Кольцо целых чисел

редактировать

В математика, кольцо целых чисел поля алгебраических чисел K является кольцом всех целых элементов, содержащихся в K. Целочисленный элемент - это корень из монического многочлена с целыми коэффициентами, x + c n − 1 x +… + c 0. Это кольцо часто обозначается как O K или $OK {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ mathcal O} _ {K}$ . Поскольку любое целое число принадлежит K и является неотъемлемым элементом K, кольцо Z всегда является подкольцом O K.

Кольцо Z - простейшее возможное кольцо из Тегерс. А именно, Z = O Q, где Q - это поле из рациональных чисел. И действительно, в теории алгебраических чисел элементы Z часто называют «целыми рациональными числами» из-за этого.

Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел - это единственный максимальный порядок в этом поле.

Содержание

1 Свойства
2 Примеры
- 2.1 Вычислительный инструмент
- 2.2 Циклотомические расширения
- 2.3 Квадратичные расширения
3 Мультипликативная структура
4 Обобщение
5 См. Также
6 Ссылки
7 Примечания

Свойства

Кольцо целых чисел O K является конечно-порожденным Z-модулем. В самом деле, это свободный Z-модуль и, следовательно, имеет целочисленный базис, то есть базис b1,…, b n ∈ O K Q -векторного пространства K, так что каждый элемент x в O K может быть однозначно представлен как

x = ∑ i = 1 naibi, {\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i},}

x = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} b_ {i},

с i∈ Z. Ранг n модуля O K как свободного Z -модуля равен степени модуля K над Q.

Кольца целых чисел в числовых полях Дедекиндовы домены.

Примеры

Вычислительный инструмент

Полезный инструмент для вычисления целочисленного замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле $K / Q {\ displaystyle K / \ mathbb {Q}}$ $K / {\ mathbb {Q}}$ использует дискриминант. Если $K {\ displaystyle K}$ $K$ имеет степень $n {\ displaystyle n}$ $n$ более $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ и $α 1,…, α n ∈ OK {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ in {\ mathcal {O}} _ {K} }$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ in {\ mathcal {O}} _ {K}}$ формируют основу $K {\ displaystyle K}$ $K$ поверх $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , установите $d = Δ К / Q (α 1,…, α N) {\ Displaystyle d = \ Delta _ {K / \ mathbb {Q}} (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle d = \ Delta _ {K / \ mathbb {Q}} (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$ . Тогда $OK {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ mathcal {O}} _ {K}$ является подмодулем $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ модуль, охватываемый $α 1 / d,…, α n / d {\ displaystyle \ alpha _ {1} / d, \ ldots, \ alpha _ {n} / d}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} / d, \ ldots, \ alpha _ {n} / d}$ . Фактически, если $d {\ displaystyle d}$ $d$ не содержит квадратов, то это составляет интегральную основу для $OK {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ mathcal {O}} _ {K}$ .

Циклотомические расширения

Если p является простым, ζ является корнем pth из единицы, а K = Q (ζ) равно соответствующее круговое поле, то интегральный базис O K= Z[ζ] задается формулой (1, ζ, ζ,…, ζ).

Квадратичные расширения

Если $d {\ displaystyle d}$ $d$ является целым числом без квадратов и $K = Q (d) {\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ - соответствующее квадратичное поле, тогда $OK {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ mathcal {O}} _ {K}$ - кольцо целых квадратичных чисел, и его интегральный базис задается формулой (1, (1 + √d) / 2), если d ≡ 1 (mod 4) и по (1, √d), если d ≡ 2, 3 (mod 4). Это можно найти, вычислив минимальный многочлен произвольного элемента $a + bd ∈ Q (d) {\ displaystyle a + b {\ sqrt {d}} \ in \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {d}} \ in \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ где $a, b ∈ Z {\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ .

Мультипликативная структура

В кольце целых чисел каждый элемент имеет факторизацию в неприводимые элементы, но кольцо не обязательно должно обладать свойством уникальной факторизации : например, в кольце целых чисел ℤ [√ -5], элемент 6 имеет две существенно разные факторизации в неприводимые:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + - 5) (1 - - 5). {\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = (1 + {\ sqrt {-5}}) (1 - {\ sqrt {-5}}) \.}

6 = 2 \ cdot 3 = ( 1 + {\ sqrt {-5}}) (1 - {\ sqrt {-5}}) \.

Кольцо целых чисел всегда Область Дедекинда, и поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов в простые идеалы.

единицы кольца целых чисел O K является конечно порожденным абелева группа по теореме Дирихле о единице. подгруппа кручения состоит из корней из единицы группы K. Набор генераторов без кручения называется набором основных единиц.

Обобщение

Один определяет кольцо целых чисел неархимедова локального поля F как набор всех элементов F с абсолютным значением ≤ 1; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника. Если F - пополнение поля алгебраических чисел, его кольцо целых чисел - это пополнение последнего кольца целых чисел. Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел можно охарактеризовать как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении.

Например, p-адические целые числа Zpявляются кольцом целых чисел p-адические числа Qp.

См. Также

Минимальный многочлен (теория поля)
Целочисленное замыкание - дает метод вычисления целочисленных замыканий

Ссылки

Cassels, JWS ( 1986). Локальные поля. Тексты студентов Лондонского математического общества. 3 . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Сэмюэл, Пьер (1972). Алгебраическая теория чисел. Герман / Кершоу.

Примечания