Псевдовыпуклость

редактировать

В математика, точнее в теории функций нескольких комплексных переменных, псевдовыпуклое множество - это особый тип открытого множества в n -мерное сложное пространство С . Псевдовыпуклые множества важны, поскольку они позволяют классифицировать области голоморфности.

Пусть

G ⊂ C n {\ displaystyle G \ subset {\ mathbb {C}} ^ {n}}

G \ subset {{\ mathbb {C}}} ^ {n}

быть домен, то есть открытое подключенное подмножество. Говорят, что $G {\ displaystyle G}$ $G$ является псевдовыпуклым (или Hartogs псевдовыпуклым), если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ на $G {\ displaystyle G}$ $G$ такой, что набор

{z ∈ G ∣ φ (z) < x } {\displaystyle \{z\in G\mid \varphi (z)

\ {z \ in G \ mid \ varphi (z) <x \}

является относительно компактным подмножеством $G {\ displaystyle G}$ $G$ для всех действительных чисел $x. {\ displaystyle x.}$ $x.$ Другими словами, домен является псевдовыпуклым, если $G {\ displaystyle G}$ $G$ имеет непрерывную плюрисубгармонику. Каждое (геометрически) выпуклое множество является псевдовыпуклым.

Когда $G {\ displaystyle G}$ $G$ имеет $C 2 {\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ {2}$ (дважды непрерывно дифференцируемая ) граница, это понятие аналогично псевдовыпуклости Леви, с которой легче работать. Более конкретно, с границей $C 2 {\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ {2}$ можно показать, что $G {\ displaystyle G}$ $G$ имеет определяющее функция; т. е. существует $ρ: C n → R {\ displaystyle \ rho: \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $\ rho: {\ mathbb {C}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}}$ , который равен $C 2 {\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ {2}$ , так что $G = {ρ < 0 } {\displaystyle G=\{\rho <0\}}$ $G = \ {\ rho <0 \}$ и $∂ G = {ρ = 0} {\ displaystyle \ partial G = \ {\ rho = 0 \}}$ $\ partial G = \ {\ rho = 0 \}$ . Теперь $G {\ displaystyle G}$ $G$ является псевдовыпуклым, если и только если для каждого $p ∈ ∂ G {\ displaystyle p \ in \ partial G}$ $p \ in \ partial G$ и $w. {\ displaystyle w}$ $w$ в комплексном касательном пространстве в точке p, то есть

∇ ρ (p) w = ∑ i = 1 n ∂ ρ (p) ∂ zjwj = 0 {\ displaystyle \ набла \ rho (p) w = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ rho (p)} {\ partial z_ {j}}} w_ {j} = 0}

\ nabla \ rho (p) w = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {\ partial \ rho (p)} {\ partial z_ {j}}} w_ {j} = 0

, мы имеем

∑ i, j = 1 n ∂ 2 ρ (p) ∂ zi ∂ zj ¯ wiwj ¯ ≥ 0. {\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho (p)} {\ partial z_ {i} \ partial {\ bar {z_ {j}}}}} w_ {i} {\ bar {w_ {j}} } \ geq 0.}

\ sum _ {{ i, j = 1}} ^ {n} {\ frac {\ частичный ^ {2} \ rho (p)} {\ partial z_ {i} \ partial {\ bar {z_ {j}}}}} w_ {i} {\ bar {w_ {j}}} \ geq 0.

Если $G {\ displaystyle G}$ $G$ не имеет границы $C 2 {\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ {2}$ , может пригодиться следующий результат аппроксимации.

Предложение 1 Если $G {\ displaystyle G}$ $G$ псевдовыпукло, то существуют ограниченные сильно псевдовыпуклые области Леви $G k ⊂ G { \ displaystyle G_ {k} \ subset G}$ $G_ {k} \ subset G$ с $C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty}$ (гладкой ) границей, которые относительно компактны в $G {\ displaystyle G}$ $G$ , такое, что

G = ⋃ k = 1 ∞ G k. {\ displaystyle G = \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} G_ {k}.}

G = \ bigcup _ {{k = 1}} ^ {\ infty} G_ {k}.

Это потому, что когда-то у нас есть $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ как и в определении, мы действительно можем найти функцию исчерпания C.

Содержание

1 Случай n = 1
2 См. Также
3 Ссылки
4 Внешние ссылки

Случай n = 1

В одном комплексном измерении каждое открытый домен - псевдовыпуклый. Таким образом, концепция псевдовыпуклости более полезна для измерений выше 1.

См. Также

Литература

Ларс Хёрмандер, Введение в комплексный анализ нескольких переменных, Северная Голландия, 1990. (ISBN 0-444-88446-7 ).
Стивен Г. Кранц. Теория функций из нескольких сложных переменных, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

Эта статья включает материал из Pseudoconvex на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Внешние ссылки

Range, R. Michael (февраль 2012 г.), «ЧТО ТАКОЕ... псевдовыпуклый домен?» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 59 (2): 301–303, doi : 10.1090 / noti798
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]