Истинная аномалия

редактировать

Истинная аномалия точки P - это угол f. Центр эллипса - точка C, фокус - точка F.

В небесной механике, истинная аномалия - это угловой параметр, который определяет положение тела, движущегося по кеплеровской орбите. Это угол между направлением перицентра и текущим положением тела, если смотреть из основного фокуса эллипса (точки, вокруг которой вращается объект).

Истинная аномалия обычно обозначается греческими буквами ν или θ или латинской буквой f и обычно ограничивается диапазоном 0–360 ° ( 0–2π).

Как показано на изображении, истинная аномалия f - это один из трех угловых параметров (аномалий), которые определяют положение на орбите, два других - эксцентрическая аномалия и средняя аномалия.

Содержание

1 Формулы
- 1.1 Из векторов состояния
  - 1.1.1 Круговая орбита
  - 1.1.2 Круговая орбита с нулевым наклоном
- 1.2 Из эксцентрической аномалии
- 1.3 От средней аномалии
- 1.4 Радиус от истинной аномалии
2 См. Также
3 Ссылки
4 Дополнительная литература
5 Внешние ссылки

Формулы

Из векторов состояний

Для эллиптических орбит истинная аномалия ν может быть вычислена из векторов орбитального состояния как:

ν = arccos ⁡ e ⋅ r | е | | г | {\ displaystyle \ nu = \ arccos {{\ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {r}} \ over {\ mathbf {\ left | e \ right |} \ mathbf {\ left | r \ right |}}} }

\ nu = \ arccos {{\ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {r}} \ over {\ mathbf {\ left | e \ right |} \ mathbf {\ left | r \ right |}}}

(если r⋅ v< 0 then replace ν by 2π − ν)

, где:

v- это вектор орбитальной скорости движущегося по орбите тела,
e- это вектор эксцентриситета,,
r- это орбитальная позиция вектор (сегмент FP на рисунке) вращающегося тела.

Круговая орбита

Для круговых орбит истинная аномалия не определена, потому что круговые орбиты не имеют однозначной определяется периапсис. Вместо этого используется аргумент широты u:

u = arccos ⁡ n ⋅ r | n | | r | {\ displaystyle u = \ arccos {{\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r}} \ over {\ mathbf {\ left | n \ right |} \ mathbf {\ left | r \ right |}}}}

u = \ arccos {{\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r}} \ over {\ mathbf {\ left | n \ right |} \ mathbf {\ left | r \ right |}}}

(если r z< 0 then replace u by 2π − u)

, где:

n- вектор, указывающий на восходящий узел (т. е. z-компонента n равна нулю).
rz- это z-компонента вектора орбитальной позиции r

Круговая орбита с нулевым наклоном

Для круговых орбит с нулевым наклоном аргумент широты itude также не определен, потому что не существует однозначно определенной линии узлов. Вместо этого используется истинная долгота :

l = arccos ⁡ r x | г | {\ displaystyle l = \ arccos {r_ {x} \ over {\ mathbf {\ left | r \ right |}}}}

l = \ arccos {r_x \ over {\ mathbf {\ left | r \ right |}} }

(если v x>0, замените l на 2π - l)

где:

rx- x-компонента вектора орбитальной позиции ; r
vx- x-компонента вектора орбитальной скорости v.

От эксцентрической аномалии

Связь между истинной аномалией ν и эксцентрической аномалией E:

cos ⁡ ν = cos ⁡ E - e 1 - e cos ⁡ E {\ displaystyle \ cos {\ nu} = {{\ cos {E} -e} \ over {1-e \ cos {E}}}}

{\ displaystyle \ cos {\ nu} = {{\ cos { E} -e} \ over {1-e \ cos {E}}}}

или используя синус и тангенс :

sin ⁡ ν = 1 - e 2 грех ⁡ E 1 - e cos ⁡ E tan ⁡ ν = грех ⁡ ν cos ⁡ ν = 1 - e 2 sin ⁡ E cos ⁡ E - e {\ displaystyle {\ begin {align} \ sin {\ nu} = {{{\ sqrt {1-e ^ {2} \,}} \ sin {E}} \ over {1-e \ cos {E}}} \\ [4pt] \ tan {\ nu} = {{\ sin {\ nu}} \ over {\ cos {\ nu}}} = {{{\ sqrt {1-e ^ {2} \,}} \ sin {E}} \ over {\ cos {E} -e}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin {\ nu} = {{{\ sqrt {1- e ^ {2} \,}} \ sin {E}} \ over {1-e \ cos {E}}} \\ [4pt] \ tan {\ nu} = {{\ sin {\ nu}} \ над {\ cos {\ nu}}} = {{{\ sqrt {1-e ^ {2} \,}} \ sin {E}} \ над {\ cos {E} -e}} \ end { выровнено}}}

или эквивалентно:

tan ⁡ ν 2 = 1 + e 1 - e tan ⁡ E 2 {\ displaystyle \ tan {\ nu \ over 2} = {\ sqrt {{1 + e \,} \ over {1-e \,}}} \ tan {E \ over 2}}

{\ displaystyle \ tan {\ nu \ over 2} = {\ sqr t {{1 + е \,} \ над {1-е \,}}} \ tan {E \ over 2}}

, поэтому

ν = 2 дуги загар ⁡ (1 + е 1 - е загар ⁡ Е 2) {\ displaystyle \ nu = 2 \, \ operatorname {arctan} \ left (\, {\ sqrt {{1 + e \,} \ over {1-e \,}}} \ tan {E \ over 2} \, \ right)}

{\ displaystyle \ nu = 2 \, \ operatorname {arctan} \ left (\, {\ sqrt {{1 + e \,} \ over {1-e \, }}} \ tan {E \ over 2} \, \ right)}

Эквивалентная форма избегает сингулярности при e → 1, однако она не дает правильного значения для $ν {\ displaystyle \ nu \,}$ $\ nu \,$ :

ν = 2 arg ⁡ (1 - e cos ⁡ E 2, 1 + e sin ⁡ E 2) {\ displaystyle \ nu = 2 \, \ operatorname {arg} \ left ({\ sqrt { 1-e \,}} \, \ cos {\ frac {E} {2}}, \; {\ sqrt {1 + e \,}} \ sin {\ frac {E} {2}} \ right) }

{\ displaystyle \ nu = 2 \, \ operatorname {arg} \ left ({\ sqrt {1-e \,}} \, \ cos {\ frac {E} {2}}, \; {\ sqrt {1 + e \,}} \ sin {\ frac {E} {2}} \ right)}

или, с той же проблемой, что и e → 1,

ν = arg ⁡ (cos ⁡ E - e, 1 - e 2 sin ⁡ E) {\ displaystyle \ nu = \ operatorname {arg} \ left (\ cos {E} -e, \; {\ sqrt {1-e ^ {2} \,}} \ sin {E} \ right)}

{\ displaystyle \ nu = \ operatorname {arg} \ left (\ cos {E} -e, \; {\ sqrt { 1-e ^ {2} \,}} \ sin {E} \ right)}

В обоих приведенных выше случаях функция arg (x, y) - полярный аргумент вектора (xy), доступный во многих языках программирования как библиотечная функция с именем atan2 (y, x ) (обратите внимание на обратный порядок x и y).

Из средней аномалии

Истинную аномалию можно рассчитать непосредственно из средней аномалии с помощью разложения Фурье :

ν = M + (2 e - 1 4 e 3) грех ⁡ M + 5 4 e 2 sin ⁡ 2 M + 13 12 e 3 sin ⁡ 3 M + O ⁡ (e 4) {\ displaystyle \ nu = M + \ left (2e - {\ frac { 1} {4}} e ^ {3} \ right) \ sin {M} + {\ frac {5} {4}} e ^ {2} \ sin {2M} + {\ frac {13} {12} } e ^ {3} \ sin {3M} + \ operatorname {O} \ left (e ^ {4} \ right)}

{\ displaystyle \ nu = M + \ left (2e - {\ frac {1} {4}} e ^ {3} \ right) \ sin {M} + {\ frac {5} {4}} e ^ {2} \ sin {2M} + {\ frac {13} {12}} e ^ {3} \ sin {3M} + \ operatorname {O} \ left (e ^ {4} \ right)}

, где $O ⁡ (e 4) {\ displaystyle \ operatorname {O } \ left (e ^ {4} \ right)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {O} \ left (e ^ {4} \ right)}$ означает, что все пропущенные термины имеют порядок e или выше. Обратите внимание, что из соображений точности это приближение обычно ограничивается орбитами с небольшим эксцентриситетом (e).

Выражение $ν - M {\ displaystyle \ nu -M}$ ${\ displaystyle \ nu -M}$ известно как уравнение центра.

Радиус от истинной аномалии

Радиус (расстояние от фокуса притяжения и движущегося по орбите тела) связан с истинной аномалией по формуле

r = a 1 - e 2 1 + e cos ⁡ ν {\ displaystyle r = a \, { 1-e ^ {2} \ over 1 + e \ cos \ nu} \, \!}

{\ displaystyle r = a \, {1-e ^ {2} \ over 1 + е \ соз \ ню} \, \!}

где a - большая полуось орбиты.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Murray, CD Dermott, SF, 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-57597-4
Пламмер, Х.С., 1960, Вводный трактат по динамической астрономии, Dover Publications, Нью-Йорк. OCLC 1311887 (Перепечатка издания Cambridge University Press, 1918 г.)

Внешние ссылки

Федеральное управление гражданской авиации - описание орбит