Грубая структура

редактировать

В полях Mathematical полей geometry и topology, a грубая структура на наборе X представляет собой набор подмножеств декартова произведения X × X с определенными свойствами, которые позволяют выполнять крупномасштабные структура метрических пространств и топологических пространств подлежит определению.

Традиционная геометрия и топология заботятся о мелкомасштабной структуре пространства: такие свойства, как непрерывность функции , зависят от того, прообразы небольших открытых множеств или окрестностей сами по себе открыты. Крупномасштабные свойства пространства, такие как ограниченность или степени свободы пространства, не зависят от таких характеристик. Грубая геометрия и грубая топология предоставляют инструменты для измерения крупномасштабных свойств пространства, и так же, как метрика или топология содержит информацию о мелкомасштабной структуре пространства, грубая структура содержит информацию о ее крупномасштабных свойствах.

Собственно, грубая структура - это не крупномасштабный аналог топологической структуры, а однородной структуры.

Содержание

1 Определение
2 Интуиция
3 Грубая Карты
4 Примеры
5 См. Также
6 Ссылки

Определение

A грубая структура на наборе X - это коллекция E подмножества X × X (поэтому подпадающие под более общую категоризацию бинарных отношений на X) называются контролируемыми наборами, и поэтому E обладает тождественное отношение, замкнуто относительно взятия подмножеств, обратных и конечных объединений и замкнуто при композиции отношений. Ясно:

1. Идентичность / диагональ: Диагональ Δ = {(x, x): x в X} является членом E - отношения идентичности.
2. Замкнут при взятии подмножеств: Если E является членом E, а F является подмножеством E, то F является членом E.
3. Замкнут при взятии обратного: Если E является членом E, то обратное (или транспонирование ) E = {(y, x) : (x, y) в E} является членом E - обратной зависимости.
4. Закрыто при объединении: Если E и F являются членами E, то объединение E и F является членом E.
5. Закрыто в составе: Если E и F являются членами E, тогда product E o F = {(x, y): в X есть z, такое что (x, z) находится в E, (z, y) находится в F} является членом E - композиции отношений.

Множество X, наделенное грубой структурой E - грубое пространство.

Множество E [K] определяется как {x в X: существует y в K такое, что (x, y) находится в E}. Мы определяем сечение E через x как множество E [{x}], также обозначаемое E x. Символ E обозначает множество E [{y}]. Это формы проекций.

Интуиция

Управляемые множества - это «маленькие» множества или «незначительные множества »: множество A, такое, что A × A контролируется, является пренебрежимо мало, в то время как функция f: X → X, график которой управляется, «близка» к единице. В ограниченной грубой структуре эти множества являются ограниченными множествами, а функции - теми, которые находятся на конечном расстоянии от единицы в однородной метрике .

Coarse Maps

Для данного множества S и грубая структура X, мы говорим, что карты $f: S → X {\ displaystyle f: S \ to X}$ ${\ displaystyle f: S \ to X}$ и $g: S → X {\ displaystyle g: S \ к X}$ ${\ displaystyle g: S \ to X}$ близки, если ${(f (s), g (s)) | s ∈ S} {\ displaystyle \ {(f (s), g (s)) | s \ in S \}}$ ${\ displaystyle \ {(f (s), g (s)) | s \ in S \}}$ - это управляемый набор. Подмножество B в X называется ограниченным, если $B × B {\ displaystyle B \ times B}$ $B \ times B$ является управляемым множеством.

Для грубых структур X и Y мы говорим, что $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: от X \ до Y$ является грубым, если для каждого ограниченного множества B из Y множество $f - 1 (Y) {\ displaystyle f ^ {- 1} (Y)}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (Y)}$ ограничено в X, и для каждого управляемого множества E из X набор $(f × f) (E) {\ displaystyle (f \ times f) (E)}$ ${\ displaystyle (f \ times f) (E)}$ контролируется в Y. X и Y называются грубо эквивалентными, если существуют грубые отображения $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: от X \ до Y$ и $g: Y → X {\ displaystyle g: Y \ to X}$ $g: Y \ к Икс$ так, что $f ∘ g {\ displaystyle f \ circ g}$ $f \ circ g$ близок к $id Y {\ displaystyle \ operatorname {id} _ {Y}}$ ${ \ displaystyle \ operatorname {id} _ {Y}}$ и $g ∘ f {\ displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ f$ близок к $id X {\ displaystyle \ operatorname {id} _ {X}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {X}}$ .

Примеры

Ограниченная грубая структура по метрике пространство (X, d) - это совокупность E всех подмножеств E X × X таких, что sup {d (x, y): (x, y) является в E} является конечным.
С этой структурой целочисленная решетка Zявляется грубой полностью эквивалентно n-мерному евклидову пространству.
Пространство X, в котором X × X контролируется, называется ограниченным пространством. Такое пространство грубо эквивалентно точке. Метрическое пространство с ограниченной грубой структурой ограничено (как грубое пространство) тогда и только тогда, когда оно ограничено (как метрическое пространство).
Тривиальная грубая структура состоит только из диагонали и ее подмножеств.
В этой структуре карта является грубой эквивалентностью тогда и только тогда, когда она является биекцией (множеств).
Грубая структура C 0 на метрическом пространстве X является совокупность всех подмножеств E в X × X таких, что для любого ε>0 существует компактное множество K множества X такое, что d (x, y) < ε for all (x, y) in E − K × K. Alternatively, the collection of all subsets E of X × X such that {(x, y) in E : d(x, y) ≥ ε} is compact.
Дискретная грубая структура на множестве X состоит диагонали вместе с подмножествами E в X × X, которые содержат только конечное число точек (x, y) вне диагонали.
Если X является топологическим пространством, то недискретная грубая структура на X состоит из всех собственных подмножеств X × X, что означает все подмножества E, такие что E [K] и E [K] относительно компактны, когда K относительно компактно.

См. Также

Ссылки

Джон Роу, Лекции по грубой геометрии, University Lecture Series Vol. 31, Американское математическое общество: Провиденс, Род-Айленд, 2003. Исправления к лекциям по грубой геометрии
Роу, Джон (июнь – июль 2006 г.). «Что такое... грубое пространство?» (PDF ). Уведомления Американского математического общества. 53(6): 669. Проверено 16 января 2008 г.