Перевернутый маятник

редактировать

Балансировочная тележка, простая робототехническая система примерно 1976 года. Тележка содержит сервосистему, которая отслеживает угол наклона стержень и перемещает тележку вперед и назад, чтобы удерживать ее в вертикальном положении.

перевернутый маятник - это маятник, у которого центр масс выше его точка разворота. Он нестабилен и без дополнительной помощи упадет. Его можно устойчиво подвесить в этом перевернутом положении, используя систему управления для отслеживания угла вехи и перемещения точки поворота в горизонтальном направлении назад под центр масс, когда он начинает падать, сохраняя равновесие. Перевернутый маятник - классическая проблема в динамике и теории управления и используется в качестве эталона для тестирования стратегий управления. Это часто реализуется с помощью точки поворота, установленной на тележке, которая может перемещаться горизонтально под управлением электронной сервосистемы, как показано на фотографии; это называется тележкой и шестом . Большинство приложений ограничивают маятник 1 степенью свободы, прикрепляя полюс к оси вращения . В то время как нормальный маятник устойчив, когда свешивается вниз, перевернутый маятник нестабилен по своей природе и должен активно балансироваться, чтобы оставаться в вертикальном положении; это можно сделать, приложив крутящий момент к точке поворота, перемещая точку поворота по горизонтали как часть системы обратной связи, изменяя скорость вращения груза, установленного на маятник на оси, параллельной оси вращения, создавая таким образом чистый крутящий момент на маятнике, или путем колебания точки поворота по вертикали. Простая демонстрация перемещения точки поворота в системе обратной связи достигается балансированием перевернутой метлы на конце пальца.

Второй тип перевернутого маятника - это измеритель наклона для высоких конструкций, который состоит из проволоки, прикрепленной к нижней части фундамента и прикрепленной к поплавку в масляной ванне наверху. конструкции, имеющей устройства для измерения перемещения нейтрального положения поплавка от его исходного положения.

Содержание

1 Обзор
2 Уравнения движения
- 2.1 Стационарная точка поворота
- 2.2 Перевернутый маятник на тележке
- 2.3 Основы стабилизации
- 2.4 Уравнения Лагранжа
- 2,5 Эйлера -Уравнение Лагранжа
- 2.6 Второй закон Ньютона
3 Маятник Капицы
4 Типы перевернутых маятников
5 Примеры перевернутых маятников
6 См. Также
7 Ссылки
8 Дополнительная литература
9 Внешние ссылки

Обзор

Маятник с опорой, подвешенной непосредственно под опорой точкой поворота, находится в точке устойчивого равновесия ; на маятник нет крутящего момента, поэтому он останется неподвижным, и при смещении из этого положения будет испытывать восстанавливающий крутящий момент, который возвращает его в положение равновесия. Маятник с опорой в перевернутом положении, опирающийся на жесткий стержень непосредственно над шарниром, на 180 ° от своего устойчивого положения равновесия, находится в точке неустойчивого равновесия. В этот момент на маятник снова нет крутящего момента, но малейшее смещение от этого положения вызовет момент гравитации на маятнике, который разгонит его от равновесия, и он упадет.

Для стабилизации маятника в этом перевернутом положении можно использовать систему управления с обратной связью, которая отслеживает угол маятника и перемещает положение точки поворота в сторону, когда маятник начинает двигаться. упасть, чтобы сохранить равновесие. Перевернутый маятник - классическая проблема в динамике и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления (ПИД-регуляторы, пространство состояний представление, нейронные сети, нечеткое управление, генетические алгоритмы и т. д.). Варианты решения этой проблемы включают несколько звеньев, позволяющих управлять движением тележки при сохранении маятника, а также балансировать систему тележки-маятника на качелях. Перевернутый маятник связан с ракетой или наведением ракеты, где центр тяжести расположен за центром сопротивления, вызывая аэродинамическую нестабильность. Понимание подобной проблемы может показать простая робототехника в виде балансировочной тележки. Уравновесить перевернутую метлу на кончике пальца - это простая демонстрация, и проблема решается за счет самобалансировки личных транспортеров, таких как Segway PT, самовозводимый. балансирующий ховерборд и самобалансирующийся моноцикл.

Другой способ стабилизации перевернутого маятника без какой-либо обратной связи или механизма управления - это быстрое колебание оси вращения вверх и вниз. Это называется маятник Капицы. Если колебание достаточно сильное (с точки зрения его ускорения и амплитуды), то перевернутый маятник может оправиться от возмущений поразительно нелогичным образом. Если движущая точка движется в простом гармоническом движении, движение маятника описывается уравнением Матье.

Уравнениями движения

уравнениями движения Перевернутых маятников зависят от того, какие ограничения накладываются на движение маятника. Перевернутые маятники могут быть созданы в различных конфигурациях, что приводит к ряду уравнений движения, описывающих поведение маятника.

Стационарная точка поворота

В конфигурации, где точка поворота маятника зафиксирована в пространстве, уравнение движения аналогично уравнению движения не перевернутого маятника. Уравнение движения ниже предполагает отсутствие трения или любого другого сопротивления движению, жесткий безмассовый стержень и ограничение на 2-мерное движение.

θ ¨ - g ℓ sin ⁡ θ = 0 {\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - {g \ over \ ell} \ sin \ theta = 0}

{\ ddot {\ theta}} - {g \ over \ ell} \ sin \ theta = 0

где $θ ¨ {\ displaystyle {\ ddot {\ theta}}}$ ${\ ddot {\ theta}}$ - это угловое ускорение маятника, $g {\ displaystyle g}$ $g$ - это стандартная сила тяжести на поверхности Земли, $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ - длина маятника, а $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ - угловое смещение, измеренное от положения равновесия.

При добавлении к обеим сторонам он будет иметь тот же знак, что и член углового ускорения:

θ ¨ = g ℓ sin ⁡ θ {\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = {g \ over \ ell} \ sin \ theta}

{\ ddot {\ theta}} = {g \ over \ ell} \ sin \ theta

Таким образом, перевернутый маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в первоначально смещенном направлении, и ускорение обратно пропорционально длине. Высокие маятники падают медленнее, чем короткие.

Вывод с использованием крутящего момента и момента инерции:

Схематическое изображение перевернутого маятника на тележке. Стержень считается безмассовым. Масса тележки и острие на конце стержня обозначены буквами M и m. Стержень имеет длину l.

Предполагается, что маятник состоит из точечной массы массой $m {\ displaystyle m}$ $m$ , прикрепленной к концу безмассового жесткого стержня, из длина $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ , прикрепленная к точке поворота на конце, противоположном точечной массе.

Чистый крутящий момент системы должен быть равен моменту инерции, умноженному на угловое ускорение:

τ net = I θ ¨ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {\ mathrm {net}} = I {\ ddot {\ theta}}}

{\ boldsymbol {\ tau}} _ {\ mathrm {net}} = I {\ ddot {\ theta}}

Крутящий момент, создаваемый силой тяжести, обеспечивающий чистый крутящий момент:

τ net = mg ℓ sin ⁡ θ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {\ mathrm {net}} = mg \ ell \ sin \ theta \, \!}

{\ boldsymbol {\ tau}} _ {\ mathrm {net}} = mg \ ell \ sin \ theta \, \!

где $θ {\ displaystyle \ theta \}$ $\ theta \$ - угол, отсчитываемый от перевернутого положения равновесия.

Полученное уравнение:

I θ ¨ = mg ℓ sin ⁡ θ {\ displaystyle I {\ ddot {\ theta}} = mg \ ell \ sin \ theta \, \!}

I {\ ddot {\ theta}} = mg \ ell \ sin \ theta \, \!

Момент инерции точечной массы:

I = m R 2 {\ displaystyle I = mR ^ {2}}

I = mR ^ {2}

В случае перевернутого маятника радиус - это длина стержня, $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ .

Подставляем в $I = m ℓ 2 {\ displaystyle I = m \ ell ^ {2}}$ $I = m \ ell ^ { 2}$

m ℓ 2 θ ¨ = mg ℓ sin ⁡ θ {\ displaystyle m \ ell ^ {2} {\ ddot {\ theta}} = mg \ ell \ sin \ theta \, \!}

m \ ell ^ {2} {\ ddot {\ theta}} = mg \ ell \ sin \ theta \, \!

Масса и $ℓ 2 {\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ делится с каждой стороны, в результате получается:

θ ¨ = g ℓ sin ⁡ θ {\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = {g \ over \ ell} \ sin \ theta}

{\ ddot {\ theta}} = {g \ over \ ell} \ sin \ theta

Перевернутый маятник на тележке

Перевернутый маятник на тележке состоит из массы $м {\ displaystyle m}$ $m$ на вершине столба длиной $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ с поворотом на горизонтально движущемся основании, как показано на соседнем изображении. Тележка ограничена поступательным движением, и на нее действуют силы, приводящие к движению или препятствующие ему.

Суть стабилизации

Суть стабилизации перевернутого маятника можно качественно резюмировать в три этапа.

Простая система стабилизации, используемая на тележке с винным бокалом выше.

1. Если угол наклона $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ направлен вправо, тележка должна ускоряться вправо и наоборот.

2. Положение тележки $x {\ displaystyle x}$ $x$ относительно центра пути стабилизируется путем небольшой модуляции нулевого угла (угловая ошибка, которую система управления пытается обнулить) положением тележки., то есть нулевой угол $= θ + kx {\ displaystyle = \ theta + kx}$ $= \ theta + kx$ , где $k {\ displaystyle k}$ $k$ является малым. Это заставляет веху слегка наклоняться к центру гусеницы и стабилизироваться в центре гусеницы, где угол наклона точно вертикальный. Любое смещение датчика наклона или наклона гусеницы, которое в противном случае могло бы вызвать нестабильность, переводится в стабильное смещение положения. Дополнительное добавленное смещение дает управление положением.

3. Нормальный маятник, подверженный движению точки поворота, такой как груз, поднимаемый краном, имеет пиковый отклик на радианной частоте маятника $ω p = g / ℓ {\ displaystyle \ omega _ {p} = {\ sqrt {g / \ ell}}}$ $\ omega _ {p} = {\ sqrt {g / \ ell}}$ . Чтобы предотвратить неконтролируемое раскачивание, частотный спектр вращательного движения должен быть подавлен около $ω p {\ displaystyle \ omega _ {p}}$ $\ omega _ {p}$ . Перевернутый маятник требует того же подавляющего фильтра для достижения стабильности.

Обратите внимание, что, как следствие стратегии нулевой угловой модуляции, обратная связь по положению является положительной, то есть внезапная команда перемещения вправо приведет к начальному перемещению тележки влево с последующим перемещением вправо для повторной балансировки маятник. Взаимодействие неустойчивости маятника и нестабильности положительной обратной связи по положению для создания устойчивой системы - это особенность, которая делает математический анализ интересной и сложной задачей.

Уравнения Лагранжа

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа. Обратимся к рисунку справа, где $θ (t) {\ displaystyle \ theta (t)}$ $\ theta (t)$ - угол маятника длиной $l {\ displaystyle l} <222.>$ $l$ по отношению к вертикальному направлению, и действующими силами являются сила тяжести и внешняя сила F в направлении оси x. Определите $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ как позицию тележки.

Кинетический $T {\ displaystyle T}$ $T$ системы:

T = 1 2 M v 1 2 + 1 2 mv 2 2, {\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} Mv_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv_ {2} ^ {2},}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} Mv_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv_ {2} ^ {2},}

где $v 1 { \ displaystyle v_ {1}}$ $v_ {1}$ - скорость тележки, а $v 2 {\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$ - скорость точечной массы $м. {\ displaystyle m}$ $m$ . $v 1 {\ displaystyle v_ {1}}$ $v_ {1}$ и $v 2 {\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$ могут быть выражены через x и $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , записав скорость как первую производную от положения;

v 1 2 = x ˙ 2, {\ displaystyle v_ {1} ^ {2} = {\ dot {x}} ^ {2},}

{ \ displaystyle v_ {1} ^ {2} = {\ dot {x}} ^ {2},}

v 2 2 = (ddt (x - ℓ sin ⁡ θ)) 2 + (ddt (ℓ cos ⁡ θ)) 2. {\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = \ left ({\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} {\ left (x- \ ell \ sin \ theta \ right))} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} {\ left (\ ell \ cos \ theta \ right)} \ right) ^ {2}.}

{\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = \ left ({\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} {\ left (x- \ ell \ sin \ theta \ right)} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ rm { d}} {{\ rm {d}} t}} {\ left (\ ell \ cos \ theta \ right)} \ right) ^ {2}.}

Упрощение выражения для $v 2 {\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$ приводит к:

v 2 2 = x ˙ 2 - 2 ℓ x ˙ θ ˙ соз ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2. {\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = {\ dot {x}} ^ {2} -2 \ ell {\ dot {x}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.}

{\ displaystyle v_ {2} ^ {2 } = {\ dot {x}} ^ {2} -2 \ ell {\ dot {x}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ thet a}} ^ {2}.}

Кинетическая энергия теперь определяется как:

T = 1 2 (M + m) x ˙ 2 - m ℓ x ˙ θ ˙ соз ⁡ θ + 1 2 м ℓ 2 θ ˙ 2. {\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ left (M + m \ right) {\ dot {x}} ^ {2} -m \ ell {\ dot {x}} {\ dot { \ theta}} \ cos \ theta + {\ frac {1} {2}} m \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ left (M + m \ right) {\ dot {x}} ^ {2} -m \ ell {\ dot {x}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + {\ frac {1} {2}} m \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.}

Обобщенные координаты системы $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ и $x {\ displaystyle x}$ $x$ , каждый имеет обобщенную силу. На оси $x {\ displaystyle x}$ $x$ обобщенная сила $Q x {\ displaystyle Q_ {x}}$ $Q_x$ может быть вычислена через ее виртуальную работу

Q x δ x = F δ x, Q x = F, {\ displaystyle Q_ {x} \ delta x = F \ delta x, \ quad Q_ {x} = F,}

{\ displaystyle Q_ {x} \ delta x = F \ delta x, \ quad Q_ {x} = F,}

на $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ось, обобщенная сила $Q θ {\ displaystyle Q _ {\ theta}}$ ${\ displaystyle Q _ {\ theta}}$ также может быть вычислена через ее виртуальную работу

Q θ δ θ = mgl sin ⁡ θ δ θ, Q θ = mgl sin ⁡ θ. {\ displaystyle Q _ {\ theta} \ delta \ theta = mgl \ sin \ theta \ delta \ theta, \ quad Q _ {\ theta} = mgl \ sin \ theta.}

{\ displaystyle Q _ {\ theta} \ delta \ theta = mgl \ sin \ theta \ delta \ theta, \ quad Q _ {\ theta} = mgl \ sin \ theta.}

Согласно уравнениям Лагранжа уравнения движения:

ddt ∂ T ∂ x ˙ - ∂ T ∂ x = F, {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ partial {T} \ over \ partial {\ dot {x}}} - {\ partial {T} \ over \ partial x} = F,}

{ \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ partial {T} \ over \ partial {\ dot {x}}} - {\ partial {T} \ over \ partial x} = F,}

ddt ∂ T ∂ θ ˙ - ∂ T ∂ θ = mgl sin ⁡ θ, {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ partial {T} \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} - {\ partial {T } \ over \ partial \ theta} = mgl \ sin \ theta,}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ partial {T} \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} - {\ partial {T} \ over \ partial \ theta} = mgl \ sin \ theta,}

, замена $T {\ displaystyle T}$ $T$ в этих уравнениях и упрощение приводит к уравнениям, которые описывают движение перевернутый маятник:

(M + m) x ¨ - m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + m ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ = F, {\ displaystyle \ left (M + m \ right) {\ ddot {x }} - m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta + m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta = F,}

{\ displaystyle \ left ( M + m \ right) {\ ddot {x}} - m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta + m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta = F,}

ℓ θ ¨ - g грех ⁡ θ = х ¨ соз ⁡ θ. {\ displaystyle \ ell {\ ddot {\ theta}} - g \ sin \ theta = {\ ddot {x}} \ cos \ theta.}

{\ displaystyle \ ell {\ ddot {\ theta}} - g \ sin \ theta = {\ ddot {x}} \ cos \ theta.}

Эти уравнения нелинейны, но поскольку цель системы управления будет Чтобы маятник оставался в вертикальном положении, уравнения могут быть линеаризованы вокруг $θ ≈ 0 {\ displaystyle \ theta \ приблизительно 0}$ $\ theta \ приблизительно 0$ .

Уравнение Эйлера-Лагранжа

Обобщенные силы могут быть записаны как потенциальная энергия $V x {\ displaystyle V_ {x}}$ $V_x$ и $V θ {\ displaystyle V _ {\ theta}}$ ${\ displaystyle V _ {\ theta}}$ ,

обобщенные силы	потенциальная энергия
$Q Икс знак равно F {\ Displaystyle Q_ {x} = F}$ ${ \ Displaystyle Q_ {x} = F}$	$В Икс = ∫ T 0 t F Икс ˙ dt {\ Displaystyle V_ {x} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} F {\ точка {x}} \ {\ rm {d}} t}$ ${\ displaystyle V_ {x} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} F { \ dot {x}} \ {\ rm {d}} t}$
$Q θ = mgl sin ⁡ θ {\ displaystyle Q _ {\ theta} = mgl \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle Q _ {\ theta} = mgl \ sin \ theta}$	$V θ = mgl cos ⁡ θ {\ displaystyle V _ {\ theta} = mgl \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle V _ {\ theta} = mgl \ cos \ theta}$

Согласно принципу Д'Аламбера, обобщенные силы и потенциальная энергия связаны:

Q j = ddt ∂ V ∂ q ˙ J - ∂ V ∂ qj, {\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ part ial V} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {j}}} \,,}

{\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac { \ partial V} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {j}}} \,,}

Однако при определенных обстоятельствах потенциальная энергия недоступна, доступны только обобщенные силы.

После получения лагранжиана $L = T - V {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}$ , мы также можем использовать Уравнение Эйлера – Лагранжа для решения уравнений движения:

∂ L ∂ x - ddt (∂ L ∂ x ˙) = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}}} {\ partial {\ dot { x}}}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} - {\ frac { \ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) = 0}

∂ L ∂ θ - ddt (∂ L ∂ θ ˙) = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ theta}) }}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} \ right) = 0}

Единственная разница заключается в том, следует ли включать обобщенные силы в потенциальную энергию $V j {\ displaystyle V_ {j}}$ $V_ {j}$ или записывать их явно как $Q j {\ displaystyle Q_ {j}}$ $Q_ {j}$ справа, все они приводят к одним и тем же уравнениям в финале.

Второй закон Ньютона

Часто бывает полезно использовать Второй закон Ньютона вместо уравнений Лагранжа, потому что уравнения Ньютона определяют силы реакции в суставе между маятником и тележкой. Эти уравнения приводят к двум уравнениям для каждого тела; один в направлении x, а другой - в направлении y. Уравнения движения тележки показаны ниже, где LHS - это сумма сил, действующих на тело, а RHS - ускорение.

F - R x знак равно M x ¨ {\ displaystyle F-R_ {x} = M {\ ddot {x}}}

{\ displaystyle F-R_ {x} = M {\ ddot {x}}}

FN - R y - M g = 0 {\ displaystyle F_ {N} - R_ {y} -Mg = 0}

{\ displaystyle F_ {N} -R_ { y} -Mg = 0}

В приведенных выше уравнениях $R x {\ displaystyle R_ {x}}$ $R_ {x}$ и $R y {\ displaystyle R_ {y}}$ $R_ {y}$ - силы реакции в соединении. $F N {\ displaystyle F_ {N}}$ $F_ {N}$ - нормальная сила, приложенная к тележке. Это второе уравнение зависит только от вертикальной силы реакции, поэтому уравнение можно использовать для определения нормальной силы. Первое уравнение можно использовать для определения силы горизонтальной реакции. Чтобы завершить уравнения движения, необходимо вычислить ускорение точечной массы, прикрепленной к маятнику. Положение точечной массы может быть задано в инерциальных координатах как

r → P = (x - ℓ sin ⁡ θ) x ^ I + ℓ cos ⁡ θ y ^ I {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {P} = (x- \ ell \ sin \ theta) {\ hat {x}} _ {I} + \ ell \ cos \ theta {\ hat {y}} _ {I}}

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {P} = (x- \ ell \ sin \ theta) {\ hat {x}} _ {I} + \ ell \ cos \ theta {\ hat {y}} _ {I}}

Взяв две производные дает вектор ускорения в инерциальной системе отсчета.

a → P / I = (x ¨ + ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ - ℓ θ ¨ cos ⁡ θ) x ^ I + (- ℓ θ ˙ 2 cos ⁡ θ - ℓ θ ¨ sin ⁡ θ) y ^ I {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {P / I} = ({\ ddot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta - \ ell { \ ddot {\ theta}} \ cos \ theta) {\ hat {x}} _ {I} + (- \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ cos \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ sin \ theta) {\ hat {y}} _ {I}}

{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {P / I} = ({\ ddot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta }} \ cos \ theta) {\ hat {x}} _ {I} + (- \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ cos \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ sin \ theta) {\ hat {y}} _ {I}}

Затем, используя второй закон Ньютона, можно записать два уравнения в направлении x и направлении y. Обратите внимание, что силы реакции положительны при приложении к маятнику и отрицательны при приложении к тележке. Это связано с третьим законом Ньютона.

р Икс знак равно м (Икс ¨ + ℓ θ ˙ 2 грех ⁡ θ - ℓ θ ¨ соз ⁡ θ) {\ displaystyle R_ {x} = m ({\ ddot {x}} + \ ell {\ dot { \ theta}} ^ {2} \ sin \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta)}

{\ displaystyle R_ {x} = m ({\ ddot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta} } \ cos \ theta)}

R y - mg = m (- ℓ θ ˙ 2 cos ⁡ θ - ℓ θ ¨ грех ⁡ θ) {\ displaystyle R_ {y} -mg = m (- \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ cos \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ sin \ theta)}

{\ displaystyle R_ {y} -mg = m (- \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ cos \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ sin \ theta)}

Первое уравнение позволяет еще одним способом вычислить силу горизонтальной реакции в случае, если приложенная сила $F {\ displaystyle F}$ $F$ неизвестна. Второе уравнение можно использовать для определения силы вертикальной реакции. Первое уравнение движения получается заменой $F - R x = M x ¨ {\ displaystyle F-R_ {x} = M {\ ddot {x}}}$ ${\ displaystyle F-R_ {x} = M {\ ddot {x}}}$ в $R Икс знак равно м (Икс ¨ + ℓ θ ˙ 2 грех ⁡ θ - ℓ θ ¨ соз ⁡ θ) {\ Displaystyle R_ {x} = м ({\ ddot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta)}$ ${\ displaystyle R_ {x} = m ({\ ddot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta} } \ cos \ theta)}$ , что дает

(M + m) x ¨ - m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + м ℓ θ ˙ 2 грех ⁡ θ знак равно F {\ displaystyle \ left (M + m \ right) {\ ddot {x}} - m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta + m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta = F}

{\ displaystyle \ left (M + m \ right) {\ ddot {x}} - m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta + m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta = F}

На первый взгляд это уравнение идентично результату метода Лагранжа. Чтобы получить второе уравнение, уравнение движения маятника должно быть обозначено единичным вектором, который всегда проходит перпендикулярно маятнику и обычно обозначается как координата x рамы тела. В инерциальных координатах этот вектор может быть записан с помощью простого двумерного преобразования координат

x ^ B = cos ⁡ θ x ^ I + sin ⁡ θ y ^ I {\ displaystyle {\ hat {x}} _ {B} = \ cos \ theta {\ hat {x}} _ {I} + \ sin \ theta {\ hat {y}} _ {I}}

{\ displaystyle {\ hat {x}} _ {B} = \ cos \ theta {\ hat {x}} _ {I} + \ sin \ theta {\ hat {y}} _ { I}}

Уравнение движения маятника, записанное в векторной форме: $∑ F → = ma → P / I {\ displaystyle \ sum {\ vec {F}} = m {\ vec {a}} _ {P / I}}$ ${\ displaystyle \ sum {\ vec {F}} = m {\ vec {a}} _ {P / I}}$ . Если поставить точку $x ^ B {\ displaystyle {\ hat {x}} _ {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {B}}$ с обеих сторон, на левой стороне получится следующее (обратите внимание, что транспонирование аналогично скалярному произведению)

(x ^ B) T ∑ F → = (x ^ B) T (R xx ^ I + R yy ^ I - mgy ^ I) = (x ^ B) T (R py ^ B - mgy ^ I) = - мг грех ⁡ θ {\ displaystyle ({\ hat {x}} _ {B}) ^ {T} \ sum {\ vec {F}} = ({\ hat {x}} _ {B}) ^ {T} (R_ {x} {\ hat {x}} _ {I} + R_ {y} {\ hat {y}} _ {I} -mg {\ hat {y}} _ {I}) = ({\ hat {x}} _ {B}) ^ {T} (R_ {p} {\ hat {y}} _ {B} -mg {\ hat {y}} _ {I}) = - mg \ sin \ theta}

{\ displaystyle ({\ hat {x}} _ {B}) ^ {T} \ sum {\ vec {F}} = ({\ h в {x}} _ {B}) ^ {T} (R_ {x} {\ hat {x}} _ {I} + R_ {y} {\ hat {y}} _ {I} -mg {\ шляпа {y}} _ {I}) = ({\ hat {x}} _ {B}) ^ {T} (R_ {p} {\ hat {y}} _ {B} -mg {\ hat { y}} _ {I}) = - mg \ sin \ theta}

В приведенном выше уравнении используется соотношение между компонентами сил реакции корпуса и инерционными компонентами сил реакции. Предположение о том, что стержень, соединяющий точечную массу с тележкой, не имеет массы, означает, что этот стержень не может передавать нагрузку перпендикулярно стержню. Таким образом, компоненты инерциальной системы отсчета сил реакции могут быть записаны просто как $R py ^ B {\ displaystyle R_ {p} {\ hat {y}} _ {B}}$ ${\ displaystyle R_ {p } {\ hat {y}} _ {B}}$ , что означает, что штанга может передавать нагрузки только по оси самой штанги. Это дает начало другому уравнению, которое можно использовать для определения натяжения в самом стержне

R p = R x 2 + R y 2 {\ displaystyle R_ {p} = {\ sqrt {R_ {x} ^ { 2} + R_ {y} ^ {2}}}}

{\ displaystyle R_ {p} = {\ sqrt {R_ {x} ^ {2} + R_ {y} ^ {2}}}}

Правая часть уравнения вычисляется аналогично: точка $x ^ B {\ displaystyle {\ hat {x}} _ {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {B}}$ с ускорением маятника. Результат (после некоторого упрощения) показан ниже.

м (Икс ^ В) Т (а → Р / I) = м (Икс ¨ соз ⁡ θ - ℓ θ ¨) {\ Displaystyle м ({\ Hat {x}} _ {B}) ^ {T } ({\ vec {a}} _ {P / I}) = m ({\ ddot {x}} \ cos \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}})}

{\ displaystyle m ({\ hat {x}} _ {B}) ^ {T} ({\ vec {a}} _ {P / I}) = m ({\ ddot {x}} \ cos \ theta - \ ell {\ ddot {\ theta}})}

Объединение LHS с RHS и деление на m дает

ℓ θ ¨ - g sin ⁡ θ = x ¨ cos ⁡ θ {\ displaystyle \ ell {\ ddot {\ theta}} - g \ sin \ theta = {\ ddot {x }} \ cos \ theta}

\ ell {\ ddot {\ theta}} - g \ sin \ theta = {\ ddot {x}} \ cos \ theta

что опять же идентично результату метода Лагранжа. Преимущество использования метода Ньютона заключается в том, что проявляются все силы реакции, гарантирующие, что ничто не будет повреждено.

Чертеж, показывающий, как может быть построен маятник Капицы: двигатель вращает кривошип с большой скоростью, кривошипом вибрирует плечо рычага вверх и вниз, к которому маятник прикреплен с помощью оси.

Маятник Капицы

Перевернутый маятник, в котором стержень быстро колеблется вверх и вниз, может быть устойчивым в перевернутом положении. Это называется маятник Капицы в честь русского физика Петра Капицы, который первым проанализировал его. Уравнение движения маятника, соединенного с безмассовым колеблющимся основанием, выводится так же, как и для маятника на тележке. Положение точечной массы теперь определяется следующим образом:

(- ℓ sin ⁡ θ, y + ℓ cos ⁡ θ) {\ displaystyle \ left (- \ ell \ sin \ theta, y + \ ell \ cos \ theta \ right)}

\ left (- \ ell \ sin \ theta, y + \ ell \ cos \ theta \ right)

и скорость определяется путем взятия первой производной положения:

v 2 = y ˙ 2 - 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2. {\ displaystyle v ^ {2} = {\ dot {y}} ^ {2} -2 \ ell {\ dot {y}} {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.}

v ^ {2} = {\ dot {y}} ^ {2} -2 \ ell {\ dot {y }} {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.

Графики перевернутого маятника на колебательном основании. Первый график показывает реакцию маятника на медленное колебание, второй - реакцию на быстрое колебание

Лагранжиан для этой системы можно записать как:

L = 1 2 м ( y ˙ 2-2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2) - mg (y + ℓ cos ⁡ θ) {\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ left ({ \ dot {y}} ^ {2} -2 \ ell {\ dot {y}} {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ { 2} \ right) -mg \ left (y + \ ell \ cos \ theta \ right)}

L = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {y}} ^ {2} -2 \ ell {\ dot {y}} {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right) -mg \ left (y + \ ell \ cos \ theta \ right)

и уравнение движения следует из:

ddt ∂ L ∂ θ ˙ - ∂ L ∂ θ = 0 {\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial {L} \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} - {\ partial {L} \ over \ partial \ theta} = 0}

{\ mathrm { d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial {L} \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} - {\ partial {L} \ over \ partial \ theta} = 0

, что дает:

ℓ θ ¨ - y ¨ sin ⁡ θ = g sin ⁡ θ. {\ displaystyle \ ell {\ ddot {\ theta}} - {\ ddot {y}} \ sin \ theta = g \ sin \ theta.}

\ ell {\ ddot {\ theta}} - {\ ddot {y}} \ sin \ theta = g \ sin \ theta.

Если y представляет простое гармоническое движение, $y = A sin ⁡ ω t {\ displaystyle y = A \ sin \ omega t}$ $y = A \ sin \ omega t$ , следующее дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

θ ¨ - g ℓ sin ⁡ θ = - A ℓ ω 2 sin ⁡ ω t sin ⁡ θ. {\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - {g \ over \ ell} \ sin \ theta = - {A \ over \ ell} \ omega ^ {2} \ sin \ omega t \ sin \ theta.}

{\ ddot {\ theta}} - {g \ over \ ell} \ sin \ theta = - {A \ over \ ell} \ omega ^ {2} \ sin \ omega t \ sin \ theta.

У этого уравнения нет элементарных решений в замкнутой форме, но его можно исследовать разными способами. Это близко аппроксимируется уравнением Матье, например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что когда $y {\ displaystyle y}$ $y$ представляет собой медленное колебание, маятник быстро падает, когда его отклоняют из вертикального положения. Угол $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ через короткое время превышает 90 °, что означает, что маятник упал на землю. Если $y {\ displaystyle y}$ $y$ представляет собой быстрое колебание, маятник может оставаться стабильным около вертикального положения. Второй график показывает, что при отклонении от вертикального положения маятник начинает колебаться вокруг вертикального положения ( $θ = 0 {\ displaystyle \ theta = 0}$ $\ theta = 0$ ). Отклонение от вертикального положения остается небольшим, и маятник не опрокидывается.

Типы перевернутых маятников

Достижение устойчивости перевернутого маятника стало общей инженерной задачей для исследователей. Существуют различные вариации перевернутого маятника на тележке, от стержня на тележке до многосегментного перевернутого маятника на тележке. В другом варианте стержень перевернутого маятника или сегментированный стержень помещается на конец вращающегося узла. В обоих случаях (тележка и вращающаяся система) перевернутый маятник может падать только в плоскости. Перевернутые маятники в этих проектах могут потребоваться либо для поддержания баланса только после достижения положения равновесия, либо для возможности достижения равновесия самостоятельно. Еще одна площадка - двухколесный балансировочный перевернутый маятник. Двухколесная платформа способна вращаться на месте, обеспечивая большую маневренность. Еще один вариант основан на одном моменте. Волчок, одноколесный велосипед или перевернутый маятник на сферическом шаре - все они балансируют в одной точке. Как показано выше, перевернутый маятник может быть также получен с помощью вертикально колеблющегося основания.

Примеры перевернутых маятников

Возможно, наиболее распространенным примером стабилизированного перевернутого маятника является человек. Человек, стоящий в вертикальном положении, действует как перевернутый маятник, опираясь на ноги, и без постоянных небольших мышечных изменений он упадет. Нервная система человека содержит бессознательную обратную связь систему управления, чувство равновесия или восстанавливающий рефлекс, который использует проприоцептивный входные данные от глаз, мышц и суставов, а также входные данные ориентации от вестибулярной системы, состоящей из трех полукружных каналов во внутреннем ухе и двух отолит органов, чтобы постоянно вносить небольшие изменения в скелетные мышцы, чтобы мы могли стоять прямо. Ходьба, бег или балансирование на одной ноге предъявляют дополнительные требования к этой системе. Определенные заболевания, а также алкогольное или наркотическое опьянение могут мешать этому рефлексу, вызывая головокружение и нарушение равновесия, неспособность стоять. полевой тест на трезвость, используемый полицией для проверки водителей на алкоголь или наркотики, проверяет этот рефлекс на наличие нарушений.

Некоторые простые примеры включают балансировку щеток или измерительных стержней вручную.

Перевернутый маятник использовался в различных устройствах, и попытка уравновесить перевернутый маятник представляет собой уникальную техническую проблему для исследователей. Перевернутый маятник был центральным компонентом в конструкции нескольких ранних сейсмометров из-за присущей ему нестабильности, приводящей к измеримой реакции на любое возмущение.

Модель перевернутого маятника использовалась в некоторых недавних личные транспортеры, такие как двухколесные самобалансирующиеся самокаты и одноколесные электрические моноциклы. Эти устройства кинематически нестабильны и используют сервосистему электронной обратной связи, чтобы удерживать их в вертикальном положении.

Раскачивание маятника на тележке в его перевернутое маятниковое состояние считается традиционной игрушечной задачей / эталоном для оптимального управления.

Траектория поворота тележки с фиксированным временем вверх, которая минимизирует квадрат силы

См. Также

Ссылки

D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer), стр. 89ff

Дополнительная литература

Франклин; и другие. (2005)., 5, Прентис Холл. ISBN 0-13-149930-0

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Перевернутый маятник.