Удельный угловой момент

См. Также: Классический центральный проблема силы

В небесной механике удельный угловой момент $h\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\}$играет ключевую роль роль в анализе задачи двух тел. Можно показать, что это постоянный вектор для заданной орбиты в идеальных условиях. Это, по сути, доказывает второй закон Кеплера.

Он называется специфическим угловым импульс быть потому что это не фактический угловой момент $L\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{L\}\}\}$, а угловой момент на массу. Таким образом, слово «конкретный » в этом термине является сокращением от «массового» или разделенного на массу:

$h\; \to \; =\; L\; \to \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{L\}\}\; \{m\}\}\}$

Таким образом, единица СИ : m ·s. $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$обозначает приведенная масса $1\; м\; =\; 1\; м\; 1\; +\; 1\; м\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\_\; \{2\}\}\}\}$.

• 1 Определение
• 2 Доказательство того, что удельный относительный угловой момент постоянен при идеальных условиях
  • 2.1 Предпосылки
  • 2.2 Доказательство
• 3 Законы движения планет Кеплера
  • 3.1 Первый закон
  • 3.2 Второй закон
  • 3.3 Третий закон
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

удельный относительный угловой момент определяется как кросс-произведение относительного вектора положения $r\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}$и вектор относительной скорости $v\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\}$.

$h\; \to \; =\; r\; \to \; \times \; v\; \to \; =\; L\; \to \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\; \}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{L\}\}\; \{m\}\}\}$

Вектор $h\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\}$всегда перпендикулярен мгновенному движущаяся плоскость орбиты, которая совпадает с мгновенной возмущенной орбитой. Она не обязательно будет перпендикулярна средней плоскости, на которую приходятся многие годы возмущений.

Как обычно в физике, величина векторной величины $h\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\}$обозначается $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$:

$h\; =\; \Vert \; h\; \to \; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\}$

Предварительные условия

Следующее действительно только при упрощениях, также примененных к закону всемирного тяготения Ньютона.

Смотрим на две точечные массы $m\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\}$и $m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{2\}\}$на расстоянии $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$друг от друга и с помощью силы тяжести $F\; \to \; =\; G\; m\; 1\; m\; 2\; r\; 2\; r\; \to \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{F\}\}\; =\; G\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \{r\}\}\}$действует между ними. Эта сила действует мгновенно на любом расстоянии и является единственной действующей силой. Система координат инерциальная.

Дальнейшее упрощение $m\; 1\; \gg \; m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\; \backslash \; gg\; m\_\; \{2\}\}$предполагается ниже. Таким образом, $m\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\}$является центральным телом в начале системы координат, а $m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{2\}\; \}$- это спутник, вращающийся вокруг него. Теперь приведенная масса также равна $m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{2\}\}$, а уравнение задачи двух тел:

$r\; \to \; ¨\; =\; -\; \mu \; r\; 2\; r\; \to \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \{r\}\}\}$

со стандартным параметром гравитации $\mu \; =\; G\; m\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; Gm\_\; \{1\}\}$и вектором расстояний $r\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}$(абсолютное значение $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$), который указывает от начала координат (центрального тела) на спутник из-за его незначительной массы.

Важно не путать гравитационный параметр $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$с приведенной массой, которая иногда также обозначается той же буквой $\mu \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$.

Proof

Вектор расстояния $r\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}$, вектор скорости $v\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\}$, истинная аномалия $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$и угол траектории полета $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$из $m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{2\}\}$на орбите вокруг $m\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\}$. Также изображены наиболее важные измерения эллипса (среди которых обратите внимание, что истинная аномалия $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$помечена как $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$).

Удельный относительный угловой момент можно получить, умножив (перекрестное произведение) уравнение задачи двух тел на вектор расстояния $r\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\; r\}\}\}$

$r\; \to \; \times \; r\; \to \; ¨\; =\; -\; r\; \to \; \times \; \mu \; r\; 2\; r\; \to \; r\; =\; -\; \mu \; r\; 3\; (r\; \to \; \times \; r\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \{r\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\}$

Перекрестное произведение вектора на себя (правая часть) равна 0. Левая часть упрощается до

$r\; \to \; \times \; r\; \to \; ¨\; =\; r\; \to \; \dot{}\; \times \; r\; \to \; \dot{}\; +\; r\; \to \; \times \; r\; \to \; ¨\; =\; d\; (r\; \to \; \times \; r\; \to \; \dot{})\; dt\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{r)\; \}\}\}\backslash верно)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; =\; 0\}$

согласно правилу произведения дифференциации.

Это означает, что $r\; \to \; \times \; r\; \to \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\}$является постоянным (т. е. сохраняемая величина ). И это в точности момент количества движения, приходящийся на массу спутника:

$h\; \to \; =\; r\; \to \; \times \; r\; \to \; \dot{}\; is\; const.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; \{\backslash \; text\; \{is\; const.\}\}\}$

Этот вектор перпендикулярен В плоскости орбиты орбита остается в этой плоскости, потому что угловой момент постоянен.

Более глубокое понимание проблемы двух тел можно получить с помощью определений угла траектории полета $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$и поперечной и радиальной составляющих скорости. вектор (см. иллюстрацию справа). Следующие три формулы представляют собой эквивалентные возможности для вычисления абсолютного значения вектора удельного относительного углового момента

• $h\; =\; rv\; cos\; \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; rv\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\}$
• $h\; =\; r\; 2\; \theta \; \dot{}\; \{\; \backslash \; displaystyle\; h\; =\; r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\}$
• $h\; =\; \mu \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; p\}\}\}$

где $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$называется прямой кишкой кривой.

Законы движения планет Кеплера могут быть доказаны почти напрямую с помощью приведенных выше соотношений.

Первый закон

Доказательство снова начинается с уравнения задачи двух тел. На этот раз его умножают (перекрестное произведение) на удельный относительный угловой момент

$r\; \to \; ¨\; \times \; h\; \to \; =\; -\; \mu \; r\; 2\; r\; \to \; r\; \times \; h\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\}$

Левая часть равна производной $ddt\; (r\; \to \; \dot{}\; \times \; h\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; точка\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; right)\}$, потому что угловой момент постоянен.

После нескольких шагов правая часть принимает вид:

$-\; \mu \; r\; 3\; (r\; \to \; \times \; h\; \to )\; =\; -\; \mu \; r\; 3\; ((r\; \to \; \cdot \; v\; \to )\; r\; \to \; -\; r\; 2\; v\; \to )\; Знак\; равно\; -\; (\mu \; р\; 2\; р\; \dot{}\; r\; \to \; -\; \mu \; rv\; \to )\; =\; \mu \; ddt\; (r\; \to \; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{r\; \}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{\; v\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; -\; r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\; \backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mu\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\}$

Уравнивание этих двух выражений и интегрирование по времени приводит к (с постоянной интегрирования $C\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{C\}\}\}$)

$r\; \to \; \dot{}\; \times \; h\; \to \; =\; \mu \; r\; \to \; r\; +\; C\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; =\; \backslash \; mu\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \{r\}\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{C\}\}\}$

Теперь это уравнение умножается (скалярное произведение ) на $r\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}$и переставил

$r\; \to \; \cdot \; (r\; \to \; \dot{}\; \times \; h\; \to )\; =\; r\; \to \; \cdot \; (\mu \; r\; \to \; r\; +\; C\; \to )\; \Rightarrow \; (r\; \to \; \times \; r\; \to \; \dot{})\; \cdot \; h\; \to \; =\; \mu \; r\; +\; r\; C\; cos\; \; \theta \; \Rightarrow \; час\; 2\; знак\; равно\; \mu \; р\; +\; р\; С\; соз\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \{r\}\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{C\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; \backslash \backslash \; Rightarrow\; \{\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{h\}\}\; =\; \backslash \; mu\; r\; +\; rC\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; \{\}\; h\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; mu\; r\; +\; rC\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В итоге получается уравнение орбиты

$r\; =\; h\; 2\; \mu \; 1\; +\; C\; \mu \; соз\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{h\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{\backslash \; mu\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; \}$

который представляет собой уравнение конического сечения в полярных координатах с полу-широтой прямой кишки $p\; =\; h\; 2\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \{\backslash \; frac\; \{h\; ^\; \{2\}\}\; \{\; \backslash \; mu\}\}\}$и эксцентриситет $e\; =\; C\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{\backslash \; mu\}\}\}$. Это доказывает первый закон Кеплера словами:

Орбита планеты представляет собой эллипс с Солнцем в одном фокусе.

— Иоганн Кеплер, Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis,

Второй закон

Второй закон немедленно следует из второго из трех уравнений для вычисления абсолютного значения удельного относительного момента количества движения.

Если соединить эту форму уравнения $dt\; =\; r\; 2\; hd\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{h\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\}$с отношением $d\; A\; =\; r\; 2\; 2\; d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\}$для площади сектора с бесконечно малым углом $d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\}$(треугольник с одной очень маленькой стороной), уравнение

$dt\; =\; 2\; hd\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{h\}\}\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; A\}$

выходит, это математическая формулировка слов:

Линия, соединяющая планету с Солнцем, сметает равные области в равное время.

— Иоганн Кеплер, Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis,

Третий закон

Третий закон Кеплера является прямым следствием второго закона. Интегрирование за один оборот дает период обращения

$T\; =\; 2\; \pi \; abh\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; ab\}\; \{h\}\}\}$

для области $\pi \; ab\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; ab\}$эллипса. Замена малой полуоси на $b\; =\; ap\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{ap\}\}\}$и удельный относительный угловой момент на $h\; =\; \mu \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; p\}\}\}$получается

$T\; =\; 2\; \pi \; a\; 3\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; mu\}\}\}\}$

Таким образом, существует связь между большой полуосью и периодом обращения спутника, которая может быть уменьшена до постоянной для центрального тела. Это то же самое, что и знаменитая формулировка закона:

Квадрат периода планеты пропорционален кубу ее среднего расстояния до Солнца.

— Иоганн Кеплер, Harmonices Mundi libri V,

• Удельная орбитальная энергия, еще одна сохраняемая величина в задаче двух тел.