Курчавая квадратная антипризма

Плоская квадратная антипризма
Тип	Джонсон. J84 - J85- J86
Лица	8 + 16 треугольников. 2 квадратов
Ребра	40
Вершины	16
Конфигурация вершин	8 (3). 8 (3.4)
Группа симметрии	D4d
Двойной многогранник	-
Свойства	выпуклая
Сетка

В геометрии курносая квадратная антипризма является одной из квадратной антипризмы твердые тела (J85). Тело Джонсона - это один из 92 строго выпуклых многогранников, который состоит из правильных многоугольников граней, но не однородных многогранники (то есть они не являются платоновыми телами, архимедовыми телами, призмами или антипризмами ). Их назвал Норман Джонсон, который впервые перечислил эти многогранники в 1966 году.

Это одно из элементарных тел Джонсона, которые не возникают в результате манипуляций «вырезать и вставить» Платоновы и Архимедовы твердые тела, хотя это родственник икосаэдра, который имеет четырехчастную симметрию вместо трехчастной.

• 1 Конструкция
• 2 Декартовы координаты
• 3 Плоские антипризмы
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Плоская квадратная антипризма сконструирована как ее Название предполагает, что квадратная антипризма, которая пренебрежительно и представлена ​​как ss {2,8}, с s {2,8} как квадратная антипризма. Его можно построить в нотации многогранника Конвея как sY4 (курносая квадратная пирамида).

Он также может быть построен как квадрат gyrobianticupolae, соединяющий две антикуполы с вращающейся ориентацией.

Пусть k ≈ 0,82354 - положительный корень кубического многочлена

$9\; x\; 3\; +\; 3\; 3\; (5\; -\; 2)\; x\; 2\; -\; 3\; (5\; -\; 2\; 2)\; х\; -\; 17\; 3\; +\; 7\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; 9x\; ^\; \{3\}\; +3\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; (5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; x\; ^\; \{2\}\; -3\; (5-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; x-17\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; 7\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}.\}$

Кроме того, пусть h ≈ 1,35374 определяется как

$h\; =\; 2\; +\; 8\; +\; 2\; 3\; k\; -\; 3\; (2\; +\; 2)\; k\; 2\; 4\; 3\; -\; 3\; к\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; 8\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; k-3\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; k\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{3-3k\; ^\; \{2\}\}\}\}\}.\}$

Тогда декартовы координаты плоской квадратной антипризмы с длиной ребра 2 даются объединением орбит точек

$(1,\; 1,\; h),\; (1\; +\; 3\; k,\; 0,\; h\; -\; 3\; -\; 3\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (1,1,\; h),\; \backslash ,\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; k,\; 0,\; h\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3-3k\; ^\; \{2\}\}\})\}$

под действием группы , созданной поворотом вокруг оси z на 90 ° и поворот на 180 ° вокруг прямой линии, перпендикулярной оси z, и образующий угол 22,5 ° с осью x.

Затем мы можем вычислить площадь плоского квадрата длины ребра a как

$A\; =\; (2\; +\; 6\; 3)\; a\; 2\; \approx \; 12.39230\; a\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; (2\; +\; 6\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; 12.39230a\; ^\; \{2\},\}$

и его объем как

$V\; =\; \xi \; a\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; xi\; a\; ^\; \{3\},\}$

где ξ ≈ 3,60122 - Наибольший действительный корень многочлена

$531441\; x\; 12\; -\; 85726026\; x\; 8\; -\; 48347280\; x\; 6\; +\; 11588832\; x\; 4\; +\; 4759488\; x\; 2\; -\; 892448.\; \{\backslash \; di\; splaystyle\; 531441x\; ^\; \{12\}\; -85726026x\; ^\; \{8\}\; -48347280x\; ^\; \{6\}\; +\; 11588832x\; ^\; \{4\}\; +\; 4759488x\; ^\; \{2\}\; -892448.\}$

Аналогично построенные, ss {2,6} - курносая треугольная антипризма (более низкая симметрия октаэдр ), в результате получается правильный икосаэдр. Курносая пятиугольная антипризма, ss {2,10} или более высокие n-антипризмы могут быть сконструированы аналогичным образом, но не как выпуклый многогранник с равносторонними треугольниками. Предыдущее тело Джонсона, курносый дисфеноид также подходит по конструкции как ss {2,4}, но необходимо сохранить две вырожденные двуугольные грани (нарисованные красным) в двуугольная антипризма.

курносая антипризма

Симметрия	D2d, [2,4], (2 * 2)	D3d, [2,6], (2 * 3)	D4d, [2,8], (2 * 4)	D5d, [2,10], (2 * 5)
Антипризмы	. s {2,4}. A2. . (v: 4; e: 8; f: 6)	. s {2,6}. A3. . (v: 6; e: 12; f: 8)	. s {2,8}. A4. . (v: 8; e: 16; f: 10)	. s {2,10}. A5. . (v: 10; e: 20; f: 12)
Усеченные. антипризмы	. ts {2,4}. tA2. ( v: 16; e: 24; f: 10)	. ts{2,6}. tA3. (v: 24; e: 36; f: 14)	. ts {2, 8}. tA4. (v: 32; e: 48; f: 18)	.. tA5. (v: 40; e: 60; f: 22)
Симметрия	D2, [2,2], (222)	D3, [3,2], (322)	D4, [4,2], (422)	D5, [5,2 ], (522)
Курносом. антипризмы	J84	Икосаэдр	J85	вогнутый
		sY3 = HtA3	sY4 = HtA4	sY5 = HtA5
	. ss{2,4}. (v: 8; e: 20; f: 14)	. ss {2,6}. (v: 12; e: 30; f: 20)	. ss {2,8}. (v : 16; е: 40; f: 26)	. ss{2,10}. (v: 20; e: 50; f: 32)

• Eric W. Weisstein, Snub square antiprism (Johnson solid ) в MathWorld.