Функция Матье

Не путать с функцией Массьё.

В математике, Матье функции, иногда называемые угловые функции Матье, являются решениями Матье дифференциального уравнения

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + (a-2q \ cos 2x) y = 0,}$

где и - параметры. Впервые они были представлены Эмилем Леонаром Матье, который столкнулся с ними во время изучения вибрирующих эллиптических пластиков. У них есть приложения во многих областях физических наук, таких как оптика, квантовая механика и общая теория относительности. Они обычно возникают в задачах, связанных с периодическим движением, или при анализе краевых задач уравнений в частных производных, обладающих эллиптической симметрией. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$

• 1 Определение
  • 1.1 Функции Матье
  • 1.2 Модифицированные функции Матье
  • 1.3 Нормализация
• 2 Теория Флоке
• 3 Другие типы функций Матье
  • 3.1 Второй вид
  • 3.2 Дробный порядок
• 4 Явное представление и вычисление
  • 4.1 Первый вид
  • 4.2 Второй вид
  • 4.3 Измененные функции
• 5 Недвижимость
  • 5.1 Качественное поведение
  • 5.2 Размышления и переводы
  • 5.3 Ортогональность и полнота
  • 5.4 Интегральные тождества
  • 5.5 Асимптотические разложения
• 6 приложений
  • 6.1 Уравнения с частными производными
  • 6.2 Динамические проблемы
  • 6.3 Квантовая механика
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 ссылки
• 10 Внешние ссылки

Функции Матье

В некоторых случаях функция Матье относится к решениям дифференциального уравнения Матье для произвольных значений и. Когда не может возникнуть путаницы, другие авторы используют этот термин для обозначения - или -периодических решений, которые существуют только для особых значений и. Точнее, для заданных (реальных) таких периодических решений существует бесконечное число значений, называемых характеристическими числами, условно индексируемых как две отдельные последовательности и, для. Соответствующие функции обозначены и соответственно. Иногда их также называют косинус-эллиптическими и синус-эллиптическими, или функциями Матье первого рода. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a_ {n} (q)}$${\ displaystyle b_ {n} (q)}$${\ Displaystyle п = 1,2,3, \ ldots}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q)}$

В результате предположения, что это реально, как характеристические числа, так и связанные функции являются действительными. ${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q)}$и могут быть дополнительно классифицированы по четности и периодичности (как в отношении) следующим образом: ${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q)}$ ${\ displaystyle x}$

Функция	Паритет	Период
${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n}, \ n {\ text {even}}}$	четный	${\ displaystyle \ pi}$
${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n}, \ n {\ text {odd}}}$	четный	${\ displaystyle 2 \ pi}$
${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n}, \ n {\ text {even}}}$	странный	${\ displaystyle \ pi}$
${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n}, \ n {\ text {odd}}}$	странный	${\ displaystyle 2 \ pi}$

Индексация с целым числом, кроме того, служит для организации характеристических чисел в порядке возрастания, удобна в том, что и станет пропорционально и, как. Поскольку это целое число, это приводит к классификации и как функций Матье (первого рода) целого порядка. Для общих и, кроме них, могут быть определены решения, включая функции Матье дробного порядка, а также непериодические решения. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle \ cos nx}$${\ Displaystyle \ грех nx}$${\ displaystyle q \ rightarrow 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$

Модифицированные функции Матье

Тесно связаны модифицированные функции Матье, также известные как радиальные функции Матье, которые являются решениями модифицированного дифференциального уравнения Матье.

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - (a-2q \ cosh 2x) y = 0,}$

которое можно связать с исходным уравнением Матье, взяв. Соответственно, модифицированные функции Матье первого рода интегрального порядка, обозначаемые и, определяются из ${\ Displaystyle х \ к \ pm {\ rm {я}} х}$${\ displaystyle {\ text {Ce}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {Se}} _ {n} (x, q)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Ce}} _ {n} (x, q) amp; = {\ text {ce}} _ {n} ({\ rm {i}} x, q). \\ {\ text {Se}} _ {n} (x, q) amp; = - {\ rm {i}} \, {\ text {se}} _ {n} ({\ rm {i}} x, q). \ end {выравнивается}}}$

Эти функции являются действительными, когда они реальны. ${\ displaystyle x}$

Нормализация

Обычная нормализация, которая будет использоваться в этой статье, состоит в том, чтобы требовать

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ text {ce}} _ {n} (x, q) ^ {2} dx = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} { \ text {se}} _ {n} (x, q) ^ {2} dx = \ pi}$

а также требовать и как. ${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q) \ rightarrow + \ cos nx}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q) \ rightarrow + \ sin nx}$${\ displaystyle q \ rightarrow 0}$

Основная статья: теория Флоке

Многие свойства дифференциального уравнения Матье можно вывести из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, называемой теорией Флоке. Центральный результат - теорема Флоке:

Теорема Флоке - уравнение Матье всегда имеет хотя бы одно решение, такое что, где - постоянная, которая зависит от параметров уравнения и может быть действительной или комплексной.${\ Displaystyle у (х)}$${\ Displaystyle у (х + \ пи) = \ сигма у (х)}$${\ displaystyle \ sigma}$

Характерные числа естественно связать с теми значениями, которые в результате. Однако следует отметить, что теорема гарантирует только существование по крайней мере, одно решение, удовлетворяющее, когда уравнение Матье на самом деле имеет два независимых решения для любого заданного,. Действительно, оказалось, что с равным одной из характеристических чисел, уравнение Матье имеет только одно периодическое решение (то есть, с периодом или), и это решение является одним из,. Другое решение является непериодическим, обозначается и, соответственно, и называется функцией Матье второго рода. Этот результат формально можно сформулировать как теорему Инса: ${\ Displaystyle а (д)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ sigma = \ pm 1}$${\ Displaystyle у (х + \ пи) = \ сигма у (х)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {fe}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {ge}} _ {n} (x, q)}$

Теорема Инса - Определите в основном периодическую функцию как удовлетворяющую. Тогда, за исключением тривиального случая, уравнение Матье никогда не имеет двух (независимых) принципиально периодических решений при одинаковых значениях и.${\ Displaystyle у (х + \ пи) = \ пм у (х)}$${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$ Пример из теоремы Флоке, с,, (реальная часть, красный, мнимая часть, зеленый)${\ Displaystyle Р (а, д, х)}$${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle q = 1/5}$${\ displaystyle \ mu \ приблизительно 1 + 0,0995i}$

Эквивалентное утверждение теоремы Флоке состоит в том, что уравнение Матье допускает комплексное решение вида

${\ Displaystyle F (а, д, х) = \ ехр (я \ му \, х) \, Р (а, д, х),}$

где - комплексное число, показатель Флоке (или иногда показатель Матье), а - комплексная функция, периодическая по с периодом. Пример показан справа. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle Р (а, д, х)}$

Второй вид

Поскольку уравнение Матье является дифференциальным уравнением второго порядка, можно построить два линейно независимых решения. Теория Флоке гласит, что если равно характеристическому числу, одно из этих решений можно считать периодическим, а другое - непериодическим. Периодическое решение является одной из функций и называется функцией Матье первого рода целого порядка. Непериодическая обозначается либо и, соответственно, и называется функцией Матье второго рода (целого порядка). Непериодические решения неустойчивы, т. Е. Расходятся как. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {fe}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {ge}} _ {n} (x, q)}$${\ Displaystyle г \ rightarrow \ pm \ infty}$

Вторые решения соответствуют модифицированным функциям Матье и естественно определяются как и. ${\ displaystyle {\ text {Ce}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {Se}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {Fe}} _ {n} (x, q) = - я {\ text {fe}} _ {n} (xi, q)}$${\ displaystyle {\ text {Ge}} _ {n} (x, q) = {\ text {ge}} _ {n} (xi, q)}$

Дробный порядок

Функции Матье дробного порядка можно определить как те решения и, нецелое число, которые превращаются в и как. Если иррационально, они непериодичны; однако они остаются ограниченными как. ${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {p} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {p} (x, q)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ cos px}$${\ displaystyle \ sin px}$${\ displaystyle q \ rightarrow 0}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle х \ rightarrow \ infty}$

Важное свойство решений и, для нецелых, является то, что они существуют для того же значения. Напротив, when является целым числом и никогда не встречается для одного и того же значения. (См. Теорему Инса выше.) ${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {p} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {p} (x, q)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {p} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {p} (x, q)}$${\ displaystyle a}$

Эти классификации кратко изложены в таблице ниже. Аналогично определяются модифицированные аналоги функции Матье.

Классификация функций Матье

Заказ	Первый вид	Второй вид
интеграл	${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q)}$	${\ displaystyle {\ text {fe}} _ {n} (x, q)}$
интеграл	${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q)}$	${\ displaystyle {\ text {ge}} _ {n} (x, q)}$
Дробное ( нецелое) ${\ displaystyle p}$	${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {p} (x, q)}$	${\ displaystyle {\ text {se}} _ {p} (x, q)}$

Первый вид

Функции Матье первого рода можно представить в виде ряда Фурье :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {ce}} _ {2n} (x, q) amp; = \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} A_ {2r} ^ {(2n)} (q) \ cos (2rx) \\ {\ text {ce}} _ {2n + 1} (x, q) amp; = \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} A_ {2r + 1} ^ {(2n + 1)} (q) \ cos \ left [(2r + 1) x \ right] \\ {\ text {se}} _ {2n + 1} (x, q) amp; = \ sum _ { r = 0} ^ {\ infty} B_ {2r + 1} ^ {(2n + 1)} (q) \ sin \ left [(2r + 1) x \ right] \\ {\ text {se}} _ {2n + 2} (x, q) amp; = \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} B_ {2r + 2} ^ {(2n + 2)} (q) \ sin \ left [(2r + 2) x \ right] \\\ конец {выровнено}}}$

Коэффициенты разложения и являются функциями, но не зависят от. Подстановкой в ​​уравнение Матье можно показать, что они подчиняются трехчленным рекуррентным соотношениям в нижнем индексе. Например, для каждого находит ${\ Displaystyle A_ {j} ^ {(я)} (q)}$${\ Displaystyle B_ {j} ^ {(я)} (q)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {2n}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} aA_ {0} -qA_ {2} amp; = 0 \\ (a-4) A_ {2} -q (A_ {4} + 2A_ {0}) amp; = 0 \\ (a-4r ^ {2}) A_ {2r} -q (A_ {2r + 2} + A_ {2r-2}) amp; = 0, \ quad r \ geq 2 \ end {align}}}$

Будучи повторения второго порядка в индексе, всегда можно найти два независимых решения, и таким образом, что общее решение может быть выражено в виде линейной комбинации двух:. Более того, в этом частном случае асимптотический анализ показывает, что один из возможных вариантов выбора фундаментальных решений обладает свойством ${\ displaystyle 2r}$${\ displaystyle X_ {2r}}$${\ displaystyle Y_ {2r}}$${\ displaystyle A_ {2r} = c_ {1} X_ {2r} + c_ {2} Y_ {2r}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} X_ {2r} amp; = r ^ {- 2r-1} \ left (- {\ frac {e ^ {2} q} {4}} \ right) ^ {r} \ left [1 + {\ mathcal {O}} (r ^ {- 1}) \ right] \\ Y_ {2r} amp; = r ^ {2r-1} \ left (- {\ frac {4} {e ^ {2} q}} \ right) ^ {r} \ left [1 + {\ mathcal {O}} (r ^ {- 1}) \ right] \ end {выравнивается}}}$

В частности, конечно, тогда как расходится. Таким образом, записывая, мы видим, что для сходимости представления в виде ряда Фурье необходимо выбрать такое, что. Эти варианты соответствуют характеристическим номерам. ${\ displaystyle X_ {2r}}$${\ displaystyle Y_ {2r}}$${\ displaystyle A_ {2r} = c_ {1} X_ {2r} + c_ {2} Y_ {2r}}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {2n}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c_ {2} = 0}$${\ displaystyle a}$

В общем, однако, решение трехчленной рекуррентности с переменными коэффициентами не может быть представлено простым способом, и, следовательно, нет простого способа определить из условия. Более того, даже если приблизительное значение характеристического числа известно, его нельзя использовать для получения коэффициентов путем численного повторения повторяемости в сторону увеличения. Причина в том, что до тех пор, пока характеристическое число приближается только к характеристическому числу, оно не является идентичным, и расходящееся решение в конечном итоге доминирует для достаточно больших. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c_ {2} = 0}$${\ displaystyle A_ {2r}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle Y_ {2r}}$${\ displaystyle r}$

Чтобы преодолеть эти проблемы, требуются более сложные полуаналитические / численные подходы, например, с использованием расширения непрерывной дроби, преобразованием рекуррентности в проблему собственных значений матрицы или реализацией алгоритма обратной рекуррентности. Сложность трехчленного рекуррентного отношения - одна из причин, по которой существует мало простых формул и тождеств, включающих функции Матье.

На практике функции Матье и соответствующие характеристические числа могут быть вычислены с использованием предварительно упакованного программного обеспечения, такого как Mathematica, Maple, MATLAB и SciPy. Для малых значений и низкого порядка они также могут быть выражены пертурбативно в виде степенных рядов, что может быть полезно в физических приложениях. ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle q}$

Второй вид

Есть несколько способов представления функций Матье второго рода. Одно представление в терминах функций Бесселя :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {fe}} _ {2n} (x, q) amp; = - {\ frac {\ pi \ gamma _ {n}} {2}} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {r + n} A_ {2r} ^ {(2n)} (- q) \ {\ text {Im}} [J_ {r} ({\ sqrt { q}} e ^ {ix}) Y_ {r} ({\ sqrt {q}} e ^ {- ix})], \ quad {\ text {where}} \ gamma _ {n} = \ left \ { {\ begin {array} {cc} {\ sqrt {2}}, amp; {\ text {if}} n = 0 \\ 2n, amp; {\ text {if}} n \ geq 1 \ end {array}} \ right. \\ {\ text {fe}} _ {2n + 1} (x, q) amp; = {\ frac {\ pi {\ sqrt {q}}} {2}} \ sum _ {r = 0 } ^ {\ infty} (- 1) ^ {r + n} A_ {2r + 1} ^ {(2n + 1)} (- q) \ {\ text {Im}} [J_ {r} ({\ sqrt {q}} e ^ {ix}) Y_ {r + 1} ({\ sqrt {q}} e ^ {- ix}) + J_ {r + 1} ({\ sqrt {q}} e ^ { ix}) Y_ {r} ({\ sqrt {q}} e ^ {- ix})] \\ {\ text {ge}} _ {2n + 1} (x, q) amp; = - {\ frac { \ pi {\ sqrt {q}}} {2}} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {r + n} B_ {2r + 1} ^ {(2n + 1) } (- q) \ {\ text {Re}} [J_ {r} ({\ sqrt {q}} e ^ {ix}) Y_ {r + 1} ({\ sqrt {q}} e ^ {- ix}) - J_ {r + 1} ({\ sqrt {q}} e ^ {ix}) Y_ {r} ({\ sqrt {q}} e ^ {- ix})] \\ {\ text { ge}} _ {2n + 2} (x, q) amp; = - {\ frac {\ pi q} {4 (n + 1)}} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {r + n} B_ {2r + 2} ^ {(2n + 2)} (- q) \ {\ text {Re}} [J_ {r} ({\ sqrt {q}} e ^ {ix }) Y_ {r + 2} ({\ sqrt {q}} e ^ {- ix}) - J_ {r + 2} ({\ sqrt {q}} e ^ {ix}) Y_ {r} ({ \ sqrt {q}} e ^ {- ix})] \ конец {выровнено}}}$

где и и функция Бесселя первого и второго рода. ${\ displaystyle n, qgt; 0}$${\ Displaystyle J_ {r} (х)}$${\ Displaystyle Y_ {r} (х)}$

Измененные функции

Традиционный подход к числовому вычислению модифицированных функций Матье заключается в использовании ряда произведений функций Бесселя. Для больших и необходимо тщательно выбирать форму ряда, чтобы избежать ошибок вычитания. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle q}$

Существует относительно немного аналитических выражений и тождеств, включающих функции Матье. Более того, в отличие от многих других специальных функций, решения уравнения Матье, вообще говоря, не могут быть выражены через гипергеометрические функции. В этом можно убедиться, преобразовав уравнение Матье в алгебраическую форму с помощью замены переменной: ${\ Displaystyle т = \ соз (х)}$

${\ displaystyle (1-t ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} - t \, {\ frac {dy} {dt}} + (a + 2q (1-2t ^ {2})) \, y = 0.}$

Поскольку это уравнение имеет нерегулярную особую точку на бесконечности, его нельзя преобразовать в уравнение гипергеометрического типа.

Качественное поведение

Примерные графики функций Матье первого рода Участок под разную${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {1} (x, q)}$${\ displaystyle q}$

Для малых, и ведут себя так же, как и. Для произвольных они могут значительно отличаться от своих тригонометрических аналогов; однако в целом они остаются периодическими. Кроме того, для какой - либо реальной, и есть именно простые нули в, и, как нули кластера о. ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n}}$${\ displaystyle \ cos nx}$${\ Displaystyle \ грех nx}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {m} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {m + 1} (x, q)}$${\ displaystyle m}$ ${\ Displaystyle 0 lt;х lt;\ pi}$${\ displaystyle q \ rightarrow \ infty}$${\ Displaystyle х = \ пи / 2}$

Для и поскольку модифицированные функции Матье имеют тенденцию вести себя как периодические функции с затуханием. ${\ displaystyle qgt; 0}$${\ Displaystyle х \ rightarrow \ infty}$

В последующем, и факторы, от разложения Фурье для и можно ссылаться (см Явного представления и вычисление). Они зависят от и не зависят от. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$

Размышления и переводы

Благодаря их четности и периодичности, а также имеют простые свойства при отражениях и переводах, кратных: ${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n}}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; {\ text {ce}} _ {n} (x + \ pi) = (- 1) ^ {n} {\ text {ce}} _ {n} (x) \ \ amp; {\ text {se}} _ {n} (x + \ pi) = (- 1) ^ {n} {\ text {se}} _ {n} (x) \\ amp; {\ text {ce} } _ {n} (x + \ pi / 2) = (- 1) ^ {n} {\ text {ce}} _ {n} (- x + \ pi / 2) \\ amp; {\ text {se}} _ {n + 1} (x + \ pi / 2) = (- 1) ^ {n} {\ text {se}} _ {n + 1} (- x + \ pi / 2) \ end {выровнено}}}$

Также можно писать функции с отрицательными значениями через функции с положительными значениями: ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; {\ text {ce}} _ {2n + 1} (x, -q) = (- 1) ^ {n} {\ text {se}} _ {2n + 1 } (- x + \ pi / 2, q) \\ amp; {\ text {ce}} _ {2n + 2} (x, -q) = (- 1) ^ {n} {\ text {ce}} _ {2n + 2} (- x + \ pi / 2, q) \\ amp; {\ text {se}} _ {2n + 1} (x, -q) = (- 1) ^ {n} {\ text { ce}} _ {2n + 1} (- x + \ pi / 2, q) \\ amp; {\ text {se}} _ {2n + 2} (x, -q) = (- 1) ^ {n} {\ text {se}} _ {2n + 2} (- x + \ pi / 2, q) \ end {align}}}$

Более того,

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; a_ {2n + 1} (q) = b_ {2n + 1} (- q) \\ amp; b_ {2n + 2} (q) = b_ {2n + 2} (- q) \ конец {выровнено}}}$

Ортогональность и полнота

Как и их тригонометрические аналоги и, периодические функции Матье и удовлетворяют соотношениям ортогональности ${\ displaystyle \ cos nx}$${\ Displaystyle \ грех nx}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ text {ce}} _ {n} {\ text {ce}} _ {m} dx = \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} {\ text {se}} _ {n} {\ text {se}} _ {m} dx = \ delta _ {nm} \ pi \\ amp; \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ text {ce}} _ {n} {\ text {se}} _ {m} dx = 0 \ end {align}}}$

Более того, при фиксированном и рассматриваемом как собственное значение уравнение Матье имеет форму Штурма-Лиувилля. Это означает, что собственные функции и образуют полный набор, т.е. любую - или -периодическую функцию можно разложить в ряд по и. ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {n} (x, q)}$${\ displaystyle {\ text {se}} _ {n} (x, q)}$

Интегральные тождества

Решения уравнения Матье удовлетворяют классу интегральных тождеств относительно ядер, которые являются решениями ${\ Displaystyle \ чи (х, х ')}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ chi} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ chi} {\ partial x '^ {2}} } = 2q \ left (\ cos 2x- \ cos 2x '\ right) \ chi}$

Точнее, если решает уравнение Матье с заданными и, то интеграл ${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$

${\ Displaystyle \ пси (х) \ эквив \ int _ {C} \ чи (х, х ') \ фи (х') dx '}$

где - путь в комплексной плоскости, также решает уравнение Матье с тем же и при соблюдении следующих условий: ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$

• ${\ Displaystyle \ чи (х, х ')}$ решает ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ chi} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ chi} {\ partial x '^ {2}} } = 2q \ left (\ cos 2x- \ cos 2x '\ right) \ chi}$
• В рассматриваемых регионах существует и является аналитическим ${\ Displaystyle \ psi (х)}$${\ Displaystyle \ чи (х, х ')}$
• ${\ displaystyle \ left (\ phi {\ frac {\ partial \ chi} {\ partial x '}} - {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x'}} \ chi \ right)}$ имеет такое же значение в конечных точках ${\ displaystyle C}$

Используя соответствующую замену переменных, уравнение для может быть преобразовано в волновое уравнение и решено. Например, одно решение. Примеры полученных таким образом тождеств: ${\ displaystyle \ chi}$ ${\ Displaystyle \ чи (х, х ') = \ зп (2q ^ {1/2} \ грех х \ грех х')}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {se}} _ {2n + 1} (x, q) amp; = {\ frac {{\ text {se}} '_ {2n + 1} (0, q)} {\ pi q ^ {1/2} B_ {1} ^ {(2n + 1)}}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sinh (2q ^ {1/2} \ sin x \ sin x ') {\ text {se}} _ {2n + 1} (x', q) dx '\ qquad (qgt; 0) \\ {\ text {Ce}} _ {2n} (x, q) amp; = {\ frac {{\ text {ce}} _ {2n} (\ pi / 2, q)} {\ pi A_ {0} ^ {(2n)}}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (2q ^ {1/2} \ cosh x \ cos x ') {\ text {ce}} _ {2n} (x', q) dx '\ qquad \ \ \ (qgt; 0) \ конец {выровнено}}}$

Тождества последнего типа полезны для изучения асимптотических свойств модифицированных функций Матье.

Также существуют интегральные отношения между функциями первого и второго рода, например:

${\ displaystyle {\ text {fe}} _ {2n} (x, q) = 2n \ int _ {0} ^ {x} {\ text {ce}} _ {2n} (\ tau, -q) \ J_ {0} \ left ({\ sqrt {2q (\ cos 2x- \ cos 2 \ tau)}} \ right) d \ tau, \ qquad n \ geq 1}$

актуально для любых сложных и реальных. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle q}$

Асимптотические разложения

Следующие асимптотические разложения справедливы для,, и: ${\ displaystyle qgt; 0}$${\ displaystyle {\ text {Im}} (х) = 0}$${\ Displaystyle {\ текст {Re}} (х) \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle 2q ^ {1/2} \ cosh x \ simeq q ^ {1/2} e ^ {x}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Ce}} _ {2n} (x, q) amp; \ sim \ left ({\ frac {2} {\ pi q ^ {1/2}}}} \ справа) ^ {1/2} {\ frac {{\ text {ce}} _ {2n} (0, q) {\ text {ce}} _ {2n} (\ pi / 2, q)} {A_ {0} ^ {(2n)}}} \ cdot e ^ {- x / 2} \ sin \ left (q ^ {1/2} e ^ {x} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \\ {\ text {Ce}} _ {2n + 1} (x, q) amp; \ sim \ left ({\ frac {2} {\ pi q ^ {3/2}}} \ right) ^ {1/2} {\ frac {{\ text {ce}} _ {2n + 1} (0, q) {\ text {ce}} '_ {2n + 1} (\ pi / 2, q) } {A_ {1} ^ {(2n + 1)}}} \ cdot e ^ {- x / 2} \ cos \ left (q ^ {1/2} e ^ {x} + {\ frac {\ pi } {4}} \ right) \\ {\ text {Se}} _ {2n + 1} (x, q) amp; \ sim - \ left ({\ frac {2} {\ pi q ^ {3/2 }}} \ right) ^ {1/2} {\ frac {{\ text {se}} '_ {2n + 1} (0, q) {\ text {se}} _ {2n + 1} (\ pi / 2, q)} {B_ {1} ^ {(2n + 1)}}} \ cdot e ^ {- x / 2} \ cos \ left (q ^ {1/2} e ^ {x} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \\ {\ text {Se}} _ {2n + 2} (x, q) amp; \ sim \ left ({\ frac {2} {\ pi q ^ {5/2}}} \ right) ^ {1/2} {\ frac {{\ text {se}} '_ {2n + 2} (0, q) {\ text {se}}' _ { 2n + 2} (\ pi / 2, q)} {B_ {2} ^ {(2n + 2)}}} \ cdot e ^ {- x / 2} \ sin \ left (q ^ {1/2} e ^ {x} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ end {align}}}$

Таким образом, модифицированные функции Матье экспоненциально убывают при большом действительном аргументе. Подобные асимптотические разложения можно записать для и ; они также экспоненциально затухают при большом действительном аргументе. ${\ displaystyle {\ text {Fe}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ text {Ge}} _ {n}}$

Для четных и нечетных периодических функций Матье и связанных с ними характеристических чисел можно также получить асимптотические разложения для больших. В частности, для характеристических чисел примерно с нечетным целым числом, т. Е.${\ displaystyle ce, se}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle N \ приблизительно N_ {0} = 2n + 1, n = 1,2,3,...,}$

${\ displaystyle a (N) = - 2q + 2q ^ {1/2} N - {\ frac {1} {2 ^ {3}}} (N ^ {2} +1) - {\ frac {1} {2 ^ {7} q ^ {1/2}}} N (N ^ {2} +3) - {\ frac {1} {2 ^ {12} q}} (5N ^ {4} + 34N ^ {2} +9)}$

${\ displaystyle \; \; \; \; \; \; \; \; - {\ frac {1} {2 ^ {17} q ^ {3/2}}} N (33N ^ {4} + 410N ^ {2} +405) - {\ frac {1} {2 ^ {20} q ^ {2}}} (63N ^ {6} + 1260N ^ {4} + 2943N ^ {2} +41807) + { \ mathcal {O}} (д ^ {- 5/2})}$

Обратите внимание на симметрию при замене и на и, что является важной особенностью расширения. Условия этого расширения были получены явно до срока заказа включительно. Здесь только приблизительно нечетное целое число, потому что в пределе всех минимальных сегментов периодического потенциала становятся фактически независимыми гармоническими осцилляторами (следовательно, нечетным целым). При уменьшении становится возможным туннелирование через барьеры (на физическом языке), что приводит к расщеплению характеристических чисел (в квантовой механике, называемых собственными значениями), соответствующих четным и нечетным периодическим функциям Матье. Это расщепление достигается с помощью граничных условий (в квантовой механике это обеспечивает разбиение собственных значений на энергетические зоны). Граничные условия: ${\ displaystyle q ^ {1/2}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle -q ^ {1/2}}$${\ displaystyle -N}$${\ displaystyle | q | ^ {- 7/2}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle q \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ cos 2x}$${\ displaystyle N_ {0}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle a \ rightarrow a _ {\ mp}}$

${\ displaystyle {\ bigg (} {\ frac {dce_ {N_ {0} -1}} {dx}} {\ bigg)} _ {\ pi / 2} = 0, \; \; ce_ {N_ {0 }} (\ pi / 2) = 0, \; \; {\ bigg (} {\ frac {dse_ {N_ {0}}} {dx}} {\ bigg)} _ {\ pi / 2} = 0, \; \; se_ {N_ {0} +1} (\ pi / 2) = 0.}$

Наложив эти граничные условия на асимптотические периодические функции Матье, связанные с указанным выше разложением для, получаем ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle N-N_ {0} = \ mp 2 {\ bigg (} {\ frac {2} {\ pi}} {\ bigg)} ^ {1/2} {\ frac {(16q ^ {1 / 2}) ^ {N_ {0} / 2} e ^ {- 4q ^ {1/2}}} {[{\ frac {1} {2}} (N_ {0} -1)]!}} { \ bigg [} 1 - {\ frac {3 (N_ {0} ^ {2} +1)} {2 ^ {6} q ^ {1/2}}} + {\ frac {1} {2 ^ { 13} q}} (9N_ {0} ^ {4} -40N_ {0} ^ {3} + 18N_ {0} ^ {2} -136N_ {0} +9) +... {\ bigg]}. }$

Соответствующие характеристические числа или собственные значения затем следует разложением, т. Е.

${\ Displaystyle а (N) = а (N_ {0}) + (N-N_ {0}) {\ bigg (} {\ frac {\ partial a} {\ partial N}} {\ bigg)} _ { N_ {0}} +....}$

Вставка соответствующих выражений выше дает результат

${\ displaystyle a (N) \ rightarrow a _ {\ mp} (N_ {0}) = - 2q + 2q ^ {1/2} N_ {0} - {\ frac {1} {2 ^ {3}}} (N_ {0} ^ {2} +1) - {\ frac {1} {2 ^ {7} q ^ {1/2}}} N_ {0} (N_ {0} ^ {2} +3) - {\ frac {1} {2 ^ {12} q}} (5N_ {0} ^ {4} + 34N_ {0} ^ {2} +9) -...}$

${\ Displaystyle \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ mp {\ frac {(16q ^ {1/2}) ^ {N_ { 0} / 2 + 1} e ^ {- 4q ^ {1/2}}} {(8 \ pi) ^ {1/2} [{\ frac {1} {2}} (N_ {0} -1)]!}} {\ bigg [} 1 - {\ frac {N_ {0}} {2 ^ {6} q ^ {1/2}}} (3N_ {0} ^ {2} + 8N_ {0} +3) +... {\ bigg]}.}$

Ведь это собственные значения, связанные с четными собственными функциями Матье или (т.е. со знаком минус сверху) и нечетными собственными функциями Матье или (т.е. со знаком плюс). Явные и нормированные разложения собственных функций можно найти в или. ${\ displaystyle N_ {0} = 1,3,5,...}$${\ displaystyle ce_ {N_ {0}}}$${\ displaystyle ce_ {N_ {0} -1}}$${\ displaystyle se_ {N_ {0} +1}}$${\ displaystyle se_ {N_ {0}}}$

Подобные асимптотические разложения могут быть получены для решений других периодических дифференциальных уравнений, таких как функции Ламе, вытянутые и сжатые сфероидальные волновые функции.

Дифференциальные уравнения Матье появляются в широком диапазоне контекстов в инженерии, физике и прикладной математике. Многие из этих приложений относятся к одной из двух общих категорий: 1) анализ дифференциальных уравнений в частных производных в эллиптических геометриях и 2) динамические задачи, в которых участвуют силы, периодические либо в пространстве, либо во времени. Примеры в пределах обеих категорий обсуждаются ниже.

Уравнения с частными производными

Функции Матье возникают, когда разделение переменных в эллиптических координатах применяется к 1) уравнению Лапласа в трех измерениях и 2) уравнению Гельмгольца в двух или трех измерениях. Поскольку уравнение Гельмгольца является прототипом уравнения для моделирования пространственного изменения классических волн, функции Матье можно использовать для описания множества волновых явлений. Например, в вычислительном электромагнетизме они могут быть использованы для анализа рассеяния от электромагнитных волн от эллиптических цилиндров и распространения волн в эллиптических волноводах. В общей теории относительности точное решение уравнения поля Эйнштейна в виде плоской волны может быть дано в терминах функций Матье.

Совсем недавно функции Матье использовались для решения частного случая уравнения Смолуховского, описывающего статистику стационарного состояния самодвижущихся частиц.

В оставшейся части этого раздела подробно рассматривается анализ двумерного уравнения Гельмгольца. В прямоугольных координатах уравнение Гельмгольца имеет вид

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ вправо) \ psi + k ^ {2} \ psi = 0,}$

Эллиптические координаты определяются как

${\ Displaystyle {\ begin {align} x amp; = c \ cosh \ mu \ cos \ nu \\ y amp; = c \ sinh \ mu \ sin \ nu \ end {align}}}$

где, и положительная постоянная. Уравнение Гельмгольца в этих координатах имеет вид ${\ Displaystyle 0 \ Leq \ му lt;\ infty}$${\ Displaystyle 0 \ Leq \ Nu lt;2 \ pi}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2} (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu)}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ mu ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ nu ^ {2}}} \ right) \ psi + k ^ {2} \ psi = 0}$

Постоянные кривые - конфокальные эллипсы с фокусным расстоянием ; следовательно, эти координаты удобны для решения уравнения Гельмгольца на областях с эллиптическими границами. Разделение переменных через дает уравнения Матье ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle \ пси (\ му, \ ню) = F (\ му) G (\ ню)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; {\ frac {d ^ {2} F} {d \ mu ^ {2}}} - \ left (a - {\ frac {c ^ {2} k ^ {2 }} {2}} \ ch 2 \ mu \ right) F = 0 \\ amp; {\ frac {d ^ {2} G} {d \ nu ^ {2}}} + \ left (a - {\ frac {c ^ {2} k ^ {2}} {2}} \ cos 2 \ nu \ right) G = 0 \\\ конец {выровнено}}}$

где - постоянная разделения. ${\ displaystyle a}$

В качестве конкретного физического примера уравнение Гельмгольца можно интерпретировать как описывающее нормальные режимы упругой мембраны при равномерном растяжении. В этом случае накладываются следующие физические условия:

• Периодичность по, т.е.${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ пси (\ му, \ ню) = \ пси (\ му, \ ню +2 \ пи)}$
• Непрерывность смещения по межфокальной линии: ${\ Displaystyle \ psi (0, \ nu) = \ psi (0, - \ nu)}$
• Непрерывность производной по межфокальной линии: ${\ Displaystyle \ psi _ {\ mu} (0, \ nu) = - \ psi _ {\ mu} (0, - \ nu)}$

Для данного, это ограничивает решения теми, которые имеют форму и, где. Это то же самое, что и ограничение допустимых значений для данного. Ограничения возникают из-за наложения физических условий на некоторую ограничивающую поверхность, такую ​​как эллиптическая граница, определяемая с помощью. Например, зажим мембраны при наложении, что, в свою очередь, требует ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ text {Ce}} _ {n} (\ mu, q) {\ text {ce}} _ {n} (\ nu, q)}$${\ displaystyle {\ text {Se}} _ {n} (\ mu, q) {\ text {se}} _ {n} (\ nu, q)}$${\ Displaystyle д = с ^ {2} к ^ {2} / 2}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {0}gt; 0}$${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {0}}$${\ displaystyle \ psi (\ mu _ {0}, \ nu) = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Ce}} _ {n} (\ mu _ {0}, q) = 0 \\ {\ text {Se}} _ {n} (\ mu _ { 0}, q) = 0 \ end {выровнено}}}$

Эти условия определяют нормальные режимы работы системы.

Динамические проблемы

В динамических задачах с периодически меняющимися силами уравнение движения иногда принимает форму уравнения Матье. В таких случаях знание общих свойств уравнения Матье - особенно в отношении устойчивости решений - может быть важным для понимания качественных особенностей физической динамики. Классическим примером в этом отношении является перевернутый маятник. Другие примеры:

• колебания струны с периодически изменяющимся натяжением
• устойчивость железнодорожных рельсов при проезде по ним поездов
• сезонно-вынужденная динамика населения
• явление параметрического резонанса в вынужденных осцилляторах
• движение ионов в квадрупольной ионной ловушке
• эффект Штарка для вращающегося электрического диполя
• теории Флоке устойчивости предельных циклов

Квантовая механика

Функции Матье играют роль в некоторых квантово-механических системах, особенно с пространственно-периодическими потенциалами, такими как квантовый маятник и кристаллические решетки.

Модифицированное уравнение Матье возникает также при описании квантовой механики сингулярных потенциалов. Для частного сингулярного потенциала радиальное уравнение Шредингера ${\ Displaystyle V (г) = г ^ {2} / г ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dr ^ {2}}} + \ left [k ^ {2} - {\ frac {\ ell (\ ell +1)} {r ^ {2 }}} - {\ frac {g ^ {2}} {r ^ {4}}} \ right] y = 0}$

можно преобразовать в уравнение

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ varphi} {dz ^ {2}}} + \ left [2h ^ {2} \ cosh 2z- \ left (\ ell + {\ frac {1} {2 }} \ right) ^ {2} \ right] \ varphi = 0.}$

Преобразование достигается следующими заменами

${\ displaystyle y = r ^ {1/2} \ varphi, r = \ gamma e ^ {z}, \ gamma = {\ frac {ig} {h}}, h ^ {2} = ikg, h = e ^ {I \ pi / 4} (кг) ^ {1/2}.}$

Решая уравнение Шредингера (для этого конкретного потенциала) в терминах решений модифицированного уравнения Матье, можно получить свойства рассеяния, такие как S-матрица и поглощательная способность.

• Список математических функций
• Дифференциальное уравнение Хилла
• Функция Ламе
• Монохроматическая плоская электромагнитная волна
• Перевернутый маятник

• Арскотт, Феликс (1964). Периодические дифференциальные уравнения: введение в Матье, Ламе и родственные им функции. Pergamon Press. ISBN   9781483164885.
• Баракат Р. (1963), «Дифракция плоских волн на эллиптическом цилиндре», Журнал Американского акустического общества, 35 (12): 1990–1996, Bibcode : 1963ASAJ... 35.1990B, doi : 10.1121 / 1,1918878
• Бибби, Малькольм М.; Петерсон, Эндрю Ф. (2014). Точное вычисление функций Матье. Морган и Клейпул. DOI : 10.2200 / S00526ED1V01Y201307CEM032. ISBN   9781627050852.
• Хаос-Кадор, Л.; Лей-Ку, Э. (2002), « Повторный визит к функциям Матье: матричное вычисление и производящие функции», Revista mexicana de física, 48 (1): 67–75
• Дингл, Роберт Б.; Мюллер, Харальд JW (1964). «Вид коэффициентов поздних членов в асимптотических разложениях характеристических чисел Матье и сфероидально-волновых функций». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 216: 123–133. ISSN   0075-4102.
• Градштейн, Израиль Соломонович ; и другие. (Февраль 2007 г.). Джеффри, Алан; Цвиллинджер, Даниэль (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (7-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN   978-0-12-373637-6. Руководство по ремонту   2360010.
• Гутьеррес-Вега, Хулио К. (2015), «Функции Матье», в Николасе Дж. Хайэме; и другие. (ред.), Принстонский компаньон по прикладной математике, Princeton University Press, стр. 159–160
• Иянага, Сёкичи; Кавада, Юкиёси, ред. (1980) [1977]. Энциклопедический словарь математики, Том I. Перевод со 2-го японского издания, версия в мягкой обложке издания 1977 г. (1-е изд.). MIT Press. ISBN   978-0-262-59010-5. Руководство по ремонту   0591028.
• Джин, JM; Чжан, Шань Цзе (1996). Вычисление специальных функций. Нью-Йорк: Вили. ISBN   9780471119630.
• Kretzschmar, JG (1970), «Распространение волн в полых проводящих эллиптических волноводах», IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 18 (9): 547–554, Bibcode : 1970ITMTT..18..547K, doi : 10.1109 / TMTT. 1970.1127288
• Malits, Пинхас (2010), «Отношения между Матьё функций первого и второго рода», Интегральные преобразования и специальные функции, 21 (6): 423-436, дой : 10,1080 / 10652460903360499
• Март, Раймонд Э. (апрель 1997 г.). «Введение в квадрупольную масс-спектрометрию с ионной ловушкой». Журнал масс-спектрометрии. 32 (4): 351–369. Bibcode : 1997JMSp... 32..351M. DOI : 10.1002 / (SICI) 1096-9888 (199704) 32: 4 lt;351:: AID-JMS512gt; 3.0.CO; 2-Y.
• Mathieu, E. (1868), «Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d'une Membrane de Forme Elliptique», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées : 137–203
• Маклахлан, Н.В. (1951). Теория и применение функций Матье. Издательство Оксфордского университета. Примечание: литографически перепечатано в Великобритании в University Press, Oxford, 1951 г. с исправленных листов первого издания (1947 г.).
• Мейкснер, Йозеф; Schäfke, Фридрих Вильгельм (1954). Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen (на немецком языке). Берлин: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-662-00941-3. ISBN   978-3-540-01806-3.
• Морс, Филип МакКорд; Фешбах, Герман (1953-01-01). Методы теоретической физики: Ч. 1 (Переиздание). Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Inc., США. ISBN   9780070433168.
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям (2-е изд.). World Scientific. ISBN   978-981-4397-73-5.
• Дингл, РБ; Мюллер, HJW (1962). "Асимптотические разложения функций Матье и их характеристических чисел". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1962 (211): 11–32. DOI : 10,1515 / crll.1962.211.11. ISSN   0075-4102.
• Мюллер, HJW (1962). "Об асимптотических разложениях функций Матье". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1962 (211): 179–190. DOI : 10,1515 / crll.1962.211.179. ISSN   0075-4102.
• Себак, А.; Шафай, Л. (1991), "Обобщенные решения для электромагнитного рассеяния эллиптическими структурами", Computer Physics Communications, 68 (1–3): 315–330, Bibcode : 1991CoPhC..68..315S, doi : 10.1016 / 0010- 4655 (91) 90206-З
• Солон, А.П.; Кейтс, штат Мэн; Тайлер, Дж. (2015), «Активные броуновские частицы и частицы типа« бег и падающий »: сравнительное исследование», The European Physical Journal Special Topics, 224 (7): 1231–1262, arXiv : 1504.07391, Bibcode : 2015EPJST.224.1231 S, DOI : 10,1140 / epjst / e2015-02457-0
• Темме, Нико М. (2015), «Специальные функции», у Николаса Дж. Хайэма; и другие. (ред.), Принстонский компаньон по прикладной математике, Princeton University Press, стр. 234
• Ван Бурен, Арни Л.; Бойсверт, Джеффри Э. (2007). «Точный расчет модифицированных функций Матье целого порядка». Ежеквартальный вестник прикладной математики. 65 (1): 1-23. DOI : 10.1090 / S0033-569X-07-01039-5. ISSN   0033-569X.
• Лью Ян Вун, LC, Willatzen M (2011). Разделимые краевые задачи в физике. Wiley-VCH. DOI : 10.1002 / 9783527634927. ISBN   978-3-527-41020-0. (бесплатный онлайн-доступ к приложению о функциях Матье)
• Слабак, Джет (1984). Вычисление с рекуррентными отношениями. Pitman Publishing. С. 83–84. ISBN   0-273-08508-5.
• Вольф, Г. (2010), «Функции Матье и уравнение Хилла», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-19225-5, MR   2723248

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Матье». MathWorld.
• Список уравнений и тождеств для функций Матье functions.wolfram.com
• "Функции Матье", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Тимоти Джонс, Уравнения Матье и идеальная ловушка РЧ-Поля (2006)
• Уравнение Матье, EqWorld
• Цифровая библиотека математических функций NIST: функции Матье и уравнение Хилла