Представление в пространстве состояний

В системе управления представление в пространстве состояний представляет собой математическую модель физической системы в виде набора входных, выходных и переменных состояния, связанных с помощью дифференциальных уравнений первого порядка или разностных уравнений. Переменные состояния - это переменные, значения которых меняются с течением времени в зависимости от значений, которые они имеют в любой момент времени, и от внешних значений входных переменных. Значения выходных переменных зависят от значений переменных состояния.

«пространство состояний » - это евклидово пространство, в котором переменные на осях являются переменными состояния. Состояние системы можно представить в виде вектора в этом пространстве.

Чтобы абстрагироваться от количества входов, выходов и состояний, эти переменные выражаются как векторы. Кроме того, если динамическая система является линейной, неизменной во времени и конечномерной, то дифференциальные и алгебраические уравнения могут быть записаны в форме матрицы. Метод пространства состояний характеризуется значительной алгебраизацией общей теории систем, что позволяет использовать векторно-матричные структуры Кронекера. Возможности этих структур могут быть эффективно применены к исследовательским системам с модуляцией или без нее. Представление в пространстве состояний (также известное как «подход во временной области ») обеспечивает удобный и компактный способ моделирования и анализа систем с несколькими входами и выходами. В случае $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$входов и $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$выходов, иначе нам пришлось бы записать $q\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; times\; p\}$преобразование Лапласа для кодирования всей информации о системе. В отличие от подхода в частотной области , использование представления в пространстве состояний не ограничивается системами с линейными компонентами и нулевыми начальными условиями.

Модель пространства состояний может применяться в таких предметах, как экономика, статистика, информатика и электротехника, а также нейробиология. В эконометрике, например, модели пространства состояний могут использоваться для разложения временных рядов на тренд и цикл, составления отдельных показателей в составной индекс, определения поворотных точек бизнес-цикла., и оценить ВВП, используя скрытые и ненаблюдаемые временные ряды. Многие приложения полагаются на фильтр Калмана для получения оценок текущих неизвестных переменных состояния с использованием своих предыдущих наблюдений.

• 1 Переменные состояния
• 2 Линейные системы
  • 2.1 Пример: непрерывный -time LTI case
  • 2.2 Управляемость
  • 2.3 Наблюдаемость
  • 2.4 Передаточная функция
  • 2.5 Канонические реализации
  • 2.6 Правильные передаточные функции
  • 2.7 Обратная связь
    • 2.7.1 Пример
  • 2.8 Обратная связь с входом уставки (задания)
  • 2.9 Пример движущегося объекта
• 3 Нелинейные системы
  • 3.1 Пример маятника
• 4 См. также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература
• 7 Внешние ссылки

Внутренние переменные состояния - это наименьшее возможное подмножество системных переменных, которые могут представлять все состояние системы в любой момент времени. Минимальное количество переменных состояния, необходимых для представления данной системы, $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, обычно равно порядку определяющего дифференциального уравнения системы, но не обязательно. Если система представлена ​​в форме передаточной функции, минимальное количество переменных состояния равно порядку знаменателя передаточной функции после того, как оно было уменьшено до надлежащей дроби. Важно понимать, что преобразование реализации в пространстве состояний в форму передаточной функции может привести к потере некоторой внутренней информации о системе и может предоставить описание системы, которая является стабильной, когда реализация в пространстве состояний нестабильна в определенных точках. В электрических цепях количество переменных состояния часто, хотя и не всегда, совпадает с количеством элементов накопления энергии в цепи, таких как конденсаторы и катушки индуктивности. Определенные переменные состояния должны быть линейно независимыми, т.е. никакая переменная состояния не может быть записана как линейная комбинация других переменных состояния, иначе система не сможет быть решена.

Блок-схема представления линейных уравнений в пространстве состояний

Наиболее общее представление линейной системы в пространстве состояний с $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$входы, $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$выходы и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$переменные состояния записываются в следующей форме:

$x\; \dot{}\; (\; T)\; знак\; равно\; A\; (T)\; Икс\; (T)\; +\; В\; (T)\; U\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; C\; (t)\; x\; (t)\; +\; D\; (t)\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

где:

$x\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\backslash \; cdot)\}$называется «вектор состояния», $x\; (t)\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$;

$y\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (\backslash \; cdot)\}$называется "вектором вывода", $Y\; (T)\; \in \; R\; Q\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{q\}\}$;

$и\; (\cdot )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (\backslash \; cdot)\}$называется «вектором ввода (или управления)», $u\; (t)\; \in \; R\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{p\}\}$;

$A\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (\backslash \; cdot)\}$- «матрица состояния (или системы)», $тусклый\; \; [A\; (\cdot )]\; =\; N\; \times \; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{dim\}\; [\backslash \; mathbf\; \{A\}\; (\backslash \; cdot)]\; =\; n\; \backslash \; times\; n\}$,

$B\; (\cdot )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (\backslash \; cdot)\}$- это «матрица ввода», $dim\; \; [B\; (\cdot )]\; =\; n\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{dim\}\; [\backslash \; mathbf\; \{B\}\; (\backslash \; cdot)]\; =\; n\; \backslash \; times\; p\}$,

$C\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (\backslash \; cdot)\}$- «матрица вывода», $dim\; \; [\; С\; (\cdot )]\; знак\; равно\; Q\; \times \; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{dim\}\; [\backslash \; mathbf\; \{C\}\; (\backslash \; cdot)]\; =\; q\; \backslash \; times\; n\}$,

$D\; (\cdot )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; (\; \backslash \; cdot)\}$- это «матрица сквозного (или прямого канала)» (в случаях, когда модель системы не имеет прямого канала, $D\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; (\; \backslash \; cdot)\}$- нулевая матрица), $dim\; \; [D\; (\cdot )]\; =\; q\; \times \; p\; \{\backslash \; dis\; playstyle\; \backslash \; operatorname\; \{dim\}\; [\backslash \; mathbf\; \{D\}\; (\backslash \; cdot)]\; =\; q\; \backslash \; times\; p\}$,

$x\; \dot{}\; (t):\; =\; dd\; \; tx\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x)\; \}\}\}\; (t):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; t\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\}$.

В этой общей формулировке все матрицы могут быть временный (т.е. их элементы могут зависеть от времени); однако в общем случае LTI матрицы будут инвариантными во времени. Временная переменная $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$может быть непрерывной (например, $t\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$) или дискретной (например, $t\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$). В последнем случае временная переменная $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$обычно используется вместо $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Гибридные системы допускают временные области, которые имеют как непрерывную, так и дискретную части. В зависимости от сделанных предположений, представление модели в пространстве состояний может принимать следующие формы:

Тип системы	Модель в пространстве состояний
Непрерывный неизменный во времени	$x\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; x\; (t)\; +\; В\; U\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (\; t)\}$. $Y\; (T)\; знак\; равно\; С\; Икс\; (T)\; +\; D\; U\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$
Непрерывный временной вариант	$x\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; (t)\; x\; (t)\; +\; B\; (t)\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$. $Y\; (T)\; знак\; равно\; С\; (T)\; Икс\; (T)\; +\; D\; (T)\; U\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$
Явный дискретный инвариант во времени	$x\; (k\; +\; 1)\; =\; A\; x\; (k)\; +\; B\; u\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (k\; +\; 1)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (k)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (k)\}$. $y\; (k)\; =\; C\; x\; (\; к)\; +\; D\; U\; (к)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (к)\; =\; \backslash \; mathb\; f\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (k)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (k)\}$
Явный дискретный временной вариант	$x\; (k\; +\; 1)\; =\; A\; (k)\; x\; (К)\; +\; В\; (К)\; U\; (К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (k\; +\; 1)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (k)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (k)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (k)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (к)\}$. $y\; (k)\; =\; C\; (k)\; x\; (k)\; +\; D\; (k)\; u\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (k)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\; C\}\; (k)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (k)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; (k)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (k)\}$
область Лапласа из. с непрерывным неизменным во времени	$s\; Икс\; (s)\; -\; Икс\; (0)\; знак\; равно\; AX\; (s)\; +\; BU\; (s)\; \{\backslash \; Displaystyle\; s\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (s)\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (0)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; X\}\; (s)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (s)\}$. $Y\; (s)\; =\; CX\; (s)\; +\; DU\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; (s)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (s)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (s)\}$
Z-домен из. дискретно-инвариантный во времени	$z\; X\; (\; z)\; -\; zx\; (0)\; знак\; равно\; AX\; (z)\; +\; BU\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (z)\; -z\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (0)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (z)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (z)\}$. $Y\; (z)\; =\; CX\; (z)\; +\; DU\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; (z)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\; См\; athbf\; \{X\}\; (z)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (z)\}$

Пример: случай LTI с непрерывным временем

Характеристики устойчивости и естественного отклика для непрерывного времени Система LTI (т. Е. Линейная с матрицами, которые постоянны во времени) может быть изучена с помощью собственных значений матрицы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$. Стабильность неизменной во времени модели пространства состояний может быть определена путем рассмотрения передаточной функции системы в факторизованной форме. Тогда это будет выглядеть примерно так:

$G\; (s)\; =\; k\; (s\; -\; z\; 1)\; (s\; -\; z\; 2)\; (s\; -\; z\; 3)\; (s\; -\; p\; 1)\; (s\; -\; p\; 2)\; (s\; -\; п\; 3)\; (з\; -\; п\; 4).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (s)\; =\; k\; \{\backslash \; frac\; \{(s-z\_\; \{1\})\; (s-z\_\; \{2\})\; (s-z\_\; \{3\})\}\; \{(s-p\_\; \{\; 1\})\; (s-p\_\; \{2\})\; (s-p\_\; \{3\})\; (s-p\_\; \{4\})\}\}.\}$

Знаменатель передаточной функции равен характеристическому многочлену найдено путем взятия определителя из $s\; I\; -\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$,

$\lambda \; (s)\; =\; |\; s\; I\; -\; A\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; (s)\; =\; |\; s\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; |.\}$

Корни этого полинома (собственные значения ) - это передаточная функция системы полюса (т. е. особенности, где величина передаточной функции не ограничена). Эти полюса можно использовать для анализа того, является ли система асимптотически устойчивой или предельно устойчивой. Альтернативный подход к определению устойчивости, который не предполагает вычисления собственных значений, состоит в анализе устойчивости по Ляпунову.

нулей, найденных в числителе $G\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\; \}\; (s)\}$аналогичным образом можно использовать для определения того, является ли система минимальной фазой.

Система все еще может быть стабильной вход-выход (см. BIBO стабильный ), даже если он не является внутренне стабильным. Это может иметь место, если нестабильные полюса компенсируются нулями (т.е. если эти особенности в передаточной функции устранимы ).

Управляемость

Условие управляемости состояния подразумевает, что можно - с помощью допустимых входов - управлять состояниями от любого начального значения к любому конечному значению в течение некоторого конечного временного окна. Непрерывная неизменяющаяся во времени линейная модель в пространстве состояний управляематогда и только тогда, когда

$ранг\; \; [BABA\; 2\; B\dots \; A\; n\; -\; 1\; B]\; =\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; rank\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{\; n-1\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; n,\}$

где rank - количество линейно независимых строк в матрице, а n - количество переменных состояния.

Наблюдаемость

Наблюдаемость - это мера того, насколько хорошо внутренние состояния системы могут быть выведены на основе информации о ее внешних выходах. Наблюдаемость и управляемость системы являются математическими двойниками (то есть, поскольку управляемость обеспечивает доступность входа, который переводит любое начальное состояние в любое желаемое конечное состояние, наблюдаемость обеспечивает, что знание выходной траектории дает достаточно информации для прогнозирования начального состояния системы.).

Непрерывная инвариантная во времени линейная модель пространства состояний является наблюдаемой тогда и только тогда, когда

$rank\; \; [C\; C\; A\; ⋮\; C\; A\; n\; -\; 1]\; =\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{n\; -1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; n.\}$

Передаточная функция

"Передаточная функция " непрерывной неизменной во времени линейной модели в пространстве состояний может быть получена в следующим образом:

Сначала, взяв преобразование Лапласа из

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; x\; (t)\; +\; B\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

возвращает

$s\; X\; (s)\; -\; x\; (0)\; =\; AX\; (s)\; +\; BU\; (s).\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (s)\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (0)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (s)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (s).\; \}$

Затем мы упрощаем для $X\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (s)\}$, давая

$(s\; I\; -\; A)\; X\; (s)\; =\; Икс\; (0)\; +\; BU\; (s)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (s\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (s)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (0)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (s)\}$

и, следовательно,

$X\; (s)\; =\; (s\; I\; -\; A)\; -\; 1\; x\; (0)\; +\; (s\; I\; -\; A)\; -\; 1\; BU\; (s).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (s)\; =\; (s\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (0)\; +\; (s\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (s).\}$

Замена на $X\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (s)\}$в выходном уравнении

$Y\; (s)\; =\; CX\; (s)\; +\; DU\; (s),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; (s)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (s)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (s),\}$

, что дает

$Y\; (s)\; =\; C\; ((s\; I\; -\; A)\; -\; 1\; x\; (0)\; +\; (s\; I\; -\; A)\; -\; 1\; БУ\; (и))\; +\; ДЕ\; (и).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; (s)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ((s\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (0)\; +\; (s\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (s))\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (s).\}$

Принятие нуля начальные условия $x\; (0)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (0)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\}$и система с одним входом и одним выходом (SISO), передаточная функция определяется как отношение выхода и входа $G\; (s)\; =\; Y\; (s)\; /\; U\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (s)\; =\; Y\; (s))\; /\; U\; (s)\}$. Однако для системы с множеством входов и множеством выходов (MIMO) это соотношение не определено. Следовательно, при нулевых начальных условиях матрица передаточной функции получается из

$Y\; (s)\; =\; G\; (s)\; U\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; (s)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{G\}\; (s)\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (s)\}$

с использованием метода приравнивания коэффициентов, который дает

$G\; (s)\; =\; C\; (s\; I\; -\; A)\; -\; 1\; B\; +\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{G\}\; (s)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (s\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\}$.

Следовательно, $G\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{G\}\; (s)\}$- матрица с размером $q\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; times\; p\}$который содержит передаточные функции для каждой комбинации ввода-вывода. Из-за простоты этой матричной записи представление в пространстве состояний обычно используется для систем с множеством входов и множеством выходов. Системная матрица Розенброка обеспечивает мост между представлением в пространстве состояний и его передаточной функцией.

Канонические реализации

Любая заданная передаточная функция, которая строго правильная можно легко перенести в пространство состояний с помощью следующего подхода (этот пример для 4-мерной системы с одним входом и одним выходом):

Учитывая передаточную функцию, разверните ее, чтобы отобразить все коэффициенты как в числителе, так и в знаменателе. Это должно привести к следующей форме:

$G\; (s)\; =\; n\; 1\; s\; 3\; +\; n\; 2\; s\; 2\; +\; n\; 3\; s\; +\; n\; 4\; s\; 4\; +\; d\; 1\; s\; 3\; +\; d\; 2\; s\; 2\; +\; d\; 3\; s\; +\; d\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{1\}\; s\; ^\; \{3\}\; +\; n\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\; +\; n\_\; \{3\}\; s\; +\; n\_\; \{4\}\}\; \{\; s\; ^\; \{4\}\; +\; d\_\; \{1\}\; s\; ^\; \{3\}\; +\; d\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{3\}\; s\; +\; d\_\; \{4\}\}\}.\}$

Теперь коэффициенты можно вставлять напрямую в модель пространства состояний с помощью следующего подхода:

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; [0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; -\; d\; 4\; -\; d\; 3\; -\; d\; 2\; -\; d\; 1]\; x\; (t)\; +\; [0\; 0\; 0\; 1]\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; -\; d\_\; \{4\}\; -d\_\; \{3\}\; -\; d\_\; \{2\}\; -\; d\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (t)\; +\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; [n\; 4\; n\; 3\; n\; 2\; n\; 1]\; x\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{y\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; n\_\; \{4\}\; n\_\; \{3\}\; n\_\; \{2\}\; n\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (\; t).\}$

Эта реализация в пространстве состояний называется управляемой канонической формой, потому что результирующая модель гарантированно управляема (т. е. поскольку элемент управления входит в цепочку интеграторов, он может перемещать каждое государство).

. Коэффициенты передаточной функции также можно использовать для построения канонической формы другого типа

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; [0\; 0\; 0\; -\; d\; 4\; 1\; 0\; 0\; -\; d\; 3\; 0\; 1\; 0\; -\; d\; 2\; 0\; 0\; 1\; -\; d\; 1]\; Икс\; (T)\; +\; [N\; 4\; N\; 3\; N\; 2\; N\; 1]\; U\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; -d\_\; \{\; 4\}\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; -d\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; -d\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; -d\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (t)\; +\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; n\_\; \{4\}\; \backslash \backslash \; n\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; n\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; n\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (t)\}$

.

$y\; (t)\; =\; [0\; 0\; 0\; 1]\; x\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{y\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (t).\}$

Эта реализация в пространстве состояний называется наблюдаемая каноническая форма, потому что результирующая модель гарантированно будет наблюдаемой (т. Е. Поскольку выходные данные выходят из цепочки интеграторов, каждое состояние влияет на выход).

Правильные передаточные функции

Передаточные функции, которые являются только правильными (а не строго правильными ), также могут быть реализованы довольно легко. Хитрость здесь в том, чтобы разделить передаточную функцию на две части: строго правильную часть и постоянную.

$G\; (s)\; =\; G\; S\; P\; (s)\; +\; G\; (\infty ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{SP\}\}\; (s)\; +\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (\backslash \; infty).\}$

строго правильная передаточная функция затем может быть преобразована в каноническую реализацию в пространстве состояний с использованием методов, показанных выше. Реализация константы в пространстве состояний тривиально: $y\; (t)\; =\; G\; (\infty )\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{y\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (\backslash \; infty)\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (t)\}$. Вместе мы затем получаем реализацию в пространстве состояний с матрицами A, B и C, определяемыми строго правильной частью, и матрицей D, определяемой константой.

Вот пример, чтобы немного прояснить ситуацию:

$G\; (s)\; =\; s\; 2\; +\; 3\; s\; +\; 3\; s\; 2\; +\; 2\; s\; +\; 1\; =\; s\; +\; 2\; s\; 2\; +\; 2\; s\; +\; 1\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; 3s\; +\; 3\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; 2s\; +\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\; +\; 2\; \}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; 2s\; +\; 1\}\}\; +\; 1\}$

что дает следующую управляемую реализацию

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; [-\; 2\; -\; 1\; 1\; 0]\; x\; (t)\; +\; [1\; 0\; ]\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -2\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\; \}\; (t)\; +\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; [1\; 2]\; x\; (t)\; +\; [\; 1]\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{y\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (t)\; +\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (t)\}$

Обратите внимание, что вывод также напрямую зависит от ввода. Это связано с константой $G\; (\infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (\backslash \; infty)\}$в передаточной функции.

Обратная связь

Типичная модель в пространстве состояний с обратной связью

Распространенным методом обратной связи является умножение выходных данных на матрицу K и установка их в качестве входных данных для системы: $u\; (t)\; Знак\; равно\; К\; Y\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (т)\; =\; К\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (т)\}$. Поскольку значения K не ограничены, значения могут быть легко отменены для отрицательной обратной связи. Наличие отрицательного знака (общепринятое обозначение) является чисто условным, и его отсутствие не влияет на конечный результат.

$Икс\; \dot{}\; (T)\; знак\; равно\; A\; Икс\; (T)\; +\; В\; U\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; A\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; B\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; C\; x\; (t)\; +\; D\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; C\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; D\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

становится

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; x\; (t)\; +\; BK\; y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; Знак\; равно\; A\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; BK\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; C\; x\; (t)\; +\; DK\; y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; C\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; DK\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\}$

решение выходного уравнения для $y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\}$и подстановка в уравнение состояния приводит к

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; (A\; +\; BK\; (I\; -\; DK)\; -\; 1\; C)\; x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\; \}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; left\; (A\; +\; BK\; \backslash \; left\; (I-DK\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; (I\; -\; DK)\; -\; 1\; C\; Икс\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; \backslash \; left\; (I-DK\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\}$

Преимущество этого заключается в том, что собственными значениями оператора A можно управлять, задавая K соответствующим образом через собственное разложение $(A\; +\; B\; K\; (I\; -\; D\; K)\; -\; 1\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (A\; +\; BK\; \backslash \; left\; (I-DK\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; right)\}$. Это предполагает, что замкнутая система управляема или что нестабильные собственные значения A можно сделать стабильными посредством соответствующего выбора K.

Пример

Для строго правильного система D равна нулю. Другая довольно распространенная ситуация - когда все состояния являются выходами, т.е. y = x, что дает C = I, матрицу идентичности. Тогда это приведет к более простым уравнениям

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; (A\; +\; BK)\; x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; left\; (A\; +\; BK\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\}$

Это уменьшает необходимое собственное разложение до $A\; +\; BK\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; +\; BK\}$.

Обратная связь с входом уставки (задания)

Обратная связь по выходу с уставкой

В дополнение к обратной связи, вход, $r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (t)\}$, можно добавить так, что $u\; (t)\; =\; -\; K\; y\; (t)\; +\; r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\; \}\; (t)\; знак\; равно\; -\; К\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\}$.

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; x\; (t)\; +\; B\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; A\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; B\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; C\; x\; (t)\; +\; D\; u\; (\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; C\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; D\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

становится

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; x\; (\; t)\; -\; BK\; y\; (t)\; +\; B\; r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; A\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; -BK\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; +\; B\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\}$

$y\; (\; t)\; знак\; равно\; С\; Икс\; (T)\; -\; DK\; Y\; (T)\; +\; D\; р\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; C\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; -DK\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (т)\; +\; D\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\}$

решение выходного уравнения для $y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\}$и подстановка в состояние уравнение приводит к

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; (A\; -\; BK\; (I\; +\; DK)\; -\; 1\; C)\; x\; (t)\; +\; B\; (I\; -\; K\; (I\; +\; DK)\; -\; 1\; D)\; r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; left\; (A-BK\; \backslash \; left\; (I\; +\; DK\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; B\; \backslash \; left\; (IK\; \backslash \; left\; (I\; +\; DK\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; D\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; (I\; +\; DK)\; -\; 1\; C\; x\; (t)\; +\; (I\; +\; DK)\; -\; 1\; D\; р\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; \backslash \; left\; (I\; +\; DK\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; \backslash \; left\; (I\; +\; DK\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; D\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\}$

Одним довольно распространенным упрощением этой системы является удаление D, которое сводит уравнения к

$x\; \dot{}\; (t)\; Знак\; равно\; (A\; -\; BKC)\; Икс\; (T)\; +\; B\; р\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; left\; (A-BKC\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\; t)\; +\; B\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; C\; x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; C\; \backslash \; math\; bf\; \{x\}\; (t)\}$

Пример движущегося объекта

Классическая линейная система - это система одномерного движения объекта. Законы движения Ньютона для объекта, движущегося горизонтально на плоскости и прикрепленного к стене пружиной

$my\; ¨\; (t)\; =\; u\; (t)\; -\; by\; by\; (t)\; -\; ky\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\}\; (t)\; =\; u\; (t)\; -b\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; (t)\; -ky\; (t)\}$

где

• $y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\}$- позиция; $y\; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; (t)\}$- скорость; $Y\; ¨\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\}\; (t)\}$- это ускорение
• $u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (t)\}$- приложенная сила
• $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- коэффициент вязкого трения
• $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- жесткость пружины
• $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- масса объекта.

Уравнение состояния тогда будет иметь вид

$[x\; \dot{}\; 1\; (t)\; x\; \dot{}\; 2\; (t)]\; =\; [0\; 1\; -\; km\; -\; bm]\; [Икс\; 1\; (T)\; Икс\; 2\; (T)]\; +\; [0\; 1\; м]\; U\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\}\; (\; t)\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\}\; (t)\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\; \}\; \{m\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{m\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{1\}\}\; (t)\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{2\}\}\; (t)\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; [1\; 0]\; [x\; 1\; (t)\; x\; 2\; (t)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{1\}\}\; (t)\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{2\}\}\; (t)\; \backslash \; end\; \{\; м\; atrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

где

• $x\; 1\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; (t)\}$представляет положение объекта
• $x\; 2\; (t)\; знак\; равно\; x\; \dot{}\; 1\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; (t)\}$- скорость объекта
• $x\; \dot{}\; 2\; (т)\; знак\; равно\; Икс\; ¨\; 1\; (т)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; точка\; \{х\}\}\; \_\; \{2\}\; (т)\; =\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; (т)\}$- ускорение объекта
• на выходе $y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\}$- это положение объекта

управляемость тогда будет

$[BAB]\; =\; [[0\; 1\; m]\; [0\; 1\; -\; km\; -\; bm]\; [0\; 1\; m]]\; =\; [0\; 1\; m\; 1\; m\; -\; bm\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; BAB\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\}\; 0\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}]\; \}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{m\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\; \}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\; \backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{m\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

с полным ранг для всех $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$и $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$.

Тогда тест наблюдаемости будет

$[CCA]\; =\; [\; [1\; 0]\; [1\; 0]\; [0\; 1\; -\; км\; -\; bm]]\; =\; [1\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; C\; \backslash \backslash \; CA\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{m\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

который также имеет полный ранг. Таким образом, эта система и управляема, и наблюдаема.

Более общая форма модели в пространстве состояний может быть записана как две функции.

$Икс\; \dot{}\; (T)\; знак\; равно\; е\; (T,\; Икс\; (T),\; U\; (T))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (t,\; x\; (t),\; u\; (t))\}$

$y\; (t)\; =\; час\; (t,\; x\; (t),\; u\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{h\}\; (t,\; x\; (t),\; u\; (t))\}$

Первое - это уравнение состояния, а второе - выходное уравнение. Если функция $f\; (\cdot ,\; \cdot ,\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot)\}$представляет собой линейную комбинацию состояний и входов, тогда уравнения можно записать в матричная запись, как указано выше. Аргумент $u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (t)\}$для функций может быть удален, если система не принудительно (то есть у нее нет входов).

Пример маятника

Классическая нелинейная система - это простой не принудительный маятник

$m\; \ell \; 2\; \theta \; ¨\; (t)\; =\; -\; m\; \ell \; g\; sin\; \; \theta \; (t)\; -\; k\; \ell \; \theta \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; ell\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; theta\}\}\; (t)\; =\; -\; m\; \backslash \; ell\; g\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; (t)\; -k\; \backslash \; ell\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\; \}\}\; (t)\}$

где

• $\theta \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; (t)\}$- угол маятника относительно направления силы тяжести
• $m\; \{\; \backslash \; displaystyle\; m\}$- масса маятника (масса стержня маятника предполагается равной нулю)
• $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- ускорение свободного падения
• $k\; \{\; \backslash \; displaystyle\; k\}$- коэффициент трения в точке поворота;
• $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$- радиус маятника (до центра тяжести массы $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$)

Тогда уравнения состояния:

$x\; \dot{}\; 1\; (t)\; =\; x\; 2\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; (t)\; =\; x\_\; \{2\}\; (t)\}$

$x\; \dot{}\; 2\; (t)\; =\; -\; g\; \ell \; sin\; \; x\; 1\; (t)\; -\; km\; \ell \; x\; 2\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; (\; t)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; \backslash \; sin\; \{x\_\; \{1\}\; \}\; (t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\; \backslash \; ell\}\}\; \{x\_\; \{2\}\}\; (t)\}$

где

• $x\; 1\; (t)\; =\; \theta \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\; \}\; (t)\; =\; \backslash \; theta\; (t)\}$- угол маятника
• $x\; 2\; (t)\; =\; x\; \dot{}\; 1\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; (t)\; =\; \{\; \backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; (t)\}$- скорость вращения маятника
• $x\; \dot{}\; 2\; =\; x\; ¨\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\; \}\; =\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\}$- это ускорение вращения маятника

Вместо этого уравнение состояния можно записать в общем виде

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; (x\; \dot{}\; 1\; (t)\; x\; \dot{}\; 2\; (t))\; =\; f\; (t,\; x\; (t))\; =\; (x\; 2\; (t)\; -\; g\; \ell \; sin\; \; x\; 1\; (t)\; -\; km\; \ell \; x\; 2\; (t)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; (t)\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; dot\; \{x\}\})\; \_\; \{2\}\; (t)\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (t,\; x\; (t))\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; x\_\; \{2\}\; (t)\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; \backslash \; sin\; \{x\_\; \{1\}\}\; (t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\; \backslash \; ell\}\}\; \{x\_\; \{2\}\}\; (t)\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right).\}$

точки равновесия / стационарные точки системы - это когда $x\; \dot{}\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; =\; 0\}$и поэтому точки равновесия маятника - это те, которые удовлетворяют

$(x\; 1\; x\; 2)\; =\; (n\; \pi \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; \backslash \; x\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \; pi\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

для целых чисел n.

• Техника управления
• Теория управления
• Наблюдатель за состоянием
• Наблюдаемость
• Управляемость
• Дискретизация моделей пространства состояний
• Фазовое пространство для получения информации о фазовом состоянии (например, пространстве состояний) в физике и математике.
• пространство состояний для информации о пространстве состояний с дискретными состояниями в информатике.
• пространство состояний (физика) для информации о пространство состояний в физике.
• фильтр Калмана для статистических приложений.

О приложениях моделей пространства состояний в эконометрике

• Durbin, J. ; Купман, С. (2001). Анализ временных рядов методами пространства состояний. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-852354-3.

• Функции языка Wolfram для линейных моделей в пространстве состояний, аффинных модели пространства состояний и нелинейные модели пространства состояний.