Войти
f - это отказ от g. g - это часть f. В теории категорий, ветви математики, раздел является правым обратным какой-то морфизм. Двойственно, ретракция - это левая инверсия некоторого морфизма. Другими словами, если f: X → Y и g: Y → X - морфизмы, композиция которых f o g: Y → Y является тождественным морфизмом на Y, то g является секция f, а f - ретракция g.
Каждая секция является мономорфизмом (каждый морфизм с левым обратным является левым сокращением ), и каждый ретракция - это эпиморфизм (каждый морфизм с правым обратным является правым сокращением ).
В алгебре секции также называются расщепленными мономорфизмами, а ретракции также называются расщепленными эпиморфизмами . В абелевой категории , если f: X → Y - расщепляемый эпиморфизм с расщепляемым мономорфизмом g: Y → X, то X изоморфен прямой сумме Y и ядро f. Синоним coretraction для раздела иногда встречается в литературе, но редко в недавних работах.
Концепция отзыва в теории категорий происходит от по существу аналогичное понятие ретракции в топологии : топологическое определение - это просто ограничение приведенного выше определения на категорию топологических пространств. Концепция топологии была определена Каролем Борсуком в 1931 году.
Ученик Борсука, Сэмюэл Эйленберг, вместе с Сондерсом Мак-Лейном основателем теория категорий, и поскольку самые ранние публикации по теории категорий касались различных топологических пространств, можно было ожидать, что этот термин будет первоначально использован. Фактически, в их более ранних публикациях, вплоть до, например, «Гомологии Мак-Лейна» (Mac Lane, 1963), использовался термин «правая обратная». Лишь в 1965 году, когда Эйленберг и Джон Коулман Мур придумали двойной термин «корретракция», термин Борсука был перенесен в теорию категорий в целом. К концу 1960-х гг. Термин «coretraction» уступил место термину «секция».
Как использование левого / правого инвертирования, так и сечение / ретракция часто встречаются в литературе: первое использование имеет то преимущество, что оно знакомо из теории полугрупп и моноидов. ; последнее считается некоторыми менее запутанным, потому что не нужно задумываться о том, «как обстоят дела с композицией» - проблема, которая стала более острой с ростом популярности синонима f; g для g∘f.
В категории наборов каждый мономорфизм (инъективная функция ) с непустым домен - это раздел, а каждый эпиморфизм (сюръективная функция ) - это ретракция; последнее утверждение эквивалентно аксиоме выбора .
В категории векторных пространств над полем K каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм расщепляются; это следует из того факта, что линейные отображения могут быть однозначно определены путем задания их значений на основе .
В категории абелевых групп эпиморфизм Z→ Z/2Zкоторый отправляет каждое целое число в его остаток по модулю 2 не разбивается; фактически единственный морфизм Z/2Z→ Z- это отображение нуля. Точно так же естественный мономорфизм Z/2Z→ Z/4Zне расщепляется даже при наличии нетривиального морфизма Z/4Z→ Z/2Z.
Категориальное понятие раздела важно в гомологической алгебре, а также тесно связано с понятием из секции из пучка волокон в топологии : в последнем случае секция пучка волокон является участком карты проекции пучка волокна связка.
Дано факторпространство 
