Ограничить порядковый номер

редактировать

Класс бесконечных порядковых чисел

Представление порядковых чисел до ω. Каждый виток спирали представляет собой одну степень ω. Предельные порядковые числа - это те, которые не равны нулю и не имеют предшественников, например ω или ω

В теории множеств, предельный порядковый номер является порядковым числом, который не является ни нулем, ни порядковым номером преемника. В качестве альтернативы ординал λ является предельным порядковым номером, если существует порядковый номер меньше λ, и если β является порядковым номером меньше λ, тогда существует порядковый номер γ такой, что β < γ < λ. Every ordinal number is either zero, or a successor ordinal, or a limit ordinal.

Например, ω, наименьший порядковый номер, превышающий каждое натуральное число, является предельным порядковым номером, потому что для любого меньшего порядкового номера (т.е. для любого натурального числа) n мы можем найти другое натуральное число, большее его (например, n + 1), но все же меньше ω.

Используя определение фон Неймана для порядковых чисел, каждый порядковый номер представляет собой упорядоченный набор всех меньших порядковых чисел. Объединение непустого набора порядковых номеров, не имеющего наибольшего элемента, тогда всегда является предельным порядковым номером. Используя кардинальное присвоение фон Неймана, каждое бесконечное кардинальное число также является предельным порядковым номером.

Содержание

1 Альтернативные определения
2 Примеры
3 Свойства
4 См. Также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Альтернативные определения

Разное другое способы определения предельных ординалов:

Он равен верхнему пределу всех порядковых номеров ниже него, но не равен нулю. (Сравните с последующим порядковым номером: набор порядковых номеров ниже него имеет максимум, поэтому верхняя грань является этим максимумом, предыдущим порядковым номером.)
Он не равен нулю и не имеет максимального элемента.
Его можно записать в виде ωα при α>0. То есть в нормальной форме Кантора в качестве последнего члена нет конечного числа, а порядковый номер отличен от нуля.
Это предельная точка класса порядковых чисел по отношению к топология порядка . (Другие порядковые числа - изолированные точки.)

Существуют разногласия по поводу того, следует ли классифицировать 0 как предельный порядковый номер, поскольку у него нет непосредственного предшественника; некоторые учебники включают 0 в класс предельных порядковых номеров, в то время как другие исключить его.

Примеры

Поскольку класс порядковых чисел хорошо упорядочен, существует наименьший бесконечный предельный порядковый номер; обозначается ω (омега). Ординал ω также является наименьшим бесконечным порядковым номером (без учета предела), так как он является наименьшей верхней границей натуральных чисел. Следовательно, ω представляет собой порядок тип натуральных чисел. Следующий предельный ординал над первым - это ω + ω = ω · 2, который обобщается на ω · n для любого натурального числа n. Принимая union (supremum операции на любом множестве ординалов) всех ω · n, мы получаем ω · ω = ω, которая обобщается на ω для любого натурального числа n. Этот процесс может быть повторен как следует произвести:

ω 3, ω 4,…, ω ω, ω ω ω,…, ϵ 0 = ω ω ω ⋅ ⋅ ⋅,… {\ displaystyle \ omega ^ {3}, \ omega ^ {4}, \ ldots, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}}, \ ldots, \ epsilon _ {0} = \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {~ \ cdot ^ {~ \ cdot ^ {~ \ cdot}}}}}, \ ldots}

\ omega ^ {3 }, \ omega ^ {4}, \ ldots, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {{\ omega ^ {\ omega}}}, \ ldots, \ epsilon _ {0} = \ omega ^ {{ \ omega ^ {{\ omega ^ {{~ \ cdot ^ {{~ \ cdot ^ {{~ \ cdot}}}}}}}}}}, \ ldots

В общем, все эти рекурсивные определения через умножение, возведение в степень, повторное возведение в степень и т. д. дают порядковые числа пределов. Все обсуждаемые до сих пор порядковые числа по-прежнему являются счетными ординалами. Однако не существует схемы рекурсивного перечисления для систематического наименования всех ординалов, меньших, чем порядковый номер Черча – Клини, который является счетным порядковым номером.

Помимо счетного, первый несчетный порядковый номер обычно обозначается ω 1. Это также предельный порядковый номер.

Продолжая, можно получить следующее (все они теперь увеличиваются в мощности):

ω 2, ω 3,…, ω ω, ω ω + 1,…, ω ω ω,… {\ displaystyle \ omega _ {2}, \ omega _ {3}, \ ldots, \ omega _ {\ omega}, \ omega _ {\ omega +1}, \ ldots, \ omega _ {\ omega _ {\ omega}}, \ ldots}

\ omega _ {2}, \ omega _ {3}, \ ldots, \ omega _ {\ omega}, \ omega _ {{\ omega +1}}, \ ldots, \ omega _ {{\ omega _ {\ omega}}}, \ ldots

В общем, мы всегда получаем предельный порядковый номер при объединении непустого набора порядковых номеров, у которого нет элемента maximum.

Порядковые номера формы ω²α, для α>0, являются пределами пределов и т. Д.

Свойства

Классы последующих порядковых номеров и предельных ординалов (различных cofinalities ), а также ноль исчерпывают весь класс порядковых чисел, поэтому эти случаи часто используются в доказательствах с помощью трансфинитной индукции или определений с помощью трансфинитной рекурсии. Предельные порядковые числа представляют собой своего рода «поворотный момент» в таких процедурах, в которых необходимо использовать ограничивающие операции, такие как объединение всех предшествующих порядковых чисел. В принципе, с предельными порядковыми числами можно делать все, что угодно, но объединение является непрерывным в топологии порядка, и это обычно желательно.

Если мы используем кардинальное присвоение фон Неймана, каждое бесконечное кардинальное число также является предельным порядковым номером (и это подходящее наблюдение, поскольку кардинал происходит от латинского cardo, что означает шарнир или поворотная точка): доказательство этого факта осуществляется простым показом того, что каждый бесконечный порядковый номер-преемник равнозначен предельному порядковому номеру с помощью аргумента Hotel Infinity.

Кардинальные числа имеют собственное понятие преемственности и ограничения (все повышается до более высокого уровня).

См. Также

Ссылки

^, например, Томас Джеч, Теория множеств. Издание третьего тысячелетия. Springer.
^например, Кеннет Кунен, Теория множеств. Введение в доказательства независимости. Северная Голландия.

Дополнительная литература

Cantor, G., (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II (тр.: Вклад в создание теории трансфинитных чисел II), Mathematische Annalen 49, 207-246 английский перевод.
Конвей, Дж. Х. и Гай, РК " Порядковые числа Кантора ". В Книге Чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 266–267 и 274, 1996.
Sierpiński, W. (1965). Кардинальные и порядковые числа (2-е изд.). Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Также определяет порядковые операции в терминах нормальной формы Кантора.