Изолированная точка

«0» - изолированная точка A = {0} ∪ [1, 2]

В математике, А точка х называется изолированной точкой подмножества S (в топологическом пространстве X), если х является элементом S и существует окрестность из х, которые не содержат каких - либо других точек S. Это эквивалентно тому, что одноэлементный { х } есть открытое множество в топологическом пространстве S (рассматривается как подпространство в X). Еще одна эквивалентная формулировка: элемент х из S является изолированной точкой S, если и только если он не является предельной точкой из S.

Если пространство X является евклидовом пространства (или любым другим метрическим пространства ), то элемент х из S является изолированной точкой S, если существует открытый шар вокруг й, который не содержит никаких других точек S.

• 1 Связанные понятия
• 2 Примеры
  • 2.1 Стандартные примеры
  • 2.2 Два нелогичных примера
• 3 См. Также
• 4 ссылки
• 5 Внешние ссылки

Набор, состоящий только из изолированных точек, называется дискретным набором (см. Также дискретное пространство ). Любое дискретное подмножество S евклидова пространства должны быть счетно, так как выделения каждой из его точек вместе с тем фактом, что рациональные являются плотными в вещественных чисел означает, что точки S может быть отображена в виде набора точек с рациональными координатами, из которых их только счетно много. Однако не каждое счетное множество дискретно, и рациональные числа в рамках обычной евклидовой метрики являются каноническим примером.

Множество без изолированной точки называется плотным в себе (каждая окрестность точки содержит другие точки этого множества). Замкнутое множество, не изолированных точек называется идеальным набор (он имеет все свои предельные точки, и ни один из них не изолированы от нее).

Число изолированных точек является топологическим инвариантом, т.е. если два топологических пространств и являются гомеоморфно, количество выделенных точек в каждом равно. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Стандартные примеры

Топологические пространства в следующих трех примерах, рассматриваются как подпространства в прямом со стандартной топологией.

• Для множества точка 0 является изолированной точкой.${\ Displaystyle S = \ {0 \} \ чашка [1,2]}$
• Для набора каждая из точек 1 / k является изолированной точкой, но 0 не является изолированной точкой, потому что в S есть другие точки, максимально близкие к 0.${\ Displaystyle S = \ {0 \} \ чашка \ {1,1 / 2,1 / 3, \ точки \}}$
• Набор из натуральных чисел является дискретным множеством.${\ Displaystyle {\ mathbb {N}} = \ {0,1,2, \ ldots \}}$

В топологическом пространстве с топологией, элемент является изолированной точкой, хотя принадлежит к закрытию части (и, следовательно, в некотором смысле, «близко» к). Такая ситуация невозможна в хаусдорфовом пространстве. ${\ Displaystyle Х = \ {а, Ь \}}$${\ Displaystyle \ тау = \ {\ emptyset, \ {а \}, X \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$ ${\ Displaystyle \ {Ь \}}$${\ displaystyle b}$

Лемма Морса утверждает, что невырожденные критические точки некоторых функций изолированы.

Два нелогичных примера

Рассмотрим множество точек в реальном интервале, каждая цифра их двоичного представления удовлетворяет следующим условиям: ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle x_ {i}}$

• Либо, либо.${\ displaystyle x_ {i} = 0}$${\ displaystyle x_ {i} = 1}$
• ${\ displaystyle x_ {i} = 1}$только для конечного числа индексов.${\ displaystyle i}$
• Если обозначает самый большой индекс такой, что, то.${\ displaystyle m}$${\ displaystyle x_ {m} = 1}$${\ displaystyle x_ {m-1} = 0}$
• Если и, то выполняется ровно одно из следующих двух условий: или.${\ displaystyle x_ {i} = 1}$${\ Displaystyle я lt;м}$${\ displaystyle x_ {i-1} = 1}$${\ displaystyle x_ {я + 1} = 1}$

Неформально эти условия означают, что каждая цифра двоичного представления, равная 1, принадлежит паре... 0110..., за исключением... 010... в самом конце. ${\ displaystyle x}$

Итак, это явный набор, состоящий полностью из изолированных точек, который имеет нелогичное свойство, заключающееся в том, что его замыкание является несчетным множеством. ${\ displaystyle F}$

Другой набор с такими же свойствами можно получить следующим образом. Позвольте быть набором Кантора средней трети, пусть будет составляющими интервалами, и пусть будет набором, состоящим из одной точки от каждого. Поскольку каждый содержит только одну точку из, каждая точка является изолированной точкой. Однако, если есть какая-либо точка из множества Кантора, то каждая окрестность содержит хотя бы одну, а значит, и одну точку. Отсюда следует, что каждая точка множества Кантора лежит в замыкании и поэтому имеет несчетное замыкание. ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}, \ ldots}$ ${\ displaystyle [0,1] -C}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle I_ {k}}$${\ displaystyle I_ {k}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle I_ {k}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$

• Acnode
• Точка привязки
• Предельная точка

• Вайсштейн, Эрик В. «Изолированная точка». MathWorld.