Поперечная кривизна

редактировать

В римановой геометрии поперечная кривизна является одним из способов описания кривизна римановых многообразий. Секционная кривизна K (σ p) зависит от двумерного линейного подпространства σ p касательного пространства в точке p многообразия. Его можно геометрически определить как гауссову кривизну поверхности , которая имеет плоскость σ p в качестве касательной в точке p, полученную из геодезических, которые начинаются в p в направлениях σ p (другими словами, изображение σ p под экспоненциальным отображением в p). Секционная кривизна - это вещественная функция на 2- грассманиановом расслоении над многообразием.

Кривизна сечения полностью определяет тензор кривизны .

Содержание

1 Определение
2 Многообразия с постоянной секционной кривизной
- 2.1 Модельные примеры
3 Масштабирование
4 Теорема Топоногова
5 Многообразия с неположительной секционной кривизной
6 Коллекторы с положительной кривизной сечения
7 Коллекторы с неотрицательной кривизной сечения
8 Коллекторы с почти плоской кривизной
9 Коллекторы с почти неотрицательной кривизной
10 Ссылки
11 См. Также

Определение

Учитывая риманово многообразие и два линейно независимых касательных вектора в одной и той же точке, u и v, мы можем определить

К (u, v) знак равно ⟨р (u, v) v, u⟩ ⟨u, u⟩ ⟨v, v⟩ - ⟨u, v⟩ 2 {\ displaystyle K (u, v) = {\ langle R (u, v) v, u \ rangle \ over \ langle u, u \ rangle \ langle v, v \ rangle - \ langle u, v \ rangle ^ {2}}}

K (u, v) = {\ langle R (u, v) v, u \ rangle \ over \ langle u, u \ rangle \ langle v, v \ rangle - \ langle u, v \ rangle ^ {2}}

Здесь R - это Тензор кривизны Римана, определенный здесь по соглашению $R (u, v) w = ∇ u ∇ vw - ∇ v ∇ uw - ∇ [u, v] w. {\ Displaystyle Р (и, v) вес = \ набла _ {и} \ набла _ {v} ш- \ набла _ {v} \ набла _ {и} ш- \ набла _ {[и, v]} ш.}$ ${\ displaystyle R (u, v) w = \ nabla _ {u} \ nabla _ {v} w- \ nabla _ {v} \ nabla _ {u} w- \ nabla _ {[u, v]} w.}$ В некоторых источниках используется противоположное соглашение $R (u, v) w = ∇ v ∇ uw - ∇ u ∇ vw - ∇ [v, u] w, {\ displaystyle R (u, v) w = \ nabla _ {v} \ nabla _ {u} w- \ nabla _ {u} \ nabla _ {v} w- \ nabla _ {[v, u]} w,}$ ${\ displaystyle R (u, v) w = \ nabla _ {v} \ nabla _ {u} w- \ nabla _ {u} \ nabla _ { v} w- \ nabla _ {[v, u]} w,}$ , и в этом случае K (u, v) должно быть определено как $⟨R (u, v) u, v⟩ {\ displaystyle \ langle R (u, v) u, v \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle R (u, v) u, v \ rangle}$ в числителе вместо $⟨R (u, v) v, u⟩. {\ displaystyle \ langle R (u, v) v, u \ rangle.}$ ${\ displaystyle \ langle R (u, v) v, u \ rangle.}$

Обратите внимание, что линейная независимость u и v заставляет знаменатель в приведенном выше выражении быть ненулевым, так что K (u, v) равно четко определенный. В частности, если u и v ортонормированы, то определение принимает простой вид

K (u, v) = ⟨R (u, v) v, u⟩. {\ displaystyle K (u, v) = \ langle R (u, v) v, u \ rangle.}

К (u, v) = \ langle R (u, v) v, u \ rangle.

Несложно проверить, что если $u, v ∈ T p M {\ displaystyle u, v \ in T_ {p} M}$ ${\ displaystyle u, v \ in T_ {p} M}$ линейно независимы и охватывают одно и то же двумерное линейное подпространство $T p M {\ displaystyle T_ {p} M}$ $T_ {p} M$ как $x, y ∈ T p M {\ displaystyle x, y \ in T_ {p} M}$ ${\ displaystyle x, y \ in T_ {p} M}$ , тогда $K (u, v) = K (x, y). {\ displaystyle K (u, v) = K (x, y).}$ ${\ displaystyle K (u, v) = K (x, y).}$ Таким образом, можно рассматривать секционную кривизну как вещественнозначную функцию, входом которой является двумерное линейное подпространство касательного пространства.

Коллекторы с постоянной поперечной кривизной

Говорят, что риманово многообразие имеет «постоянную кривизну $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ », если $сек ⁡ (P) = κ {\ displaystyle \ operatorname {sec} (P) = \ kappa}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sec} (P) = \ kappa}$ для всех двумерных линейных подпространств $P ⊂ T p M {\ displaystyle P \ subset T_ {p } M}$ ${\ displaystyle P \ subset T_ {p} M}$ и для всех $p ∈ M. {\ displaystyle p \ in M.}$ ${\ displaystyle p \ in M.}$

лемма Шура утверждает, что если (M, g) - связное риманово многообразие с размерностью не менее трех, и если существует функция $f : M → R {\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: M \ to \ mathb б {R}}$ так, что $sec ⁡ (P) = f (p) {\ displaystyle \ operatorname {sec} (P) = f (p)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sec} (P) = f (p)}$ для всех двумерных линейных подпространств $P ⊂ T p M {\ displaystyle P \ subset T_ {p} M}$ ${\ displaystyle P \ subset T_ {p} M}$ и для всех $p ∈ M, {\ displaystyle p \ in M,}$ ${\ displaystyle p \ in M,}$ тогда f должно быть постоянным и, следовательно, (M, g) имеет постоянную кривизну.

Риманово многообразие с постоянной секционной кривизной называется пространственной формой. Если $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ обозначает постоянное значение поперечной кривизны, то тензор кривизны может быть записан как

R (u, v) w = κ (⟨v, вес⟩ U - ⟨U, вес⟩ v) {\ displaystyle R (u, v) w = \ kappa {\ big (} \ langle v, w \ rangle u- \ langle u, w \ rangle v {\ big) }}

{\ displaystyle R (u, v) w = \ kappa {\ big (} \ langle v, w \ rangle u- \ langle u, w \ rangle v {\ big) }}

для любых $u, v, w ∈ T p M. {\ displaystyle u, v, w \ in T_ {p} M.}$ ${\ displaystyle u, v, w \ in T_ {p} M.}$

Доказательство.
Вкратце: один аргумент поляризации дает формулу для $R (u, v) v, {\ displaystyle R ( u, v) v,}$ ${\ displaystyle R (u, v) v,}$ второй (эквивалентный) аргумент поляризации дает формулу для $R (u, v) w + R (u, w) v, {\ displaystyle R (u, v) w + R (u, w) v,}$ ${\ displaystyle R (u, v) w + R (u, w) v,}$ и комбинация с первым тождеством Бьянки восстанавливает данную формулу для $R (u, v) w. {\ displaystyle R (u, v) w.}$ ${\ displaystyle R (u, v) w.}$ Из определения секционной кривизны мы знаем, что $⟨R (u, v) v, u⟩ = κ (\| u \| 2 \| v \| 2 - ⟨U, v⟩ 2) {\ Displaystyle \ langle R (u, v) v, и \ rangle = \ kappa (\| u \| ^ {2} \| v \| ^ {2} - \ langle u, v \ rangle ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ langle R (u, v) v, u \ rangle = \ kappa (\| u \| ^ {2} \| v \| ^ {2} - \ langle u, v \ rangle ^ {2})}$ всякий раз, когда $u, v {\ displaystyle u, v}$ $u, v$ линейно независимы, и это легко распространяется на случай, когда $u, v {\ displaystyle u, v}$ $u, v$ линейно зависимы, так как тогда обе стороны равны нулю. Теперь, учитывая произвольные u, v, w, вычислим $⟨R (u + w, v) v, u + w⟩ {\ displaystyle \ langle R (u + w, v) v, u + w \ rangle}.$ ${\ displaystyle \ langle R (u + w, v) v, u + w \ rangle}$ двумя способами. Во-первых, согласно приведенной выше формуле, оно равно $κ (\| v \| 2 (\| u \| 2 + \| w \| 2 + 2 ⟨u, w⟩) - ⟨u, v⟩ 2 - ⟨w, v⟩ 2 - 2 ⟨u, v⟩ ⟨w, v⟩). {\ displaystyle \ kappa {\ Big (} \| v \| ^ {2} (\| u \| ^ {2} + \| w \| ^ {2} +2 \ langle u, w \ rangle) - \ langle u, v \ rangle ^ {2} - \ langle w, v \ rangle ^ {2} -2 \ langle u, v \ rangle \ langle w, v \ rangle {\ Big)}.}$ ${\ displaystyle \ kappa {\ Big (} \| v \| ^ {2} (\| u \| ^ {2} + \| w \| ^ {2} +2 \ langle u, w \ rangle) - \ langle u, v \ rangle ^ {2} - \ langle w, v \ rangle ^ {2} -2 \ langle u, v \ rangle \ langle w, v \ rangle {\ Big)}.}$ Во-вторых, по полилинейности он равен $⟨R (u, v) v, u⟩ + ⟨R (w, v) v, w⟩ + ⟨R (u, v) v, w⟩ + ⟨R (w, v) v, u⟩, {\ Displaystyle \ langle R (и, v) v, и \ rangle + \ langle R (w, v) v, w \ rangle + \ langle R (u, v) v, w \ rangle + \ langle R ( w, v) v, u \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ langle R (u, v) v, u \ rangle + \ langle R (w, v) v, w \ rangle + \ langle R (u, v) v, вес \ rangle + \ langle R (w, v) v, и \ rangle,}$ что, учитывая риманову симметрию $⟨R (u, v) v, w⟩ = ⟨R (w, v) v, u⟩, {\ Displaystyle \ langle R (u, v) v, w \ rangle = \ langle R (w, v) v, u \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ langle R (u, v) v, w \ rangle = \ langle R (w, v) v, u \ rangle,}$ можно упростить до $κ (\| u \| 2 \| v \| 2 - u, v⟩ 2) + κ (\| w \| 2 \| v \| 2 - ⟨w, v⟩ 2) + 2 ⟨R (u, v) v, w⟩. {\ displaystyle \ kappa {\ Big (} \| u \| ^ {2} \| v \| ^ {2} - \ langle u, v \ rangle ^ {2} {\ Big)} + \ kappa {\ Big (} \| w \| ^ {2} \| v \| ^ {2} - \ langle w, v \ rangle ^ {2} {\ Big)} + 2 \ langle R (u, v) v, w \ rangle.}$ ${\ displaystyle \ kappa {\ Big (} \| u \| ^ {2} \| v \| ^ {2} - \ langle u, v \ rangle ^ {2} {\ Big)} + \ kappa {\ Big (} \| w \| ^ {2} \| v \| ^ {2} - \ langle w, v \ rangle ^ {2} {\ Big)} + 2 \ langle R (u, v) v, w \ rangle.}$ Приравнивая эти два вычисления друг к другу и сокращая члены, находим $⟨R (u, v) v, w⟩ = κ (\| v \| 2 ⟨u, w⟩ - ⟨u, v⟩ ⟨w, v ⟩). {\ displaystyle \ langle R (u, v) v, w \ rangle = \ kappa {\ Big (} \| v \| ^ {2} \ langle u, w \ rangle - \ langle u, v \ rangle \ langle w, v \ rangle {\ Big)}.}$ ${\ displaystyle \ langle R (u, v) v, w \ rangle = \ kappa {\ Big (} \| v \| ^ {2} \ langle u, w \ rangle - \ langle u, v \ rangle \ langle w, v \ rangle {\ Big)}.}$ Поскольку w произвольно, это показывает, что $R (u, v) v = κ (\| v \| 2 u - ⟨u, v⟩ v) {\ displaystyle R (u, v) v = \ kappa {\ Big (} \| v \| ^ {2} u- \ langle u, v \ rangle v {\ Big)}}$ ${\ displaystyle R (u, v) v = \ kappa {\ Big (} \| v \| ^ {2 } u- \ langle u, v \ rangle v {\ Big)}}$ для любых u, v. Теперь пусть u, v, w произвольны и вычислим $R (u, v + w) (v + w) {\ displaystyle R (u, v + w) (v + w)}$ ${\ displaystyle R (u, v + w) (v + w)}$ двумя способами. Во-первых, по этой новой формуле он равен $κ ((\| v \| 2 + \| w \| 2 + 2 ⟨v, w⟩) u - ⟨u, v⟩ v - ⟨u, w⟩ v - ⟨u, v⟩ w - ⟨u, w⟩ w). {\ displaystyle \ kappa {\ Big (} {\ big (} \| v \| ^ {2} + \| w \| ^ {2} +2 \ langle v, w \ rangle {\ big)} u- \ langle u, v \ rangle v- \ langle u, w \ rangle v- \ langle u, v \ rangle w- \ langle u, w \ rangle w {\ Big)}.}$ ${\ displaystyle \ kappa {\ Big (} {\ big ( } \| v \| ^ {2} + \| w \| ^ {2} +2 \ langle v, w \ rangle {\ big)} u- \ langle u, v \ rangle v- \ langle u, w \ rangle v- \ langle u, v \ rangle w- \ langle u, w \ rangle w {\ Big)}.}$ Во-вторых, по полилинейности он равен $Р (u, v) v + р (u, w) w + R (u, v) w + R (u, w) v {\ displaystyle R (u, v) v + R (u, w) w + R (u, v) w + R (u, w) v}$ ${\ displaystyle R (u, v) v + R (u, w) w + R (u, v) w + R (u, w) v}$ что по новой формуле равно $κ (\| v \| 2 u - ⟨u, v⟩ v) + κ ( \| w \| 2 u - ⟨u, w⟩ w) + R (u, v) w + R (u, w) v. {\ displaystyle \ kappa {\ Big (} \| v \| ^ {2} u- \ langle u, v \ rangle v {\ Big)} + \ kappa {\ Big (} \| w \| ^ {2} u- \ langle u, w \ rangle w {\ Big)} + R (u, v) w + R (u, w) v.}$ ${\ displaystyle \ kappa {\ Big (} \| v \| ^ {2} u- \ langle u, v \ rangle v {\ Big)} + \ kappa {\ Big (} \| w \| ^ {2} u- \ langle u, w \ rangle w {\ Big)} + R (u, v) w + R (u, w) v.}$ Установка этих двух вычислений равными друг другу показывает $R (u, v) w + R (u, w) v = κ (2 ⟨v, w⟩ u - ⟨u, w⟩ v - ⟨u, v⟩ w). {\ Displaystyle R (U, v) вес + р (и, ш) v = \ каппа {\ Big (} 2 \ langle v, w \ rangle u- \ langle u, w \ rangle v- \ langle u, v \ rangle w {\ Big)}.}$ ${\ displaystyle R (u, v) w + R (u, w) v = \ kappa {\ Big (} 2 \ langle v, w \ rangle u- \ langle u, w \ rangle v- \ langle u, v \ rangle w {\ Big)}.}$ Поменяйте местами $u {\ displaystyle u}$ $U$ и $v {\ displaystyle v}$ $v$ , затем добавьте это в тождество Бьянки $R (v, u) w + R (u, w) v + R (w, v) u = 0 {\ displaystyle R (v, u) w + R (u, w) v + R (w, v) u = 0}$ ${\ displaystyle R (v, u) w + R (u, w) v + R (w, v) u = 0}$ , чтобы получить $2 R (v, u) w + R (u, w) v = κ (2 ⟨u, w⟩ v - ⟨v, w⟩ u - ⟨u, v⟩ w). {\ displaystyle 2R (v, u) w + R (u, w) v = \ kappa {\ Big (} 2 \ langle u, w \ rangle v- \ langle v, w \ rangle u- \ langle u, v \ rangle w {\ Big)}.}$ ${\ displaystyle 2R (v, u) w + R (u, w) v = \ kappa {\ Big (} 2 \ langle u, w \ rangle v- \ langle v, w \ rangle u- \ langle u, v \ rangle w {\ Big)}.}$ Вычтите эти два уравнения, используя симметрию $R (u, v) w = - R (v, u) w, {\ displaystyle R (u, v) w = -R (v, u) w,}$ ${\ displaystyle R (u, v) w = -R (v, u) w,}$ , чтобы получить $3 R (u, v) w = 3 κ (⟨v, w⟩ u - ⟨u, w⟩ v). {\ displaystyle 3R (u, v) w = 3 \ kappa {\ Big (} \ langle v, w \ rangle u- \ langle u, w \ rangle v {\ Big)}.}$ ${\ displaystyle 3R (u, v) w = 3 \ kappa {\ Big (} \ langle v, w \ rangle u- \ langle u, w \ rangle v {\ Big)}.}$

Поскольку любая риманова метрика параллелен относительно своей связности Леви-Чивиты, это показывает, что тензор Римана любого пространства постоянной кривизны также параллелен. Тензор Риччи тогда определяется как $Ric = (n - 1) κ g {\ displaystyle \ operatorname {Ric} = (n-1) \ kappa g}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = (n-1) \ kappa g}$ , а скалярная кривизна $п (п - 1) κ. {\ displaystyle n (n-1) \ kappa.}$ ${\ displaystyle n (n-1) \ kappa.}$ В частности, любое пространство постоянной кривизны является Эйнштейновским и имеет постоянную скалярную кривизну.

Примеры моделей

Дано положительное число $a, {\ displaystyle a,}$ $a,$ define

$(R n, g R n) {\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, g _ {\ mathbb {R} ^ {n}})}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, g _ {\ mathbb {R} ^ {n} })}$ , чтобы быть стандартной римановой структурой
$(S n (a), g S n (a)) {\ displaystyle (S ^ {n} (a), g_ {S ^ {n} (a)})}$ ${\ displaystyle (S ^ {n} (а), g_ {S ^ {n} (а) })}$ , чтобы быть сферой $S n (a) ≡ {x ∈ R n + 1: | х | = a} {\ displaystyle S ^ {n} (a) \ Equiv \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1}: | x | = a \}}$ ${\ displaystyle S ^ {n} (a) \ Equiv \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1}: | x | = a \}}$ с $g S n (a) {\ displaystyle g_ {S ^ {n} (a)}}$ ${\ displaystyle g_ {S ^ {n} (a)}}$ , заданный откатом стандартной римановой структуры на $R n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ $\ mathbb {R} ^ {n + 1}$ по карте включения $S n (a) → R n + 1 {\ displaystyle S ^ {n} (a) \ to \ mathbb {R } ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle S ^ {n} (a) \ to \ mathbb {R} ^ {n + 1} }$
$(ЧАС (А), г ЧАС N (А)) {\ Displaystyle (Н ^ {п} (а), г_ {Н ^ {п} (а)}) }$ ${\ displaystyle (H ^ {n} (a), g_ {H ^ {n} (а)})}$ быть шаром $H n (a) ≡ {x ∈ R n: | х | < a } {\displaystyle H^{n}(a)\equiv \{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|$ ${\ displaystyle H ^ {n} (a) \ Equiv \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: | x | <a \}}$ с $g H n (a) = a 2 (a 2 - | x | 2) (dx 1 2 + ⋯ + dxn 2) - (x 1 dx 1 + ⋯ + xndxn) 2 (а 2 - | х | 2) 2. {\ displaystyle g_ {H ^ {n} (a)} = a ^ {2} {\ frac {(a ^ {2} - | x | ^ {2}) (dx_ {1} ^ {2} + \ cdots + dx_ {n} ^ {2}) - (x_ {1} \, dx_ {1} + \ cdots + x_ {n} \, dx_ {n}) ^ {2}} {(a ^ {2} - | x | ^ {2}) ^ {2}}}.}$ ${\ displaystyle g_ {H ^ {n} (a)} = a ^ {2} {\ frac {(a ^ {2} - | x | ^ {2}) (dx_ {1} ^ {2} + \ cdots + dx_ {n} ^ {2}) - (x_ {1 } \, dx_ {1} + \ cdots + x_ {n} \, dx_ {n}) ^ {2}} {(a ^ {2} - | x | ^ {2}) ^ {2}}}. }$

В обычной терминологии эти римановы многообразия упоминаются как евклидово пространство, n-сфера и гиперболическое пространство. Здесь дело в том, что каждое из них является полным связным гладким римановым многообразием постоянной кривизны. Если быть точным, риманова метрика $g R n {\ displaystyle g _ {\ mathbb {R} ^ {n}}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mathbb {R} ^ {n}}}$ имеет постоянную кривизну 0, риманова метрика $g S n ( а) {\ displaystyle g_ {S ^ {n} (a)}}$ ${\ displaystyle g_ {S ^ {n} (a)}}$ имеет постоянную кривизну $a - 2, {\ displaystyle a ^ {- 2},}$ ${\ displaystyle a ^ {- 2},}$ а риманова метрика $g H n (a) {\ displaystyle g_ {H ^ {n} (a)}}$ ${\ displaystyle g_ {H ^ {n} (a)}}$ имеет постоянную кривизну $- a - 2. {\ displaystyle -a ^ {- 2}.}$ ${\ displaystyle -a ^ {- 2}.}$

Кроме того, это «универсальные» примеры в том смысле, что if $(M, g) {\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ - гладкое, связное и односвязное полное риманово многообразие постоянной кривизны, то оно изометрично одному из приведенных выше примеров; конкретный пример продиктован значением постоянной кривизны $g, {\ displaystyle g,}$ ${\ displaystyle g,}$ в соответствии с постоянной кривизной в приведенных выше примерах.

Если $(M, g) {\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ - гладкое и связное полное риманово многообразие с постоянной кривизной, но не предполагается, что оно просто - связным, затем рассмотрим универсальное накрывающее пространство $π: M ~ → M {\ displaystyle \ pi: {\ widetilde {M}} \ to M}$ ${\ displaystyle \ pi: {\ widetilde {M}} \ to M}$ с римановой метрикой обратного отсчета $π ∗ грамм. {\ displaystyle \ pi ^ {\ ast} g.}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {\ ast} g.}$ Поскольку $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ по топологическим принципам является покрывающим отображением, риманово многообразие $(M ~, π ∗ g) {\ displaystyle ({\ widetilde {M}}, \ pi ^ {\ ast} g)}$ ${\ displaystyle ({\ widetilde {M}}, \ pi ^ {\ ast} g)}$ локально изометрично $(M, g) {\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ , и поэтому это гладкое, связное и односвязное полное риманово многообразие с той же постоянной кривизной, что и $g. {\ displaystyle g.}$ $g.$ Тогда он должен быть изометрическим одним из приведенных выше модельных примеров. Заметим, что преобразования колоды универсального покрытия - это изометрии относительно метрики $π ∗ g. {\ displaystyle \ pi ^ {\ ast} g.}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {\ ast} g.}$

Изучение римановых многообразий с постоянной отрицательной кривизной, называемое гиперболической геометрией, особенно примечательно, поскольку оно демонстрирует много примечательных явлений.

Масштабирование

Пусть $(M, g) {\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ - гладкое многообразие, и пусть $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ быть положительным числом. Рассмотрим риманово многообразие $(M, λ g). {\ displaystyle (M, \ lambda g).}$ ${\ displaystyle (M, \ lambda g).}$ Тензор кривизны как полилинейное отображение $T p M × T p M × T p M → T p M, {\ displaystyle T_ { p} M \ times T_ {p} M \ times T_ {p} M \ to T_ {p} M,}$ ${\ displaystyle T_ {p} M \ times T_ {p} M \ times T_ {p} M \ to T_ {p} M,}$ не изменяется этой модификацией. Пусть $v, w {\ displaystyle v, w}$ $v, w$ являются линейно независимыми векторами в $T p M {\ displaystyle T_ {p} M}$ $T_ {p} M$ . Тогда

K λ g (v, w) = λ g (R λ g (v, w) w, v) | v | λ g 2 | w | λ g 2 - v, w⟩ λ g 2 = 1 λ g (R g (v, w) w, v) | v | г 2 | w | g 2 - v, w g 2 знак равно 1 λ K g (v, w). {\ displaystyle K _ {\ lambda g} (v, w) = {\ frac {\ lambda g (R ^ {\ lambda g} (v, w) w, v)} {| v | _ {\ lambda g} ^ {2} | w | _ {\ lambda g} ^ {2} - \ langle v, w \ rangle _ {\ lambda g} ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ lambda}} { \ frac {g (R ^ {g} (v, w) w, v)} {| v | _ {g} ^ {2} | w | _ {g} ^ {2} - \ langle v, w \ rangle _ {g} ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ lambda}} K_ {g} (v, w).}

{\ displaystyle K _ {\ lambda g} (v, w) = {\ frac {\ lambda g (R ^ {\ lambda g} (v, w) w, v)} {| v | _ {\ lambda g} ^ {2} | w | _ {\ lambda g} ^ {2} - \ langle v, w \ rangle _ {\ lambda g} ^ {2 }}} = {\ frac {1} {\ lambda}} {\ frac {g (R ^ {g} (v, w) w, v)} {| v | _ {g} ^ {2} | w | _ {g} ^ {2} - \ langle v, w \ rangle _ {g} ^ { 2}}} = {\ frac {1} {\ lambda}} K_ {g} (v, w).}

Итак, умножение метрики на $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ умножает все кривизны секций на $λ - 1. {\ displaystyle \ lambda ^ {- 1}.}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {- 1}.}$

Теорема Топоногова

Теорема Топоногова дает характеристику секционной кривизны в терминах того, как выглядят «толстые» геодезические треугольники по сравнению с их евклидовыми аналогами. Основная интуиция заключается в том, что если пространство имеет положительную кривизну, тогда край треугольника, противоположный некоторой данной вершине, будет иметь тенденцию отклоняться от этой вершины, тогда как если пространство имеет отрицательную кривизну, тогда противоположный край треугольника будет стремиться наклонитесь к вершине.

Точнее, пусть M - полное риманово многообразие, и пусть xyz - геодезический треугольник в M (треугольник, каждая из сторон которого является геодезической, минимизирующей длину). Наконец, пусть m - середина геодезической xy. Если M имеет неотрицательную кривизну, то для всех достаточно малых треугольников

d (z, m) 2 ≥ 1 2 d (z, x) 2 + 1 2 d (z, y) 2 - 1 4 d (x, y) 2 {\ displaystyle d (z, m) ^ {2} \ geq {\ tfrac {1} {2}} d (z, x) ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} d (z, y) ^ {2} - {\ tfrac {1} {4}} d (x, y) ^ {2}}

d ( z, m) ^ {2} \ geq {\ tfrac 12} d (z, x) ^ {2} + {\ tfrac 12} d (z, y) ^ {2} - {\ tfrac 14} d (x, y) ^ {2}

где d - функция расстояния на M. Случай равенства имеет место в точности, когда кривизна M равна нулю, а правая часть представляет собой расстояние от вершины до противоположной стороны геодезического треугольника в евклидовом пространстве, имеющего те же длины сторон, что и треугольник xyz. Это уточняет смысл того, что треугольники «толще» в положительно искривленных пространствах. В пространствах с неположительной кривизной неравенство имеет обратный характер:

d (z, m) 2 ≤ 1 2 d (z, x) 2 + 1 2 d (z, y) 2 - 1 4 d (x, у) 2. {\ displaystyle d (z, m) ^ {2} \ leq {\ tfrac {1} {2}} d (z, x) ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} d (z, y) ^ {2} - {\ tfrac {1} {4}} d (x, y) ^ {2}.}

d (z, m) ^ {2} \ leq {\ tfrac 12} d (z, x) ^ {2} + {\ tfrac 12} d (z, y) ^ {2} - {\ tfrac 14} d (х, y) ^ {2}.

Если известны более точные границы секционной кривизны, то это свойство обобщается, давая теорема сравнения между геодезическими треугольниками в M и треугольниками в подходящей односвязной пространственной форме; см. теорему Топоногова. Простые следствия изложенной здесь версии:

полное риманово многообразие имеет неотрицательную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция $fp (x) = dist 2 ⁡ (p, x) {\ displaystyle f_ {p } (x) = \ operatorname {dist} ^ {2} (p, x)}$ $f_ {p} (x) = \ operatorname { dist} ^ {2} (p, x)$ равно 1- вогнутый для всех точек p.
Полный простой связное риманово многообразие имеет неположительную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция $fp (x) = dist 2 ⁡ (p, x) {\ displaystyle f_ {p} (x) = \ operatorname {dist} ^ {2 } (p, x)}$ $f_ {p} (x) = \ operatorname { dist} ^ {2} (p, x)$ является 1- выпуклым.

многообразием с неположительной кривизной в разрезе

В 1928 году Эли Картан доказал 206>Теорема Картана – Адамара : если M - полное многообразие с неположительной секционной кривизной, то его универсальное покрытие диффеоморфно к Евклидово пространство. В частности, это асферический : гомотопические группы $π i (M) {\ displaystyle \ pi _ {i} (M)}$ $\ pi _ {i} (M)$ для i ≥ 2 тривиальны. Следовательно, топологическая структура полного многообразия неположительной кривизны определяется его фундаментальной группой. Теорема Прейсмана ограничивает фундаментальную группу компактных многообразий с отрицательной кривизной. Гипотеза Картана – Адамара утверждает, что классическое изопериметрическое неравенство должно выполняться во всех односвязных пространствах неположительной кривизны, которые называются многообразиями Картана-Адамара.

Многообразиями с положительной секционной кривизной

Мало что известно о структуре многообразий с положительной кривизной. Теорема души (Cheeger Gromoll 1972 ; Gromoll Meyer 1969) подразумевает, что полное некомпактное многообразие неотрицательной кривизны диффеоморфно нормальному расслоению над компактным многообразием неотрицательной кривизны. Что касается компактных положительно искривленных многообразий, то есть два классических результата:

Из теоремы Майерса следует, что фундаментальная группа такого многообразия конечна.
Это следует из Теорема Синжа о том, что фундаментальная группа такого многообразия в четных измерениях равна 0, если ориентируемая, и $Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ $\ mathbb {Z} _ {2}$ в противном случае. В нечетных измерениях многообразие с положительной кривизной всегда ориентируемо.

Более того, существует относительно немного примеров компактных многообразий с положительной кривизной, что оставляет много предположений (например, гипотеза Хопфа о том, существует ли метрика положительной поперечной кривизны на $S 2 × S 2 {\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2} \ times \ mathbb {S} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2} \ times \ mathbb {S} ^ {2}}$ ). Наиболее типичный способ построения новых примеров - это следующее следствие из формул кривизны О'Нила: if $(M, g) {\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ - риманово многообразие, допускающее свободное изометрическое действие группы Ли G и M имеет положительную секционную кривизну на всех 2-плоскостях, ортогональных орбитам G, то многообразие $M / G {\ displaystyle M / G}$ $M / G$ с факторметрика имеет положительную секционную кривизну. Этот факт позволяет построить классические пространства с положительной кривизной, являющиеся сферами и проективными пространствами, а также эти примеры (Ziller 2007):

Пространства Бергера $B 7 = SO (5) / SO (3) {\ displaystyle B ^ {7} = SO (5) / SO (3)}$ $B ^ {7} = SO (5) / SO (3)$ и $B 13 = SU (5) / Sp ⁡ (2) ⋅ S 1 {\ displaystyle B ^ {13} = SU (5) / \ operatorname {Sp} (2) \ cdot \ mathbb {S} ^ {1}}$ ${\ displaystyle B ^ {13} = SU (5) / \ operatorname {Sp} ( 2) \ cdot \ mathbb {S} ^ {1}}$ .
Пространства Уоллаха (или однородные многообразия флагов): $W 6 = SU (3) / T 2 {\ displaystyle W ^ {6} = SU (3) / T ^ {2}}$ $W ^ {6} = SU (3) / T ^ {2}$ , $W 12 = Sp ⁡ (3) / Sp ⁡ (1) 3 { \ displaystyle W ^ {12} = \ operatorname {Sp} (3) / \ operatorname {Sp} (1) ^ {3}}$ ${\ displaystyle W ^ {12} = \ operatorname {Sp} (3) / \ operatorname {Sp} (1) ^ {3}}$ и $W 24 = F 4 / Spin ⁡ (8) {\ displaystyle W ^ {24} = F_ {4} / \ operatorname {Spin} (8)}$ ${\ displaystyle W ^ {24} = F_ {4} / \ operatorname {Spin} (8)}$ .
Пространства Алоффа – Уоллаха $W p, q 7 = SU (3) / diag ⁡ (zp, zq, z ¯ p + q) {\ displaystyle W_ {p, q} ^ {7} = SU (3) / \ operatorname {diag} (z ^ {p}, z ^ {q}, {\ overline { z}} ^ {p + q})}$ $W _ {{p, q}} ^ {7} = SU (3) / \ operatorname {diag} (z ^ {p}, z ^ {q}, \ overline { z} ^ {{p + q}})$ .
Пространства Эшенбурга $E k, l = diag ⁡ (zk 1, zk 2, zk 3) ∖ SU (3) / diag ⁡ (zl 1, z l 2, z l 3) - 1. {\ displaystyle E_ {k, l} = \ operatorname {diag} (z ^ {k_ {1}}, z ^ {k_ {2}}, z ^ {k_ {3}}) \ backslash SU (3) / \ operatorname {diag} (z ^ {l_ {1}}, z ^ {l_ {2}}, z ^ {l_ {3}}) ^ {- 1}.}$ $E _ {{k, l}} = \ operatorname {diag} (z ^ {{k_ {1}}}, z ^ {{k_ {2}}}, z ^ {{k_ {3}}}) \ обратная косая черта SU (3) / \ operatorname {diag} (z ^ {{l_ {1}}}, z ^ {{l_ {2}}}, z ^ {{l_ {3}}}) ^ {{- 1}}.$
Пространства Базайкина $B п 13 знак равно диаг ⁡ (z 1 п 1,…, z 1 p 5) ∖ U (5) / диаг ⁡ (z 2 A, 1) - 1 {\ displaystyle B_ {p} ^ {13} = \ operatorname { diag} (z_ {1} ^ {p_ {1}}, \ dots, z_ {1} ^ {p_ {5}}) \ backslash U (5) / \ operatorname {diag} (z_ {2} A, 1) ^ {- 1}}$ $B_ {p} ^ {{13}} = \ operatorname {diag} (z_ {1} ^ {{p_ {1}}}, \ dots, z_ {1} ^ {{p_ {5) }}}) \ обратная косая черта U (5) / \ operatorname {diag} (z_ {2} A, 1) ^ {{- 1}}$ , где $A ∈ Sp ⁡ (2) ⊂ SU (4) {\ displaystyle A \ in \ operatorname {Sp} (2) \ subset SU (4) }$ ${\ displaystyle A \ in \ operatorname {Sp} (2) \ subset SU (4)}$ .

Многообразия с неотрицательной секционной кривизной

Чигер и Громолл доказали свою теорему души, согласно которой любое полное некомпактное многообразие неотрицательной кривизны $M {\ displaystyle M}$ $M$ имеет полностью выпуклое компактное подмногообразие $S {\ displaystyle S}$ $S$ такое, что $M {\ displaystyle M}$ $M$ диффеоморфно нормальному пучку $S {\ Displaystyle S}$ $S$ . Такой $S {\ displaystyle S}$ $S$ называется душой $M {\ displaystyle M}$ $M$ . В частности, эта теорема подразумевает, что $M {\ displaystyle M}$ $M$ гомотопичен своей душе $S {\ displaystyle S}$ $S$ , размерность которой меньше $M {\ displaystyle M}$ $M$ .

Коллекторы с почти плоской кривизной

Коллекторы с почти неотрицательной кривизной

Ссылки

Cheeger, Jeff; Громоль, Детлеф (1972), «О структуре полных многообразий неотрицательной кривизны», Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 96 (3): 413–443, doi : 10.2307 / 1970819, JSTOR 1970819, MR 0309010.
Gromoll, Detlef; Мейер, Вольфганг (1969), «О полных открытых многообразиях положительной кривизны», Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 90 (1) : 75–90, doi : 10.2307 / 1970682, JSTOR 1970682, MR 0247590.
Милнор, Джон Уиллард (1963), Теория Морса, По материалам лекций М. Спивака и Р. Уэллса. Annals of Mathematics Studies, No. 51, Princeton University Press, MR 0163331.
Petersen, Peter (2006), Риманова геометрия, Graduate Texts in Mathematics, 171 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-29246-5, MR 2243772.
Циллер, Вольфганг (2007). «Примеры многообразий с неотрицательной секционной кривизной». arXiv : math / 0701389..

См. Также