Коллектор CR

редактировать

В математике CR коллектор - это дифференцируемый коллектор вместе с геометрической структурой, смоделированной на основе реальной гиперповерхности в комплексном векторном пространстве, или, в более общем смысле, смоделированной на кромке клина.

Формально, CR-многообразие - это дифференцируемое многообразие M вместе с предпочтительным комплексным распределением L, или, другими словами, комплексное подрасслоение из комплексного касательного расслоения $CTM = TM ⊗ RC {\ displaystyle \ mathbb {C} TM = TM \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$ $\mathbb {C} TM=TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ такой, что

$[L, L ] ⊆ L {\ displaystyle [L, L] \ substeq L}$ $[L,L]\subseteq L$ (L формально интегрируемый )
$L ∩ L ¯ = {0} {\ displaystyle L \ cap { \ bar {L}} = \ {0 \}}$ $L\cap\bar{L}=\{0\}$ .

Подрасслоение L называется CR-структурой на многообразии M.

Аббревиатура CR означает Коши. –Riemann или Комплексно-вещественное.

Содержание

1 Введение ион и мотивация
- 1.1 Вложенные и абстрактные CR-многообразия
2 Вложенные CR-многообразия
- 2.1 Предварительные сведения
- 2.2 Вещественные подмногообразия комплексного пространства
- 2.3 Форма Леви
3 Абстрактные CR-структуры и вложение аннотация CR-структуры в C m {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}}
- 3.1 Форма Леви и псевдовыпуклость
- 3.2 Характеристические идеалы
- 3.3 Тангенциальный комплекс Коши – Римана (лапласиан Кона, Комплекс Кона – Росси)
4 Примеры
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки

Введение и мотивация

Понятие структуры CR пытается описать свойство внутренне быть гиперповерхностью (или некоторыми действительными подмногообразиями более высокой коразмерности) в комплексном пространстве, изучая свойства голоморфных векторных полей, которые касаются гиперповерхности.

Предположим, например, что M - это гиперповерхность $C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\mathbb {C} ^{2}$ , заданная уравнением

F (z, w): = | z | 2 + | w | 2 = 1, {\ displaystyle F (z, w): = | z | ^ {2} + | w | ^ {2} = 1,}

F(z,w) := |z|^2+|w|^2=1,

где z и w - обычные комплексные координаты на $С 2 {\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\mathbb {C} ^{2}$ . Голоморфное касательное расслоение $C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\mathbb {C} ^{2}$ состоит из всех линейных комбинаций векторов

∂ ∂ z, ∂ ∂ w. {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z}}, \ quad {\ frac {\ partial} {\ partial w}}.}

\frac{\partial}{\partial z},\quad \frac{\partial}{\partial w}.

Распределение L на M состоит из всех комбинаций этих векторов, которые касаются M. Касательные векторы должны аннулировать определяющее уравнение для M, поэтому L состоит из комплексных скалярных чисел, кратных

w ¯ ∂ ∂ z - z ¯ ∂ ∂ w. {\ displaystyle {\ bar {w}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} - {\ bar {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial w}}.}

\bar{w}\frac{\partial}{\partial z}-\bar{z}\frac{\partial}{\partial w}.

В в частности, L состоит из голоморфных векторных полей, которые аннулируют F. Отметим, что L задает CR-структуру на M при [L, L] = 0 (поскольку L одномерно) и $L ∩ L ¯ = {0 } {\ displaystyle L \ cap {\ bar {L}} = \ {0 \}}$ $L\cap\bar{L}=\{0\}$ , поскольку ∂ / ∂z и ∂ / ∂w линейно независимы от своих комплексно сопряженных.

В более общем смысле, предположим, что M является реальной гиперповерхностью в $C n, {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n},}$ $\mathbb {C} ^{n},$ с определяющим уравнением F (z 1,..., z n) = 0. Тогда CR-структура L состоит из этих линейных комбинаций базовых голоморфных векторов на $C n {\ displaystyle \ mathbb { C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ :

∂ ∂ z 1,…, ∂ ∂ zn {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {n}}}}

{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\ldots,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}

которые аннулируют определяющую функцию. В этом случае $L ∩ L ¯ = {0} {\ displaystyle L \ cap {\ bar {L}} = \ {0 \}}$ $L\cap\bar{L}=\{0\}$ по той же причине, что и раньше. Более того, [L, L] ⊂ L, поскольку коммутатор голоморфных векторных полей, аннулирующих F, снова является голоморфным векторным полем, аннулирующим F.

Вложенные и абстрактные CR-многообразия

Между теории вложенных CR-многообразий (гиперповерхности и ребра клиньев в комплексном пространстве) и абстрактных CR-многообразий (заданных комплексным распределением L). Многие формальные геометрические элементы похожи. К ним относятся:

понятие выпуклости (предоставляется с помощью формы Леви )
A дифференциального оператора, аналогичного оператору Dolbeault, и связанного с ним когомологии (касательный комплекс Коши – Римана ).

Вложенные CR-многообразия, тем не менее, обладают некоторой дополнительной структурой: задача Неймана и Дирихле для Коши– Уравнения Римана.

В этой статье сначала рассматривается геометрия вложенных CR-многообразий, показано, как определить эти структуры внутренне, а затем обобщается их на абстрактные условия.

Встроенные CR-многообразия

Предварительные сведения

Вложенные CR-многообразия - это, прежде всего, подмногообразия $C n. {\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$ $\mathbb {C} ^{n}.$ Определите пару подгруппы комплексифицированного касательного пучка $C ⊗ TC n {\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes T \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}$ по:

$T (1, 0) C n {\ displaystyle T ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n}}$ $T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}$ состоит из завершенных x векторов, аннигилирующих антиголоморфные функции. В голоморфных координатах :

T (1, 0) C n = span ⁡ (∂ ∂ z 1,…, ∂ ∂ z n). {\ displaystyle T ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ operatorname {span} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z_ {1}}}, \ точки, {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {n}}} \ right).}

T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).

$T (0, 1) C n {\ displaystyle T ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {n}}$ $T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}$ состоит из комплексных векторов, аннулирующих голоморфные функции. В координатах:

T (0, 1) C n = span ⁡ (∂ ∂ z ¯ 1,…, ∂ ∂ z ¯ n). {\ displaystyle T ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ operatorname {span} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} _ {1 }}}, \ dots, {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} _ {n}}} \ right).}

T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).

Также актуальны характерные аннигиляторы из Dolbeault комплекс :

$Ω (1, 0) C n = (T (0, 1) C n) ⊥. {\ Displaystyle \ Omega ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ left (T ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {n} \ right) ^ {\ bot}.}$ $\Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.$ В координатах:

Ω (1, 0) C n = span ⁡ (dz 1,…, dzn). {\ displaystyle \ Omega ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ operatorname {span} (dz_ {1}, \ dots, dz_ {n}).}

\Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots,dz_{n}).

$Ω (0, 1) C n = (T (1, 0) C n) ⊥. {\ Displaystyle \ Omega ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ left (T ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} \ right) ^ {\ bot}.}$ $\Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.$ В координатах,

Ω (0, 1) C n = span ⁡ (dz ¯ 1,…, dz ¯ n). {\ displaystyle \ Omega ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ operatorname {span} (d {\ bar {z}} _ {1}, \ dots, d {\ bar { z}} _ {n}).}

\Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots,d{\bar {z}}_{n}).

Внешние продукты из них обозначаются самоочевидной записью Ω, а оператор Дольбо и его комплексно сопряженное отображение между этими пространствами через:

∂: Ω (p, q) → Ω (p + 1, q) {\ displaystyle \ partial: \ Omega ^ {(p, q)} \ к \ Omega ^ {(p + 1, q)}}

\partial :\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}

∂ ¯: Ω (p, q) → Ω (p, q + 1) {\ displaystyle {\ bar {\ partial}}: \ Omega ^ {(p, q)} \ to \ Omega ^ {(p, q + 1)}}

{\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}

Кроме того, существует разложение обычной внешней производной с помощью $d = ∂ + ∂ ¯ {\ displaystyle d = \ partial + {\ bar {\ partial}}}$ $d = \partial + \bar{\partial}$ .

Вещественные подмногообразия комплексного пространства

Пусть $M ⊂ C n {\ displaystyle M \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}$ $M\subset \mathbb {C} ^{n}$ будет вещественное подмногообразие, определенное локально как геометрическое место системы гладких функций с действительными значениями

F 1 = 0, F 2 = 0,…, F k = 0. {\ displaystyle F_ {1} = 0, F_ {2 } = 0, \ ldots, F_ {k} = 0.}

F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots,F_{k}=0.

Предположим, что комплексно-линейная часть дифференциал этой системы имеет максимальный ранг в том смысле, что дифференциалы удовлетворяют следующему условию независимости:

∂ F 1 ∧ ⋯ ∧ ∂ F k ≠ 0. {\ displaystyle \ partial F_ {1} \ wedge \ dots \ wedge \ partial F_ {k} \ not = 0.}

\partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.

Обратите внимание, что это условие строго сильнее, чем необходимо для применения теоремы о неявной функции : в частности, M является многообразием реальной размерности $2 п - к. {\ displaystyle 2n-k.}$ $2n-k.$ Мы говорим, что M является общим вложенным CR-подмногообразием CR коразмерности k. Общее прилагательное означает, что касательное пространство $TM {\ displaystyle TM}$ $TM$ охватывает касательное пространство $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ над комплексными числами. В большинстве приложений k = 1, и в этом случае говорят, что многообразие имеет тип гиперповерхности .

Пусть $L ⊂ T (1, 0) C n | M {\ displaystyle L \ subset T ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} | _ {M}}$ $L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}$ быть подрасслоением векторов, аннулирующим все определяющие функции $F 1,…, F k. {\ displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {k}.}$ $F_{1},\ldots,F_{k}.$ Обратите внимание, что согласно обычным соображениям для интегрируемых распределений на гиперповерхностях, L инволютивно. Более того, из условия независимости следует, что L - расслоение постоянного ранга n - k.

В дальнейшем предположим, что k = 1 (так что CR-многообразие имеет тип гиперповерхности), если не указано иное.

Форма Леви

Пусть M будет CR-многообразием гиперповерхностного типа с единственной определяющей функцией F = 0. Форма Леви формы M, названная в честь Эухенио Элиа Леви, это эрмитова 2-форма

h = i ∂ ∂ ¯ F | L ∧ L ¯. {\ displaystyle h = i \, \ partial {\ bar {\ partial}} F | _ {L \ wedge {\ bar {L}}}.}

h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.

Это определяет метрику на L. M называется строго псевдовыпуклый (со стороны F <0) if h is positive definite (or pseudoconvex in case h is positive semidefinite). Many of the analytic existence and uniqueness results in the theory of CR manifolds depend on the pseudoconvexity.

Эта номенклатура получена в результате изучения псевдовыпуклых доменов : M - граница (строго) псевдовыпуклого домена в $C n { \ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ тогда и только тогда, когда оно (строго) псевдовыпуклое как CR-многообразие со стороны домена (см. плюрисубгармонические функции и многообразие Штейна.)

Абстрактные структуры CR и встраивание абстрактных структур CR в

C m {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}}

\mathbb {C} ^{m}

Абстрактная структура CR на вещественном многообразии M вещественной размерности n состоит из комплексного подрасслоения L комплексного касательного расслоения, которое формально интегрируемо в том смысле, что [L, L] ⊂ L, которое имеет нулевое пересечение со своим комплексно сопряженным расслоением. CR коразмерность структуры CR равна $k = n - 2 dim ⁡ L, {\ displaystyle k = n-2 \ dim L,}$ $k=n-2\dim L,$ где dim L - комплексная размерность. В случае k = 1 говорят, что CR-структура имеет тип гиперповерхности . Большинство примеров абстрактных CR-структур относятся к типу гиперповерхностей.

Форма Леви и псевдовыпуклость

Предположим, что M - CR-многообразие гиперповерхностного типа. Форма Леви - это форма, определенная на L, со значениями в линейном пучке

V = TM ⊗ CL ⊕ L ¯ {\ displaystyle V = {\ frac {TM \ otimes \ mathbb {C}} {L \ oplus {\ overline {L}}}}}

V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}

определяется как

h (v, w) = 1 2 i [v, w ¯] mod L ⊕ L ¯, v, w ∈ L. {\ displaystyle h (v, w) = {\ frac {1} {2i}} [v, {\ overline {w}}] \ mod L \ oplus {\ overline {L}}, \ quad v, w \ в L.}

h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.

h определяет полуторалинейную форму на L, поскольку она не зависит от того, как v и w расширяются на участки L, с помощью условия интегрируемости. Эта форма расширяется до эрмитовой формы в связке $L ⊕ L ¯ {\ displaystyle L \ oplus {\ overline {L}}}$ $L\oplus {\overline {L}}$ тем же выражением. Расширенная форма также иногда называется формой Леви.

Форма Леви также может быть охарактеризована в терминах двойственности. Рассмотрим линейное подрасслоение комплексного кокасательного расслоения, аннулирующего V

H 0 M = V ∗ = (L ⊕ L ¯) ⊥ ⊂ T ∗ M ⊗ C. {\ displaystyle H_ {0} M = V ^ {*} = (L \ oplus {\ overline {L}}) ^ {\ perp} \ subset T ^ {*} M \ otimes \ mathbb {C}.}

H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C}.

Для каждого локального участка α ∈ Γ (H 0 M) положим

h α (v, w) = d α (v, w ¯) = - α ([v, w ¯ ]), v, w ∈ L ⊕ L ¯. {\ displaystyle h _ {\ alpha} (v, w) = d \ alpha (v, {\ overline {w}}) = - \ alpha ([v, {\ overline {w}}]), \ quad v, w \ in L \ oplus {\ overline {L}}.}

h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.

Форма h α - это комплекснозначная эрмитова форма, связанная с α.

Обобщения формы Леви существуют, когда многообразие не относится к типу гиперповерхности, и в этом случае форма больше не принимает значения в линейном расслоении, а скорее в векторном расслоении. Тогда можно говорить не о форме Леви, а о наборе форм Леви для структуры.

На абстрактных CR-многообразиях сильно псевдовыпуклого типа форма Леви порождает псевдоэрмитову метрику. Метрика определена только для голоморфных касательных векторов и поэтому является вырожденной. Затем можно определить тензоры соединения, кручения и связанные с ними тензоры кривизны, например, кривизну Риччи и скалярную кривизну, используя эту метрику. Это приводит к аналогичной проблеме CR Ямабе, впервые изученной Дэвидом Джерисоном и Джоном Ли. Связь, ассоциированная с CR-многообразиями, была впервые определена и изучена Сидни М. Вебстером в его диссертации по изучению проблемы эквивалентности, а также независимо определена и изучена Танакой. Описание этих понятий можно найти в статьях.

Один из основных вопросов CR-геометрии - спросить, когда гладкое многообразие, снабженное абстрактной CR-структурой, может быть реализовано как вложенное многообразие в некоторый $С n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ . Таким образом, мы не только встраиваем многообразие, но также требуем, чтобы для глобального вложения карта, встраивающая абстрактное многообразие в $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ , тянула обратно индуцированную CR-структуру встроенного многообразия (исходя из того факта, что она находится в $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ), так что обратная CR-структура в точности соответствует абстрактной структуре CR. Таким образом, глобальное вложение состоит из двух частей. Здесь вопрос распадается на два. Можно запросить локальную встраиваемость или глобальную встраиваемость.

Глобальная встраиваемость всегда истинна для абстрактно определенных, компактных CR-структур, которые являются сильно псевдовыпуклыми, то есть форма Леви является положительно определенной, когда реальная размерность многообразия равна 5 или выше в результате Луи Буте де Монвель.

В измерении 3 есть препятствия для глобальной встраиваемости. При внесении небольших изменений в стандартную структуру CR на трех сферах $S 3, {\ displaystyle S ^ {3},}$ $S^{3},$ результирующая абстрактная структура CR не может быть встроена глобально. Иногда это называют примером Росси. Фактически этот пример восходит к Гансу Грауэрту, а также встречается в статье Альдо Андреотти и Юм-Тонг Сиу.

Результат Джозефа Дж. Кон утверждает, что глобальная встраиваемость эквивалентна условию, что лапласиан Кона имеет замкнутый диапазон. Это условие замкнутого диапазона не является условием инвариантности CR.

В измерении 3 непертурбативный набор условий, инвариантных по отношению к CR, был найден Хун-Линем Чиу и Полом С. Янгом, который гарантирует глобальную встраиваемость для абстрактных сильно псевдо- выпуклые CR-структуры, определенные на компактных многообразиях. При гипотезе о том, что CR-оператор Панейца неотрицателен, а константа CR Yamabe положительна, происходит глобальное вложение. Второе условие можно ослабить до не CR-инвариантного условия, потребовав, чтобы вебстеровская кривизна абстрактного многообразия была ограничена снизу положительной константой. Это позволяет авторам получить точную нижнюю оценку первого положительного собственного значения лапласиана Кона. Нижняя граница является аналогом в CR Geometry оценки Андре Лихнеровича для первого положительного собственного значения оператора Лапласа – Бельтрами для компактных многообразий в римановой геометрии. Неотрицательность CR-оператора Панейца в размерности 3 является условием CR-инвариантности, как следует из конформно-ковариантных свойств CR-оператора Панейца на CR-многообразиях вещественной размерности 3, впервые обнаруженных Кенго Хирачи. CR-версия оператора Панейтца, так называемый CR Paneitz Operator, впервые появляется в работе C. Робин Грэм и Джон Ли. Неизвестно, что оператор конформно-ковариантен в действительной размерности 5 и выше, но только в реальной размерности 3. Это всегда неотрицательный оператор в действительной размерности 5 и выше.

Можно спросить, все ли компактно встроенные CR-многообразия в $C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\mathbb {C} ^{2}$ имеют неотрицательные операторы Панейца. Это своего рода вопрос, обратный обсуждаемым выше теоремам вложения. В этом направлении Джеффри Кейс и Пол К. Ян доказали теорему об устойчивости. То есть, если начать с семейства компактных CR-многообразий, вложенных в $C 2, {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2},}$ $\mathbb {C} ^{2},$ и CR-структуру семейства $J t {\ displaystyle J_ {t}}$ $J_{t}$ изменяется реально-аналитическим образом относительно параметра $t, {\ displaystyle t,}$ $t,$ и CR Yamabe константа семейства многообразий равномерно ограничена снизу положительной константой, тогда CR-оператор Панейца остается неотрицательным для всего семейства при условии, что один член семейства имеет неотрицательный CR-оператор Панитца. Обратный вопрос был наконец решен Юя Такеучи. Он доказал, что для вложенных компактных CR-3 многообразий, которые являются строго псевдовыпуклыми, оператор CR Панейца, связанный с этим вложенным многообразием, неотрицателен.

Имеются также результаты глобального вложения для малых возмущений стандартной структуры CR для трехмерной сферы, полученные Дэниелом Бернсом и Чарльзом Эпштейном. Эти результаты предполагают предположения о коэффициентах Фурье члена возмущения.

Реализация абстрактного CR-многообразия как гладкого многообразия в некотором $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ограничивает Сложное разнообразие, которое, как правило, может иметь особенности. Таково содержание проблемы сложного плато, исследованной в статье Ф. Риза Харви и Х. Блейн Лоусон. Существует также дальнейшая работа над проблемой сложного плато.

Локальное вложение абстрактных CR-структур неверно в реальном измерении 3 из-за примера Луи Ниренберга (книга Чена и Мей-Чи Шоу, упомянутый ниже, также содержит представление доказательства Ниренберга). Пример Л. Ниренберга можно рассматривать как плавное возмущение неразрешимого комплексного векторного поля Ганса Леви. Можно начать с антиголоморфного векторного поля $L ¯ {\ displaystyle {\ overline {L}}}$ $\overline {L}$ на группе Гейзенберга, заданной как

L ¯ = ∂ ∂ z ¯ - ı z ∂ ∂ t, (z, t) ∈ C × R, ı = - 1. {\ displaystyle {\ overline {L}} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z}}}} - \ imath z {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ qquad (z, t) \ in \ mathbb {C} \ times \ mathbb {R}, \ imath = {\ sqrt {-1}}.}

{\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R},\imath ={\sqrt {-1}}.

Определенное выше векторное поле имеет два линейно независимых первых интеграла. То есть есть два решения однородного уравнения,

L ¯ Z i = 0, i = 1, 2, Z 1 = z, Z 2 = t + ı | z | 2, d Z 1 ∧ d Z 2 ≠ 0. {\ displaystyle {\ overline {L}} Z_ {i} = 0, i = 1,2, \ qquad Z_ {1} = z, Z_ {2} = t + \ imath | z | ^ {2}, dZ_ {1} \ wedge dZ_ {2} \ not = 0.}

{\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.

Так как мы находимся в реальном измерении три, формальное условие интегрируемости просто,

[L ¯, L ¯] = 0 {\ displaystyle \ left [{\ overline {L}}, {\ overline {L}} \ right] = 0}

\left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0

, что выполняется автоматически. Обратите внимание, что форма Леви строго положительно определена, поскольку простое вычисление дает:

[L ¯, L] = 2 i ∂ ∂ t, {\ displaystyle \ left [{\ overline {L}}, L \ right] = 2i {\ frac {\ partial} {\ partial t}},}

\left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},

где голоморфное векторное поле L задается как,

L = ∂ ∂ z + ı z ¯ ∂ ∂ t. {\ displaystyle L = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} + \ imath {\ overline {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}.}

L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath \overline {z}{\frac {\partial }{\partial t}}.

Первые интегралы, которые линейно независимы, позволяют нам реализовать структуру CR в виде графа в $C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\mathbb {C} ^{2}$ , заданном как

(z, t) → ( z, t + ı | z | 2) {\ displaystyle (z, t) \ to (z, t + \ imath | z | ^ {2})}

(z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})

Таким образом, структура CR представляет собой не что иное, как ограничение Комплексной структуры $C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\mathbb {C} ^{2}$ на график. Ниренберг строит единственное неисчезающее комплексное векторное поле $P, {\ displaystyle P,}$ $P,$ , определенное в окрестности начала координат в $C × R. {\ displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {R}.}$ $\mathbb {C} \times \mathbb {R}.$ Затем он показывает, что если $P u = 0 {\ displaystyle Pu = 0}$ $Pu=0$ , то $u {\ displaystyle u}$ $u$ должно быть константой. Таким образом, векторное поле $P {\ displaystyle P}$ $P$ не имеет первых интегралов. Векторное поле $P {\ displaystyle P}$ $P$ создается из антиголоморфного векторного поля для группы Гейзенберга, показанной выше, путем возмущения его гладкой комплексной функцией $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ , как показано ниже:

P = L ¯ + ϕ (z, z ¯, t) ∂ ∂ t {\ displaystyle P = {\ overline {L}} + \ phi (z, {\ overline {z}}, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}

P=\overline {L}+\phi (z,\overline {z},t){\frac {\partial }{\partial t}}

Таким образом, это новое векторное поле P не имеет первых интегралов, кроме констант, и поэтому невозможно реализовать эта возмущенная структура CR каким-либо образом как граф в любом $C n. {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$ $\mathbb {C} ^{n}.$ Работа Л. Ниренберга была расширена до общего результата Ховардом Якобовицем и Франсуа Тревом. В реальном измерении 9 и выше локальное вложение абстрактных строго псевдовыпуклых CR-структур выполняется Масатакэ Кураниши, а в реальном измерении 7 - работой Акахори. доказательства Кураниши принадлежит Вебстеру.

Проблема локального вложения остается открытой в действительной размерности 5.

Характеристические идеалы

Тангенциальный комплекс Коши – Римана (лапласиан Кона, Комплекс Кона – Росси)

Прежде всего необходимо определить ко-граничный оператор $∂ b ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}}}$ $\overline {\partial _{b}}$ . Для CR-многообразий, которые возникают как границы комплексных многообразий, этот оператор можно рассматривать как ограничение $∂ ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ partial}}}$ $\overline {\partial }$ от внутренней части к границе. Нижний индекс b должен напомнить, что мы на границе. Кограничный оператор принимает формы (0, p) в формы (0, p + 1). Можно даже определить ко-граничный оператор для абстрактного CR-многообразия, даже если это не граница комплексного многообразия. Это можно сделать с помощью соединения Вебстера. Оператор совместной границы $∂ b ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}}}$ $\overline {\partial _{b}}$ образует комплекс, то есть $∂ b ¯ ∘ ∂ b ¯ = 0 {\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}} \ circ {\ overline {\ partial _ {b}}} = 0}$ $\overline {\partial _{b}}\circ \overline {\partial _{b}}=0$ . Этот комплекс называется тангенциальным комплексом Коши – Римана или комплексом Кона – Росси. Исследование этого комплекса и изучение групп когомологий этого комплекса было проведено в фундаментальной статье Джозефа Дж. Кона и Хьюго Росси.

Связанный с касательным комплексом CR является фундаментальным объект в геометрии CR и нескольких комплексных переменных, лапласиан Кона. Он определяется как:

◻ b = ∂ b ¯ ∂ b ¯ ⋆ + ∂ b ¯ ⋆ ∂ b ¯ {\ displaystyle \ Box _ {b} = {\ overline {\ partial _ {b}}} {\ overline {\ partial _ {b}}} ^ {\ star} + {\ overline {\ partial _ {b}}} ^ {\ star} {\ overline {\ partial _ {b}}}}

\Box _{b}=\overline {\partial _{b}}\overline {\partial _{b}}^{\star }+\overline {\partial _{b}}^{\star }\overline {\partial _{b}}

Здесь $∂ b ¯ ⋆ {\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}} ^ {\ star}}$ $\overline {\partial _{b}}^{\star }$ обозначает формальное дополнение к $∂ b ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}}}$ $\overline {\partial _{b}}$ относительно $L 2 (M) {\ displaystyle L ^ {2} (M)}$ $L^{2}(M)$ где форма объема может быть получен из контактной формы, которая связана со структурой CR. См., Например, статью J.M. Lee в American J., указанную ниже. Обратите внимание, что лапласиан Кона принимает формы (0, p) в формы (0, p). Функции, которые аннулируются лапласианом Кона, называются. Они являются граничными аналогами голоморфных функций. Действительные части функций CR называются. Лапласиан Кона $◻ b {\ displaystyle \ Box _ {b}}$ $\Box _{b}$ является неотрицательным, формально самосопряженным оператором. Он вырожден и имеет характеристическое множество, где его символ равен нулю. На компактном сильно псевдовыпуклом абстрактном CR-многообразии оно имеет дискретные положительные собственные значения, которые стремятся к бесконечности и также стремятся к нулю. Ядро состоит из CR-функций и поэтому имеет бесконечную размерность. Если положительные собственные значения лапласиана Кона ограничены снизу положительной константой, то лапласиан Кона имеет замкнутый диапазон значений, и наоборот. Таким образом, для вложенных CR-структур, использующих результат Кона, сформулированный выше, мы заключаем, что компактная CR-структура, которая является сильно псевдовыпуклой, вложена тогда и только тогда, когда лапласиан Кона имеет положительные собственные значения, ограниченные снизу положительной константой. Лапласиан Кона всегда имеет нулевое собственное значение, соответствующее CR-функциям.

Оценки для $◻ b {\ displaystyle \ Box _ {b}}$ $\Box _{b}$ и $∂ b ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}} }}$ $\overline {\partial _{b}}$ были получены в различных функциональных пространствах в различных настройках. Эти оценки легче всего получить, когда многообразие является сильно псевдовыпуклым, поскольку тогда можно заменить многообразие, соприкоснув его до достаточно высокого порядка с группой Гейзенберга. Затем, используя свойство группы и сопутствующую структуру свертки группы Гейзенберга, можно записать инверсии / параметрисы или относительные параметры в $◻ b {\ displaystyle \ Box _ {b}}$ $\Box _{b}$ .

Конкретный пример $∂ b ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}}}$ $\overline {\partial _{b}}$ оператор может быть предоставлен для группы Гейзенберга. Рассмотрим общую группу Гейзенберга $C n × R {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ mathbb {R}}$ $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R}$ и рассмотрим антиголоморфные векторные поля, которые также являются групповыми левоинвариантными,

L ¯ j = ∂ ∂ zj ¯ - ı zj ∂ ∂ t, j = 1, 2,…, n, (z 1, z 2,…, zn) ∈ C n, t ∈ R. {\ displaystyle {\ overline {L}} _ {j} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z_ {j}}}}}} - \ imath z_ {j} {\ frac {\ partial } {\ partial t}}, j = 1,2, \ ldots, n, (z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {n}) \ in \ mathbb {C} ^ {n}, t \ in \ mathbb {R}.}

{\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots,n,(z_{1},z_{2},\ldots,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R}.

Тогда для функции u мы имеем (0,1) форму $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$

ω = ∂ b ¯ u = ∑ j = 1 n L j ¯ udzj ¯. {\ displaystyle \ omega = {\ overline {\ partial _ {b}}} u = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ overline {L_ {j}}} u \ d {\ overline {z_ {j}}}.}

\omega =\overline {\partial _{b}}u=\sum _{{j=1}}^{n}\overline {L_{j}}u\ d\overline {z_{j}}.

Поскольку $∂ b ¯ ⋆ {\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}} ^ {\ star}}$ $\overline {\partial _{b}}^{\star }$ обращается в нуль на функциях, мы также имеется следующая формула лапласиана Кона для функций на группе Гейзенберга:

◻ b = - ∑ j = 1 n L j L j ¯ {\ displaystyle \ Box _ {b} = - \ sum _ {j = 1} ^ {n} L_ {j} {\ overline {L_ {j}}}}

\Box _{b}=-\sum _{{j=1}}^{n}L_{j}\overline {L_{j}}

где

L j = ∂ ∂ zj + ı zj ¯ ∂ ∂ t, {\ displaystyle L_ {j} = {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {j}}} + \ imath {\ overline {z_ {j}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}},}

L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath \overline {z_{j}}{\frac {\partial }{\partial t}},

- группа левоинвариантные голоморфные векторные поля на группе Гейзенберга. Выражение для лапласиана Кона, приведенное выше, можно переписать следующим образом. Сначала легко проверить, что

[L j, L j ¯] = - 2 ı T, T = ∂ ∂ t, j = 1, 2,…, n {\ displaystyle [L_ {j}, {\ overline {L_ {j}}}] = - 2 \ imath T, T = {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, j = 1,2, \ ldots, n}

[L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2, \ldots,n

Таким образом, мы имеем элементарный расчет:

◻ b = - 1 2 ∑ j = 1 n (L j L j ¯ + L j ¯ L j) + ı n T {\ displaystyle \ Box _ {b} = - {\ frac {1 } {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (L_ {j} {\ overline {L_ {j}}} + {\ overline {L_ {j}}} L_ {j}) + \ imath nT}

\Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{{j=1}}^{n}(L_{j}\overline {L_{j}}+\overline {L_{j}}L_{j})+\imath nT

Первый оператор справа является вещественным оператором и фактически является действительной частью лапласиана Кона. Это называется. Это основной пример того, что называется оператором суммы квадратов Хёрмандера. Это, очевидно, неотрицательно, что можно увидеть через интегрирование по частям. Некоторые авторы определяют сублапласиан с противоположным знаком. В нашем случае мы имеем:

Δ b = - 1 2 ∑ j = 1 n (L j L j ¯ + L j ¯ L j) {\ displaystyle \ Delta _ {b} = - {\ frac {1 } {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (L_ {j} {\ overline {L_ {j}}} + {\ overline {L_ {j}}} L_ {j})}

\Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{{j=1}}^{n}(L_{j}\overline {L_{j}}+\overline {L_{j}}L_{j})

, где символ $Δ b {\ displaystyle \ Delta _ {b}}$ $\Delta _{b}$ является традиционным символом сублапласиана. Таким образом,

◻ b = Δ b + ı n T {\ displaystyle \ Box _ {b} = \ Delta _ {b} + \ imath nT}

\Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT

Примеры

Канонический пример компактного CR-многообразие - это реальная сфера $2 n + 1 {\ displaystyle 2n + 1}$ $2n+1$ как подмногообразие $C n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n + 1 }}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ . Связка $L {\ displaystyle L}$ $L$ , описанная выше, определяется как

L = CTS 2 n + 1 ∩ T 1, 0 C n + 1 {\ displaystyle L = \ mathbb {C } TS ^ {2n + 1} \ cap T ^ {1,0} \ mathbb {C} ^ {n + 1}}

L=\mathbb {C} TS^{2n+1}\cap T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}

где $T 1, 0 C n + 1 {\ displaystyle T ^ { 1,0} \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ $T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}$ - это пучок голоморфных векторов. Настоящая форма этого дается формулой $P = ℜ (L ⊕ L ¯) {\ displaystyle P = \ Re (L \ oplus {\ bar {L}})}$ $P=\Re (L\oplus \bar{L})$ , заданный набор в точке $p ∈ S 2 n + 1 {\ displaystyle p \ in S ^ {2n + 1}}$ $p\in S^{2n+1}$ конкретно с точки зрения сложной структуры, $I {\ displaystyle I}$ $I$ , на $C n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ на

P p = {X ∈ T p S 2 n + 1: IX ∈ T p S 2 n + 1 ⊂ T p C n + 1}, {\ displaystyle P_ {p} = \ {X \ in T_ {p} S ^ {2n + 1}: IX \ in T_ {p} S ^ {2n + 1} \ subset T_ {p} \ mathbb {C} ^ {n + 1} \},}

P_{p}=\{X\in T_{p}S^{2n+1}:IX\in T_{p}S^{2n+1}\subset T_{p}\mathbb {C} ^{n+1}\},

и почти сложная структура на $P {\ displaystyle P}$ $P$ - это просто ограничение $I {\ displaystyle I}$ $I$ . Сфера - это пример CR-многообразия с постоянной положительной вебстеровской кривизной и нулевым кручением Вебстера. Группа Гейзенберга является примером некомпактного CR-многообразия с нулевым кручением Вебстера и нулевой кривизной Вебстера. Расслоение единичной окружности над компактными римановыми поверхностями с родом строго больше 1 также дает примеры CR-многообразий, которые являются сильно псевдовыпуклыми и имеют нулевое кручение Вебстера и постоянную отрицательную кривизну Вебстера. Эти пространства могут быть использованы в качестве пространств сравнения при изучении геодезических и объемных теорем сравнения на CR-многообразиях с нулевым кручением Вебстера, аналогичным теории H.E. Теорема сравнения Рауха в римановой геометрии.

В последние годы были изучены и другие аспекты анализа группы Гейзенберга, например, минимальные поверхности в группе Гейзенберга, проблема Бернштейна в группе Гейзенберга и потоки кривизны.

См. также

Примечания

Ссылки

Леви, Эухенио Элиа (1910), "Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse", Annali di Matematica Pura ed Applicata, s. III (на итальянском языке), XVII (1): 61–87, doi : 10.1007 / BF02419336, JFM 41.0487.01 Внешняя ссылка в | journal =(). Важная статья в теории функций многих комплексных переменных. An English translation of the title reads as: "studies on essential singular points of analytic functions of two or more complex variables".
Boggess, Albert (1991). CR Manifolds and the Tangential Cauchy Riemann Complex. CRC Press.
Hill, D.; Nacinovich, M. (1995). "Duality and distribution cohomology of CR manifolds". Энн. Scuola Norm. Sup. Пиза. 22(2): 315–339. Archived from the original on 2011-06-05. Retrieved 2007-06-03.
Chern S. S.; Moser, J.K. (1974). "Real hypersurfaces in complex manifolds". Acta Math. 133: 219–271. doi :10.1007/BF02392146.

Последняя правка сделана 2021-05-13 12:10:58

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте