Гамильтонова оптика

Гамильтонова оптика и Лагранжева оптика - это две формулировки геометрической оптики, которые разделяют большую часть математического формализма с гамильтоновой механикой и лагранжевой механикой.

• 1 Принцип Гамильтона
• 2 Лагранжева оптика
  • 2.1 Принцип Ферма
  • 2.2 Эйлер- Уравнения Лагранжа
  • 2.3 Оптический момент
  • 2.4 Уравнения Гамильтона
• 3 Применения
  • 3.1 Преломление и отражение
  • 3.2 Лучи и волновые фронты
  • 3.3 Фазовое пространство
  • 3.4 Сохранение внешнего пространства
  • 3.5 Оптика для формирования изображений и без формирования изображений
• 4 Обобщения
  • 4.1 Общая параметризация лучей
  • 4.2 Обобщенные координаты
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

В физике, принцип Гамильтона гласит, что эволюция системы $(q\; 1\; (\sigma ),\; \cdots ,\; q\; N\; (\sigma ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (q\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; right),\; \backslash \; cdots,\; q\_\; \{N\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$описывается $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$обобщенными координатами между двумя заданными состояниями при двух заданных параметрах σ A и σ B - это стационарная точка (точка, где вариация равна нулю), action функционал или

$\delta \; S\; знак\; равно\; \delta \; \int \; \sigma \; A\; \sigma \; BL\; (q\; 1,\; \cdots ,\; q\; N,\; q\; \dot{}\; 1,\; \cdots ,\; q\; \dot{}\; N,\; \sigma )\; d\; \sigma \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; delta\; S\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{B\}\}\; L\; \backslash \; left\; (q\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; q\_\; \{N\},\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; \{\backslash \; dot\; \{\; q\}\}\; \_\; \{N\},\; \backslash \; sigma\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; sigma\; =\; 0\}$

где $q\; \dot{}\; k\; =\; dqk\; /\; d\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; dq\_\; \{k\}\; /\; d\; \backslash \; sigma\}$. Условие $\delta \; S\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; S\; =\; 0\}$действительно тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Эйлера-Лагранжа

$\partial \; L\; \partial \; qk\; -\; dd\; \sigma \; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; К\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{k\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; точка\; \{q\}\}\; \_\; \{k\}\}\}\; =\; 0\}$

с $k\; =\; 1,\; \cdots ,\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1,\; \backslash \; cdots,\; N\}$.

Импульс определяется как

$pk\; =\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{k\}\}\}\}$

и метод Эйлера-Лагранжа уравнения затем можно переписать как

$p\; \dot{}\; k\; =\; \partial \; L\; \partial \; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{k\}\}\}\}$

где $p\; \dot{}\; k\; =\; dpk\; /\; d\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; dp\_\; \{k\}\; /\; d\; \backslash \; sigma\}$.

Другой подход к решению этой проблемы состоит при определении гамильтониана (взяв преобразование Лежандра из лагранжиана ) как

$H\; =\; \sum \; kq\; \dot{}\; kpk\; -\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\{\; \backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{k\}\}\; p\_\; \{k\}\; -L\}$

, для которого новый набор дифференциальных уравнений может можно получить, посмотрев, как полный дифференциал лагранжиана зависит от параметра σ, позиции $qi\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\; \backslash ,\}$и их производные $q\; \dot{}\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}$относительно σ. Этот вывод такой же, как в гамильтоновой механике, только с заменой времени t на общий параметр σ. Эти дифференциальные уравнения представляют собой уравнения Гамильтона

$\partial \; H\; \partial \; q\; k\; =\; -\; p\; \dot{}\; k,\; \partial \; H\; \partial \; p\; k\; =\; q\; \dot{}\; k,\; \partial \; H\; \partial \; \sigma \; =\; -\; \partial \; L\; \partial \; \sigma .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{k\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{k\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{k\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; sigma\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; partial\; L\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; sigma\}\; \backslash ,.\}$

с $k\; =\; 1,\; \cdots ,\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1,\; \backslash \; cdots,\; N\}$. Уравнения Гамильтона - это дифференциальные уравнения первого порядка, а уравнения Эйлера-Лагранжа - второго порядка.

Общие результаты, представленные выше для принципа Гамильтона, могут быть применены к оптике. В 3D евклидовом пространстве обобщенные координаты теперь являются координатами евклидова пространства.

Принцип Ферма

Принцип Ферма гласит, что оптическая длина пути, пройденного при свете между двумя фиксированными точками, A и B, является неподвижной точкой. Это может быть максимум, минимум, константа или точка перегиба . В общем, когда свет распространяется, он движется в среде с переменным показателем преломления, который представляет собой скалярное поле положения в пространстве, то есть $n\; =\; n\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; n\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\}$в 3D евклидовом пространстве. Предполагая, что теперь свет движется вдоль оси x 3, путь светового луча может быть параметризован как $s\; =\; (x\; 1\; (x\; 3),\; x\; 2\; (x\; 3),\; x\; 3)\; \{\backslash \; Displaystyle\; s\; =\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{3\}\; \backslash \; right),\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{3\}\; \backslash \; right),\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\}$начиная с точки $A\; =\; (x\; 1\; (x\; 3\; A),\; x\; 2\; (x\; 3\; A),\; x\; 3\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{3A\}\; \backslash \; right),\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{3A\}\; \backslash \; right),\; x\_\; \{3A\}\; \backslash \; right)\}$и заканчивается в точке $B\; =\; (x\; 1\; (Икс\; 3\; В),\; Икс\; 2\; (Икс\; 3\; В),\; Икс\; 3\; В)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{3B\}\; \backslash \; right),\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{3B\}\; \backslash \; right),\; x\_\; \{3B\}\; \backslash \; right)\}$. В этом случае, по сравнению с принципом Гамильтона выше, координаты $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$и $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; \}$взять на себя роль обобщенных координат $qk\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{k\}\}$, а $x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{3\}\}$играет роль параметра $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, то есть параметра σ = x 3 и N = 2.

В контексте вариационного исчисления это можно записать как

$\delta \; S\; =\; \delta \; \int \; AB\; nds\; =\; \delta \; \int \; x\; 3\; A\; x\; 3\; B\; ndsdx\; 3\; dx\; 3\; =\; \delta \; \int \; Икс\; 3\; A\; Икс\; 3\; BL\; (Икс\; 1,\; Икс\; 2,\; Икс\; \dot{}\; 1,\; Икс\; \dot{}\; 2,\; Икс\; 3)\; dx\; 3\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; S\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\}\; n\; \backslash ,\; ds\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{3A\}\}\; ^\; \{x\_\; \{3B\}\}\; n\; \{\backslash \; frac\; \{ds\}\; \{dx\_\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; dx\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; дельта\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{3A\}\}\; ^\; \{x\_\; \{3B\}\}\; L\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\},\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx\_\; \{3\}\; =\; 0\}$

где ds - бесконечно малое смещение вдоль луча, задаваемое формулой $ds\; =\; dx\; 1\; 2\; +\; dx\; 2\; 2\; +\; dx\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{dx\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; dx\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; dx\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$и

$L\; знак\; равно\; ndsdx\; 3\; знак\; равно\; N\; (Икс\; 1,\; Икс\; 2,\; Икс\; 3)\; 1\; +\; Икс\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; Икс\; \dot{}\; 2\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; =\; n\; \{\backslash \; frac\; \{ds\}\; \{dx\_\; \{3\}\}\}\; =\; n\; \backslash \; left\; (\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

- оптический лагранжиан, а $x\; \dot{}\; k\; =\; dxk\; /\; dx\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; dx\_\; \{k\}\; /\; dx\_\; \{3\}\; \}$.

длина оптического пути (OPL) определяется как

$S\; =\; \int \; AB\; nd\; s\; =\; \int \; ABL\; dx\; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\}\; n\; \backslash ,\; ds\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\; \}\}\; L\; \backslash ,\; dx\_\; \{3\}\}$

где n - локальный показатель преломления как функция положения на пути между точками A и B.

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Общие результаты, представленные выше для принципа Гамильтона, могут быть применены к оптике с использованием лагранжиана, определенного в принципе Ферма. Уравнения Эйлера-Лагранжа с параметром σ = x 3 и N = 2, примененные к принципу Ферма, приводят к

$\partial \; L\; \partial \; xk\; -\; ddx\; 3\; \partial \; L\; \partial \; x\; \dot{}\; k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\_\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{k\; \}\}\}\; =\; 0\}$

с k = 1,2 и где L - оптический лагранжиан, а $x\; \dot{}\; k\; =\; dxk\; /\; dx\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; dx\_\; \{k\}\; /\; dx\_\; \{3\}\}$.

Оптический импульс

Оптический импульс определяется как

$pk\; =\; \partial \; L\; \partial \; x\; \dot{}\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичное\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{k\}\}\}\}$

и из определения оптического лагранжиана $L\; =\; n\; 1\; +\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; L\; =\; п\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; точка\; \{х\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; точка\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$это выражение можно переписать как

$pk\; =\; nx\; \dot{}\; kx\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; =\; ndxkdx\; 1\; 2\; +\; dx\; 2\; 2\; +\; dx\; 3\; 2\; =\; ndxkds\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{k\}\; =\; n\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\; \}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; n\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{dx\_\; \{1)\; \}\; ^\; \{2\}\; +\; dx\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; dx\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; n\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{k\}\}\; \{ds\}\}\}$

Оптический импульс

или в векторной форме

$p\; =\; ndsds\; =\; (p\; 1,\; p\; 2,\; p\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; n\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{ds\}\}\; \{ds\}\}\; =\; \backslash \; left\; (p\_\; \{1\},\; p\_\; \{2\},\; p\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\}$

$=\; (n\; cos\; \; \alpha \; 1,\; n\; cos\; \; \alpha \; 2,\; n\; cos\; \; \alpha \; 3)\; =\; ne\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; left\; (\; n\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; n\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\},\; n\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; =\; n\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\}$

где $e\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\}$- это единичный вектор и углы α 1, α 2 и α 3 - углы p относительно оси x 1, x 2 и x 3 соответственно, как показано на рисунке «оптический момент». Следовательно, оптический импульс - это вектор norm

$\Vert \; p\; \Vert \; =\; p\; 1\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; +\; p\; 3\; 2\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; n\}$

, где n - показатель преломления, при котором p рассчитано. Вектор p указывает направление распространения света. Если свет распространяется в оптике с градиентным показателем преломления , путь светового луча изогнут, и вектор p касается светового луча.

Выражение для длины оптического пути также можно записать как функцию оптического импульса. Учитывая, что $x\; \dot{}\; 3\; =\; dx\; 3\; /\; dx\; 3\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; dx\_\; \{3\}\; /\; dx\_\; \{3\}\; =\; 1\}$выражение для оптического лагранжиана можно переписать как

$L\; =\; nx\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; =\; x\; \dot{}\; 1\; nx\; \dot{}\; 1\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; nx\; \dot{}\; 2\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; +\; nx\; \dot{}\; 3\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; n\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; точка\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \{\; \backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

$=\; x\; \dot{}\; 1\; p\; 1\; +\; x\; \dot{}\; 2\; п\; 2\; +\; Икс\; \dot{}\; 3\; п\; 3\; знак\; равно\; Икс\; \dot{}\; 1\; п\; 1\; +\; Икс\; \dot{}\; 2\; п\; 2\; +\; п\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; p\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\; \}\; \_\; \{2\}\; p\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; p\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; p\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; p\_\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\}$

и выражение для длины оптического пути:

$S\; =\; \int \; L\; dx\; 3\; =\; \int \; p\; \cdot \; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; L\; \backslash ,\; dx\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\}$

уравнения Гамильтона

Аналогично что происходит в гамильтоновой механике, а также в оптике гамильтониан определяется выражением, приведенным выше для N = 2, соответствующих функциям $x\; 1\; (x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\}$и $x\; 2\; (x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\}$подлежит определению

$H\; =\; x\; \dot{}\; 1\; p\; 1\; +\; x\; \dot{}\; 2\; p\; 2\; -\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; p\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{\; x\}\}\; \_\; \{2\}\; p\_\; \{2\}\; -L\}$

Сравнение этого выражения с $L\; =\; x\; \dot{}\; 1\; p\; 1\; +\; x\; \dot{}\; 2\; p\; 2\; +\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; dot\; \{x\; \}\}\; \_\; \{1\}\; p\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; p\_\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\}$для лагранжевых результатов в

$H\; =\; -\; p\; 3\; =\; -\; n\; 2\; -\; p\; 1\; 2\; -\; p\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; -p\_\; \{3\}\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\; ^\; \{2\}\; -p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -p\_\; \{2\}\; ^\; \{\; 2\}\}\}\}$

И соответствующие уравнения Гамильтона с параметром σ = x 3 и k = 1,2, примененные к оптике:

$\partial \; H\; \partial \; xk\; =\; -\; p\; \dot{}\; k,\; \partial \; H\; \partial \; пк\; знак\; равно\; Икс\; \dot{}\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; fra\; c\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{k\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{k\}\}$

с $x\; \dot{}\; k\; =\; dxk\; /\; dx\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; dx\_\; \{k\}\; /\; dx\_\; \{\; 3\}\}$и $p\; \dot{}\; k\; =\; dpk\; /\; dx\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; dp\_\; \{k\}\; /\; dx\_\; \{3\}\}$.

Предполагается, что свет движется вдоль оси x 3, в принципе Гамильтона выше, координаты $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$и $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\}$берут на себя роль обобщенных координат $qk\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{k\}\}$а $x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{3\}\}$играет роль параметра $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, то есть параметра σ = x 3 и N = 2.

Преломление и отражение

Если плоскость x 1x2разделяет две среды с показателем преломления n A ниже и n B над ней, коэффициент преломления индекс задается функцией шага

и из уравнений Гамильтона

$\partial \; H\; \partial \; xk\; =\; \partial \; \partial \; xkn\; (x\; 3)\; 2\; -\; p\; 1\; 2\; -\; p\; 2\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\; (x\_\; \{3\})\; ^\; \{2\}\; -p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -p\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0\}$

и, следовательно, $п\; \dot{}\; К\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; 0\}$или $pk\; =\; Constant\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{Constant)\; \}\}\}$для k = 1,2.

Входящий световой луч имеет импульс pAдо рефракции (ниже плоскости x 1x2) и импульс pBпосле рефракции ция (над плоскостью x 1x2). Луч света составляет угол θ A с осью x 3 (нормаль к преломляющей поверхности) до преломления и угол θ B с осью x 3 после рефракции. Поскольку компоненты импульса p 1 и p 2 постоянны, только p 3 изменяется с p 3A на p 3B.

Преломление

Рисунок «преломление» показывает геометрию этого преломления, из которой $d\; =\; \Vert \; p\; A\; \Vert \; sin\; \; \theta \; A\; =\; \Vert \; p\; B\; \Vert \; sin\; \; \theta \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{A\}\; \backslash \; |\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{A\}\; =\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{B\}\; \backslash \; |\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{B\}\}$. Поскольку $\Vert \; p\; A\; \Vert \; =\; n\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{A\}\; \backslash \; |\; =\; n\_\; \{A\}\}$и $\Vert \; p\; B\; \Vert \; =\; n\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{B\}\; \backslash \; |\; =\; n\_\; \{B\}\}$, это последнее выражение можно записать как

$n\; A\; sin\; \; \theta \; A\; =\; n\; B\; sin\; \; \theta \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{A\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{A\}\; =\; n\_\; \{B\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{B\}\}$

который является законом Снеллиуса преломления.

На рисунке «преломление» нормаль к преломляющей поверхности указывает в направлении оси x 3, а также вектора $v\; =\; p\; A\; -\; p\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\; \}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{A\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{B\}\}$. Единичная нормаль $n\; =\; v\; /\; \Vert \; v\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; /\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; |\}$к преломляющей поверхности может тогда быть полученным из импульсов входящих и выходящих лучей следующим образом:

$n\; =\; p\; A\; -\; p\; B\; \Vert \; p\; A\; -\; p\; B\; \Vert \; =\; n\; A\; i\; -\; n\; B\; r\; \Vert \; n\; A\; i\; -\; n\; B\; r\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{A\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{B\}\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{A\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{B\; \}\; \backslash \; |\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; -n\_\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{\backslash \; |\; n\_\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; -n\_\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; r\}\; \backslash \; |\}\}\}$

где i и r - единичные векторы в направлениях падающих и преломленных лучей. Кроме того, исходящий луч (в направлении $p\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{B\}\}$) содержится в плоскости, определяемой входящим лучом (в направлении $p\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \_\; \{A\}\}$) и нормальный $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$на поверхность.

Аналогичный аргумент может использоваться для отражения при выводе закона зеркального отражения, только теперь с n A=nB, что приводит к θ A=θB. Кроме того, если i и r являются единичными векторами в направлениях падающего и преломленного луча соответственно, соответствующая нормаль к поверхности задается тем же выражением, что и для преломления, только с п A=nB

$N\; =\; я\; -\; р\; \Vert \; я\; -\; р\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{i\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; |\}\}\}$

В векторной форме, если i - единичный вектор, указывающий в направлении падающего луча, а n - единичная нормаль к поверхности, направление r преломленного луча определяется выражением:

$r\; =\; n\; A\; n\; B\; i\; +\; (-\; (i\; \cdot \; n)\; n\; A\; n\; B\; +\; \Delta )\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; r\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{A\}\}\; \{n\_\; \{B\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; \backslash \; left\; (-\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{A\}\}\; \{n\_\; \{B\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$

с

$\Delta \; =\; 1\; -\; (n\; A\; n\; B)\; 2\; (\; 1\; -\; (я\; \cdot \; n)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; 1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{A\}\}\; \{n\_\; \{B\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$

Если i·n<0 then -nследует использовать в вычислении ионы. Когда , свет испытывает полное внутреннее отражение, и выражение для отраженного луча является выражением отражения:

$r\; =\; i\; -\; 2\; (i\; \cdot \; n)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; -2\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$

Лучи и волновые фронты

Из определения оптического пути длина $S\; =\; \int \; L\; dx\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; L\; \backslash ,\; dx\_\; \{3\}\}$

$\partial \; S\; \partial \; xk\; =\; \int \; \partial \; L\; \partial \; xkdx\; 3\; =\; \int \; dpkdx\; 3\; dx\; 3\; =\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; \backslash ,\; dx\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\; dp\_\; \{k\}\}\; \{dx\_\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; dx\_\; \{3\}\; =\; p\_\; \{k\}\}$

Лучи и волновые фронты

с k = 1,2, где уравнения Эйлера-Лагранжа $\partial \; L\; /\; \partial \; xk\; =\; dpk\; /\; dx\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; L\; /\; \backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\; =\; dp\_\; \{k\}\; /\; dx\_\; \{3\}\}$с k = 1,2 были использованы. Кроме того, из последнего из уравнений Гамильтона $\partial \; H\; /\; \partial \; x\; 3\; =\; -\; \partial \; L\; /\; \partial \; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; H\; /\; \backslash \; partial\; x\_\; \{3\}\; =\; -\; \backslash \; partial\; L\; /\; \backslash \; partial\; x\_\; \{3\}\}$и из $H\; =\; -\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; -p\_\; \{3\}\}$выше

$\partial \; S\; \partial \; x\; 3\; =\; \int \; \partial \; L\; \partial \; Икс\; 3\; dx\; 3\; знак\; равно\; \int \; dp\; 3\; dx\; 3\; dx\; 3\; =\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{3\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; dx\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dp\_\; \{3\}\}\; \{dx\_\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; dx\_\; \{3\}\; =\; p\_\; \{3\}\}$

объединяя уравнения для компоненты импульса p приводят к

$p\; =\; \nabla \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \backslash \; nabla\; S\}$

Поскольку p является вектором, касательным к световые лучи, поверхности S = ​​Constant должны быть перпендикулярны этим световым лучам. Эти поверхности называются волновыми фронтами. Рисунок «Лучи и волновые фронты» иллюстрирует эту взаимосвязь. Также показан оптический импульс p, касательный к световому лучу и перпендикулярный волновому фронту.

Векторное поле $p\; =\; \nabla \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \backslash \; nabla\; S\}$- это консервативное векторное поле. Теорема о градиенте затем может быть применена к длине оптического пути (как указано выше), в результате чего

$S\; =\; \int \; AB\; p\; \cdot \; ds\; =\; \int \; AB\; \nabla \; S\; \cdot \; ds\; =\; S\; (В)\; -\; S\; (A)\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\}\; \backslash \; nabla\; S\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{B\})\; -S\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\}$

и оптический путь длина S, вычисленная вдоль кривой C между точками A и B, является функцией только ее конечных точек A и B, а не форма кривой между ними. В частности, если кривая замкнута, она начинается и заканчивается в одной и той же точке, или A=B, так что

$S\; =\; \oint \; \nabla \; S\; \cdot \; ds\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; oint\; \backslash \; nabla\; S\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; 0\}$

Этот результат может быть применен к замкнутому пути ABCDA, как на рисунке «длина оптического пути»

$S\; =\; \int \; AB\; p\; \cdot \; ds\; +\; \int \; BC\; p\; \cdot \; ds\; +\; \int \; CD\; п\; \cdot \; DS\; +\; \int \; DA\; п\; \cdot \; ds\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{D\}\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{D\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; 0\}$

Длина оптического пути

для сегмента кривой AB оптический момент p перпендикулярен смещению d s вдоль кривой AB или $p\; \cdot \; ds\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; 0\}$. То же верно и для сегмента CD . Для сегмента BC оптический момент p имеет то же направление, что и смещение d s и $p\; \cdot \; ds\; =\; nds\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; nds\}$. Для сегмента DA оптический момент p имеет направление, противоположное смещению d s и $p\; \cdot \; ds\; =\; -\; nds\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\; \}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; -n\; \backslash ,\; ds\}$. Однако при инвертировании направления интегрирования, так что интеграл берется от A до D, d s меняет направление и $p\; \cdot \; ds\; =\; nds\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; n\; \backslash ,\; ds\}$. Исходя из этих соображений

$\int \; BC\; nds\; =\; \int \; AD\; nds\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; n\; \backslash ,\; ds\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{D\}\}\; n\; \backslash ,\; ds\}$

или

$SBC\; =\; SAD\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{BC\}\}\; =\; S\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{AD\}\}\}$

и оптический путь длина S BCмежду точками B и C вдоль соединяющего их луча такая же, как длина оптического пути S ADмежду точками A и D вдоль луча, соединяющего их. Длина оптического пути постоянна между фронтами волн.

Фазовое пространство

На рисунке «2D-фазовое пространство» вверху показаны некоторые световые лучи в двухмерном пространстве. Здесь x 2 = 0 и p 2 = 0, поэтому свет распространяется по плоскости x 1x3в направлениях увеличения значений x 3. В этом случае $p\; 1\; 2\; +\; p\; 3\; 2\; =\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; =\; n\; ^\; \{2\}\}$и направление светового луча полностью определяется компонентой импульса p 1 $p\; =\; (p\; 1,\; p\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; (p\_\; \{1\},\; p\_\; \{3\})\}$, поскольку p 2 = 0. Если задано p 1, p 3 может быть вычислено (с учетом значения показателя преломления n), и поэтому p 1 достаточно для определения направления луч света. Показатель преломления среды, в которой проходит луч, определяется как $\Vert \; p\; \Vert \; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; |\; =\; n\}$.

2D-фазовое пространство

Например, луч r C пересекает ось x 1 в координате x B с оптическим импульсом pC, вершина которого находится на окружности радиуса n с центром в позиции x В. Координата x B и горизонтальная координата p 1C количества движения pCполностью определяют луч r C, когда он пересекает ось x 1. Затем этот луч может быть определен точкой r C = (x B,p1C) в пространстве x 1p1, как показано внизу рисунка. Пространство x 1p1называется фазовым пространством, и разные световые лучи могут быть представлены разными точками в этом пространстве.

Таким образом, луч r D, показанный вверху, представлен точкой r D в фазовом пространстве внизу. Все лучи, пересекающие ось x 1 с координатой x B между лучами r C и r D, представлены вертикальной линией, соединяющей точки r C и r D в фазовом пространстве. Соответственно, все лучи, пересекающие ось x 1 с координатой x A, находящиеся между лучами r A и r B, представлены вертикальной линией. точки соединения r A и r B в фазовом пространстве. В общем, все лучи, пересекающие ось x 1 между x L и x R, представлены объемом R в фазовом пространстве. Лучи на границе ∂R объема R называются краевыми лучами. Например, в позиции x A оси x 1 лучи r A и r B являются краевыми лучами, поскольку все остальные лучи находятся между этими двумя. (Луч, параллельный x1, не будет между двумя лучами, так как импульс не находится между двумя лучами)

.

В трехмерной геометрии оптический импульс задается как $p\; =\; (p\; 1,\; p\; 2,\; p\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; (p\_\; \{1\},\; p\_\; \{2\},\; p\_\; \{3\})\}$с $p\; 1\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; +\; p\; 3\; 2\; =\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; =\; n\; ^\; \{2\}\}$. Если p 1 и p 2 заданы, p 3 может быть вычислено (с учетом значения показателя преломления n) и, следовательно, p 1 и p 2 достаточно для определения направления светового луча. Затем луч, движущийся вдоль оси x 3, определяется точкой (x 1,x2) в плоскости x 1x2и направлением (p 1,p2). Затем он может быть определен точкой в ​​четырехмерном фазовом пространстве x1x2p1p2.

Сохранение внешнего вида

На рисунке «изменение объема» показан объем V, ограниченный областью A. Со временем, если граница A движется, объем V может меняться. В частности, бесконечно малая область dA с направленной наружу нормалью n движется со скоростью v.

Изменение объема

Это приводит к изменению объема $d\; V\; =\; d\; A\; (v\; \cdot \; n)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\; =\; dA\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; dt\}$. Используя теорему Гаусса, изменение во времени полного объема V объема, движущегося в пространстве, равно

$d\; V\; dt\; =\; \int \; A\; v\; \cdot \; nd\; A\; =\; \int \; V\; \nabla \; \cdot \; vd\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{dV\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash ,\; dA\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash ,\; dV\; \}$

Самый правый член - это объемный интеграл по объему V, а средний член - поверхностный интеграл по границе A объема V. Кроме того, v - это скорость, с которой движутся точки в V.

В оптике координата $x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{3\}\}$играет роль времени. В фазовом пространстве луч света идентифицируется точкой $(x\; 1,\; x\; 2,\; p\; 1,\; p\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; p\_\; \{1\},\; p\_\; \{2\}))\}$который движется со "скоростью " $v\; =\; (x\; \dot{}\; 1,\; x\; \dot{}\; 2,\; p\; \dot{}\; 1,\; p\; \dot{}\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\; \}\; =\; (\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\},\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\},\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{1\},\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{2\})\}$, где точка представляет собой производную относительно $x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{3\}\}$. Набор световых лучей, распространяющихся по $dx\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{1\}\}$в координатах $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$, $dx\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{2\}\}$в координате $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\}$, $dp\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; dp\_\; \{1\}\}$в координате $p\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\}$и $dp\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dp\_\; \{2\}\}$в координатах $p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{2\}\}$занимает объем $d\; V\; =\; dx\; 1\; dx\; 2\; dp\; 1\; dp\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\; =\; dx\_\; \{1\}\; dx\_\; \{2\}\; dp\_\; \{1\}\; dp\_\; \{2\}\}$в фазовом пространстве. В общем, большой набор лучей занимает большой объем $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$в фазовом пространстве, к которому теорема Гаусса может быть применена

$d\; V\; dx\; 3\; =\; \int \; V\; \nabla \; \cdot \; vd\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dV\}\; \{dx\_\; \{3\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash ,\; dV\}$

и с использованием Уравнения Гамильтона

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; \partial \; x\; \dot{}\; 1\; \partial \; x\; 1\; +\; \partial \; x\; \dot{}\; 2\; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; p\; \dot{}\; 1\; \partial \; p\; 1\; +\; \partial \; p\; \dot{}\; 2\; \partial \; p\; 2\; =\; \partial \; \partial \; x\; 1\; \partial \; H\; \partial \; p\; 1\; +\; \partial \; \partial \; x\; 2\; \partial \; H\; \partial \; p\; 2\; -\; \partial \; \partial \; p\; 1\; \partial \; H\; \partial \; x\; 1\; -\; \partial \; \partial \; p\; 2\; \partial \; H\; \partial \; x\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{2\}\}\; \}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; частичное\; p\_\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\; \backslash \; partial\; x\_\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{2\}\}\}\; =\; 0\}$

или $d\; V\; /\; dx\; 3\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\; /\; dx\_\; \{3\}\; =\; 0\}$и $d\; V\; =\; dx\; 1\; dx\; 2\; dp\; 1\; dp\; 2\; =\; константа\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\; =\; dx\_\; \{1\}\; dx\_\; \{2\}\; dp\_\; \{1\}\; dp\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{Constant\}\}$, что означает, что объем фазового пространства сохраняется при движении света по оптической системе.

Объем, занимаемый набором лучей в фазовом пространстве, называется etendue, который сохраняется по мере прохождения световых лучей в оптической системе в направлении x 3. Это соответствует теореме Лиувилля, которая также применима к гамильтоновой механике.

Однако смысл теоремы Лиувилля в механике весьма отличается от теоремы о сохранении эталонности. Теорема Лиувилля является статистической по своей природе и относится к эволюции во времени ансамбля механических систем с идентичными свойствами, но с разными начальными условиями. Каждая система представлена ​​одной точкой в ​​фазовом пространстве, и теорема утверждает, что средняя плотность точек в фазовом пространстве постоянна во времени. Примером могут служить молекулы идеального классического газа, находящиеся в равновесии в контейнере. Каждая точка в фазовом пространстве, которая в этом примере имеет 2N измерений, где N - количество молекул, представляет собой одну из ансамбля идентичных контейнеров, ансамбля, достаточно большого, чтобы позволить получить статистическое среднее значение плотности репрезентативных точек. Теорема Лиувилля гласит, что если все контейнеры остаются в равновесии, средняя плотность точек остается постоянной.

Оптика с визуализацией и без визуализации

На рисунке «сохранение бесконечности» слева изображена двумерная оптическая система. в которой x 2 = 0 и p 2 = 0, поэтому свет распространяется по плоскости x 1x3в направлениях увеличения значений x 3.

Сохранение внешнего вида

Световые лучи, пересекающие входную апертуру оптики в точке x 1=xI, содержатся между краевыми лучами r A и r B, представленными вертикальной линия между точками r A и r B на фазовом пространстве входной апертуры (правый нижний угол рисунка). Все лучи, пересекающие входную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью R I.

Кроме того, световые лучи, пересекающие выходную апертуру оптики в точке x 1=xO, содержатся между краевыми лучами r A и r B представлен вертикальной линией между точками r A и r B в фазовом пространстве выходной апертуры (правый, верхний угол рисунка). Все лучи, пересекающие выходную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью R O.

Сохранение длины волны в оптической системе означает, что объем (или область в этом двумерном случае) в фазовом пространстве, занимаемый областью R I на входной апертуре должен быть таким же, как объем в фазовом пространстве, занимаемый R O на выходной апертуре.

В оптике формирования изображений все световые лучи, пересекающие входную апертуру в точке x 1=xI, перенаправляются ею к выходной апертуре в точке x 1=xO, где x I = mx O. Это обеспечивает формирование изображения входа на выходе с увеличением m. В фазовом пространстве это означает, что вертикальные линии в фазовом пространстве на входе преобразуются в вертикальные линии на выходе. Это было бы в случае вертикальной линии r ArBв R I, преобразованной в вертикальную линию r ArBв R O.

В оптике без визуализации, цель не состоит в том, чтобы сформировать изображение, а просто переносить весь свет из входной апертуры в выходную апертуру. Это достигается путем преобразования краевых лучей ∂R I из R I в краевые лучи ∂R O из R O. Это известно как принцип краевого луча.

Выше предполагалось, что свет движется вдоль оси x 3, в принципе Гамильтона выше., координаты $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$и $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\}$берут на себя роль обобщенных координат $qk\; \{\backslash displaystyle\; q\_\{k\}\}$while $x\; 3\; \{\backslash displaystyle\; x\_\{3\}\}$takes the role of parameter $\sigma \; \{\backslash displaystyle\; \backslash sigma\; \}$, that is, parameter σ =x3and N=2. However, different parametrizations of the light rays are possible, as well as the use of generalized coordinates.

General ray parametrization

A more general situation can be considered in which the path of a light ray is parametrized as $s\; =\; (\; x\; 1\; (\; \sigma ),\; x\; 2\; (\; \sigma ),\; x\; 3\; (\; \sigma ))\; \{\backslash displaystyle\; s=\backslash left(x\_\{1\}\backslash left(\backslash sigma\; \backslash right),x\_\{2\}\backslash left(\backslash sigma\; \backslash right),x\_\{3\}\backslash left(\backslash sigma\; \backslash right)\backslash right)\}$in which σ is a general parameter. In this case, when compared to Hamilton's principleabove, coordinates $x\; 1\; \{\backslash displaystyle\; x\_\{1\}\}$, $x\; 2\; \{\backslash displaystyle\; x\_\{2\}\}$and $x\; 3\; \{\backslash displaystyle\; x\_\{3\}\}$take the role of the generalized coordinates $q\; k\; \{\backslash displaystyle\; q\_\{k\}\}$with N=3. Applying Hamilton's principleto optics in this case leads to

$\delta \; S\; =\; \delta \; \int \; A\; B\; n\; d\; s\; =\; \delta \; \int \; \sigma \; A\; \sigma \; B\; n\; d\; s\; d\; \sigma \; d\; \sigma \; \{\backslash displaystyle\; \backslash delta\; S=\backslash delta\; \backslash int\; \_\{\backslash mathbf\; \{A\}\; \}^\{\backslash mathbf\; \{B\}\; \}n\backslash ,ds=\backslash delta\; \backslash int\; \_\{\backslash sigma\; \_\{A\}\}^\{\backslash sigma\; \_\{B\}\}n\{\backslash frac\; \{ds\}\{d\backslash sigma\; \}\}\backslash ,d\backslash sigma\; \}$

$=\; \delta \; \int \; \sigma \; A\; \sigma \; B\; L\; (\; x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3,\; x\; \dot{}\; 1,\; x\; \dot{}\; 2,\; x\; \dot{}\; 3,\; \sigma )\; d\; \sigma \; =\; 0\; \{\backslash displaystyle\; =\backslash delta\; \backslash int\; \_\{\backslash sigma\; \_\{A\}\}^\{\backslash sigma\; \_\{B\}\}L\backslash left(x\_\{1\},x\_\{2\},x\_\{3\},\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\},\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\},\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{3\},\backslash sigma\; \backslash right)\backslash ,d\backslash sigma\; =0\}$

where now $L\; =\; n\; d\; s\; /\; d\; \sigma \; \{\backslash displaystyle\; L=nds/d\backslash sigma\; \}$and $x\; \dot{}\; k\; =\; d\; x\; k\; /\; d\; \sigma \; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{k\}=dx\_\{k\}/d\backslash sigma\; \}$and for which the Euler-Lagrange equations applied to this form of Fermat's principle result in

$\partial \; L\; \partial \; x\; k\; -\; d\; d\; \sigma \; \partial \; L\; \partial \; x\; \dot{}\; k\; =\; 0\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; x\_\{k\}\}\}-\{\backslash frac\; \{d\}\{d\backslash sigma\; \}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{k\}\}\}=0\}$

with k=1,2,3 and where L is the optical Lagrangian. Also in this case the optical momentum is defined as

$p\; k\; =\; \partial \; L\; \partial \; x\; \dot{}\; k\; \{\backslash displaystyle\; p\_\{k\}=\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{k\}\}\}\}$

and the Hamiltonian P is defined by the expression given abovefor N=3 corresponding to functions $x\; 1\; (\; \sigma )\; \{\backslash displaystyle\; x\_\{1\}\backslash left(\backslash sigma\; \backslash right)\}$, $x\; 2\; (\; \sigma )\; \{\backslash displaystyle\; x\_\{2\}\backslash left(\backslash sigma\; \backslash right)\}$and $x\; 3\; (\; \sigma )\; \{\backslash displaystyle\; x\_\{3\}\backslash left(\backslash sigma\; \backslash right)\}$to be determined

$P\; =\; x\; \dot{}\; 1\; p\; 1\; +\; x\; \dot{}\; 2\; p\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; p\; 3\; -\; L\; \{\backslash displaystyle\; P=\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\}p\_\{1\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\}p\_\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{3\}p\_\{3\}-L\}$

And the corresponding Hamilton's equations with k=1,2,3 applied optics are

$\partial \; H\; \partial \; x\; k\; =\; -\; p\; \dot{}\; k,\; \partial \; H\; \partial \; p\; k\; =\; x\; \dot{}\; k\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{\backslash partial\; H\}\{\backslash partial\; x\_\{k\}\}\}=-\{\backslash dot\; \{p\}\}\_\{k\}\backslash ,,\backslash quad\; \{\backslash frac\; \{\backslash partial\; H\}\{\backslash partial\; p\_\{k\}\}\}=\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{k\}\}$

with $x\; \dot{}\; k\; =\; d\; x\; k\; /\; d\; \sigma \; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{k\}=dx\_\{k\}/d\backslash sigma\; \}$and $p\; \dot{}\; k\; =\; d\; p\; k\; /\; d\; \sigma \; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash dot\; \{p\}\}\_\{k\}=\; dp\_\{k\}/d\backslash sigma\; \}$.

The optical Lagrangian is given by

$L\; =\; n\; d\; s\; d\; \sigma \; =\; n\; (\; x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; =\; L\; (\; x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3,\; x\; \dot{}\; 1,\; x\; \dot{}\; 2,\; x\; \dot{}\; 3)\; \{\backslash displaystyle\; L=n\{\backslash frac\; \{ds\}\{d\backslash sigma\; \}\}=n\backslash left(x\_\{1\},x\_\{2\},x\_\{3\}\backslash right)\{\backslash sqrt\; \{\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{3\}^\{2\}\}\}=L\backslash left(x\_\{1\},x\_\{2\},x\_\{3\},\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\},\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\},\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{3\}\backslash right)\}$

and does not explicitly depend on parameter σ. For that reason not all solutions of the Euler-Lagrange equations will be possible light rays, since their derivation assumed an explicit dependence of L on σ which does not happen in optics.

The optical momentum components can be obtained from

$p\; k\; =\; n\; x\; \dot{}\; k\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; =\; n\; d\; x\; k\; d\; x\; 1\; 2\; +\; d\; x\; 2\; 2\; +\; d\; x\; 3\; 2\; =\; n\; d\; x\; k\; d\; s\; \{\backslash displaystyle\; p\_\{k\}=n\{\backslash frac\; \{\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{k\}\}\{\backslash sqrt\; \{\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{3\}^\{2\}\}\}\}=n\{\backslash frac\; \{dx\_\{k\}\}\{\backslash sqrt\; \{dx\_\{1\}^\{2\}+dx\_\{2\}^\{2\}+dx\_\{3\}^\{2\}\}\}\}=n\{\backslash frac\; \{dx\_\{k\}\}\{ds\}\}\}$

where $x\; \dot{}\; k\; =\; d\; x\; k\; /\; d\; \sigma \; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{k\}=dx\_\{k\}/d\backslash sigma\; \}$. The expression for the Lagrangian can be rewritten as

$L\; =\; n\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; =\; x\; \dot{}\; 1\; n\; x\; \dot{}\; 1\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; n\; x\; \dot{}\; 2\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; n\; x\; \dot{}\; 3\; x\; \dot{}\; 1\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 2\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; 2\; \{\backslash displaystyle\; L=n\{\backslash sqrt\; \{\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{3\}^\{2\}\}\}=\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\}\{\backslash frac\; \{n\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\}\}\{\backslash sqrt\; \{\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{3\}^\{2\}\}\}\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\}\{\backslash frac\; \{n\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\}\}\{\backslash sqrt\; \{\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{1\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{2\}^\{2\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{3\}^\{2\}\}\}\}+\{\backslash dot\; \{x\}\}\_\{3\}\{\backslash frac\; \{n\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

$=\; x\; \dot{}\; 1\; p\; 1\; +\; x\; \dot{}\; 2\; p\; 2\; +\; x\; \dot{}\; 3\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\; \}\; \_\; \{1\}\; p\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; p\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; p\_\; \{3\}\}$

Сравнение этого выражения для L с этим для гамильтониана P можно сделать вывод, что

$P\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; 0\}$

Из выражений для компонентов $pk\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{k\}\}$результатов оптического импульса

$p\; 1\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; +\; p\; 3\; 2\; -\; n\; 2\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{2\; \}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; -n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

Оптический гамильтониан выбрано как

$P\; =\; p\; 1\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; +\; p\; 3\; 2\; -\; n\; 2\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{2\; \}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; -n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

хотя другие варианты могут быть сделано. Уравнения Гамильтона с k = 1,2,3, определенные выше, вместе с $P\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; 0\}$определяют возможные световые лучи.

Обобщенные координаты

Как и в гамильтоновой механике, также можно записать уравнения гамильтоновой оптики в терминах обобщенных координат $(Q\; 1\; (\sigma ),\; Q\; 2\; (\sigma ),\; Q\; 3\; (\sigma ))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; (q\_\; \{1\}\; \backslash \; влево\; (\backslash \; сигма\; \backslash \; вправо),\; q\_\; \{2\}\; \backslash \; влево\; (\backslash \; сигма\; \backslash \; вправо),\; q\_\; \{3\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$, обобщенные импульсы $(u\; 1\; (\sigma ),\; u\; 2\; (\sigma ),\; u\; 3\; (\sigma ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (u\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; right),\; u\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; right),\; u\_\; \{3\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$и гамильтониан P как

$dq\; 1\; d\; \sigma \; =\; \partial \; P\; \partial \; u\; 1\; du\; 1\; d\; \sigma \; =\; -\; \partial \; P\; \partial \; q\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dq\_\; \{1\}\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; u\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{du\_\; \{1\}\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{\; 1\}\}\}\}$

$dq\; 2\; d\; \sigma \; =\; \partial \; P\; \partial \; u\; 2\; du\; 2\; d\; \sigma \; =\; -\; \partial \; P\; \partial \; q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dq\_\; \{2\}\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; u\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{du\_\; \{2\}\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{2\; \}\}\}\}$

$dq\; 3\; d\; \sigma \; =\; \partial \; P\; \partial \; u\; 3\; du\; 3\; d\; \sigma \; знак\; равно\; -\; \partial \; п\; \partial \; q\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dq\_\; \{3\}\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; u\_\; \{3\}\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{du\_\; \{3\}\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{3\}\}\}\}$

$P\; =\; p\; \cdot \; p\; -\; n\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; -n\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$

, где оптический импульс определяется как

$p\; =\; u\; 1\; \nabla \; q\; 1\; +\; u\; 2\; \nabla \; q\; 2\; +\; U\; 3\; \nabla \; Q\; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; u\_\; \{1\}\; \backslash \; nabla\; q\_\; \{1\}\; +\; u\_\; \{2\}\; \backslash \; nabla\; q\_\; \{2\}\; +\; u\_\; \{3\}\; \backslash \; nabla\; q\_\; \{3\}\}$

$=\; u\; 1\; \Vert \; \nabla \; q\; 1\; \Vert \; \nabla \; q\; 1\; \Vert \; \nabla \; q\; 1\; \Vert \; +\; u\; 2\; \Vert \; \nabla \; q\; 2\; \Vert \; \nabla \; q\; 2\; \Vert \; \nabla \; q\; 2\; \Vert \; +\; u\; 3\; \Vert \; \nabla \; q\; 3\; \Vert \; \nabla \; q\; 3\; \Vert \; \nabla \; q\; 3\; \Vert \; \{\; \backslash \; Displaystyle\; =\; u\_\; \{1\}\; \backslash \; |\; \backslash \; nabla\; q\_\; \{1\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; q\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; nabla\; q\_\; \{1\}\; \backslash \; |\}\}\; +\; u\_\; \{2\}\; \backslash \; |\; \backslash \; nabla\; q\_\; \{2\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; q\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; nabla\; q\_\; \{2\}\; \backslash \; |\}\}\; +\; u\_\; \{3\}\; \backslash \; |\; \backslash \; nabla\; q\_\; \{3\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; набла\; q\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; набла\; q\_\; \{3\}\; \backslash \; |\}\}\}$

$=\; u\; 1\; a\; 1\; e\; ^\; 1\; +\; u\; 2\; a\; 2\; e\; ^\; 2\; +\; u\; 3\; a\; 3\; e\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; u\_\; \{1\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{1\}\; +\; u\_\; \{2\}\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{2\}\; +\; u\_\; \{3\}\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\}$

и $e\; ^\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{1\}\}$, $e\; ^\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{2\}\}$и $e\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\}$равны единичные векторы. Частный случай получается, когда эти векторы образуют ортонормированный базис , то есть все они перпендикулярны друг другу. В этом случае $ukak\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{k\}\; a\_\; \{k\}\; /\; n\}$- это косинус угла оптического импульса $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\; \}\}$преобразовывает в единичный вектор $e\; ^\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{k\}\}$.

• Учебные материалы, относящиеся к простой одномерный вывод гамильтоновой оптики в Викиверситете
• Гамильтонова механика
• Вариационное исчисление