Теорема души

В математике теорема души - это теорема римановой геометрии, которая в значительной степени сокращает изучение полных многообразий неотрицательной секционной кривизны к таковой для компактного корпуса. Чигер и Громоль доказали теорему в 1972 году, обобщив результат 1969 года Громолля и Вольфганга Майера. Связанное с этим предположение о душе было сформулировано Громолем и Чигером в 1972 году и доказано Григорием Перельманом в 1994 году с удивительно кратким доказательством.

В теореме души говорится:

Если (M, g) является полным связанным римановым многообразием с секционной кривизной K ≥ 0, то существует компактное вполне выпуклое, вполне геодезическое подмногообразие S, нормальное расслоение диффеоморфно M

(обратите внимание, что секционная кривизна должна быть неотрицательной всюду, но не обязательно постоянной.) Такое подмногообразие S является называется душой из (M, g).

Душа не определяется однозначно (M, g) в целом, но любые две души (M, g) изометричны. Это было доказано с помощью опровержения Шарафутдинова в 1979 году.

Каждый компактный коллектор - это его собственная душа. Действительно, теорема часто формулируется только для некомпактных многообразий.

В качестве очень простого примера возьмем M как евклидово пространство R. Кривизна секции везде равна 0, и любая точка M может служить душой M.

Теперь возьмем параболоид M = {(x, y, z): z = x + y}, где метрика g представляет собой обычное евклидово расстояние, полученное в результате вложения параболоида в евклидово пространство R . Здесь кривизна сечения везде положительная, но не постоянная. Источник (0, 0, 0) - это душа M. Не каждая точка x M является душой M, так как могут существовать геодезические петли, основанные на x, и в этом случае $\{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$не было бы полностью выпуклым.

Можно также рассмотреть бесконечный цилиндр M = {(x, y, z): x + y = 1}, опять же с индуцированной евклидовой метрикой. Кривизна сечения везде равна 0. Любая «горизонтальная» окружность {(x, y, z): x + y = 1} с фиксированным z - это душа M. Негоризонтальные поперечные сечения цилиндра не являются душами, поскольку они не являются ни полностью выпуклыми, ни полностью геодезическими.

Гипотеза души Чигера и Громолля утверждает:

Предположим, что (M, g) полное, связное и некомпактное с секционной кривизной K ≥ 0, и существует точка в M, в которой секционная кривизна (во всех направлениях) строго положительна. Тогда душа М - это точка; эквивалентно M диффеоморфно R.

Григорий Перельман доказал это утверждение, установив, что в общем случае K ≥ 0 ретракция Шарафутдинова P: M → S является субмерсией. Позже Цао и Шоу представили другое доказательство, которое избегает.