Проекционная мера

Математическая операторная мера, представляющая интерес в квантовой механике и функциональном анализе

В математике, в частности в функциональном анализе, проекционно-оценочная мера (PVM) - это функция, определенная на определенных подмножествах фиксированного набора, и значения которой самосопряжены проекции на фиксированное гильбертово пространство. Проекционно-значные меры формально аналогичны вещественным мерам, за исключением того, что их значения являются самосопряженными проекциями, а не действительными числами. Как и в случае с обычными мерами, можно интегрировать комплексные функции относительно PVM; результатом такого интегрирования является линейный оператор в данном гильбертовом пространстве.

Проекционно-значные меры используются для выражения результатов в спектральной теории, например, важной спектральной теоремы для самосопряженных операторов. Функциональное исчисление Бореля для самосопряженных операторов строится с использованием интегралов по ПВМ. В квантовой механике PVM представляют собой математическое описание проективных измерений. Они обобщаются с помощью положительных операторных мер (POVM) в том же смысле, что смешанное состояние или матрица плотности обобщает понятие чистого состояния..

• 1 Формальное определение
• 2 Расширения проекционно-значных мер, интегралов и спектральной теоремы
• 3 Структура проекционно-значных мер
• 4 Применение в квантовой механике
• 5 Обобщения
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Прогнозируемая мера на измеримом пространстве $(X,\; M)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; M)\}$, где $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- это σ-алгебра подмножеств $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$- это отображение из $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$в набор самосопряженных проекции на гильбертовом пространстве $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$(т.е. ортогональные проекции), такие что

$\pi \; (X)\; знак\; равно\; id\; ЧАС\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; пи\; (Х)\; =\; \backslash \; о\; peratorname\; \{id\}\; \_\; \{H\}\; \backslash \; quad\}$

(где $id\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{H\}\}$- оператор идентичности $H\; \{\; \backslash \; displaystyle\; H\}$) и для каждого $\xi ,\; \eta \; \in \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi,\; \backslash \; eta\; \backslash \; in\; H\}$следующая функция $M\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$

$E\; \mapsto \; ⟨\pi \; (E)\; \xi \; \mid \; \eta ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; langle\; \backslash \; pi\; (E)\; \backslash \; xi\; \backslash \; mid\; \backslash \; eta\; \backslash \; rangle\}$

- это комплексная мера на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$(то есть комплексная счетно-аддитивная функция ).

Мы обозначаем эту меру $S\; \pi \; \; (\xi ,\; \eta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; eta)\}$.

Обратите внимание, что $S\; \pi \; \; (\xi ,\; \xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; xi)\}$- мера с действительным знаком и мера вероятности, когда $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$имеет длину один.

Если $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$является оценочной мерой и

$E\; \cap \; F\; =\; \varnothing ,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; cap\; F\; =\; \backslash \; emptyset,\; \}$

тогда изображения $\pi \; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (E)\}$, $\pi \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (F)\}$являются ортогональными друг другу. Из этого следует, что в общем случае

$\pi \; (E)\; \pi \; (F)\; =\; \pi \; (E\; \cap \; F)\; =\; \pi \; (F)\; \pi \; (E),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (E)\; \backslash \; pi\; (F)\; =\; \backslash \; pi\; (E\; \backslash \; cap\; F)\; =\; \backslash \; pi\; (F)\; \backslash \; pi\; (E),\}$

, и они коммутируют.

Пример . Предположим, что $(X,\; M,\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; M,\; \backslash \; mu)\}$- это пространство меры. Пусть для каждого измеримого подмножества $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$in $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$,

$\pi \; (E):\; L\; 2\; (\mu )\; \to \; L\; 2\; (\mu )\; :\; \psi \; \mapsto \; \chi \; E\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (E):\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mu)\; \backslash \; to\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mu):\; \backslash \; psi\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; chi\; \_\; \{E\}\; \backslash \; psi\}$

быть оператором умножения на индикаторную функцию $1\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\_\; \{E\}\}$на L (X). Тогда $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$- это проекционная мера.

Если π - проекционно-значная мера на измеримом пространстве (X, M), то отображение

$\chi \; E\; \mapsto \; \pi \; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{E\}\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; pi\; (E)\}$

расширяется до линейной карты в векторном пространстве ступенчатых функций на X. Фактически, это легко проверить, что это отображение является гомоморфизмом колец. Это отображение каноническим образом распространяется на все ограниченные комплекснозначные измеримые функции на X, и мы имеем следующее.

Теорема . Для любой ограниченной M-измеримой функции f на X существует единственный ограниченный линейный оператор

$T\; \pi \; (f):\; H\; \to \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (f):\; H\; \backslash \; to\; H\}$

такой, что

$⟨T\; \pi \; \; (f)\; \xi \; \mid \; \eta ⟩\; =\; \int \; X\; fd\; S\; \pi \; \; (\xi ,\; \eta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (f)\; \backslash \; xi\; \backslash \; mid\; \backslash \; eta\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; \backslash \; d\; \backslash \; operatorname\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; eta)\}$

для всех $\xi ,\; \eta \; \in \; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi,\; \backslash \; eta\; \backslash \; in\; H,\}$где $S\; \pi \; \; (\xi ,\; \eta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; эта)\}$обозначает комплексную меру

$E\; \mapsto \; ⟨\pi \; (E)\; \xi \; \mid \; \eta ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; langle\; \backslash \; pi\; (E)\; \backslash \; xi\; \backslash \; mid\; \backslash \; eta\; \backslash \; rangle\}$

из определения $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$.

Карта

$BM\; (X,\; M)\; \to \; L\; (H):\; f\; \mapsto \; T\; \pi \; \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{BM\}\}\; (X,\; M)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (H):\; f\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (f)\}$

является гомоморфизмом колец.

Целочисленное обозначение часто используется для $T\; \pi \; \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (f)\}$, как в

$T\; \pi \; \; (f)\; =\; \int \; X\; f\; (x)\; d\; \pi \; (x)\; =\; \int \; X\; f\; d\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (f)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; pi\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; pi.\}$

Теорема также верна для неограниченных измеримых функций f, но тогда $T\; \pi \; \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (f)\}$будет неограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве H.

Спектральная теорема гласит, что каждый самосопряженный оператор $A:\; H\; \to \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; :\; H\; \backslash \; to\; H\}$имеет связанную проекционно-оценочную меру $\pi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{A\}\}$, определенную на действительной оси, так что

$А\; =\; \int \; R\; xd\; \pi \; A\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; x\; \backslash ,\; d\; \backslash \; pi\; \_\; \{A\}\; (x).\}$

Это позволяет определить функциональное исчисление Бореля для таких операторов : если $g:\; R\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$- измеримая функция, мы устанавливаем

$g\; (A):\; =\; \int \; R\; g\; (x)\; d\; \pi \; A\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (A):\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; g\; (x)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; pi\; \_\; \{A\}\; (x).\}$

Сначала мы приводим общий пример проекционно-оценочной меры, основанной на прямых интегралах. Предположим, что (X, M, μ) - пространство с мерой, и пусть {H x}x ∈ X - измеримое μ-семейство сепарабельных гильбертовых пространств. Для любого E ∈ M пусть π (E) - оператор умножения на 1 E в гильбертовом пространстве

$\int \; X\; \oplus \; H\; x\; d\; \mu \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\}\; H\_\; \{x\}\; \backslash \; d\; \backslash \; mu\; (x).\}$

Тогда π является проекционно-оценочной мерой на (X, M).

Предположим, что π, ρ проекционно-значные меры на (X, M) со значениями в проекциях H, K. π, ρ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор U: H → K такой, что

$\pi \; (E)\; =\; U\; \ast \; \rho \; (E)\; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (E)\; =\; U\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rho\; (E)\; U\; \backslash \; quad\}$

для любого E ∈ M.

Теорема . Если (X, M) является стандартным борелевским пространством, то для любой проекционно-значной меры π на (X, M), принимающей значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, существует борелевская мера μ и μ-измеримое семейство гильбертовых пространств {H x}x ∈ X, такое, что π унитарно эквивалентно умножению на 1 E в гильбертовом пространстве

$\int \; X\; \oplus \; H\; xd\; \mu \; (\; Икс).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\}\; H\_\; \{x\}\; \backslash \; d\; \backslash \; mu\; (x).\}$

Класс меры μ и класс эквивалентности меры функции кратности x → dim H x полностью характеризуют проекционно-значную меру с точностью до унитарной эквивалентности.

Проекционно-значная мера π однородна кратности n тогда и только тогда, когда функция кратности имеет постоянное значение n. Ясно,

Теорема . Любая проекционно-значная мера π, принимающая значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, является ортогональной прямой суммой однородных проекционно-значных мер:

$\pi \; =\; ⨁\; 1\; \le \; n\; \le \; \omega \; (\pi \; \mid \; H\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; n\; \backslash \; leq\; \backslash \; omega\}\; (\backslash \; pi\; \backslash \; mid\; H\_\; \{n\})\}$

где

$H\; n\; =\; \int \; X\; n\; \oplus \; H\; xd\; (\mu \; \mid \; X\; n)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\_\; \{n\}\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\}\; H\_\; \{x\}\; \backslash \; d\; (\backslash \; mu\; \backslash \; mid\; X\_\; \{n\})\; (x)\}$

и

$X\; n\; =\; \{x\; \in \; X:\; dim\; \; H\; x\; =\; n\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; X:\; \backslash \; dim\; H\_\; \{x\}\; =\; n\; \backslash \}.\}$

В квантовой механике при заданной проекционно-оценочной мере измеримое пространство X в пространство непрерывных эндоморфизмов на гильбертовом пространстве H,

• единичная сфера гильбертова пространства H интерпретируется как множество возможных состояний Φ квантовой системы,

• измеримое пространство X - это пространство значений для некоторого квантового свойства системы («наблюдаемое»),

• проекционно-значная мера π выражает вероятность того, что наблюдаемое принимает различные значения.

Обычным выбором для X является вещественная линия, но он также может быть

• R(для положения или количества движения в трех измерениях),

• дискретным набором (для углового момента, энергии связанного состояния и т. д.),

• двухточечным набором "истинный" и "ложно" для истинности произвольного предложения о Φ.

Пусть E - измеримое подмножество измеримого пространства X и Φ - нормированное векторное состояние в H, так что его гильбертова норма унитарна, || Φ || = 1. Вероятность того, что наблюдаемая принимает свое значение в подмножестве E, для системы в состоянии Φ, равна

$P\; \pi \; (\phi )\; (E)\; =\; ⟨\phi \; \mid \; \pi \; (E)\; (\phi )⟩\; =\; ⟨\phi \; |\; \pi \; (E)\; |\; \phi ⟩,\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (\backslash \; varphi)\; (E)\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mid\; \backslash \; pi\; (E)\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; varphi\; |\; \backslash \; pi\; (E)\; |\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle,\}$

где последнее обозначение предпочтительнее в физике.

Мы можем проанализировать это двумя способами.

Во-первых, для каждого фиксированного E проекция π (E) является самосопряженным оператором на H, 1-собственное подпространство которого - это состояния Φ, для которых значение наблюдаемой всегда лежит в E, а 0 -eigenspace - это состояния Φ, для которых значение наблюдаемой никогда не лежит в E.

Во-вторых, для каждого фиксированного нормализованного векторного состояния $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$, ассоциация

$п\; \pi \; (\psi ):\; E\; \mapsto \; ⟨\psi \; \mid \; \pi \; (E)\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (\backslash \; psi):\; E\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \backslash \; mid\; \backslash \; pi\; (E)\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$

- мера вероятности на X, превращающая значения наблюдаемой в случайную величину.

Измерение, которое может быть выполнено с помощью проекционно-оценочной меры π, называется проективным измерением .

Если X - прямая вещественного числа, существует связанный с π эрмитов оператор A, определенный на Н по

$A\; (\phi )\; знак\; равно\; \int \; R\; \lambda \; d\; \pi \; (\lambda )\; (\phi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\}\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; d\; \backslash \; pi\; (\; \backslash \; lambda)\; (\backslash \; varphi),\}$

, который принимает более читаемую форму

$A\; (\phi )\; =\; \sum \; я\; \lambda \; я\; \pi \; (\lambda \; i)\; (\phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; pi\; (\{\backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\})\; (\backslash \; varphi)\}$

, если носитель π является дискретным подмножеством R.

. Вышеупомянутый оператор A называется наблюдаемым связанный со спектральной мерой.

Любой оператор, полученный таким образом, в квантовой механике называется наблюдаемой.

Идея проекционно-значной меры обобщается с помощью положительной операторнозначной меры (POVM), где необходимость ортогональности подразумевается проекционными операторами заменяется идеей набора операторов, являющихся неортогональным разбиением единицы. Это обобщение мотивировано приложениями к квантовой теории информации.

• Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C * -алгебр

• Моретти, В. (2018), Спектральная теория и квантовая механика Математические основы квантовых теорий, симметрий и введение в алгебраические формулировки, 110, Springer, ISBN 978-3- 319-70705-1
• Холл, Британская Колумбия (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Макки, GW, Теория представлений унитарных групп, Издательство Чикагского университета, 1976
• М. Рид и Б. Саймон, Методы математической физики, т. I – IV, Academic Press, 1972.
• ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• G. Тешл, Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шредингера, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, Американское математическое общество, 2009.
• Trèves, François (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Варадараджан, В.С., Геометрия квантовой теории V2, Springer Verlag, 1970.