Случайная динамическая система

В математическом поле динамических систем, случайный динамический система - это динамическая система, в которой уравнения движения содержат элемент случайности. Случайные динамические системы характеризуются пространством состояний S, набором из карт $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$из S в себя, которое можно рассматривать как набор всех возможных уравнений движения, и распределение вероятностей Q на множестве $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$, которое представляет случайный выбор карты. Движение в случайной динамической системе можно неформально представить себе как состояние $X\; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; in\; S\}$, развивающееся согласно последовательности карт, случайно выбранных согласно распределению Q.

Примером случайной динамической системы является стохастическое дифференциальное уравнение ; в этом случае распределение Q обычно определяется шумовыми условиями. Он состоит из базового потока, «шума» и коцикла динамической системы в «физическом» фазовом пространстве. Другой пример - случайная динамическая система с дискретным состоянием; обсуждаются некоторые элементарные противоречия между описаниями стохастической динамики цепью Маркова и случайными динамическими системами.

• 1 Мотивация 1: Решения стохастического дифференциального уравнения
• 2 Мотивация 2: Связь с цепью Маркова
• 3 Формальное определение
• 4 Аттракторы для случайных динамических систем
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Пусть $f:\; R\; d\; \to \; R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}$быть $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$-мерное векторное поле, и пусть $\epsilon >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon>0\}$. Предположим, что решение $X\; (t,\; \omega ;\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (t,\; \backslash \; omega;\; x\_\; \{0\})\}$в стохастическое дифференциальное уравнение

$\{d\; X\; =\; f\; (X)\; dt\; +\; \epsilon \; d\; W\; (t);\; X\; (0)\; =\; х\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; X\; =\; f\; (X)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; +\; \backslash \; varepsilon\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; W\; (t);\; \backslash \backslash \; X\; (\; 0)\; =\; x\_\; \{0\};\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\}$

существует для всего положительного времени и некоторого (небольшого) интервала отрицательного времени, зависящего от $\omega \; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$, где $W:\; R\; \times \; \Omega \; \to \; R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; W:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Omega\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}$обозначает $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$-мерный винеровский процесс (броуновское движение ). Неявно в этом утверждении используется классическое вероятностное пространство Винера

$(\Omega ,\; F,\; P):\; =\; (C\; 0\; (R;\; R\; d),\; B\; (C\; 0\; (R;\; R\; d)),\; \gamma ).\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; \backslash \; mathbb\; \{P\}):\; =\; \backslash \; left\; (C\_\; \{0\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\};\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}),\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; (C\_\; \{0\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\};\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\})),\; \backslash \; gamma\; \backslash \; right).\}$

В этом контексте винеровский процесс является координатным процессом.

Теперь определите карту потока или (оператор решения ) $\phi :\; R\; \times \; \Omega \; \times \; R\; d\; \to \; R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Omega\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}$на

$\phi \; (t,\; \omega ,\; x\; 0):\; Знак\; равно\; X\; (t,\; \omega ;\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (t,\; \backslash \; omega,\; x\_\; \{0\}):\; =\; X\; (t,\; \backslash \; omega;\; x\_\; \{0\})\}$

(если правая сторона четко определено ). Тогда $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$(или, точнее, пара $(R\; d,\; \phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\},\; \backslash \; varphi)\}$) - (локальная, левосторонняя) случайная динамическая система. Процесс генерации «потока» из решения стохастического дифференциального уравнения приводит нас к самостоятельному изучению подходящим образом определенных «потоков». Эти «потоки» представляют собой случайные динамические системы.

Случайная динамическая система iid в дискретном пространстве описывается тройкой $(S,\; \Gamma ,\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (S,\; \backslash \; Гамма,\; Q)\}$.

• $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$- пространство состояний, $\{s\; 1,\; s\; 2,\; \cdots ,\; sn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{s\_\; \{1\},\; s\_\; \{2\},\; \backslash \; cdots,\; s\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$.
• $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$- это семейство карт $S\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; rightarrow\; S\}$. Каждая такая карта имеет матричное представление $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$, называемое детерминированной матрицей перехода. Это двоичная матрица, но она имеет ровно одну запись 1 в каждой строке и нули в противном случае.
• $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$- мера вероятности $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-поле $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$.

Дискретная случайная динамическая система выглядит следующим образом:

1. Система находится в некотором состоянии $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{\; 0\}\}$в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, карта $\alpha \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}$в $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$выбирается в соответствии с вероятностной мерой $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$, и система переходит в состояние $x\; 1\; =\; \alpha \; 1\; (x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; (x\_\; \{0\})\}$на шаге 1.
2. Независимо от предыдущих карт, другое карта $\alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\}$выбирается в соответствии с вероятностной мерой $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$, и система переходит к состояние $x\; 2\; =\; \alpha \; 2\; (x\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\; (x\_\; \{1\})\}$.
3. Процедура

Случайная величина $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\}$строится посредством композиции независимых случайных отображений, $X\; n\; =\; \alpha \; n\; \circ \; \alpha \; n\; -\; 1\; \circ \; \cdots \; \circ \; \alpha \; 1\; (Икс\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n-1\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; dots\; \backslash \; circ\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; (X\_\; \{0\; \})\}$. Ясно, что $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\}$- это цепь Маркова.

И наоборот, может и как данная MC быть представлена ​​композициями i.i.d. случайные преобразования? Да, может, но не уникальный. Доказательство существования аналогично теореме Биркгофа – фон Неймана для дважды стохастической матрицы.

. Вот пример, который иллюстрирует существование и неединственность.

Пример: Если пространство состояний $S\; =\; \{1,\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\}$и набор преобразований $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$выражается в терминах детерминированных матриц перехода. Тогда матрица перехода Маркова $M\; =\; (0,4\; 0,6\; 0,7\; 0,3)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 0,4\; 0,6\; \backslash \backslash \; 0,7\; 0,3\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\}$может быть представлено следующим разложением алгоритма min-max, $M\; =\; 0,6\; (0\; 1\; 1\; 0)\; +\; 0,3\; (1\; 0\; 0\; 1)\; +\; 0,1\; (1\; 0\; 1\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; 0,6\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; +0,3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; +0.1\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right).\}$

Между тем, другое разложение может быть $M\; =\; 0,18\; (0\; 1\; 0\; 1)\; +\; 0,28\; (1\; 0\; 1\; 0)\; +\; 0,42\; (0\; 1\; 1\; 0)\; +\; 0,12\; (1\; 0\; 0\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; 0,18\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; +0,28\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; +0,42\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; +0,12\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right).\}$

Формально случайная динамическая система состоит из основного потока, «шума» и коциклическая динамическая система на «физическом» фазовом пространстве. В деталях.

Пусть $(\Omega ,\; F,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; \backslash \; mathbb\; \{P\})\}$будет вероятностное пространство, пространство шума . Определите базовый поток $\vartheta :\; R\; \times \; \Omega \; \to \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Omega\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\}$следующим образом: для каждый раз $s\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, пусть $\vartheta \; s:\; \Omega \; \to \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{s\}:\; \backslash \; Omega\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\}$быть измеримой функцией, сохраняющей меру :

$P\; (E)\; =\; P\; (\vartheta \; s\; -\; 1\; (E))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; (E)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; (\backslash \; vartheta\; \_\; \{s\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (E))\}$для всех $E\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \}\}$и $s\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$;

Предположим также, что

1. $\vartheta \; 0\; =\; id\; \Omega :\; \Omega \; \to \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{id\}\; \_\; \{\backslash \; Omega\}:\; \backslash \; Omega\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\}$, функция идентичности на $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$;
2. для всех $s,\; t\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; s,\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, $\vartheta \; s\; \circ \; \vartheta \; t\; =\; \vartheta \; s\; +\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{s\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{s\; +\; t\}\}$.

То есть, $\vartheta \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{s\}\}$, $s\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, образует группу сохраняющего меру преобразования шума $(\Omega ,\; F,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; \backslash \; mathbb\; \{P\})\}$. Для односторонних случайных динамических систем можно рассматривать только положительные индексы $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$; для случайных динамических систем с дискретным временем можно рассматривать только целочисленные $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$; в этих случаях карты $\vartheta \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{s\}\}$будут формировать только коммутативный моноид вместо группы.

Хотя это верно в большинстве приложений, обычно в формальное определение случайной динамической системы не входит требование, чтобы сохраняющая меру динамическая система $(\Omega ,\; F,\; P,\; \vartheta )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; \backslash \; mathbb\; \{P\},\; \backslash \; vartheta)\}$is эргодический.

Теперь пусть $(X,\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; d)\}$быть полным разделимым метрическим пространством, фазовым пространством . Пусть $\phi :\; R\; \times \; \Omega \; \times \; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Omega\; \backslash \; times\; X\; \backslash \; to\; X\}$будет a $(B\; (R)\; \otimes \; F\; \otimes \; В\; (Икс),\; В\; (Икс))\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; (X),\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; (X))\}$-измеримая функция такая, что

1. для всех $\omega \; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$, $\phi \; (0,\; \omega )\; =\; id\; Икс:\; Икс\; \to \; Икс\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (0,\; \backslash \; omega)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{id\}\; \_\; \{X\}:\; X\; \backslash \; to\; X\}$, тождество функция на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$;
2. для (почти) всех $\omega \; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$, $(t,\; \omega ,\; x)\; \mapsto \; \phi \; (t,\; \omega ,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; (t,\; \backslash \; omega,\; x)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; varphi\; (t,\; \backslash \; omega,\; x)\}$является непрерывным в обоих $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$;
3. $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$удовлетворяет (грубому) свойству коцикла : для почти все $\omega \; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$,

$\phi \; (t,\; \vartheta \; s\; (\omega ))\; \circ \; \phi \; (s,\; \omega )\; =\; \phi \; (t\; +\; s,\; \omega ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (t,\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{s\}\; (\backslash \; omega))\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; (s,\; \backslash \; omega)\; =\; \backslash \; varphi\; (t\; +\; s,\; \backslash \; omega).\}$

В случае случайного динамические системы, управляемые винеровским процессом $W:\; R\; \times \; \Omega \; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; W:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Omega\; \backslash \; to\; X\}$, основной поток $\vartheta \; s\; :\; \Omega \; \to \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{s\}:\; \backslash \; Omega\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\}$будет задано как

$W\; (t,\; \vartheta \; s\; (\omega ))\; =\; W\; (t\; +\; s,\; \omega )\; -\; W\; (s,\; \omega )\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; (t,\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{s\}\; (\backslash \; omega))\; =\; W\; (t\; +\; s,\; \backslash \; omega)\; -W\; (s,\; \backslash \; omega)\}$.

Это можно прочитать как указание на то, что $\vartheta \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{s\}\}$"вместо этого запускает шум в момент времени $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$времени 0 ". Таким образом, свойство коцикла можно интерпретировать как указание на изменение начального состояния $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$с некоторым шумом $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$в течение $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$секунд, а затем через $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$секунд с тем же шумом (как началось с $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$секундная отметка) дает тот же результат, что и эволюция $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$через $(t\; +\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; (t\; +\; s)\}$секунд с тем же шумом.

Понятие аттрактора для случайной динамической системы не так просто определить, как в детерминированном случае. По техническим причинам необходимо «перемотать время назад», как в определении аттрактора отката . Более того, аттрактор зависит от реализации $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$шума.

• Теория хаоса
• Процесс диффузии
• Стохастическое управление