Кардинальное назначение фон Неймана - von Neumann cardinal assignment

редактировать

Кардинальное назначение фон Неймана - это кардинальное присвоение, в котором используются порядковые числа. Для хорошо упорядочиваемого набора U мы определяем его кардинальное число как наименьшее порядковое число , равное U, используя определение фон Неймана для порядкового числа.. Точнее:

| U | = c a r d (U) = inf {α ∈ O N | α = с U}, {\ displaystyle | U | = \ mathrm {card} (U) = \ inf \ {\ alpha \ in ON \ | \ \ alpha = _ {c} U \},}

| U | = {\ mathrm {card}} (U) = \ inf \ {\ alpha \ in ON \ | \ \ alpha = _ {c} U \},

где ON - это класс порядковых номеров. Этот порядковый номер также называется начальным порядковым номером кардинала.

То, что такой порядковый номер существует и уникален, гарантируется тем фактом, что U хорошо упорядочен, а класс порядковых номеров хорошо упорядочен с использованием аксиомы замены. Согласно полной аксиоме выбора, каждый набор хорошо упорядочивается, поэтому каждый набор имеет кардинал; мы упорядочиваем кардиналов, используя унаследованный порядок порядковых номеров. Легко найти, что это совпадает с порядком через ≤ c. Это правильный порядок количественных чисел.

Начальный порядковый номер кардинала

С каждым порядковым номером связан кардинал, его количество элементов, полученное простым забыванием порядка. Любой хорошо упорядоченный набор, имеющий этот порядковый номер в качестве типа порядка, имеет такую же мощность. Наименьший ординал, имеющий данный кардинал в качестве мощности, называется начальным ординалом этого кардинала. Каждый конечный порядковый номер (натуральное число ) является начальным, но большинство бесконечных порядковых номеров не являются начальными. Аксиома выбора эквивалентна утверждению, что каждый набор может быть хорошо упорядочен, т.е. что каждый кардинал имеет начальный порядковый номер. В этом случае принято отождествлять кардинальное число с его начальным порядковым номером, и мы говорим, что начальный порядковый номер является кардиналом.

$α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ -й бесконечный начальный порядковый номер записывается $ω α {\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ $\ omega _ {\ alpha}$ . Его мощность записывается как $ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {\ alpha}$ ( $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ -й алеф номер ). Например, мощность $ω 0 = ω {\ displaystyle \ omega _ {0} = \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ omega}$ равна $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}} <49.>$ $\ aleph _ {0}$ , что также является мощностью $ω 2 {\ displaystyle \ omega ^ {2}}$ $\ omega ^ {2}$ , $ω ω {\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$ $\ omega ^ {\ omega}$ , и $ϵ 0 {\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$ $\ epsilon _ {0}$ (все счетные порядковые числа). Таким образом, мы идентифицируем $ω α {\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ $\ omega _ {\ alpha}$ с $ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {\ alpha}$ , кроме что обозначение $ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {\ alpha}$ используется для написания кардиналов, а $ω α {\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ $\ omega _ {\ alpha}$ для записи порядковых номеров. Это важно, потому что арифметика по кардиналам отличается от арифметики по порядковым числам, например $ℵ α 2 {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {2}}$ = $ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {\ alpha}$ тогда как $ω α 2 {\ displaystyle \ omega _ {\ alpha} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha } ^ {2}}$ > $ω α {\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ $\ omega _ {\ alpha}$ . Кроме того, $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {{1}}$ является наименьшим несчетным порядковым номером (чтобы убедиться, что он существует, рассмотрите набор классов эквивалентности правильного упорядочивания натуральных чисел; каждое такое упорядочение определяет счетный порядковый номер, а $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {{1}}$ является типом порядка этого набор), $ω 2 {\ displaystyle \ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ - наименьший порядковый номер, мощность которого больше $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ алеф _ {1}$ и так далее, и $ω ω {\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$ - это предел $ω n {\ displaystyle \ omega _ {n} }$ $\ omega _ {n}$ для натуральных чисел $n {\ displaystyle n}$ $n$ (любое ограничение кардиналов является кардинальным, так что это ограничение действительно является первым кардиналом после всех $ω n {\ displaystyle \ omega _ {n}}$ $\ omega _ {n}$ ).

Бесконечные начальные порядковые номера являются предельными порядковыми номерами. Используя порядковую арифметику, $α < ω β {\displaystyle \alpha <\omega _{\beta }}$ ${\ displaystyle \ alpha <\ omega _ {\ beta}}$ подразумевает $α + ω β = ω β {\ displaystyle \ alpha + \ omega _ {\ beta} = \ omega _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ alpha + \ omega _ {\ beta} = \ omega _ {\ beta}}$ и 1 ≤ α < ωβподразумевает α · ω β = ω β, а 2 ≤ α < ωβподразумевает α = ω β. Используя иерархию Веблена, β ≠ 0 и α < ωβподразумевают $φ α (ω β) = ω β {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} (\ omega _ {\ beta}) = \ omega _ {\ beta} \,}$ $\ varphi _ {{\ alpha}} (\ omega _ {{\ beta}}) = \ omega _ {{\ beta}} \,$ и Γ ωβ= ω β. Действительно, можно пойти намного дальше. Таким образом, бесконечный начальный порядковый номер как ординал является чрезвычайно сильным ограничением.

См. Также

Алеф номер

Ссылки

Y.N. Заметки Мощовакиса по теории множеств (Спрингер, 1994) с. 198