Задача Ямабе

редактировать

Задача Ямабе относится к гипотезе из математической области дифференциальной геометрии, который был разрешен в 1980-х годах. Это утверждение о скалярной кривизне римановых многообразий :

Пусть (M, g) - замкнутое гладкое риманово многообразие. Тогда существует положительная и гладкая функция f на M такая, что риманова метрика fg имеет постоянную скалярную кривизну.

Вычислив формулу того, как скалярная кривизна fg соотносится с кривизной g, это утверждение можно перефразировать следующим образом form:

Пусть (M, g) - гладкое замкнутое риманово многообразие. Тогда существует положительная и гладкая функция φ на M и число c такие, что

4 (n - 1) n - 2 ∆ g φ + R g φ + c φ (n + 2) / (n - 2) = 0. {\ displaystyle {\ frac {4 (n-1)} {n-2}} \ Delta ^ {g} \ varphi + R ^ {g} \ varphi + c \ varphi ^ {(n + 2) / (n-2)} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {4 (n-1)} {n-2 }} \ Delta ^ {g} \ varphi + R ^ {g} \ varphi + c \ varphi ^ {(n + 2) / (n-2)} = 0.}

Здесь n обозначает размерность M, R обозначает скалярную кривизну g, а ∆ обозначает оператор Лапласа-Бельтрами для g.

Математик Хидехико Ямабе в статье Ямабе (1960) представил вышеуказанные утверждения как теоремы и представил доказательство; однако Трудингер (1968) обнаружил ошибку в своем доказательстве. Проблема понимания того, являются ли приведенные выше утверждения истинными или ложными, стала известна как проблема Ямабе. Совместная работа Ямабе, Трудингера, Тьерри Обена и Ричарда Шона предоставила утвердительное решение проблемы в 1984 году.

Сейчас это считается классической проблемой. в геометрическом анализе, с доказательством, требующим новых методов в области дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных. Решающим моментом в окончательном решении проблемы Шоном было применение теоремы о положительной энергии из общей теории относительности, которая является чисто дифференциально-геометрической математической теоремой, впервые доказанной (в предварительных условиях).) в 1979 году Шоеном и Шинг-Тунг Яу.

Более поздние работы были выполнены благодаря Саймону Брендлу, Маркусу Хури, Фернандо Кода Маркес и Шону, занимающимся торговлей с набором всех положительных и гладких функций f таких, что для данного риманова многообразия (M, g) метрика fg имеет постоянную скалярную кривизну. Кроме того, проблема Ямабе, поставленная в аналогичных условиях, например, для полных некомпактных римановых многообразий, еще полностью не понята.

Содержание

1 Проблема Ямабе в частных случаях
- 1.1 На замкнутом многообразии Эйнштейна
- 1.2 На замкнутом многообразии постоянной кривизны
2 Некомпактный случай
3 См. Также
4 Ссылки
- 4.1 Исследовательские статьи
- 4.2 Учебники

Проблема Ямабе в частных случаях

Здесь мы имеем в виду «решение проблемы Ямабе» на римановом многообразии $(M, g ¯) {\ displaystyle (M, {\ overline {g}})}$ ${\ displaystyle ( M, {\ overline {g}})}$ как риманова метрика g на M, для которой существует положительная гладкая функция $φ: M → R, {\ displaystyle \ varphi: M \ to \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ varphi: M \ to \ mathbb {R},}$ с $г = φ - 2 г ¯. {\ displaystyle g = \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}.}$ ${\ displaystyle g = \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}.}$

На замкнутом многообразии Эйнштейна

Пусть $(M, g ¯) {\ displaystyle (M, {\ overline {g}})}$ ${\ displaystyle ( M, {\ overline {g}})}$ - гладкое риманово многообразие. Рассмотрим положительную гладкую функцию $φ: M → R, {\ displaystyle \ varphi: M \ to \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ varphi: M \ to \ mathbb {R},}$ , так что $g = φ - 2 g ¯ {\ displaystyle g = \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}}$ ${\ displaystyle g = \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}}$ - произвольный элемент гладкого конформного класса $g ¯. {\ displaystyle {\ overline {g}}.}$ ${\ displaystyle {\ overline {g}}.}$ Стандартное вычисление показывает, что

R ¯ ij - 1 n R ¯ g ¯ ij = R ij - 1 n R gij + n - 2 φ ( ∇ i ∇ j φ + 1 ngij Δ φ). {\ displaystyle {\ overline {R}} _ {ij} - {\ frac {1} {n}} {\ overline {R}} {\ overline {g}} _ {ij} = R_ {ij} - { \ frac {1} {n}} Rg_ {ij} + {\ frac {n-2} {\ varphi}} {\ Big (} \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} \ varphi + {\ frac {1} {n}} g_ {ij} \ Delta \ varphi {\ Big)}.}

{\ displaystyle {\ overline {R}} _ {ij} - {\ frac {1} {n}} {\ overline {R}} {\ overline {g}} _ {ij} = R_ { ij} - {\ frac {1} {n}} Rg_ {ij} + {\ frac {n-2} {\ varphi}} {\ Big (} \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} \ varphi + {\ frac {1} {n}} g_ {ij} \ Delta \ varphi {\ Big)}.}

Взяв произведение g-inner с $φ (Ric - 1 n R g) {\ displaystyle \ textstyle \ varphi (\ operatorname {Ric} - {\ frac {1} {n}} Rg)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ varphi (\ operatorname {Ric} - {\ frac {1} {n}} Rg)}$ приводит к

φ ⟨Ric ¯ - 1 n R ¯ g ¯, Ric - 1 n R g ⟩ G = φ | Ric - 1 n R g | g 2 + (n - 2) (⟨Ric, Hess ⁡ φ⟩ g - 1 n R Δ φ). {\ displaystyle \ varphi \ left \ langle {\ overline {\ operatorname {Ric}}} - {\ frac {1} {n}} {\ overline {R}} {\ overline {g}}, \ operatorname {Ric } - {\ frac {1} {n}} Rg \ right \ rangle _ {g} = \ varphi {\ Big |} \ operatorname {Ric} - {\ frac {1} {n}} Rg {\ Big | } _ {g} ^ {2} + (n-2) {\ Big (} {\ big \ langle} \ operatorname {Ric}, \ operatorname {Hess} \ varphi {\ big \ rangle} _ {g} - {\ frac {1} {n}} R \ Delta \ varphi {\ Big)}.}

{\ displaystyle \ varphi \ left \ langle {\ overline {\ operatorname {Ric}}} - {\ frac {1} { n}} {\ overline {R}} {\ overline {g}}, \ operatorname {Ric} - {\ frac {1} {n}} Rg \ right \ rangle _ {g} = \ varphi {\ Big | } \ operatorname {Ric} - {\ frac {1} {n}} Rg {\ Big |} _ {g} ^ {2} + (n-2) {\ Big (} {\ big \ langle} \ operatorname {Ric}, \ operatorname {Hess} \ varphi {\ big \ rangle} _ {g} - {\ frac {1} {n}} R \ Delta \ varphi {\ Big)}.}

Если предполагается $g ¯ {\ displaystyle {\ overline {g}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {g}}}$ чтобы быть Эйнштейном, то левая часть исчезает. Если $M {\ displaystyle M}$ $M$ предполагается замкнутым, то можно выполнить интегрирование по частям, вспомнив тождество Бьянки $div ⁡ Ric = 1 2 ∇ R, {\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {div} \ operatorname {Ric} = {\ frac {1} {2}} \ nabla R,}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {div} \ operatorname {Ric} = {\ frac {1} {2}} \ nabla R,}$ , чтобы увидеть

∫ M φ | Ric - 1 n R g | 2 d μ g = (n - 2) (1 2 - 1 n) ∫ M ⟨∇ R, ∇ φ⟩ d μ g. {\ displaystyle \ int _ {M} \ varphi {\ Big |} \ operatorname {Ric} - {\ frac {1} {n}} Rg {\ Big |} ^ {2} \, d \ mu _ {g } = (n-2) {\ Big (} {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}} {\ Big)} \ int _ {M} \ langle \ nabla R, \ nabla \ varphi \ rangle \, d \ mu _ {g}.}

{\ displaystyle \ int _ {M} \ varphi {\ Big |} \ operatorname {Ric} - {\ frac {1} {n}} Rg {\ Big |} ^ {2} \, d \ mu _ {g} = (n-2) {\ Big (} {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}} {\ Big)} \ int _ {M} \ langle \ nabla R, \ nabla \ varphi \ rangle \, d \ mu _ {g}.}

Если R имеет постоянную скалярную кривизну, то правая часть обращается в нуль. Последующее обращение в нуль левой части доказывает следующий факт, принадлежащий Обате (1971):

Каждое решение проблемы Ямабе на замкнутом многообразии Эйнштейна является решением Эйнштейна.

На замкнутом многообразии постоянной кривизны

Пусть $(M, g ¯) {\ displaystyle (M, {\ overline {g}})}$ ${\ displaystyle ( M, {\ overline {g}})}$ - замкнутое риманово многообразие постоянной кривизны. Пусть $φ: M → R {\ displaystyle \ textstyle \ varphi: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ varphi: M \ to \ mathbb {R}}$ - положительная гладкая функция, так что риманова метрика $φ - 2 g ¯ {\ displaystyle \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}}$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}}$ имеет постоянную скалярную кривизну. Как установлено выше, $φ - 2 g ¯ {\ displaystyle \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}}$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}}$ является метрикой Эйнштейна. Поскольку она конформна метрике с исчезающей кривизной Вейля, она сама имеет исчезающую кривизну Вейля. Из разложения Вейля следует, что выполнены условия леммы Шура для тензора Римана; вывод леммы Шура состоит в том, что $φ - 2 g ¯ {\ displaystyle \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}}$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {- 2} {\ overline {g}}}$ имеет постоянную кривизну. Вкратце:

Каждое решение проблемы Ямабе на замкнутом многообразии с постоянной кривизной имеет постоянную кривизну.

В особом случае, $(M, g ¯) {\ displaystyle (M, {\ overline { g}})}$ ${\ displaystyle ( M, {\ overline {g}})}$ - стандартная n-сфера, отсюда следует, что каждое решение проблемы Ямабе имеет постоянную положительную кривизну, поскольку n-сфера не поддерживает никаких метрик неположительной кривизны; в противном случае возникло бы противоречие с теоремой Картана-Адамара. Поскольку любые две римановы метрики на сфере с одинаковой постоянной кривизной изометричны, можно сделать вывод:

Пусть $g ¯ {\ displaystyle {\ overline {g}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {g}}}$ обозначает стандартную Риманова метрика на $S n. {\ displaystyle S ^ {n}.}$ ${\ displaystyle S ^ {n}.}$ Каждое решение проблемы Ямабе на $(S n, g ¯) {\ displaystyle (S ^ {n}, {\ overline {g}})}$ ${\ displ aystyle (S ^ {n}, {\ overline {g}})}$ имеет вид $α Φ ∗ g ¯ {\ displaystyle \ alpha \ Phi ^ {\ ast} {\ overline {g}}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ Phi ^ {\ ast} {\ overline {g}}}$ для положительного числа $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и диффеоморфизм $Φ: S n → S n {\ displaystyle \ Phi: S ^ {n} \ to S ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Phi: S ^ {n} \ к S ^ {n}}$ .

Некомпактный случай

Близким к этому вопросу является так называемая «некомпактная проблема Ямабе», которая спрашивает: верно ли, что на каждом гладком полном римановом многообразии (M, g) некомпактный, существует метрика, конформная g, имеющая постоянную скалярную кривизну и также полная? Ответ отрицательный, из-за контрпримеров, приведенных Джином (1988). Известны различные дополнительные критерии, с помощью которых можно показать, что решение проблемы Ямабе для некомпактного многообразия существует (например, Aviles McOwen (1988)); Однако получение полного понимания того, когда проблема может быть решена в некомпактном случае, остается предметом исследования.

См. Также

Ссылки

Исследовательские статьи

Обен, Тьерри (1976), «Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe. la Courbure scalaire ", J. Math. Pures Appl., 55 : 269–296
Aviles, P.; McOwen, R. C. (1988), "Конформная деформация к постоянной отрицательной скалярной кривизне на некомпактных римановых многообразиях", J. Differ. Геом., 27 (2): 225–239, doi : 10.4310 / jdg / 1214441781, MR 0925121
Джин, Жирень (1988), "A Контрпример к проблеме Ямабе для полных некомпактных многообразий », Лект. Notes Math., Lecture Notes in Mathematics, 1306 : 93–101, doi : 10.1007 / BFb0082927, ISBN 978 -3-540-19097-4
Ли, Джон М.; Паркер, Томас Х. (1987), «Проблема Ямабе», Бюллетень Американского математического общества, 17 : 37–81, doi : 10.1090 / s0273-0979-1987-15514-5.
Обата, Морио (1971), «Гипотезы о конформных преобразованиях римановых многообразий», J. Дифференциальная геометрия, 6 : 247–258, doi : 10.4310 / jdg / 1214430407, MR 0303464
Schoen, Richard (1984), «Конформная деформация римановой метрики до постоянной скалярной кривизны», J. Differ. Geom., 20 (2): 479–495, doi : 10.4310 / jdg / 1214439291
Трудингер, Нил С. (1968), «Замечания о конформной деформации римановых структур на компактных многообразиях», Ann. Scuola Norm. Sup. Пиза (3), 22 : 265–274, MR 0240748
Ямабе, Хидехико (1960), «О деформации римановых структур на компактных многообразиях», Осака Журнал математики, 12 : 21–37, ISSN 0030-6126, MR 0125546

Учебники

Обен, Тьерри. Некоторые нелинейные задачи римановой геометрии. Монографии Спрингера по математике. Springer-Verlag, Berlin, 1998. xviii + 395 pp. ISBN 3-540-60752-8
Schoen, R.; Яу, С.-Т. Лекции по дифференциальной геометрии. Конспекты лекций подготовили Вэй Юэ Дин, Кунг Чинг Чанг [Гун Цин Чжан], Цзя Цин Чжун и И Чао Сюй. Перевод с китайского Дин и С.Я. Ченг. С предисловием, переведенным с китайского Кайсинг Цо. Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v + 235 pp. ISBN 1-57146-012-8
Struwe, Майкл. Вариационные методы. Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. Четвертый выпуск. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 34. Springer-Verlag, Berlin, 2008. xx + 302 pp. ISBN 978-3-540-74012-4