ТГц изображения и математически смоделированного ТГц PSF. (a) ТГц изображение интегральной схемы (ИС) до улучшения; (b) Математически смоделированный ТГц PSF; (c) ТГц изображение с высоким разрешением, которое достигается в результате деконволюции ТГц изображения, показанного на (a), и PSF, показанного на (b); (d) Рентгеновское изображение с высоким разрешением подтверждает точность измеренных значений.

Для некоторых конкретных систем визуализации, таких как системы импульсного лазерного терагерца, PSF можно моделировать математически. В результате, как показано на рисунке, деконволюция смоделированного PSF и терагерцового изображения может дать представление терагерцового изображения с более высоким разрешением.

Радиоастрономия

При выполнении синтеза изображений в радио интерферометрии, особом виде радиоастрономии, один шаг состоит из деконволюции полученного изображения с помощью «грязный луч» - это другое название функции рассеяния точки. Обычно используется метод CLEAN..

Спектры поглощения

Деконволюция широко применяется к спектрам поглощения. Можно использовать алгоритм Ван Читтерта (статья на немецком языке).

Аспекты преобразования Фурье

Деконволюция сопоставляется с делением в ко-области Фурье. Это позволяет легко применять деконволюцию к экспериментальным данным, которые подвергаются преобразованию Фурье. Примером может служить ЯМР-спектроскопия, где данные записываются во временной области, но анализируются в частотной области. Разделение данных во временной области на экспоненциальную функцию приводит к уменьшению ширины лоренцевских линий в частотной области.

См. Также

Ссылки