Парадокс ворона

Парадокс, возникающий из вопроса о том, что составляет доказательство для утверждения Черный ворон Не- черный. не вороны Парадокс ворона предполагает, что оба этих изображения подтверждают предположение, что все вороны черные.

парадокс ворона, также известный как Хемпель. парадокс, вороны Хемпеля или редко парадокс домашней орнитологии - это парадокс, возникающий из вопроса о том, что составляет свидетельство для заявления. Наблюдение за объектами, которые не являются ни черными, ни воронами, может формально увеличить вероятность того, что все вороны черные, хотя интуитивно эти наблюдения не связаны между собой.

Эта проблема была предложена логиком Карлом Густавом Хемпелем в 1940-х годах для иллюстрации противоречия между индуктивной логикой и интуицией.

• 1 Paradox
• 2 Предлагаемые решения
  • 2.1 Принятие не-воронов как релевантных
    • 2.1.1 Разрешение Hempel
    • 2.1.2 Стандартное байесовское решение
    • 2.1.3 Подход Карнапа
    • 2.1.4 Роль базовых знаний
  • 2.2. Опровержение индукции на основе положительных примеров
    • 2.2.1 Отвлекающий маневр
    • 2.2.2 Ребенок Гуда
    • 2.2.3 Отличительные предикаты
  • 2.3 Отклонения от условия эквивалентности Хемпеля
    • 2.3.1 Выборочное подтверждение
      • 2.3.1.1 Вероятностная или не вероятностная индукция
    • 2.3.2 Ортодоксальный подход
    • 2.3.3 Отказ от материальной импликации
    • 2.3.4 Разные результаты принятия гипотез
    • 2.3. 5 Экзистенциальные предпосылки
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Дальнейшее чтение

Хемпель описывает парадокс в терминах гипотезы :

(1) Все вороны черные. В форме импликации это может быть выражено следующим образом: Если что-то представляет собой ворон, то оно черное.

Через противопоставление это утверждение эквивалентно :

(2) Если что-то не черное, то это не ворон.

Во всех случаях, когда (2) истинно, (1) также истинно - и аналогично, во всех обстоятельствах, когда (2) ложно ( т.е. если представить себе мир, в котором существует нечто, что не было черным, но было вороном), (1) также ложно.

Учитывая общее утверждение, например, что все вороны черные, форма того же утверждения, которая относится к конкретному наблюдаемому экземпляру общего класса, обычно считается доказательством этого общего утверждения. Например,

(3) Мой любимый ворон черный.

- свидетельство, подтверждающее гипотезу о том, что все вороны черные.

Парадокс возникает, когда тот же процесс применяется к утверждению (2). Увидев зеленое яблоко, можно заметить:

(4) Это зеленое яблоко не черное и не ворон.

По тем же рассуждениям это утверждение свидетельствует о том, что (2) если что-то не черный то это не ворон. Но поскольку (как указано выше) это утверждение логически эквивалентно (1) все вороны черные, из этого следует, что вид зеленого яблока является доказательством, подтверждающим представление о том, что все вороны черные. Этот вывод кажется парадоксальным, потому что он подразумевает, что информация о воронах была получена, глядя на яблоко.

Критерий Никода гласит, что только наблюдения за воронами должны влиять на мнение о том, все ли вороны черные. Наблюдение за большим количеством черных воронов должно поддержать эту точку зрения, наблюдение за белыми или цветными воронами должно противоречить ей, а наблюдения за не-воронами не должны иметь никакого влияния.

Условие эквивалентности Хемпеля гласит, что когда предложение, X, обеспечивает свидетельство в пользу другого предложения Y, то X также предоставляет свидетельство в пользу любого предложения, которое логически эквивалентно Y.

Реально, множество воронов конечно. Набор не-черных вещей либо бесконечен, либо недоступен человеческому перечислению. Чтобы подтвердить утверждение «Все вороны черные», нужно было бы наблюдать за всеми воронами. Это сложно, но возможно. Чтобы подтвердить утверждение «Все не-черные вещи - не вороны», необходимо исследовать все нечерные вещи. Это невозможно. Наблюдение за черным вороном можно рассматривать как ограниченное количество подтверждающих доказательств, но наблюдение за не-черным не-вороном было бы бесконечно малым количеством свидетельств.

Парадокс показывает, что критерий Никода и условие эквивалентности Гемпеля несовместимы. Разрешение парадокса должно отклонять по крайней мере один из:

1. отрицательных экземпляров, не имеющих влияния (! PC),
2. условия эквивалентности (EC) или
3. проверки положительными экземплярами (NC).

Удовлетворительное решение должно также объяснить, почему наивно кажется парадоксом. Решения, которые принимают парадоксальный вывод, могут сделать это, представив предложение, которое мы интуитивно знаем как ложное, но которое легко спутать с (PC), в то время как решения, которые отвергают (EC) или (NC), должны представлять предложение, которое мы интуитивно знаем, быть правдой, но это легко спутать с (EC) или (NC).

Признание релевантности не-воронов

Хотя этот вывод парадокса кажется противоречащим интуиции, некоторые подходы допускают, что наблюдения (цветных) не-воронов могут фактически представлять собой веские доказательства в поддержку гипотезы о (вселенской черноте) воронов.

Резолюция Хемпеля

Сам Хемпель принял парадоксальный вывод, утверждая, что причина, по которой результат кажется парадоксальным, заключается в том, что мы обладаем предшествующей информацией, без которой наблюдение за не-черным не-вороном действительно могло бы дать свидетельство того, что все вороны черные.

Он иллюстрирует это на примере обобщения «Все соли натрия горят желтым» и просит нас рассмотреть наблюдение, которое происходит, когда кто-то держит кусок чистого льда в бесцветном пламени, которое не желтеет:

Этот результат подтвердил бы утверждение: «Все, что не горит желтым, не является натриевой солью», и, следовательно, в силу условия эквивалентности он подтвердил бы исходный состав. Почему это кажется нам парадоксальным? Причина становится понятной, если мы сравним предыдущую ситуацию со случаем эксперимента, в котором объект, химический состав которого нам еще неизвестен, помещается в пламя и не может пожелтеть, и где последующий анализ показывает, что он не содержит натрия. соль. Несомненно, мы должны согласиться с тем, что этот результат является тем, чего следовало ожидать на основе гипотезы... таким образом, полученные здесь данные представляют собой подтверждающее свидетельство в пользу гипотезы.... В кажущихся парадоксальными случаях подтверждения мы часто фактически не судим об отношении данного свидетельства, только E к гипотезе H... мы неявно вводим сравнение H с совокупностью свидетельств, состоящих из E в в сочетании с дополнительным объемом информации, которым мы располагаем; на нашей иллюстрации эта информация включает в себя информацию (1) о том, что в эксперименте используется лед, и (2) о том, что лед не содержит натриевой соли. Если мы примем эту дополнительную информацию как данную, то, конечно, результат эксперимента не может добавить силы рассматриваемой гипотезе. Но если мы будем осторожны, чтобы избежать этой молчаливой ссылки на дополнительные знания... парадоксы исчезнут.

Стандартное байесовское решение

Одним из наиболее популярных предлагаемых решений является принятие вывода о том, что наблюдение зеленого Apple предоставляет доказательства того, что все вороны черные, но утверждает, что количество предоставленных подтверждений очень мало из-за большого несоответствия между количеством воронов и количеством не-черных объектов. В соответствии с этой резолюцией вывод кажется парадоксальным, поскольку мы интуитивно оцениваем количество свидетельств, полученных при наблюдении за зеленым яблоком, равным нулю, хотя на самом деле оно не равно нулю, но чрезвычайно мало.

И. Изложение этого аргумента Дж. Гудом в 1960 году, пожалуй, наиболее известно, и с тех пор его вариации пользуются популярностью, хотя он был представлен в 1958 году, а ранние формы аргументации появились еще в 1940 году.

Аргумент Гуда включает расчет веса свидетельства, полученного при наблюдении за черным вороном или белым ботинком, в пользу гипотезы о том, что все вороны в наборе предметов черные. Вес доказательств - это логарифм байесовского фактора, который в данном случае является просто коэффициентом, на который шансы гипотезы изменяются при выполнении наблюдения. Аргумент выглядит следующим образом:

... предположим, что существуют $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$объекты, которые можно увидеть в любой момент, из которых $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \}$- вороны, а $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- черные, и что каждый объект $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$имеет вероятность $1\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{N\}\}\}$быть замеченным. Пусть $H\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{i\}\}$будет гипотезой о существовании $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$не-черных воронов, и предположим, что гипотезы $H\; 1,\; H\; 2,...,\; H\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{1\},\; H\_\; \{2\},...,\; H\_\; \{r\}\}$изначально равновероятны. Затем, если мы случайно увидим черного ворона, фактор Байеса в пользу $H\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\}$is

$r\; N\; /\; average\; (r\; -\; 1\; N,\; r\; -\; 2\; N,....,\; 1\; N)\; =\; 2\; rr\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{r\}\; \{N\}\}\; \{\backslash \; Big\; /\}\; \{\backslash \; text\; \{average\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{r-1\}\; \{N\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{r-2\}\; \{N\}\},...\; \backslash ,\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; tfrac\; \{2r\}\; \{r-1\}\}\}$

т.е. около 2, если известно, что количество существующих воронов велико. Но коэффициент, если мы видим белую обувь, составляет всего

$N\; -\; b\; N\; /\; в\; среднем\; (N\; -\; b\; -\; 1\; N,\; N\; -\; b\; -\; 2\; N,...,\; max\; (0,\; N\; -\; b\; -\; r\; N))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{Nb\}\; \{N\}\}\; \{\backslash \; Big\; /\}\; \{\backslash \; text\; \{average\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{Nb-1\}\; \{N\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{Nb-2\}\; \{N\}\},...\; \backslash ,\; \backslash \; max\; (0,\; \{\backslash \; tfrac\; \{Nbr\}\; \{N\}\})\; \backslash \; right)\}$

$=\; N\; -\; b\; max\; (N\; -\; b\; -\; r\; 2\; -\; 1\; 2,\; 1\; 2\; (N\; -\; b\; -\; 1))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{Nb\}\; \{\backslash \; max\; \backslash \; left\; (Nb\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{r\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (Nb-1)\; \backslash \; right)\}\}\}$

и это превышает единицу всего примерно на $r\; /\; (2\; N\; -\; 2\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; /\; (2N-2b)\}$, если $N\; -\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; Nb\}$большой по сравнению с $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$. Таким образом, весомость свидетельств, получаемых при виде белого башмака, положительна, но мало, если известно, что количество воронов невелико по сравнению с количеством не-черных объектов.

Многие из сторонников этой резолюции и его варианты были сторонниками байесовской вероятности, и теперь его обычно называют байесовским решением, хотя, как отмечает Чихара, «не существует такой вещи, как байесовское решение. Есть много различных« решений ». что байесовцы выдвинули, используя байесовские методы ". Заслуживающие внимания подходы, использующие байесовские методы (некоторые из которых принимают! PC и вместо этого отвергают NC), включают Earman, Eells, Gibson, Hosiasson-Lindenbaum, Howson and Urbach, Mackie и Hintikka, который утверждает, что его подход " более байесовское, чем так называемое «байесовское решение» того же парадокса ». Байесовские подходы, использующие теорию индуктивного вывода Карнапа, включают Humburg, Maher и Fitelson Hawthorne. Чтобы избежать путаницы, Вранас ввел термин «стандартное байесовское решение».

Подход Карнапа

Махер принимает парадоксальный вывод и уточняет его:

Не-ворон (любого цвета) подтверждает, что все вороны черные, потому что

(i) информация о том, что этот объект не ворон, исключает возможность того, что этот объект является контрпримером к обобщению, и

(ii) снижает вероятность того, что ненаблюдаемые объекты являются воронами, тем самым уменьшая вероятность того, что они являются контрпримером к обобщению.

Чтобы достичь (ii), он обращается к теории индуктивной вероятности Карнапа, которая (с байесовской точки зрения) является способом приписывания априорных вероятностей, который естественным образом реализует индукцию. Согласно теории Карнапа, апостериорная вероятность, $P\; (F\; a\; |\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Fa\; |\; E)\}$, что объект, $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, будет иметь предикат $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$после того, как было обнаружено свидетельство $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, будет :

$п\; (F\; a\; |\; E)\; знак\; равно\; N\; F\; +\; \lambda \; P\; (F\; a)\; n\; +\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Fa\; |\; E)\; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{F\}\; +\; \backslash \; lambda\; P\; (Fa)\}\; \{n\; +\; \backslash \; lambda\}\}\}$

где $P\; (F\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Fa)\}$- начальная вероятность того, что $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$имеет предикат $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$; $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- количество объектов, которые были исследованы (согласно имеющимся свидетельствам $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$); $n\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{F\}\}$- количество исследованных объектов, которые, как оказалось, имеют предикат $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$- константа, измеряющая сопротивление обобщению.

Если $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$близко к нулю, $P\; (F\; a\; |\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Fa\; |\; E)\}$будет очень близок к единице после однократного наблюдения за объектом, который, как оказалось, имеет предикат $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, а если $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; лямбда\}$намного больше, чем $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, $P\; (F\; a\; |\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Fa\; |\; E)\}$будет очень близко к $P\; (F\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Fa)\}$независимо от доли наблюдаемых объектов, у которых был предикат $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$.

Использование этого карнапа При таком подходе Махер идентифицирует утверждение, которое мы интуитивно (и правильно) знаем, ложно, но его легко спутать с парадоксальным заключением. Речь идет о том, что наблюдение за не-воронами говорит нам о цвете воронов. Хотя это интуитивно неверно и также неверно в соответствии с теорией индукции Карнапа, наблюдение за не-воронами (согласно той же теории) заставляет нас уменьшить нашу оценку общего числа воронов и, таким образом, уменьшает предполагаемое количество возможных контрпримеров до правило, что все вороны черные.

Следовательно, с байесовско-карнапской точки зрения, наблюдение за не-вороном ничего не говорит нам о цвете воронов, но оно говорит нам о преобладании воронов и подтверждает: «Все вороны черные », уменьшив нашу оценку количества воронов, которые могут не быть черными.

Роль фоновых знаний

Большая часть обсуждения парадокса в целом и байесовского подхода в частности сосредоточена на актуальности базовых знаний. Удивительно, но Махер показывает, что для большого класса возможных конфигураций фоновых знаний наблюдение за не-черным не-вороном дает точно такое же количество подтверждений, как и наблюдение за черным вороном. Конфигурации фоновых знаний, которые он рассматривает, - это те, которые обеспечиваются типовым предложением, а именно утверждением, которое представляет собой соединение атомарных предложений, каждое из которых приписывает один предикат одному человеку, без двух атомарные предложения с участием одного и того же человека. Таким образом, предложение формы «А - черный ворон, а В - белая туфля» можно рассматривать как примерное, если в качестве предикатов взять «черный ворон» и «белый ботинок».

Доказательство Махера, по-видимому, противоречит результату байесовского аргумента, который заключался в том, что наблюдение за не-черным не-вороном дает гораздо меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Причина в том, что исходные знания, используемые Гудом и другими, не могут быть выражены в форме типового предложения - в частности, варианты стандартного байесовского подхода часто предполагают (как это сделал Гуд в приведенном выше аргументе), что общее количество вороны, не-черные объекты и / или общее количество объектов - известные величины. Махер комментирует: «Причина, по которой мы думаем, что существует больше не-черных вещей, чем ворон, заключается в том, что это верно в отношении вещей, которые мы наблюдали до настоящего времени. Свидетельства такого рода могут быть представлены в виде типового утверждения. Но... любое примерное предложение в качестве фонового доказательства, не-черный не-ворон подтверждает А так же сильно, как и черный ворон... Таким образом, мой анализ показывает, что этот ответ на парадокс [то есть стандартный байесовский] не может быть правильным ».

Фителсон и Хоторн исследовали условия, при которых наблюдение за не-черным не-вороном дает меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Они показывают, что если $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- объект, выбранный случайным образом, $B\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; Ba\}$- предположение, что объект является черный, а $R\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; Ra\}$- утверждение, что объект является вороном, тогда условие:

$P\; (B\; a\; ¯\; |\; H\; ¯)\; P\; (R\; a\; |\; H\; ¯)\; -\; P\; (B\; a\; ¯\; |\; R\; a\; H\; ¯)\; \ge \; P\; (B\; a\; |\; R\; a\; H\; ¯)\; P\; (B\; a\; ¯\; |\; H)\; P\; (R\; a\; |\; H)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\; (\; \{\backslash \; overline\; \{Ba\}\}\; |\; \{\backslash \; overline\; \{H\}\})\}\; \{P\; (Ra\; |\; \{\backslash \; overline\; \{H\}\})\}\}\; \backslash \; -\; \backslash \; P\; (\{\backslash \; overline\; \{Ba\}\}\; |\; Ra\; \{\backslash \; overline\; \{\; H\}\})\; \backslash \; \backslash \; geq\; \backslash \; P\; (Ba\; |\; Ra\; \{\backslash \; overline\; \{H\}\})\; \{\backslash \; frac\; \{P\; (\{\backslash \; overline\; \{Ba\}\}\; |\; H)\}\; \{P\; (Ra\; |\; H)\}\}\}$

достаточно для наблюдения за не-черным вороном, чтобы предоставить меньше доказательств, чем за черным вороном. Здесь черта над предложением указывает на логическое отрицание этого предложения.

Это условие не говорит нам, насколько велика разница в представленных доказательствах, но более поздние расчеты в той же статье показывают, что вес доказательств, предоставленных черным вороном, превышает вес доказательств, предоставленных не-черным не-черным. -ворон примерно на $-\; журнал\; \; P\; (B\; a\; |\; R\; a\; H\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; log\; P\; (Ba\; |\; Ra\; \{\backslash \; overline\; \{H\}\})\}$. Это равно количеству дополнительной информации (в битах, если основание логарифма равно 2), которая предоставляется, когда ворон неизвестного цвета оказывается черным, учитывая гипотезу, что не все вороны черные.

Фителсон и Хоторн объясняют, что:

В нормальных условиях $p\; =\; P\; (B\; a\; |\; R\; a\; H\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; P\; (Ba\; |\; Ra\; \{\backslash \; overline\; \{H\})\; \})\}$может быть где-то около 0,9 или 0,95; поэтому $1\; /\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; p\}$находится где-то около 1,11 или 1,05. Таким образом, может показаться, что один-единственный экземпляр черного ворона не принесет гораздо большей поддержки, чем не-черный не-ворон. Однако при вероятных условиях можно показать, что последовательность из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$экземпляров (т.е. n черных воронов по сравнению с n не-черными не-воронами) дает соотношение отношений правдоподобия порядка $(1\; /\; p)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; /\; p)\; ^\; \{n\}\}$, что значительно возрастает для больших $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \}$.

Авторы указывают, что их анализ полностью согласуется с предположением о том, что не-черный не-ворон дает крайне мало свидетельств, хотя они и не пытаются это доказать; они просто вычисляют разницу между количеством доказательств, которые предоставляет черный ворон, и количеством доказательств, которые предоставляет не черный, не ворон.

Опровержение индукции на основе положительных примеров

Некоторые подходы к разрешению парадокса сосредоточены на индуктивном шаге. Они оспаривают, является ли наблюдение конкретного экземпляра (например, одного черного ворона) свидетельством, которое обязательно увеличивает доверие к общей гипотезе (например, что вороны всегда черные).

Отвлекающий маневр

Гуд приводит пример фоновых знаний, в отношении которых наблюдение за черным вороном снижает вероятность того, что все вороны черные:

Предположим, что мы знаем, что находимся в один или другой из двух миров, и рассматриваемая гипотеза H состоит в том, что все вороны в нашем мире черные. Мы заранее знаем, что в одном мире есть сотня черных воронов, не черных воронов и миллион других птиц; и что в другом мире есть тысяча черных воронов, один белый ворон и миллион других птиц. Птица выбирается равновероятно случайным образом из всех птиц в нашем мире. Оказывается, черный ворон. Это убедительное доказательство... того, что мы находимся во втором мире, где не все вороны черные.

Гуд заключает, что белая туфля - это "отвлекающий маневр ": Иногда даже черный ворон может являются свидетельством против гипотезы о том, что все вороны черные, поэтому тот факт, что наблюдение за белым ботинком может подтвердить это, не удивителен и не заслуживает внимания. Согласно Гуду, критерий Никода ложен, и поэтому парадоксальный вывод не следует.

Хемпель отверг это как решение парадокса, настаивая на том, что предложение «c - ворон и черный» должно рассматриваться «само по себе и без ссылки на какую-либо другую информацию», и указал, что это «... было подчеркнуто в разделе 5.2 (b) моей статьи в Mind... что само появление парадоксальности в случаях, подобных случаю с белым ботинком, частично является результатом несоблюдения этой максимы ».

Возникает вопрос, следует ли понимать парадокс в контексте абсолютно отсутствия исходной информации (как предлагает Хемпель), или в контексте исходной информации, которой мы действительно располагаем относительно воронов и черных предметов, или в отношении все возможные конфигурации фоновой информации.

Гуд показал, что для некоторых конфигураций фоновых знаний критерий Никода ложен (при условии, что мы готовы приравнять «индуктивную поддержку» к «увеличению вероятности» - см. Ниже). Оставалась возможность, что в отношении нашей действительной конфигурации знания, которая сильно отличается от примера Гуда, критерий Никода все еще может быть верным, и поэтому мы все еще можем прийти к парадоксальному выводу. Хемпель, с другой стороны, настаивает на том, что наше фоновое знание само по себе является отвлекающим маневром, и что мы должны рассматривать индукцию в отношении состояния полного невежества.

Дитя Гуда

В своем предложенном решении Махер неявно использовал тот факт, что утверждение «Все вороны черные» весьма вероятно, когда весьма вероятно, что воронов нет. Гуд использовал этот факт раньше, чтобы ответить на настойчивые требования Хемпеля о том, что критерий Никода следует понимать как выполняемый в отсутствие исходной информации:

... представьте себе бесконечно умного новорожденного ребенка, имеющего встроенные нейронные цепи, позволяющие ему справляться с формальная логика, английский синтаксис и субъективная вероятность. Теперь он мог бы возразить, после детального определения ворона, что крайне маловероятно, что вороны существуют, и поэтому весьма вероятно, что все вороны черные, то есть что $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$верно. «С другой стороны, - продолжает он, - если есть вороны, то есть большая вероятность, что они бывают разных цветов. Поэтому, если бы я обнаружил, что существует даже черный ворон, я бы посчитал $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$менее вероятным, чем это было изначально ».

Это, по словам Гуда, настолько близко, насколько можно разумно ожидать, дойти до состояния полного невежества, и, похоже, условие Никода все еще ложно. Махер уточнил аргумент Гуда, используя теорию индукции Карнапа для формализации представления о том, что если есть один ворон, то, вероятно, их много.

Аргумент Махера рассматривает вселенную ровно из двух объектов, каждый из которых который вряд ли будет вороном (шанс один из тысячи) и вряд ли будет черным (шанс один из десяти). Используя формулу индукции Карнапа, он обнаруживает, что вероятность того, что все вороны черные, уменьшается с 0,9985 до 0,8995, когда обнаруживается, что один из двух объектов - черный ворон.

Махер приходит к выводу, что не только парадоксальный вывод верен, но и что критерий Никода неверен при отсутствии базовых знаний (за исключением знания, что количество объектов во вселенной равно двум, а вороны менее вероятны. чем черные вещи).

Выдающиеся предикаты

Куайн утверждал, что решение парадокса заключается в признании того факта, что определенные предикаты, которые он назвал естественными видами, имеют выдающийся статус по отношению к индукции. Это можно проиллюстрировать на примере Нельсона Гудмана предиката grue. Объект считается grue, если он синий до (скажем) 2020 года и зеленый после него. Ясно, что мы ожидаем, что объекты, которые были синими до 2020 года, впоследствии останутся синими, но мы не ожидаем, что объекты, которые были синими до 2020 года, станут синими после 2020 года, поскольку после 2020 года они будут зелеными. Куайн объясняет это тем, что «синий» - это естественный вид; привилегированный предикат, который мы можем использовать для индукции, в то время как "grue" не является естественным видом, и использование с ним индукции приводит к ошибке.

Это предлагает разрешение парадокса - критерий Никода верен для естественных видов, таких как «синий» и «черный», но неверен для искусственно придуманных предикатов, таких как «grue» или «non-raven». ". Согласно этой резолюции, парадокс возникает потому, что мы неявно интерпретируем критерий Никода как применимый ко всем предикатам, тогда как на самом деле он применим только к естественным видам.

Другой подход, который предпочитает одни предикаты другим, был использован Hintikka. Хинтикка был мотивирован найти байесовский подход к парадоксу, который не использовал знания об относительных частотах воронов и черных существ. Он утверждает, что аргументы относительно относительных частот не всегда могут объяснить воспринимаемую неуместность свидетельств, состоящих из наблюдений за объектами типа A, для целей изучения объектов типа не-A.

Его аргумент можно проиллюстрировать, перефразируя парадокс с использованием предикатов, отличных от «ворон» и «черный». Например, «Все мужчины высокие» эквивалентно «Все люди низкого роста - женщины», поэтому наблюдение за тем, что случайно выбранный человек является невысокой женщиной, должно служить доказательством того, что все мужчины высокие. Несмотря на то, что нам не хватает базовых знаний, чтобы указать, что мужчин значительно меньше, чем невысоких, мы все же склонны отвергать этот вывод. Пример Хинтикки: «... такое обобщение, как« никакие материальные тела не могут быть бесконечно делимы », кажется, совершенно не затрагивается вопросами, касающимися нематериальных сущностей, независимо от того, что мы думаем об относительных частотах материальных и нематериальных сущностей во вселенной дискурса. «

Его решение - ввести порядок в набор предикатов. Когда логическая система оснащена этим порядком, можно ограничить область обобщения, такого как «Все вороны черные», чтобы оно применялось только к воронам, а не к не-черным вещам, поскольку этот порядок дает воронам привилегии над не-черными. -черные вещи. Как он выразился:

«Если мы вправе предположить, что область обобщения« Все вороны черные »могут быть ограничены воронами, то это означает, что у нас есть некоторая внешняя информация, на которую мы можем положиться относительно фактических данных. Парадокс возникает из-за того факта, что эта информация, которая окрашивает наш спонтанный взгляд на ситуацию, не включается в обычные трактовки индуктивной ситуации ».

Отказ от условия эквивалентности Хемпеля

Некоторые подходы для разрешения парадокса отвергните условие эквивалентности Гемпеля. То есть, они могут не рассматривать доказательства, подтверждающие утверждение, что все не-черные объекты не являются воронами, чтобы обязательно поддержать логически эквивалентные утверждения, такие как все вороны черные.

Выборочное подтверждение

Шеффлер и Гудман применили подход к парадоксу, который включает точку зрения Карла Поппера о том, что научные гипотезы никогда не подтверждаются, а только фальсифицируются.

Подход начинается с того, что наблюдение за черным вороном не доказывает, что «все вороны черные», но опровергает противоположную гипотезу: «Нет воронов черных». С другой стороны, не-черный не-ворон согласуется как с «Все вороны черные», так и с «Никакие вороны не черные». Как выразились авторы:

... утверждение о том, что все вороны черные, не просто подтверждается свидетельством наличия черного ворона, но подтверждается такими свидетельствами, поскольку черный ворон опровергает противоположное утверждение, что все вороны не черные., т.е. удовлетворяет свое отрицание. Другими словами, черный ворон удовлетворяет гипотезе о том, что все вороны черные, а не нет: таким образом, выборочно подтверждается, что все вороны черные.

Выборочное подтверждение нарушает условие эквивалентности, поскольку черный ворон выборочно подтверждает: «Все вороны черные. «но не« Все не-черные существа - не вороны ».

Вероятностная или не вероятностная индукция

Концепция выборочного подтверждения Шеффлера и Гудмана является примером интерпретации фразы «предоставляет доказательства в пользу...», которая не совпадает с «увеличить вероятность... »Это должно быть общей чертой всех резолюций, отвергающих условие эквивалентности, поскольку логически эквивалентные предложения всегда должны иметь одинаковую вероятность.

Наблюдение за черным вороном не может увеличить вероятность утверждения «Все вороны черные», не вызывая точно такого же изменения вероятности, что «Все не-черные существа - не вороны». Если наблюдение индуктивно поддерживает первое, но не второе, тогда «индуктивная поддержка» должна относиться к чему-то другому, кроме изменений в вероятностях высказываний. Возможная лазейка состоит в том, чтобы интерпретировать «Все» как «Почти все» - «Почти все вороны черные» не эквивалентно «Почти все не-черные существа - не вороны», и эти утверждения могут иметь очень разные вероятности.

Это поднимает более широкий вопрос об отношении теории вероятностей к индуктивным рассуждениям. Карл Поппер утверждал, что одна теория вероятностей не может объяснить индукцию. Его аргумент включает разделение гипотезы $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$на часть, дедуктивно вытекающую из свидетельства, $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, и другая часть. Это можно сделать двумя способами.

Сначала рассмотрим разделение:

$H\; =\; A\; и\; BE\; =\; B\; и\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; A\; \backslash \; and\; \backslash \; B\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; E\; =\; B\; \backslash \; and\; \backslash \; C\}$

где $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$вероятностно независимы: $P\; (A\; и\; B)\; =\; P\; (A)\; P\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; and\; \backslash \; B)\; =\; P\; (A)\; P\; (B)\}$и так далее. Условие, необходимое для того, чтобы такое разделение H и E было возможным: $P\; (H\; |\; E)>P\; (H)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (H\; |\; E)>P\; (H)\}$, то есть, что $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$вероятностно поддерживается $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$.

Наблюдение Поппера состоит в том, что часть, $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, из $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$, которое получает поддержку от $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, фактически дедуктивно следует из $E\; \{\; \backslash \; displaystyle\; E\}$, а часть $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$, которая дедуктивно не следует из $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$не получает никакой поддержки со стороны $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, то есть $P\; (A\; |\; E)\; =\; P\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; |\; E)\; =\; P\; (A)\}$.

Во-вторых, разделение:

$H\; =\; (H\; или\; E)\; и\; (H\; или\; E\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; (H\; \backslash \; or\; \backslash \; E)\; \backslash \; and\; \backslash \; (H\; \backslash \; or\; \backslash \; \{\backslash \; overline\; \{E\}\})\}$

разделяет $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$на $(H\; или\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; (H\; \backslash \; or\; \backslash \; E)\}$, что, как говорит Поппер, «логически самая сильная часть $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$(или из содержания $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$), которое следует [дедуктивно] из $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$", и $(H\; или\; E\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; (H\; \backslash \; или\; \backslash \; \{\backslash \; overline\; \{E\}\})\}$, который, по его словам, «содержит все из $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$, который выходит за рамки $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$". Он продолжает:

Предоставляет ли $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$в данном случае какую-либо поддержку фактора $(H\; или\; E\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; (H\; \backslash \; or\; \backslash \; \{\backslash \; overline\; \{E\}\})\}$, который при наличии $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$необходим только для получения $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$? Ответ: нет. Так никогда не бывает. Действительно, $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$countersupports $(H\; или\; E\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; (H\; \backslash \; or\; \backslash \; \{\backslash \; overline\; \{E\}\})\}$за исключением случаев, когда $P\; (H\; |\; E)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (H\; |\; E)\; =\; 1\}$или $P\; (E)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (E)\; =\; 1\; \}$(которые не представляют интереса)....

Этот результат совершенно разрушителен для индуктивной интерпретации исчисления вероятностей. Все вероятностные подтверждения являются чисто дедуктивными: та часть гипотезы, которая не выводится дедуктивно из свидетельств, всегда сильно подкрепляется свидетельствами... Существует такая вещь, как вероятностная поддержка; может быть даже такая вещь, как индуктивная поддержка (хотя мы так не думаем). Но расчет вероятностей показывает, что вероятностная поддержка не может быть индуктивной.

Ортодоксальный подход

Ортодоксальная теория проверки гипотез Неймана – Пирсона рассматривает, как решить, принять или отклонить гипотезу, а не то, какую вероятность присвоить гипотезе. С этой точки зрения гипотеза о том, что «все вороны черные», не принимается постепенно, поскольку ее вероятность возрастает в сторону единицы, когда делается все больше и больше наблюдений, но принимается за одно действие в результате оценки данных, которые имеют уже собрано. Как выразились Нейман и Пирсон:

Не надеясь узнать, истинна или ложна каждая отдельная гипотеза, мы можем искать правила, управляющие нашим поведением по отношению к ним, следуя которым, мы гарантируем, что в долгосрочной перспективе, мы не будем слишком часто ошибаться.

В соответствии с этим подходом нет необходимости приписывать какое-либо значение вероятности гипотезы, хотя, безусловно, необходимо принимать во внимание вероятность данных с учетом гипотезы или данных конкурирующая гипотеза при принятии решения, принять или отвергнуть. Принятие или отклонение гипотезы несет в себе риск ошибки.

Это контрастирует с байесовским подходом, который требует, чтобы гипотезе была присвоена априорная вероятность, которая пересматривается в свете наблюдаемых данных для получения окончательная вероятность гипотезы. В рамках байесовской системы нет риска ошибки, поскольку гипотезы не принимаются или отвергаются; вместо этого им приписываются вероятности.

Был проведен анализ парадокса с ортодоксальной точки зрения, который, среди прочего, приводит к отказу от условия эквивалентности:

Кажется очевидным, что нельзя одновременно принять это Гипотеза о том, что все P являются Q, а также отвергает контрапозитив, т.е. что все не-Q не-P. Тем не менее, легко увидеть, что в соответствии с теорией тестирования Неймана-Пирсона проверка «Все P равны Q» не обязательно является проверкой «Все не-Q не-P» или наоборот. Тест «Все P равны Q» требует ссылки на некоторую альтернативную статистическую гипотезу вида $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, где все P равны Q, , тогда как тест «Все не-Q не-P »требует ссылки на некоторую статистическую альтернативу в форме $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, где все не-Q не-P, . Но эти два набора возможных альтернатив различны... Таким образом, можно пройти тест $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$без проверки его контрапозитивности.

Отказ от материального подтекста

Все следующие утверждения подразумевают друг друга: «Каждый предмет либо черный, либо не ворон», «Каждый ворон черный» и «Каждый не-черный предмет - не ворон». Следовательно, они по определению логически эквивалентны. Однако эти три предложения имеют разные области: первое утверждение что-то говорит о «каждом объекте», а второе говорит что-то о «каждом вороне».

Первое предложение - единственное, область количественной оценки которого неограничена («все объекты»), поэтому это единственное предложение, которое может быть выражено в логике первого порядка. Это логически эквивалентно:

$\forall \; x,\; R\; x\; \to \; B\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; \backslash \; x,\; Rx\; \backslash \; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; Bx\}$

, а также

$\forall \; x,\; B\; x\; ¯\; \to \; R\; x\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; \backslash \; x,\; \{\backslash \; overline\; \{Bx\}\}\; \backslash \; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; \{\backslash \; overline\; \{Rx\}\}\}$

где $\to \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rightarrow\}$обозначает условное условие материала, согласно которому «Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, то $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$» можно понимать как означает "$B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$или $A\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{A\}\}\}$".

Некоторые авторы утверждали, что материальный подтекст не полностью отражает значение слов «Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, то $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$"(см. парадоксы материального подтекста ). «Для каждого объекта $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$либо черный, либо не ворон» истинно, если воронов нет. Именно поэтому фраза «Все вороны черные» считается истинной, когда воронов нет. Более того, аргументы, которые Гуд и Махер использовали для критики критерия Никода (см. § ребенок Гуда, выше), основывались на этом факте - что «все вороны черные» весьма вероятны, когда весьма вероятно, что есть нет воронов.

Сказать, что все вороны черные при отсутствии воронов, - пустое утверждение. Это ни к чему не относится. «Все вороны белые» одинаково уместны и верны, если это утверждение считается имеющим какую-либо истину или уместность.

Некоторые подходы к парадоксу были направлены на поиск других способов интерпретации «Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, то $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$"и" Все $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$являются $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$", что устранило бы воспринимаемую эквивалентность между" Все вороны черный »и« Все не-черные вещи - не вороны ».

Один из таких подходов включает введение многозначной логики, согласно которой «Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, то $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$"имеет значение истинности $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, что означает« Неопределенный »или« Несоответствующий », когда $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$неверно. В такой системе противопоставление не допускается автоматически: «Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, то $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$"не эквивалентно" Если $B\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{B\}\}\}$, то $A\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{A\}\}\}$". Следовательно, «Все вороны черные» не эквивалентны «Все не-черные вещи - не вороны».

В этой системе, когда происходит противопоставление, модальность задействованного условного выражения изменяется с ориентировочного («Если этот кусок масла нагрелся до 32 C, то оно растаяло ») на противоречие (« Если бы этот кусок масла был нагрет до 32 ° C, он бы расплавился »). Согласно этому аргументу, это устраняет предполагаемую эквивалентность, которая необходима для заключения, что желтые коровы могут сообщать нам о воронах:

В правильном грамматическом употреблении контрапозитивный аргумент не должен быть полностью изложен в индикативе. Таким образом:

Из того факта, что если эта спичка поцарапана, она загорится, следует, что если она не загорится, то не поцарапана.

неудобно. Мы должны сказать:

Из того факта, что если эту спичку поцарапать, она загорится, следует, что если бы она не зажигалась, она не была бы поцарапана....

Можно задаться вопросом, какое влияние эта интерпретация Закона Противопоставления оказывает на парадокс подтверждения Гемпеля. «Если $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- ворон, то $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$черный» эквивалентно «If $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$не был черным, тогда $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$не был бы вороном ". Следовательно, все, что подтверждает последнее, должно подтверждать и первое в соответствии с условием эквивалентности. Верно, но желтые коровы по-прежнему не могут фигурировать в подтверждении утверждения «Все вороны черные», потому что в науке подтверждение достигается путем предсказания, а предсказания правильно формулируются в ориентировочном настроении. Бессмысленно спрашивать, что подтверждает гипотезу.

Разные результаты принятия гипотез

Некоторые комментаторы заметили, что утверждения «Все вороны черные» и «Все не-черные вещи - не вороны» предлагать различные процедуры проверки гипотез. Например. Хороший пишет:

Как предложения, два утверждения логически эквивалентны. Но они оказывают на экспериментатора иное психологическое воздействие. Если его попросят проверить, все ли вороны черные, он будет искать ворона и затем решать, черный ли он. Но если его попросят проверить, все ли не-черные существа не вороны, он может поискать не-черный объект, а затем решить, является ли это ворон.

Недавно было высказано предположение, что «Все вороны - это не вороны. черный »и« Все не-черные вещи не вороны »могут иметь разные эффекты, если их принять. Аргумент рассматривает ситуации, в которых общее количество или преобладание воронов и черных предметов неизвестно, но оценивается. Когда гипотеза «Все вороны черные» принимается, согласно аргументу, оценочное количество черных предметов увеличивается, а оценочное количество воронов не меняется.

Это можно проиллюстрировать, рассмотрев ситуацию двух людей, которые имеют одинаковую информацию о воронах и черных предметах и ​​которые имеют идентичные оценки количества воронов и черных предметов. Для конкретности предположим, что всего имеется 100 объектов, и, согласно информации, доступной вовлеченным людям, каждый объект с такой же вероятностью будет не вороном, как и вороном, и с такой же вероятностью будет черным. как это должно быть не черным:

$P\; (R\; a)\; =\; 1\; 2\; P\; (B\; a)\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Ra)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; P\; (Ba)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

и предложения $R\; a,\; R\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; Ra,\; \backslash \; Rb\}$независимы для разных объектов $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$и так далее. Тогда расчетное количество воронов - 50; ориентировочное количество черных вещей - 50; предполагаемое количество черных воронов - 25, а оценочное количество не-черных воронов (контрпримеры к гипотезе) - 25.

Один из людей выполняет статистический тест (например, Неймана-Пирсона или сравнение накопленного веса свидетельств с пороговым значением) гипотезы «Все вороны черные», в то время как другая проверяет гипотезу о том, что «Все не-черные объекты не являются вороны ". Для простоты предположим, что свидетельство, используемое для теста, не имеет ничего общего с коллекцией из 100 объектов, рассматриваемых здесь. Если первый человек принимает гипотезу о том, что «все вороны черные», то, согласно аргументу, около 50 объектов, цвета которых ранее вызывали сомнения (вороны), теперь считаются черными, в то время как об остальных объектах не думают иначе. (не вороны). Следовательно, он должен оценить количество черных воронов в 50, количество черных не-воронов в 25 и количество не-черных не-воронов в 25. Указывая эти изменения, этот аргумент явно ограничивает область «Все вороны». черны "воронам.

С другой стороны, если второй человек принимает гипотезу о том, что «Все не-черные объекты не являются воронами», то приблизительно 50 не-черных объектов, относительно которых было неясно, был ли каждый из них вороном, будут считаться не воронами. В то же время ничего особенного не будет думать о примерно 50 оставшихся объектах (черных объектах). Следовательно, он должен оценить количество черных воронов в 25, количество черных не-воронов в 25 и количество не-черных не воронов в 50. Согласно этому аргументу, поскольку эти два человека расходятся в своих оценках после того, как они приняли различные гипотезы, принятие «Все вороны черные» не эквивалентно признанию «Все не-черные вещи - не вороны»; Принятие первого означает оценку большего количества вещей как черных, в то время как принятие последнего подразумевает оценку большего количества вещей как не воронов. Соответственно, аргумент гласит, что первый требует в качестве доказательства вороны, которые оказываются черными, а второй требует не-черных вещей, которые оказываются не воронами.

Экзистенциальные предпосылки

A Ряд авторов утверждали, что предложения формы «Все $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$являются $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$» предполагают наличие объектов, которые являются $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Этот анализ был применен к парадоксу ворона:

... $H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{1\}\}$: «Все вороны черные» и $H\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2\}\}$: «Все не-черные вещи - не вороны» не являются строго эквивалентными... из-за их различных экзистенциальных предпосылок. Более того, хотя $H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{1\}\}$и $H\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2\}\}$описывают одну и ту же закономерность - отсутствие не черные вороны - у них разные логические формы. Эти две гипотезы имеют разные смыслы и включают разные процедуры для проверки описываемой закономерности.

Модифицированная логика может учитывать экзистенциальные предположения с помощью оператора пресуппозиций «*». Например,

$\forall \; x,\; \ast \; R\; x\; \to \; B\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; \backslash \; x,\; \backslash \; *\; Rx\; \backslash \; rightarrow\; Bx\}$

может обозначать «Все вороны черные», указывая, что это вороны, а не другие. -черные объекты, которые предположительно существуют в этом примере.

... логическая форма каждой гипотезы отличает ее относительно рекомендованного типа подтверждающего свидетельства: возможные истинные экземпляры подстановки каждой гипотезы относятся к различным типам объектов. Тот факт, что две гипотезы включают в себя разные виды процедур тестирования, выражается на формальном языке путем добавления оператора «*» к другому предикату. Таким образом, пресуппозиционный оператор также служит оператором релевантности. Он имеет префикс к предикату «$x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$is a raven» в $H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{1\}\}$, потому что соответствующие объекты к процедуре тестирования, заложенной в «Все вороны черные», относятся только вороны; он имеет префикс перед предикатом «$x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$is nonblack» в $H\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2\}\}$, потому что объекты относящиеся к процедуре тестирования, включенной в «Все не черные вещи - не вороны», включают только не черные вещи.... Использование терминов Фрегена : всякий раз, когда их предположения верны, две гипотезы имеют один и тот же референт (истинностное значение), но разные смыслы ; то есть, они выражают два разных способа определения этого истинностного значения.

• Ошибка ассоциации
• Теория черного лебедя
• Список парадоксов

• Чанг, Хасок ; Фишер, Грант (2011). «Чему на самом деле нас учат вороны: внутренней контекстуальности свидетельств». В Давиде Филиппе; Twining, William L.; Василаки, Мими (ред.). Доказательства, выводы и расследование. Труды Британской академии. 171 . Оксфорд; Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. doi : 10.5871 / bacad / 9780197264843.003.0013. ISBN 9780197264843. OCLC 709682874. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Франчески, Пол (2011-02-04). «Аргумент судного дня и проблема Хемпеля ". paulfranceschi.com. Получено 2020-04-27. Английский перевод статьи, первоначально опубликованной на французском языке как: Franceschi, Paul (март 1999)". Комментарий l 'Urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel ". Канадский философский журнал. 29(1): 139–156. doi : 10.1080 / 00455091.1999.10717508. JSTOR 40232048. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Хемпель, Карл Г. (декабрь 1943 г.). «Чисто синтаксическое определение подтверждения » (PDF). Журнал символической логики. 8(4): 122–143. doi : 10.2307 / 2271053. JSTOR 2271053. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Хемпель, Карл Г. (1966). «Исследования логики подтверждения». In Foster, Маргарита Х.; Мартин, Майкл (ред.). Вероятность, подтверждение и простота: чтения в Фил. ософия индуктивной логики. Нью-Йорк: Odyssey Press. С. 145–183. OCLC 284885. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Уайтли, Швейцария (апрель 1945 г.). «Парадоксы подтверждения Хемпеля». Mind. 54(214): 156–158. doi : 10.1093 / mind / liv.214.156. JSTOR 2250951.