Централизатор и нормализатор

редактировать

В математике, особенно теории групп, централизатор (также называемый коммутант ) подмножества S группы G - это набор элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S - это набор элементов, которые удовлетворяют более слабому условию. Централизатор и нормализатор S являются подгруппами группы G и могут дать представление о структуре G.

Определения также применимы к моноидам и полугруппам..

В теории колец централизатор подмножества кольца определяется по отношению к операции полугруппы (умножения) кольца. Централизатор подмножества кольца R - это подкольцо кольца R. В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в алгебре Ли.

идеализатор в полугруппе или кольцо - это еще одна конструкция, которая находится в том же духе, что и централизатор и нормализатор.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Группа и полугруппа
- 1.2 Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли
2 Свойства
- 2.1 Полугруппы
- 2.2 Группы
- 2.3 Кольца и алгебры над полем
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Определения

Группа и полугруппа

Центратор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как

CG (S) = {g ∈ G ∣ gs = sg для всех s ∈ S}. {\ displaystyle \ mathrm {C} _ {G} (S) = \ {g \ in G \ mid gs = sg {\ text {для всех}} s \ in S \}.}

{\ displaystyle \ mathrm {C} _ {G} (S) = \ {g \ in G \ mid gs = sg {\ text { для всех}} s \ in S \}.}

Если нет двусмысленность в отношении рассматриваемой группы, G может быть исключена из обозначений. Когда S = {a} является набором singleton, мы пишем C G (a) вместо C G ({a}). Другое менее распространенное обозначение централизатора - Z (a), которое аналогично обозначению для центра . Используя это последнее обозначение, нужно быть осторожным, чтобы избежать путаницы между center группы G, Z (G), и централизатором элемента g в G, Z (g).

нормализатор группы S в группе (или полугруппе) G определяется как

N G (S) = {g ∈ G ∣ g S = S g}. {\ displaystyle \ mathrm {N} _ {G} (S) = \ {g \ in G \ mid gS = Sg \}.}

{\ displaystyle \ mathrm {N} _ {G} (S) = \ {g \ in G \ mid gS = Sg \}.}

Определения похожи, но не идентичны. Если g находится в централизаторе S, а s находится в S, то должно быть, что gs = sg, но если g находится в нормализаторе, то gs = tg для некоторого t в S, причем t может отличаться от s. То есть элементы централизатора S должны коммутировать поточечно с S, но элементы нормализатора S должны коммутировать только с S как с множеством. Те же обозначения, упомянутые выше для централизаторов, также применимы к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием.

Кольцом, алгеброй над полем, кольцом Ли и алгеброй Ли

Если R - кольцо или алгебра над полем, и S является подмножеством R, то централизатор S точно такой, как определено для групп, с R вместо G.

Если $L {\ displaystyle {\ mathfrak {L }}}$ ${\ mathfrak {L}}$ - это алгебра Ли (или кольцо Ли ) с произведением Ли [x, y], тогда централизатор подмножества S из $L {\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ mathfrak {L}}$ определяется как

CL (S) = {x ∈ L ∣ [x, s] = 0 для всех s ∈ S}. {\ displaystyle \ mathrm {C} _ {\ mathfrak {L}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {L}} \ mid [x, s] = 0 {\ text {для всех}} s \ in S \}.}

{\ displaystyle \ mathrm {C} _ {\ mathfrak {L}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {L}} \ mid [x, s] = 0 {\ text {для всех}} s \ in S \}.}

Определение централизаторов для колец Ли связано с определением для колец следующим образом. Если R - ассоциативное кольцо, то R может быть дано скобочное произведение [x, y] = xy - yx. Конечно, тогда xy = yx тогда и только тогда, когда [x, y] = 0. Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как L R, то очевидно, что централизатор кольца S в R равен централизатор кольца Ли S в L R.

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) $L {\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ mathfrak {L}}$ дается выражением

NL (S) = {x ∈ L ∣ [x, s] ∈ S для всех s ∈ S}. {\ displaystyle \ mathrm {N} _ {\ mathfrak {L}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {L}} \ mid [x, s] \ in S {\ text {для всех}} s \ in S \}.}

{\ displaystyle \ mathrm {N} _ {\ mathfrak {L}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {L}} \ mid [x, s] \ in S {\ text {для всех}} s \ in S \}.}

Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, эта конструкция на самом деле является идеализатором множества S в $L {\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ mathfrak {L}}$ . Если S является аддитивной подгруппой $L {\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ mathfrak {L}}$ , то $NL (S) {\ displaystyle \ mathrm {N} _ {\ mathfrak { L}} (S)}$ ${\ mathrm {N}} _ {{{\ mathfrak {L}}}} (S)$ - наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от случая), в котором S - идеал.

Свойства

Полугруппы

Пусть $S ′ {\ displaystyle S '}$ $S'$ обозначает централизатор $S {\ displaystyle S}$ $S$ в полугруппе $A {\ displaystyle A}$ $A$ , т. е. $S ′ = {x ∈ A ∣ sx = xs для каждого s ∈ S}. {\ displaystyle S '= \ {x \ in A \ mid sx = xs \ {\ t_dv {for}} \ {\ t_dv {every}} \ s \ in S \}.}$ $S'=\{x\in A\mid sx=xs\ {\t_dv{for}}\ {\t_dv{every}}\ s\in S\}.$ Тогда $S ′ {\ displaystyle S '}$ $S'$ образует подполугруппу и $S ′ = S ‴ = S ′ ′ ′ ′ ′ {\ displaystyle S' = S '' '= S' '' ''}$ $S'=S'''=S'''''$ , т. Е. Коммутант - это собственный бикоммутант.

Группы

Источник:

централизатор и нормализатор S являются подгруппами из G.
Очевидно, CG(S) ⊆ NG(S). Фактически, CG(S) всегда является нормальной подгруппой из NG(S).
CG(CG(S)) содержит S, но CG(S) не обязательно должен содержать S. Сдерживание происходит именно тогда, когда S абелева.
Если H является подгруппой G, то NG(H) содержит H.
Если H является подгруппой G, то наибольшая подгруппа группы G, в которой H нормальна, является подгруппой NG(H).
Если S - подмножество G такое, что все элементы S коммутируют друг с другом, то наибольшая подгруппа G, центр которой содержит S - подгруппа CG(S).
Подгруппа H группы G называется самонормализующейся подгруппой группы G, если NG(H) = H.
Центр G точно равен CG(G) и G является абелевой группой тогда и только тогда, когда CG(G) = Z (G) = G.
Для одноэлементных наборов CG(a) = NG(a).
По симметрии, если S и T являются двумя подмножествами G, T ⊆ CG(S), если и только если S ⊆ CG(T).
Для подгруппы H группы G теорема N / C утверждает, что фактор-группа NG(H) / CG(H) изоморфен подгруппа Aut (H), группа автоморфизмов группы H. Поскольку NG(G) = G и CG(G) = Z (G), из теоремы N / C также следует, что G / Z (G) изоморфна Inn (G), подгруппе Aut (G), состоящей из всех внутренних автоморфизмов группы G.
Если мы определим гомоморфизм группы T: G → Inn (G) как T (x) (g) = T x (g) = xgx, тогда мы можем описать NG(S) и CG(S) в терминах группового действия группы Inn (G) на G: стабилизатор S в Inn (G) равен T (NG(S)), а подгруппа Inn (G) фиксирует S поточечно является T (CG(S)).
Подгруппа H группы G называется C-замкнутой или самобикоммутантной, если H = CG(S) для некоторого подмножества S ⊆ G. Если так, то фактически H = CG(CG(H)).

Кольца и алгебры над полем

Источник:

Централизаторы в кольцах и алгебрах над полем - это подкольца и подалгебры над полем соответственно; централизаторы в кольцах Ли и в алгебрах Ли - это подкольца и подалгебры Ли соответственно.
Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор кольца S.
CR(CR(S)) содержит S, но не обязательно равный. теорема о двойном централизаторе имеет дело с ситуациями, когда имеет место равенство.
Если S является аддитивной подгруппой кольца Ли A, то NA(S) является наибольшим подкольцом Ли кольца A в который S является идеалом Ли.
Если S - подкольцо Ли кольца Ли A, то S ⊆ NA(S).

См. также

Примечания

^Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: плетение матричных задач через форму Вейра. Издательство Оксфордского университета. п. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
^Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных про-лиевских групп: теория структуры для пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп. Европейское математическое общество. п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
^Якобсон (2009), стр. 41
^ Якобсон 1979, стр.28.
^Якобсон 1979, стр.57.
^Isaacs 2009, главы 1-3.

Список литературы

Айзекс, И. Мартин (2009), Алгебра: выпускной курс, Последипломное обучение по математике, 100 (перепечатка Оригинальное издание 1994 г.), Providence, RI: Американское математическое общество, doi : 10.1090 / gsm / 100, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
Джейкобсон, Натан (2009), Basic Algebra, 1(2 ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
Джейкобсон, Натан (1979), Алгебры Ли (переиздание оригинального издания 1962 года), Dover Публикации, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927