Полное внутреннее отражение

редактировать
Оптическое явление, при котором свет полностью отражается на границе между средой с высоким показателем преломления и средой с более низким Рис. 1 : Подводные растения в аквариуме и их перевернутые изображения (вверху), образованные полным внутренним отражением от поверхности вода-воздух.

Полное внутреннее отражение (TIR ) - это оптическое явление, при котором поверхность воды в аквариуме (например), если смотреть снизу уровня воды, отражает подводную сцену, как зеркало, без потерь яркости ( рис. 1). В общем, возникает ситуация, когда волна в одной среде достигают большей скорости, чем в первой («внутренней» ") Средняя. МДП не только с электромагнитными волнами, такими как свет и возникают микроволны, но и с другими типами волн, включая звуковые и волны на воде. В случае узкой волн, такой как луч лазера (фиг. 2), мы склонны описывать отражение в терминах «лучей », а не В среде, которая не зависит от направления, такого как воздух, вода или стекло, «луч» перпендикулярен собственный волновым фронтам.

Рис. 2 : повторяющееся полное отражение луча лазера 405 нм между передней и задней поверхностями стеклянной панели. Сам лазерный луч имеет темно-фиолетовый цвет; но его длина волны достаточн о короткая, чтобы вызвать флуоресценцию в стекле, повторно излучает зеленоватый свет во всех направлениях, производит зигзагообразный луч видимым.

Рефракция обычно бывает сопровождается частичным отражением. Когда волны преломляются от среды с более низкой скоростью распространения в среде с более высокой скоростью распространения (например, от воды к воде), угол падения (между преломленным лучом и линией, перпендикулярной преломляющей поверхностью) больше, чем угол падения (между падающим лучом и перпендикуляром). Когда угол падения приближается к определенному пределу, называемому критическим углом, угол преломления приближается к 90 °, при котором преломленный луч становится параллельным поверхности. Когда высота угла критический угол, условия преломления больше не угол обзора; поэтому преломленного луча нет, и частичное отражение становится полным. Для видимого света критический угол составляет около 49 ° для падения на границе вода-воздух и 42 ° для падения на общей границе стекло-воздух.

Детали механизма МДП вызывают более тонкие явления. В то время как полное отражение, не предполагает непрерывного потока через границу раздела между двумя средами, внешняя среда несет так называемую затухающую волну, которая проходит вдоль границы раздела с амплитудой, которая спадает экспоненциально. с удалением от интерфейса. «Полное» отражение действительно является полным, если внешняя среда без потерь (идеально прозрачна), непрерывна и имеет бесконечную протяженность, но может быть заметно меньше полного, если затухающая волна поглощается внешней средой с потерями («ослаблено общая отражательная способность "), или отклоняется внешней границей внешней среды или объекта, встроенными в эту среду (" нарушенный "МДП). В отличие от частичного отражения между прозрачными средами, полное внутреннее отражение сопровождается нетривиальным фазовым сдвигом (а не просто нулем или 180 °) для каждого компонента поляризации (перпендикулярно или параллельно плоскость падения ), а нарушение этого эффекта меняются в зависимости от угла падения. Огюстэном-Жаном Френелем в 1823 г. дополнило доказательства в пользу волновой теории света.

. Фазовые сдвиги используются изобретением Френеля, Ромб Френеля для изменения поляризации. ажения используется оптическими волокнами (используемыми в телекоммуникационных кабелях и в формирующих изображения фиброскопах ) и отражающими призмами, например, установка призм для биноклей.

Содержание

  • 1 Оптическое описание
  • 2 Критический угол
  • 3 Повседневные примеры
  • 4 Связанные явления
    • 4.1 Неувядающая волна (качественное объяснение)
    • 4.2 Разочарованный МДП
    • 4.3 Получение исчезающей волны
    • 4.4 Фазовые сдвиги
  • 5 Приложения
  • 6 История
    • 6.1 Открытие
    • 6.2 Гюйгенс и Ньютон: объяснения соперничества
    • 6.3 Лаплас, Малус и ослабленное полное отражение (ATR)
    • 6,4 Френеля и фазовый сдвиг
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Библиография
  • 11 Внешние ссылки

Оптическое описание

Рис. 3 : Полное внутреннее отражение света в полукруглом акриловом блоке. Демонстрация полного внутреннего отражения в бокале для вина

Хотя полное внутреннее отражение может происходить с любым видом волны, которая, как можно сказать, имеет наклонное падение, включая, например, микроволны и звуковые волны, это наиболее знакомо в случае световых волн.

Полное внутреннее отражение света может быть использовано с использованием полукругло-цилиндрического блока из обычного стекла или акрилового стекла. На фиг. 3 «лучевая коробка» проецирует узкий луч света («луч ») радиально внутрь. Полукруглое поперечное сечение стекла позволяет входящему в движение лучом направленной изогнутой части поверхности / стекла, и, следовательно, продолжать движение по прямой линии к плоской части поверхности, хотя его угол с плоской частью меняется..

Там, где луч с плоской границей раздела стекло-воздух, угол между лучом и нормалью (перпендикулярно) к границе раздела называется углом падения. Если этот достаточно мал, луч частично отражается, но в основном проходит прошедшая часть преломления от нормы, так что угол преломления (между преломленным лучом и нормалью к границе раздела больше, чем угол заболеваемости). А пока назовем угол падения θ i и угол преломления θ t (где t - переданное, зарезервированное r для отраженного). Когда θ i увеличивается и приближается к определенному «критическому полю», обозначенному как θ c (или иногда θ cr), угол преломления приближается к 90 ° (то есть преломленный луч приближается к касательной к границе раздела), и преломленный луч становится слабее, а отраженный луч становится ярче. Когда θ i увеличивается за пределы θ c, преломленный луч исчезает, и остается только отраженный луч, так что вся энергия падающего луча отражается; это полное внутреннее отражение (TIR). Вкратце:

  • Если θ i< θc‍, падающий луч разделен, частично отражается и частично преломляется;
  • Если θ i>θc‍, падающий луч испытывает полное внутреннее отражение (TIR); ничего из этого не передается.

Критический угол

Критический угол - это наименьший угол падения, обеспечивающий полное отражение. Для световых волн, падающих из «внутренней» среды с одним показателем преломления n1, для «внешней» среды с одним показателем преломления n 2, критический угол определяется как θ c = arcsin ⁡ (n 2 / n 1) {\ displaystyle \ theta _ {{\ text {c}} \!} = \ Arcsin (n_ {2} / n_ {1})}{ \ displaystyle \ theta _ {\ text {c}} \!} = \ arcsin (n_ {2} / n_ {1})} , и определяется, если‍ n 2 ≤ n 1. Для некоторых других типов волн удобнее рассматривать распространение, а также показатели преломления. Объяснение критического угла в терминах скоростей является общим и поэтому будет обсуждаться в первую очередь.

Фиг. 4 : Рефракция волнового фронта (красный) от среды с более низкой скоростью v 1 до среды с более высокой скоростью v 2. Падающий и преломленный сегмент волнового фронта пересекаются на общей линии L (видимой как "конец вперед"), которая движется со скоростью u.

Когда волновой фронт преломляется от одной среды к другой, падающая (входящая) и преломленная (исходящая) части волнового фронта встречаются на общей линии на преломляющей поверхности (граница раздела). Пусть эта линия, обозначенная L, движется со скоростью u по поверхности, где u измеряется перпендикулярно L‍ (рис. 4). Пусть падающий и преломленный волновые фронты распространяются с нормальными скоростями v 1 {\ displaystyle v_ {1}}v_ {1} и v 2 {\ displaystyle v_ {2}}v_ {2} ( соответственно), и пусть они образуют двугранные углы θ1и θ 2 (соответственно) с границей раздела. Исходя из геометрии, ‍ v 1 {\ displaystyle v_ {1}}v_ {1} - это составляющая u в направлении, перпендикулярном падающей волне, так что v 1 = u sin ⁡ θ 1 {\ displaystyle v_ {1 \!} = U \ sin \ theta _ {1}}{\ displaystyle v_ {1 \!} = U \ sin \ theta _ {1}} . Точно так же ‍ v 2 = u грех ⁡ θ 2 {\ displaystyle v_ {2} = u \ sin \ theta _ {2}}{\ displaystyle v_ {2} = u \ sin \ theta _ { 2}} . Решая уравнение для 1 / u и приравнивая результаты, мы получаем закон преломления для волн:

грех ⁡ θ 1 v 1 = грех ⁡ θ 2 v 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta _ {1} } {v_ {1}}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {2}} {v_ {2}}} \,}{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta _ {1}} {v_ {1}}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {2}} {v_ {2 }}} \,} .

(1)

Но двугранный угол между двумя плоскостями - это также угол между их нормалями. Таким образом, θ 1 - это угол между нормалью к фронту падающей волны и нормалью к границе раздела, а θ 2 - угол между нормалью к преломленному волновому фронту и нормалью к интерфейсу; и уравнение. (1) сообщает нам, что синусы эти угловые находятся в том же скорости, что и соответствующие им скорости.

Этот результат имеет формулу «закона Снеллиуса », за исключением того, что мы имеем еще не сказано, что соотношение скоростей является постоянным, и не идентифицированы θ 1 и θ 2 с углами падения и преломления (называемые θ i и θ t выше). Однако, если предположим, что свойства среды изотропными (независимыми от направления), следуют два вывода: во-первых, две скорости и, следовательно, их соотношение не зависит от их ориентации; и, во-вторых, направления нормалей к волнам совпадают с направлениями лучей, так что θ 1 и θ 2 совпадают с углами падения и преломления, как определено выше.

Фиг. 5 : поведение луча, более высоким показателем преломления n 1 в целом с более низким показателем преломления n 2 при увеличивающихся углах падения. Рис. 6 : угол преломления при падении от воды к воде является критическим углом при падении от воды к воздуху.

Очевидно, что угол преломления не может быть 90 °. В предельном случае мы положили θ 2 = 90 ° и θ 1 = θ c ‍ в уравнении. (1) и найдите критический угол:

θ c = arcsin ⁡ (v 1 / v 2) {\ displaystyle \ theta _ {\ text {c}} = \ arcsin (v_ {1} / v_ {2 }) \,}{\ displaystyle \ theta _ {\ text {c }} = \ arcsin (v_ {1} / v_ {2}) \,} .

(2)

Получение этого результата предположение об изотропной среде, чтобы идентифицировать θ 1 и θ 2 с углами падения и преломления.

Для электромагнитных волн и особенно для света обычно выражены вышеуказанные результаты в терминах показателейомления. Показатель преломления среды с нормальной скоростью v 1 {\ displaystyle v_ {1}}v_ {1} как определяется n 1 = c / v 1 {\ displaystyle n_ {1 \!} = C / v_ {1}}{\ displaystyle n_ {1 \!} = c / v_ {1}} , где c - скорость в вакууме. Следовательно, v 1 = c / n 1 {\ displaystyle v_ {1 \!} = C / n_ {1}}{\ displaystyle v_ {1 \!} = C / n_ {1}} . Аналогично v 2 = c / n 2 {\ displaystyle v_ {2} = c / n_ {2}}v_2 = c / n_2 . Сделав эти замены в уравнениях. (1) и (2), получаем

n 1 грех ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\ displaystyle n_ {1} \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \ грех \ theta _ {2}}n_1 \ sin \ theta_1 = n_2 \ sin \ theta_2

(3)

и

θ c = arcsin ⁡ (n 2 / n 1) {\ displaystyle \ theta _ {\ text {c}} = \ arcsin ( n_ {2} / n_ {1}) \,}{\ displaystyle \ theta _ { \ text {c}} = \ arcsin (n_ {2} / n_ {1}) \,} .

(4)

Ур. (3) - закон преломления для обычных сред в показателях показателей преломления при условии, что θ 1 и θ 2 взяты в качестве двугранных углов; но если среда изотропна, то n 1 и n 2 становятся независимыми от направлений, тогда как θ 1 и θ 2 могут быть взяты как углы падения и преломления лучей, а формула (4) следует. Итак, для изотропных сред уравнения. (3) и (4) вместе описывают поведение на фиг. 5.

Согласно формуле. (4), для падения из воды (n 1 ≈ 1,333) ‍ в воздух (n 2 ≈ 1), имеем ‍ θ c ≈ 48, 6 °, тогда как для падения из обычного стекла или акрила (n 1 ≈ 1,50) ‍ в воздух (n 2 ≈ 1), мы имеем θ c ≈ 41,8 °.

Функция arcsin, дающая θ c, определяется, только если n 2 ≤ n 1(v 2 ≥ v 1) {\ displaystyle (v_ {2 } \ geq v_ {1})}{\ Displaystyle (v_ {2} \ geq v_ {1})} . Следовательно, для изотропных сред полное внутреннее отражение не может произойти, если вторая среда имеет более высокий показатель преломления (более низкую нормальную скорость), чем первая. Например, не может быть МДП для происшествий из воздуха в воду; скорее, критический угол падения от воды к воздуху - это угол преломления при скользящем падении из воздуха в воду (рис. 6).

Среда с более высоким показателем преломления обычно описывается как оптически более плотная, и тот, у которого более низкий показатель преломления, как оптически более редкий. Следовательно, говорят, что полное внутреннее отражение возможно для падения "от плотного к редкому", но не для падения "от редкого к плотному".

Примеры на каждый день

Подводный вид подводного пловца, спускающегося с края бассейна. Рис. 7 : Полное внутреннее отражение от поверхности воды на мелководье бассейна. Появление широкого пузыря между пловцом и ее отражением - всего лишь нарушение отражающей поверхности. Часть пространства над уровнем воды можно увидеть через «окно Снеллиуса» в верхней части кадра.

Стоя рядом с аквариумом, глядя ниже уровня воды, можно увидеть отражение рыбы или подводных предметов в водно-воздушной поверхности (рис. 1). Яркость отраженного изображения - такая же яркая, как «прямой» вид - может быть поразительной.

Подобный эффект можно наблюдать, открыв глаза во время плавания прямо под поверхностью воды. Если вода спокойная, поверхность за пределами критического угла (измеренного от вертикали) кажется зеркальной, отражая объекты внизу. Область над водой видна только над головой, где полусферическое поле зрения сжато в коническое поле, известное как окно Снеллиуса, угловой диаметр которого в два раза больше критического угла (см. Рис. 6). Поле зрения над водой теоретически составляет 180 ° в поперечнике, но кажется меньше, потому что, когда мы смотрим ближе к горизонту, вертикальный размер сильнее сжимается из-за преломления; например, по формуле. (3), для углов падения воздуха в воду 90 °, 80 ° и 70 ° соответствующие углы преломления составляют 48,6 ° (θ cr на рис. 6), 47,6 °, и 44, 8 °, что означает, что изображение точки 20 ° над горизонтом находится на расстоянии 3,8 ° от края окна Снеллиуса, в то время как изображение точки 10 ° над горизонтом находится всего на 1 ° от края.

Рис. 7, например, фотография, сделанная около дна мелкой части бассейна. То, что выглядит как широкая горизонтальная полоса на правой стене, из нижних краев ряда оранжевых плиток и их отражений; это отмечает уровень воды, который можно проследить по другой стене. Пловчиха задела поверхность над собой, зацепив нижнюю половину своего отражения и исказив отражение лестницы (справа). Но большая часть поверхности по-прежнему спокойна, что дает четкое отражение выложенного плиткой дна бассейна. Пространство над водой не видно, за исключением верхней части рамы, где ручки лестницы можно различить над краем окна Снеллиуса, в котором отражение дна бассейна является частичным, но все же заметным в фотограф. Можно даже различить цветную окантовку края окна Снеллиуса из-за изменения показателя преломления, а следовательно, и критического угла в зависимости от длины волны (см. Дисперсия ).

Рис. 8 : Круглый «бриллиант» алмаз.

Критический угол влияет на углы огранки драгоценных камней. Круглая огранка «бриллиант », например, для преломления света, падающего на передние грани, двойного отражения его за счет TIR выглядит задних граней и повторного пропускания через передние грани, так что камень ярким. Алмаз (фиг. 8) особенно подходит для его высокого показателя преломления (около 2,42) и, следовательно, небольшой критический угол (около 24,5 °) обеспечивает желаемое поведение в широком диапазоне углов. обзор. Более дешевые материалы аналогичным образом поддаются этой обработке, включая кубический диоксид циркония (индекс ≈ 2,15) и муассанит (неизотропный, следовательно, с двойным преломлением, с индексом в диапазоне от примерно 2,65 до 2,69, в зависимости от направления и поляризации ); поэтому оба они они популярные как имитаторы алмаза.

Связанные явления

Эфемированная волна (качественное объяснение)

Математически волны описываются в терминах изменяющихся во времени полей , где «Поле» функция поиска в космическом поле. Распространяющаяся волна требует поля «усилия» и поля «потока», последний является вектором (если мы работаем в двух или трех измерениях). Продукт усилий и потока относится к мощности (см. эквивалентность системы ). Например, для звуковых волн в невязкой жидкости, которую мы могли бы принять как давление (скаляр), а поле потока - как скорость жидкости (вектор). Произведение этих двух составляет интенсивность (мощность на единицу площади). Для электромагнитных волн мы возьмем поле усилий как электрическое поле E, а поле потока - как намагничивающее поле H. Оба они являются векторами, и их векторное произведение снова является интенсивностью (см. вектор Пойнтинга ).

Когда волна в (скажем) среде 1 отражается от границы раздела между средой 1 и средой 2., поле потока в среде 1 представляет собой векторную сумму полей потока из-за падающей и отраженной волн. Если отражение является наклонным, падающее и отраженное поля не находятся в противоположных направлениях и, следовательно, не могут компенсироваться на границе раздела; даже если отражение является полным, либо нормальная составляющая, либо тангенциальная составляющая комбинированного поля (как функция местоположения и времени) должна быть ненулевой рядом с границей раздела. Кроме того, физические законы, управляющие полями, обычно подразумевают, что один из два компонента являются непрерывными через интерфейс (т. е. они не меняются внезапно, когда мы пересекаем интерфейс); например, для электромагнитных волн одним из условий интерфейса является то, что тангенциальный компонент H является непрерывным нас, если нет поверхностного тока. Следовательно, даже если отражение полное, должно быть некоторое проникновение поля потока в среду 2; и это, в сочетании с законами, касающимися полей усилия и потока, подразумевает, что будет также некоторое проникновение в поле усилия. То же условие непрерывности подразумевает, что изменение («волнистость») поля в среде 2 будет синхронизировано с изменением падающей и отраженной волн в среде 1.

Рис. 9 : Изображение падающей синусоидальной плоской волны (внизу) и связанной с ней затухающей волны (вверху) в условиях полного внутреннего отражения. Отраженная волна не показана.

Но, если отражение полное, пространственное проникновение полей в среду 2 должно быть каким-то образом ограничено, иначе общая протяженность и, следовательно, полная энергия этих полей будут продолжать увеличиваться, высасывание энергии из среды 1. Полное отражение непрерывного волнового потока позволяет накопить некоторую энергию в среде 2, но не позволяет продолжать передачу энергии из среды 1 в среду 2.

Таким образом, используя в основном качественные рассуждения можно сделать вывод, что полное внутреннее отражение должно сопровождаться волнообразным полем во «внешней» среде, распространяющимся вдоль границы раздела синхронно с падающей иотраженной волнами, но с каким-то ограниченным пространственным проникновением во «внешнюю» среду; такое поле можно назвать затухающей волной.

Рис. 9 показывает основную идею. Падающая волна считается плоской и синусоидальной. Отраженная волна для простоты не метод. Мимолетная волна движется вправо синхронно с падающей и отраженной волнами, но ее амплитуда отклоняется от границы раздела.

(Две особенности затухающей волны на рис. 9 будут объяснены позже: во-первых, затухающие гребни волны перпендикулярны границы раздела; и, во-второй, затухающая волна немного опережает падающую волну.)

Разочарованный TIR

Если отражение должно быть полным, не должно быть отклонения исчезающей волны. Предположим, например, что электромагнитные волны, падающие из стекла в воздух под определенным углом падения, подвержены TIR. И предположим, что у нас есть третья среда, показатель преломления которой достаточно высок, чтобы, если бы третья среда заменила вторую (воздух), мы получили бы стандартный проходящий волновой поток для того же угла. Затем, если третья среда находится в пределах нескольких волн от первой, где затухающая волна имеет значительную амплитуду, затухающая волна эффективно преломляется в третью среду, давая ненулевое пропускание в третью среду и, следовательно, меньше, чем полное отражение обратно в первую среду. По мере как амплитуда затухающей волны затухает в воздушном зазоре, передаваемые волны ослабляются, так что пропускание меньше и, следовательно, больше отражения, чем было бы без зазора; но до тех пор, пока есть некоторая передача, отражение меньше, чем полное. Это явление называется нарушенным полным внутренним отражением сокращенно «нарушенным МДП» или «FTIR».

Рука держит стакан с водой с видимыми изнутри отпечатками пальцев. Рис. 10 : Бестелесные отпечатки пальцев, видимые изнутри стакана с водой, из-за нарушения МДП.

Разочарование МДП можно наблюдать, глядя на верхнюю часть стакана с водой, который держит в руке (рис. 10). Неплотно, контактное стекло может быть недостаточно тесным и широким. Но если его более плотно держать выступы на отпечатках пальцев сильно использовать с исчезающими волнами, позволяя видеть выступы через полностью отражающую поверхность стекло-воздух.

То же самое. эффект можно использовать с помощью микроволн, используя парафин в «внутренней» среде. В этом случае допустимая ширина зазора может составлять (например) 1 см или несколько см, что легко наблюдать и регулировать.

Термин нарушенная ПВО также используется к случаю, когда исчезающая волна рассеивается. объект, достаточно близким к отражающей поверхности раздела. Этот эффект, вместе с сильной зависимостью количества рассеянного света от расстояния до границы, используется в микроскопии полного внутреннего отражения.

Механизм FTIR называется связью с затухающей волной, и в некоторой степениен квантовому туннелированию. Из-за волновой природы вещества у электрона есть ненулевая вероятность «туннелирования» через барьер, даже если классическая механика скажет, что его энергии недостаточно. Аналогично, из-за волновой природы света, фотон имеет ненулевую вероятность пересечения зазора, даже если лучевая оптика скажет, что его приближение слишком наклонное.

Другая причина, по которой внутреннее отражение может быть меньше полного, даже за пределами критического угла, заключается в том, что внешняя среда может быть "с потерями" (менее идеально прозрачной). В этом случае внешняя среда будет поглощать энергию затухающей волны, так что поддержание затухающей волны потребляет энергию падающей волны. Последующее неполное отражение называется ослабленным полным отражением (НПВО). Этот эффект, особенно частотная зависимость, может быть использован для изучения состава неизвестной внешней среды.

Получение затухающей волны

имеет однородной плоской синусоидальной электромагнитной волне электрическое поле E вид

E kei (k ⋅ r - ω t), {\ displaystyle \ mathbf {E_ {k}} e ^ {i (\ mathbf {k \ cdot r} - \ omega t)},}{\ displaystyle \ mathbf {E_ {k}} е ^ {я (\ mathbf {к \ cdot r} - \ omega t)},}

(5)

где Ek- (константа) комплексный вектор амплитуды, i - мнимая единица,, k- волновой вектор (величина k - угловое волновое число ), r - вектор положения , ω - угловая частота, t - время, и подразумевается, что действительной выражения является физическое поле. Намагничивающее поле H имеет ту же форму с теми же k и ω. Значение выражения не изменяется, если положение r изменяется в направлении, нормальном к k ; Следовательно, k нормально к фронтам волны.

Если ℓ является составляющей r в направлении k ‍, в поле (5) можно записать E kei (k ℓ - ω t) {\ displaystyle \ mathbf {E_ {k}} e ^ {i (k \ ell - \ omega t)}}{\ displaystyle \ mathbf {E_ {k}} e ^ {i (k \ ell - \ omega t)}} . Если аргумент из ei (⋯) {\ displaystyle e ^ {i (\ cdots)}}{\ displaystyle e ^ {i (\ cdots)}} должен быть постоянным, должен увеличиваться со скоростью ω / k, {\ displaystyle \ omega / k \,, \,}{\ displaystyle \ omega / к \,, \,} , известная как фазовая скорость. Это, в свою очередь, равно c / n, {\ displaystyle c / n \,, \,}{\ displaystyle c / n \,, \,} , где c - фазовая скорость в эталонной среде (взятой как вакуум), а n - местный показатель преломления относительно справочная среда. Решение относительно k дает k = n ω / c, {\ displaystyle k = n \ omega / c \,, \,}{\ displaystyle k = n \ omega / c \,, \,} т.е.

к = nk 0, {\ displaystyle k = nk_ {0} \,,}{\ displaystyle k = nk_ {0} \,,}

(6)

где k 0 = ω / c {\ displaystyle \, k_ {0} = \ omega / c \,}{\ displaystyle \, k_ {0} = \ omega / c \,} - волновое число в вакууме.

Из (5) электрическое поле во «внешней» среде имеет вид

E t Знак равно E ktei (kt ⋅ р - ω T), {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ текст {t}} = \ mathbf {E} _ {\ mathbf {k} {\ text {t}}} e ^ {i (\ mathbf {k _ {\ text {t}} \ cdot r} - \ omega t)} \,,}{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ text {t}} = \ mathbf {E} _ {\ mathbf {k} {\ text {t}}} e ^ {i (\ mathbf {k _ {\ text {t}} \ cdot r} - \ omega t)} \,,}

(7)

где kt- волновой вектор для прошедшей волны (предполагаем изотропные среды, но прошедшая волна еще не считается кратковременной).

Рис. 11 : падающие, отраженные и прошедшие волновые (ki‍, kr‍ и kt) для падения из среды с более высоким показателем преломления n 1 в среде. с более низким показателем преломления n 2. Красные стрелки перпендикулярны волновым вектором и, следовательно, параллельны волновым фронтам.

В декартовых координатах (x, y, ‍z) пусть область ‍ y < 0‍ have refractive index n1‍, ‍ и область y>0‍ имеет рефракционный индекс n 2. Тогда плоскость xz является границей раздела, а ось y перпендикулярна границей раздела (рис. 11). Пусть i и j (выделены жирным шрифтом римским шрифтом ) будут единичными инструментами в направлениях x и y соответственно. Пусть плоскость падения (содержащая нормаль падающей волны и нормаль к границе раздела) плоскость xy (плоскость страницы) с углом падения θ i измеряется от j до я . Пусть угол преломления, измеренный в том же смысле, равен θ t (t для переданного, за исключением r для отраженного).

Из (6) переданный волновой вектор ktимеет значение n 2k0. Следовательно, из геометрии

kt знак равно N 2 К 0 (я грех ⁡ θ t + j соз ⁡ θ t) = k 0 (в 1 грехе ⁡ θ я + jn 2 соз ⁡ θ t), {\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ text {t}} = n_ {2} k_ {0} (\ mathbf {i} \ sin \ theta _ {\ text {t}} + \ mathbf {j} \ cos \ theta _ { \ text {t}}) = k_ {0} (\ mathbf {i} \, n_ {1} \ sin \ theta _ {\ text {i}} + \ mathbf {j} \, n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}) \,,}{\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ text {t}} = n_ {2} k_ {0} (\ mathbf {i} \ sin \ theta _ { \ text {t}} + \ mathbf {j} \ cos \ theta _ {\ text {t}}) = k_ {0} (\ mathbf {i} \, n_ {1} \ sin \ theta _ {\ text {i}} + \ mathbf {j} \, n_ {2} \ cos \ theta _ {\ текст {t}}) \,,}

где последний шаг закон Снеллиуса. Взяв скалярное произведение с вектором положения, мы получаем

kt ⋅ r = k 0 (n 1 x sin ⁡ θ i + n 2 y cos ⁡ θ t), {\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ text {t }} \ mathbf {\ cdot r} = k_ {0} (n_ {1} x \ sin \ theta _ {\ text {i}} + n_ {2} y \ cos \ theta _ {\ text {t}}) \,,}{\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ text {t}} \ mathbf {\ cdot r} = k_ {0} (n_ {1} x \ sin \ theta _ {\ text {i}} + n_ {2} y \ cos \ theta _ {\ text {t}}) \,,}

, так что уравнение. (7) становится

E t = E k t e i (n 1 k 0 x sin ⁡ θ i + n 2 k 0 y cos ⁡ θ t - ω t). {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ text {t}} = \ mathbf {E} _ {\ mathbf {k} {\ text {t}} \,} e ^ {i (n_ {1} k_ { 0} x \ sin \ theta _ {\ text {i}} + n_ {2} k_ {0} y \ cos \ theta _ {\ text {t}} - \ omega t)}.}{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ text {t}} = \ mathbf {E} _ {\ mathbf {k} {\ text {t}} \,} e ^ {i (n_ {1} k_ {0} x \ sin \ theta _ {\ text {i}} + n_ {2} k_ {0} y \ cos \ theta _ {\ text {t}} - \ omega t)}.}

(8)

В случае TIR угол θ t не существует в обычном смысле. Но мы все еще можем интерпретировать (8) для прошедшей (кратковременной) волны, допуская комплексное значение cos θ t. Это необходимо, когда мы записываем cos θ t в терминах sin θ t, nce, а в терминах sin θ i, используя закон Снеллиуса:

соз ⁡ θ T = 1 - грех 2 ⁡ θ T = 1 - (N 1 / N 2) 2 sin 2 ⁡ θ я {\ displaystyle \ cos \ theta _ {\ text {t}} = {\ sqrt {1 - \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {t}}}} = {\ sqrt {1- (n_ {1} / n_ {2}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}}}} \,}{\ displaystyle \ cos \ theta _ {\ text {t}} = {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {t}} }} = {\ sqrt {1- (n_ {1} / n_ {2}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}}}} \,} .

Для θ i больше критического угла, значение под символом квадратного корня отрицательное, так что

cos ⁡ θ t Знак равно ± я (N 1 / n 2) 2 грех 2 ⁡ θ я - 1 {\ displaystyle \ cos \ theta _ {\ text {t}} = \ pm i \, {\ sqrt {(n_ {1} / n_ {2}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}} \,}{\ displaystyle \ cos \ theta _ {\ text {t}} = \ pm я \, {\ sqrt {(n_ {1} / n_ {2}) ^ {2 } \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}} \,} .

(9)

Чтобы определить, какой знак применим, мы подставляем (9) в (8), получая

E t = E kte ∓ n 1 2 sin 2 ⁡ θ i - n 2 2 k 0 yei ((n 1 k 0 sin ⁡ θ i) x - ω т), {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ text {t}} = \ mathbf {E} _ {\ mathbf {k} {\ text {t}} \,} e ^ {\ mp {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} \, - \, n_ {2} ^ {2}}} \; k_ {0} y} \; е ^ {я {\ big (} (n_ {1} k_ {0} \ sin \ the ta _ {\ text {i}}) x- \ omega t {\ big)}} \,,}{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ text {t}} = \ mathbf {E} _ {\ mathbf {k} {\ text {t}} \,} e ^ {\ mp {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} \, - \, n_ {2} ^ {2}}} \; k_ {0} y} \; e ^ {i {\ big (} (n_ {1} k_ {0} \ sin \ theta _ {\ text {i}}) x- \ omega t {\ big)}} \,,}

(10)

где неопределенный знак противоположен знаку в (9). Для непродолжительной прошедшей волны, то есть волны, неопределенный знак в (10) должен быть минус, поэтому неопределенный знак в (9) должен быть плюсом.

С правильным знаком результат (10) может быть сокращен до

E t ∝ e - κ yei (kxx - ω t), {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ text {t }} \ propto \, e ^ {- \ kappa y \,} e ^ {i (k_ {x} x- \ omega t)} \,,}{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ text {t}} \ propto \, e ^ {- \ kappa y \,} e ^ {i (k_ {x} x- \ омега t)} \,,}

(11)

где

κ знак равно к 0 n 1 2 грех 2 ⁡ θ я - N 2 2 кх знак равно N 1 К 0 грех ⁡ θ я, {\ displaystyle {\ begin {align} \ kappa = k_ {0} \, {\ sqrt { n_ {1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} \, - \, n_ {2} ^ {2}}} \\ k_ {x \!} = N_ {1} k_ {0} \ sin \ theta _ {\ text {i}} ~, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ kappa = k_ {0} \, {\ sqrt {n_ { 1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} \, - \, n_ {2} ^ {2}}} \\ k_ {x \!} = N_ {1 } к_ {0} \ sin \ theta _ {\ t ext {i}} ~, \ end {align}}}

(12)

и k 0 - волновое число в вакууме, т.е. ω / c {\ displaystyle \, \ omega / c}{\ displaystyle \, \ omega / c} .

Итак, кратковременная волна - это плоская синусоида, движущаяся в направлении x, с амплитудой, которая экспоненциально затухает в направлении y (см. Рис. 9).. Очевидно, что энергия, запасенная в этой волне, также распространяется в направлении x и не пересекает границу раздела. Следовательно, вектор Пойнтинга обычно имеет компонент в направлении x, но его компонент y в среднем равен нулю (хотя его мгновенный компонент y не равен нулю тождественно).

Рис. 12 : Глубина проникновения затухающей волны (в длинах волн) в зависимости от угла падения для различных значений относительного показателя преломления (внутреннего относительно внешнего)

Ур. (11) указывает на то, что амплитуда затухающей волны уменьшается в е раз, когда координата y (измеренная от границы раздела) увеличивается на расстояние d = 1 / κ, {\ displaystyle d = 1 / \ каппа \,, \,}{\ displaystyle d = 1 / \ каппа \,, \,} обычно называется «глубиной проникновения» кратковременной волны. Принимая обратно первое уравнение (12), находим, что глубина проникновения равна

d = λ 0 2 π n 1 2 sin 2 ⁡ θ i - n 2 2, {\ displaystyle d = {\ frac {\ lambda _ {0}} {2 \ pi \, {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} \, - \, n_ {2 } ^ {2}}}}} ~,}{\ displaystyle d = {\ frac {\ lambda _ {0}} {2 \ pi \, {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} \, - \, n_ {2 } ^ {2}}}} ~,}

где λ 0 - длина волны в вакууме, т.е. 2 π / k 0 {\ displaystyle \, 2 \ pi / k_ {0}}{\ displaystyle \, 2 \ pi / k_ { 0}} . Разделив числитель и знаменатель на n 2, получим

d = λ 2 2 π (n 1 / n 2) 2 sin 2 ⁡ θ i - 1, {\ displaystyle d = {\ frac {\ лямбда _ {2}} {2 \ pi \, {\ sqrt {(n_ {1} / n_ {2}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} \, - \, 1}}}} ~,}{\ displaystyle d = {\ frac {\ lambda _ {2}} {2 \ pi \, {\ sqrt {(n_ {1} / n_ {2}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} \, - \, 1}}}} ~,}

где λ 2 = λ 0 / n 2 {\ displaystyle \, \ lambda _ {2} = \ lambda _ {0} / n_ {2} \, }{\ displaystyle \, \ lambda _ {2} = \ lambda _ {0} / n_ {2} \,} - длина волны во второй (внешней) среде. Следовательно, мы можем построить график d в единицах λ 2 как функцию угла падения для различных значений n 1 / n 2 {\ displaystyle n_ {1} / n_ {2 \,}}{\ displaystyle n_ {1} / n_ {2 \,}} (рис. 12). Когда θ i уменьшается до критического угла, знаменатель приближается к нулю, так что d увеличивается без ограничений - как и следовало ожидать, потому что как только θ i меньше критического, во внешней среде допускаются однородные плоские волны. Когда θ i приближается к 90 ° (скользящее падение), d приближается к минимуму

d min = λ 2 2 π (n 1 / n 2) 2 - 1. {\ displaystyle d _ {\ text {min}} = {\ frac {\ lambda _ {2}} {2 \ pi \, {\ sqrt {(n_ {1} / n_ {2}) ^ {2} -1 }}}} ~.}{\ displaystyle d _ {\ text {min}} = {\ frac {\ lambda _ {2}} {2 \ pi \, {\ sqrt {(n_ {1} / n_ {2}) ^ {2} -1}}}} ~.}

Для падения из воды в воздух или обычного стекла в воздух, d min не сильно отличается от λ 2 / 2π. Но d больше при меньших углах падения (рис. 12), и амплитуда все еще может быть значительной на расстояниях, в несколько раз превышающих d; например, поскольку e чуть больше 0,01, амплитуда затухающей волны на расстоянии 4,6 ‍d от границы раздела составляет не менее 1% от ее значения на границе раздела. Следовательно, грубо говоря, мы склонны говорить, что амплитуда затухающей волны значительна в пределах «нескольких длин волн» границы раздела.

Фазовые сдвиги

Между 1817 и 1823 годами Огюстен-Жан Френель обнаружил, что полное внутреннее отражение сопровождается нетривиальным сдвигом фазы ( то есть фазовый сдвиг, который не ограничен 0 ° или 180 °), поскольку коэффициент отражения Френеля приобретает ненулевую мнимую часть. Теперь мы объясним этот эффект для электромагнитных волн в случае линейной,, однородной,, изотропной немагнитной среды. Сдвиг фазы оказывается опережением, которое растет с увеличением угла падения выше критического, но зависит от поляризации падающей волны.

В уравнениях (5), (7), (8), (10) и (11) мы продвигаем фазу на угол ϕ, если мы заменим ωt на ωt + ϕ (то есть если мы заменим −ωt на −ωt − ϕ), в результате чего (comp ex) поле умножается на e. Таким образом, прогрессирование фазы эквивалентно умножению на комплексную константу с отрицательным аргументом . Это становится более очевидным, если (например) поле (5) разложено на множители как E keik ⋅ re - i ω t, {\ displaystyle \ mathbf {E_ {k}} e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} e ^ {- i \ omega t}, \,}{\ displaystyle \ mathbf {E_ {k}} e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} e ^ {- i \ omega t}, \,} где последний коэффициент содержит временную зависимость.

Для представления поляризации падающего, отраженного или прошедшей волны, электрическое поле, прилегающее к границе раздела, можно разделить на две перпендикулярные составляющие, известные как компоненты s и p, которые параллельны поверхности и плоскости падения соответственно; Другими словами, компоненты s и p представляют собой квадратную и параллельная плоскости падения.

Для каждой компоненты поляризации падающее, отраженное или прошедшее электрическое поле (E в уравнении (5)) имеет свое направление, и может быть представлено его (комплексной) скалярной составляющей поля этого направления. Коэффициент отражения или пропускания может быть определен как соотношение сложных компонентов в одной и той же точке или в бесконечно малых точках на противоположных сторонах границы раздела. Чтобы зафиксировать знаки коэффициентов, мы должны выбрать положительные значения для «направления». Для s-компонентов очевидный выбор - сказать, что положительные направления падающего, отраженного и проходящего полей одинаковы (например, направление z на рис. 11). Для компонентов в этой статье принято соглашение, согласно которому соответствующие направления падающего, отражающего и проходящего полей наклонены к одной и той же среде интерфейса, например, как красные стрелки на рис. В некоторых книгах используется другое соглашение для компонентов p, которое приводит к другому знаку в итоговой формуле для коэффициента отражения.

Для s-поляризации пусть коэффициенты отражения и пропускания равны r s и t s соответственно. Для p-поляризации пусть соответствующие коэффициенты равны r p и t p. Тогда для линейной, однородной, изотропной, немагнитной среды коэффициенты по формуле:

rs = n 1 cos ⁡ θ i - n 2 cos ⁡ θ tn 1 соз ⁡ θ я + N 2 соз ⁡ θ t {\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}} - n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t }}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}} + n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}{\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}} - n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {n_ {1 } \ cos \ theta _ {\ text {i}} + n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}

(13)

ts Знак равно 2 N 1 соз ⁡ θ в 1 соз ⁡ θ я + N 2 соз ⁡ θ t {\ displaystyle t_ {s} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}} + n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}{\ displaystyle t_ {s} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} { n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}} + n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}

(14)

rp знак равно N 2 соз ⁡ θ я - N 1 соз ⁡ θ tn 2 cos ⁡ θ я + n 1 соз ⁡ θ t {\ displaystyle r_ {p} = {\ frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ текст {i }} - n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} + n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}{\ displaystyle r_ {p} = {\ frac { n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} - n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ текст {я} } + n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}

(15)

tp = 2 n 1 cos ⁡ θ в 2 cos ⁡ θ i + n 1 cos ⁡ θ t {\ displaystyle t_ {p} = {\ гидроразрыв {2n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} + n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \,}{\ displaystyle t_ {p} = { \ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} + n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \,} .

(16)

(Для вывода вышеизложенного см. Френель уравнения § Теория.)

Теперь мы предполагаем, что прошедшая волна кратковременна. При правильном знаке (+) замена (9) в (13) дает

rs = n cos ⁡ θ i - in 2 sin 2 ⁡ θ i - 1 n cos ⁡ θ i + in 2 sin 2 ⁡ θ я - 1, {\ displaystyle r_ {s} = \, {\ frac {n \ cos \ theta _ {\ text {i}} - я {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}}} {n \ cos \ theta _ {\ text {i}} + i {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ текст {i}} - 1}}}} \,,}{\ displaystyle r_ {s} = \, {\ frac { n \ cos \ theta _ {\ text {i}} -i {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}}} {n \ cos \ тета _ {\ текст {я}} + я {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}}}} \,,}

где

n = n 1 / n 2; {\ displaystyle n = n_ {1} / n_ {2} \,;}{\ Displaystyle п = п_ {1} / п_ {2} \,;}

то есть n - это индекс «внутренней» среды относительно «внешней», или индекс внутренней среды, если внешний - вакуум. Таким образом, величина r s равна 1, а аргумент для r s равен

- 2 arctan ⁡ n 2 sin 2 ⁡ θ i - 1 n соз ⁡ θ я, {\ displaystyle -2 \ arctan {\ frac {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}} {n \ cos \ theta _ {\ text {i}}} \,,}{\ displaystyle -2 \ arctan {\ frac {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}} {n \ cos \ theta _ {\ текст {i}}}} \,,}

, что дает набег фазы

δ s = 2 arctan ⁡ n 2 sin 2 ⁡ θ i - 1 n cos ⁡ θ i {\ displaystyle \ delta _ {s} = \, 2 \ arctan {\ frac {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}} {n \ cos \ theta _ {\ text {i}}}} \,}{\ displaystyle \ delta _ {s} = \, 2 \ arctan {\ frac {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}} {n \ cos \ theta _ {\ text {i}}}} \,} .

(17)

Выполняется ту же замену в (14), мы находим, что t s имеет тот же знаменатель, что и r s с положительным численным числителем (вместо комплексно-сопряженного числителя) и, следовательно, имеет половину аргумента r s ‍,, так что набег фазы затухающей волны вдвое меньше отраженной волны.

При том же выборе знака замена (9) на (15) дает

rp = cos ⁡ θ i - inn 2 sin 2 ⁡ θ i - 1 cos ⁡ θ i + hotel 2 2 ⁡ θ я грех - 1, {\ displaystyle r_ {p} = \, {\ frac {\ cos \ theta _ {\ text {i}} - в {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta _ {\ text {i}} - 1}}} {\ cos \ theta _ {\ text {i}} + в {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ { \ text {i}} - 1}}}} \,,}{\ displaystyle r_ {p} = \, {\ frac {\ cos \ theta _ { \ text {i}} - в {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ т heta _ {\ text {i}} - 1}}} {\ cos \ theta _ {\ text {i }} + in {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}}}} \,,}

, величина которого равна 1, а аргумент равен

- 2 arctan ⁡ nn 2 sin 2 ⁡ θ i - 1 соз ⁡ θ я, {\ displaystyle -2 \ arctan {\ frac {\, n {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}}} { \ cos \ theta _ {\ text {i}}}} \,,}{\ displaystyle -2 \ arctan {\ frac {\, n {\ sqrt {n ^)) {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}}} {\ cos \ theta _ {\ text {i}}}} \,,}

что дает набег фазы ‍

δ p = 2 arctan ⁡ nn 2 sin 2 ⁡ θ i - 1 cos ⁡ θ я {\ displaystyle \ delta _ {p} = \, 2 \ arctan {\ frac {\, n {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}}} {\ cos \ theta _ {\ text {i}}}} \,}{\ disp Laystyle \ delta _ {p} = \, 2 \ arctan {\ frac {\, n {\ sqrt {n ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ text {i}} - 1}}} {\ cos \ theta _ {\ text {i}}}} \,} .

(18)

Выполняя ту же замену в (16), мы снова обнаруживаем, что набег фазы кратковременная волна вдвое меньше отраженной в олны.

Уравнения (17) и (18) применяются, когда ‍ θ c ≤ θ i< 90°, where θi- угол падения, а θ c - критический угол‍ arcsin (1 / n). Эти уравнения показывают, что

  • каждое опережение фазы равно нулю при критическом угле (для которого числитель равен нулю);
  • каждое опережение фазы приближается к 180 ° при θ i → 90 °; и
  • δp>δs‍ при промежуточных значениях θ i (поскольку коэффициент n находится в числителе (18) и знаменателе (17)).

Для θ i ≤ θ c ‍, ‍, коэффициенты отражения задаются уравнениями (13) и (15) и являются действительными, так что фазовый сдвиг равен 0 ° (если коэффициент положительный) или 180 ° (коэффициент отрицательный).

В (13), если мы положим n 2 = n 1 грех ⁡ θ i / sin ⁡ θ t {\ displaystyle n_ {2} = n_ {1} \ sin \ theta _ {\ text {i}} / \ sin \ theta _ {\ text {t}}}{\ displaystyle n_ {2} = n_ {1} \ sin \ theta _ {\ text {i}} / \ грех \ тета _ {\ текст {t}}} (закон Снеллиуса) и умножьте числитель и знаменатель на 1 / n 1 sin θ t ‍, ‍ получаем

rs = - грех ⁡ (θ i - θ t) sin ⁡ (θ i + θ t), {\ displaystyle r_ {s} = - {\ frac {\ sin (\ theta _ {\ text {i}} - \ theta _ {\ text {t}})} {\ sin (\ theta _ {\ text {i}} + \ theta _ {\ text {t}}) }} \,,}{\ displaystyle r_ { s} = - {\ frac {\ sin (\ theta _ {\ text {i}} - \ theta _ {\ text {t}})} {\ sin (\ theta _ {\ text {i}} + \ theta _ {\ text {t}})}} \,,}

(19)

, которая положительна для всех углов падения с проходящим лучом (поскольку θ t>θi), что дает фазовый сдвиг δ s нуль.

Если мы поступим так же с (15), легко показать, что результат эквивалентен

rp = tan ⁡ (θ i - θ t) tan ⁡ (θ i + θ t), {\ displaystyle r_ {p} = {\ frac {\ tan (\ theta _ {\ text {i}} - \ theta _ {\ text {t}})} {\ tan (\ theta _ {\ text {i}} + \ theta _ {\ text {t}})}} \,,}{\ displaystyle r_ {p} = {\ frac {\ tan (\ theta _ {\ text {i}} - \ theta _ {\ текст { t}})} {\ tan ( \ theta _ {\ text {i}} + \ theta _ {\ text {t}})}} \,,}

(20)

, которая отрицательна для малых углов (то есть почти нормального падения), но меняет знак при Угол Брюстера, где θ i и θ t являются дополнительными. Таким образом, фазовый сдвиг δ p составляет 180 ° для малых θ i, но переключается на 0 ° при угле Брюстера. Комбинируя комплементарность с законом Снеллиуса, получаем 6 θ i = arctan (1 / n) ‍ как угол Брюстера для плотного и редкого падения.

(Уравнения (19) и (20) известны как синуса Френеля и закон касания Френеля. Оба уменьшаются до 0/0 при нормальном падении, но дают правильные результаты в пределе при ‍ θ i → 0. То, что они имеют противоположные знаки по мере приближения к нормальному падению, является очевидным недостатком условного обозначения, используемого в этой статье; соответствующее преимущество в том, что они имеют одинаковые знаки при падении на траву.)

Рис. 13 : Набег фазы при «внутренних» отражениях для показателей преломления 1,55, 1,5 и 1,45 («внутренние» относительно «внешние»). За пределами критического угла поляризации p (красная) и s (синяя) претерпевают неодинаковые фазовые сдвиги при полном внутреннем отражении; макроскопически наблюдаемая разница между этими сдвигами изображена черным цветом.

Это завершает информацию, предназначенную для построения графиков δ s и δ p для всех углов падения. Это сделано на фиг. 13, где δ p выделено красным, а δ s синим для трех показателей преломления. На шкале угла падения (горизонтальная ось) угол Брюстера равенство, что δ p (красный) падает от 180 ° до 0 °, а критический угол равен тому, что оба δ p и δ s (красный и синий) снова начинают расти. Слева от критического угла находится в области частичного отражения, где оба коэффициента отражения действительны (фаза 0 ° или 180 °) с величинами меньше 1. Справа от критического угла находится область полного отражения, где оба коэффициента отражения действительны. коэффициенты отражения являются комплексными с величинами, равными 1. В этой области черные кривые показывают набег фазы p-компоненты относительно s-компонентов:

δ = δ p - δ s {\ displaystyle \ delta = \ delta _ {p \!} - \ delta _ {s} \,}{\ displaystyle \ delta = \ delta _ {p \!} - \ delta _ {s} \,} .

Видно, что показатель преломления 1,45 недостаточно для разности фаз 45 °, тогда как показатель преломления 1,5 достаточно (тонкий запас), чтобы получить разность фаз 45 ° при двух углах падения: около 50,2 ° и 53,3 °.

Этот относительный сдвиг на 45 ° используется в изобретении Френеля, теперь известном как ромб Френеля, в котором углы падения выбираются так, что два внутренних отражения вызывают общий относительный фазовый сдвиг. 90 ° между двумя поляризациями падающей волны. Это устройство выполняет ту же функцию, что и двулучепреломляющая четвертьволновая пластинка, но является более ахроматической (то есть фазовый сдвиг ромба менее чувствителен к длине волны.>). Любое устройство может установить, например, для преобразования линейной поляризации в круговой поляризации (что также обнаружил Френель) и наоборот.

На фиг. 13 δ вычисляется окончательным вычитанием; но есть и другие способы выразить это. Сам Френель в 1823 году дал формулу для cos δ. Борн и Вольф (1970, стр. 50) это выражение для tan (δ / 2) и аналитически находят его максимум.

Для ПВО пучка с конечной шириной изменения фазового сдвига с углом падения приводит к эффекту Гуса - Ханхена, который представляет собой поперечный сдвиг отраженного луча. в плоскости падения. Этот эффект применяется к линейной поляризации в направлении или p. Эффект Имберта - Федорова является аналогичным эффектом для круговой или эллиптической поляризации и вызывает сдвиг, перпендикулярный плоскости падения.

Применения

Оптические волокна использовать полное внутреннее представление для передачи сигналов на больших расстояниях с небольшим затуханием. Они используются в телекоммуникационных кабелях и в формирующих изображения фиброскопах, таких как колоноскопы.

В катадиоптрических линзах Френеля, изобретенный Огюстен-Жаном Френелем для использования в маяках, внешние призмы используют ПВО для отклонения света от лампы на больший угол, чем это было бы возможно с чисто преломляющими призмами, но с меньшим поглощением света ( и меньшим риском потускнения), чем с обычными зеркалами.

Рис. 14 : Призмы Порро (обозначены 2 и 3) в бинокле.

Другие отражающие призмы, используют которые TIR, включая следующее (с некоторым перекрытием между категориями):

  • формирующие изображение призмы для биноклей и зрительные трубы включают парные 45 ° -90 ° -45 ° призмы Порро (Рис.14), призма Порро - Аббе, линейная призма Кенига и Аббе - Кенига, а также компактная линейная призма Шмидта - Пехана. (Последний состоит из двух компонентов, один из которых представляет собой разновидность призмы Бауэрнфайнда , для которой требуется отражающее покрытие на одном из двух отражающих поверхностей из-за докритического угла падения.) Эти призмы имеют дополнительную функцию складывания оптического пути от линзы объектива до основного фокуса, увеличенная общая длина для данного основного фокусного расстояния.
  • A призматической Диагональ звезды для астрономического телескопа может состоять из одной призмы Порро (настроенной для однократного отражения, что дает зеркально перевернутое изображение) или кровельной призмы Амичи (что дает не перевернутое изображение).
  • Крышные призмы используют TIR на двух сторонах, встречающихся под острым углом 90 °. В эту категорию входят типы Кенига, Аббе - Кенига, Шмидта - Печана и Амичи (уже упомянутые), а также крыша пентапризма, используемая в зеркальных камерах ; для последнего из них требуется отражающее покрытие на одной стороне без ППД.
  • A призматический угловой отражатель использует >три полных внутренних отражения для изменения направления падающего света.
  • Призма Дава дает вид в линию с зеркальным поворотом.

Поляризационные призмы : хотя ромб Френеля, который преобразует линейную и эллиптическую поляризацию, не двойное лучепреломление (двойное лучепреломление), существуют другие виды призм, в двойное лучепреломление сочетается таким образом, что свет европейской поляризации полностью отражается, а свет ортогональной поляризации проходит, по крайней мере, частично. Примеры включают призму Николя, призму Глана - Томпсона, призму Глана - Фуко (или «призму Фуко») и призму Глана - Тейлора.

Рефрактометры, которые измеряют показатели преломления, часто используют критический угол.

Датчики дождя для автоматических дворников ветрового / лобового стекла были реализованы по принципу это полное внутреннее отражение будет направлять инфракрасный луч от источника к детектору, если внешняя поверхность лобового стекла сухая, но любые капли воды на поверхности будут отвлекать часть света.

Подсветка по краям LED панели, используемое (например) для подсветки компьютерных мониторов LCD, используйте TIR, чтобы ограничить светодиодный свет на панели акрилового стекла, за исключением того, что часть света рассеивается гравировками на одной стороне стекла, что дает примерно равномерный световой поток.

Рис. 15 : Работа флуоресцентного микроскопа МДП с транс-геометрией: (1) объектив, (2) эмиссионный луч [сигнал], (3) иммерсионное масло, (4) покровное стекло, (5) образец, (6)) кратковременный волновой диапазон, (7) возбуждающий луч, (8) кварцевая призма.

Микроскопия полного внутреннего отражения (TIRM) использует затухающую волну для освещения небольших объектов вблизи отражающей поверхности. Последующее рассеяние исчезающей волны (форма фаскированного TIR) заставляет объекты казаться яркими, если смотреть с «внешней» стороны. В флуоресцентном микроскопе полного внутреннего отражения (TIRFM) вместо простого рассеяния мы выбираем затухающую длину волны, достаточно короткую, чтобы вызвать флуоресценцию (рис. 15). Высокая чувствительность освещения к измерению расстояния от поверхности позволяет измерять пределы малые с силы и силы.

A светоделитель куб использует расстроенное ПВО для разделения мощности входящегоча между передаваемым и отраженным лучей.

Оптическая модуляция может быть достигнута посредством нарушенного ПВО с переменным зазором. Этот метод может обеспечить большой динамический диапазон.

Оптический отпечаток пальца устройство использует фрустрированный TIR для записи изображений отпечатков пальцев людей без использования чернил (см. рис. 11).

Анализ походки может быть выполнен с использованием высокоскоростной камеры МДП для захвата и анализа следов.

A гониоскоп, использование в оптометрии и офтальмологии для диагностики глаукомы, подавляет TIR, чтобы посмотреть на угол между радужной оболочкой и роговицей. Этот вид обычно блокируется МДП на границе раздела роговица-воздух. Гониоскоп заменяет воздух средой с более высоким показателем преломления, обеспечивает передачу при наклонном падении с последующим отражением в «зеркале», что само по себе может быть реализовано с использованием TIR.

История

Discovery

Удивительно исчерпывающие и в степени правильные объяснения радуги Теодориком Фрайбергским (написано в 1304–1310 гг.) И Камалом ад-Дин аль-Фариси (1309 ), хотя иногда они упоминаются в связи с полным внутренним отражением (TIR), имеют сомнительное значение, поскольку внутреннее отражение солнечного света в сферической капле дождя не является полным. Но, согласно Карлу Бенджамину Бойеру, трактат Теодорика о радуге также классифицировал оптические явления по пяти конечностям, последней из которых было «полное соответствие на границе двух прозрачных сред». Работа Теодорика была забыта до тех пор, пока она не была заново открыта Джованни Баттиста Вентури в 1814 году.

Иоганн Кеплер (1571–1630).

Оставшись в безвестности Теодорика, открытие TIR обычно приписывалось Иоганн Кеплер, который опубликовал свои открытия в своей Dioptrice в 1611 году. Хотя Кеплеру не удалось найти истинный закон преломления, он экспериментально показал, что для падения воздуха на стекло инцидент и преломленные лучи вращались в том же смысле относительно точки падения, и что, поскольку угол падения изменялся на ± 90 °, угол преломления (как мы теперь его называем) изменялся на ± 42 °. Он также знал, что падающий и преломленный лучи взаимозаменяемы. Но эти наблюдения не охватывали случай падения луча из стекла в воздух под углом более 42 °, и Кеплер сразу же пришел к выводу, что такой луч может только отражаться.

Рене Декарт заново открыл закон преломления и опубликовал его в своей книге Dioptrique за 1637 г. В той же работе оннул о чувстве вращения падающих и преломленных лучей и о состоянии TIR. Но он забыл обсудить предельный случай и, следовательно, не смог дать выражение для критического угла, хотя он легко мог это сделать.

Гюйгенс и Ньютон: объяснения соперников

Христиан Гюйгенс, в в его Трактате о свете (1690) большое внимание уделялось порогу, при котором падающий луч «не может проникнуть в другое прозрачное вещество». Хотя он не дал ни названия, ни алгебраического выражения для критического угла, он привел численные примеры падения стекла в воздух и воды в воздух, отметил большое изменение угла преломления при небольшом изменении угла падения. падение около критического угла, и назвал это причиной быстрого увеличения яркости отраженного луча, когда преломленный луч приближается к касательной к границе раздела. Понимание Гюйгенса подтверждается современной теорией: в уравнениях (13) и (15) выше, нет ничего, что могло бы сказать, что коэффициенты отражения исключительно резко увеличиваются, когда θ t приближается к 90 °, за исключением того, что, согласно закону Снеллиуса, θ t само по себе является все более крутой функцией θ i.

Христиана Гюйгенса (1629–1695).

Гюйгенс предложил объяснение TIR в тех же рамках, что и его объяснения законов прямолинейного распространения, отражения, обычного преломления и даже необычайное преломление «исландского кристалла » (кальцита). Эта структура базировалась на двух предпосылках: во-первых, каждая точка, пересекаемая распространяющимся волновым фронтом, становится источником вторичных волновых фронтов («принцип Гюйгенса»); и, во-вторых, учитывая начальный волновой фронт, любое последующее положение волнового фронта является огибающей (общей касательной поверхностью) всех вторичных волновых фронтов, излучаемых из исходного положения. Все случаи отражения или преломления от поверхности затем объясняются простым рассмотрением вторичных волн, испускаемых этой поверхностью. В случае рефракции от среды с более медленным распространением к среде с более быстрым распространением существует определенная наклонность падения, за пределами которой вторичные волновые фронты не могут образовать общую касательную во второй среде; это то, что мы теперь называем критическим углом. Когда падающий волновой фронт приближается к этому критическому углу наклона, преломленный волновой фронт концентрируется на преломляющей поверхности, увеличивая вторичные волны, которые вызывают отражение обратно в первую среду.

Система Гюйгенса даже приспособила частичное отражение на границе раздела между разные среды, пусть и нечетко, по аналогии с законами столкновений между частицами разного размера. Однако до тех пор, пока волновая теория продолжала предполагать продольные волны, у нее не было шансов приспособиться к поляризации, следовательно, у нее не было шанса объяснить поляризационную зависимость необыкновенной рефракции, или частичного коэффициента отражения, или фазовый сдвиг в TIR.

Исаак Ньютон (1642 / 3–1726 / 7).

Исаак Ньютон отверг волновое объяснение прямолинейного распространения, полагая, что если бы свет состоял из волн, он «изгибался бы и распространялся во все стороны» в тени. Его корпускулярная теория света более просто объясняла прямолинейное распространение и учитывала обычные законы преломления и отражения, включая ПВО, исходя из гипотезы о том, что на частицы света действует сила, действующая перпендикулярно границе раздела. В этой модели для плотного и редкого падения сила была притяжением обратно к более плотной среде, а критический угол - это угол падения, при котором нормальной скорости приближающейся корпускулы было достаточно, чтобы достичь дальней стороны силовое поле; при более наклонном падении тельце будет повернуто назад. Ньютон дал то, что составляет формулу для критического угла, хотя и на словах: «как синусы, которые измеряют преломление, так и синус падения, при котором начинается полное отражение, до радиуса круга».

Ньютон пошел дальше Гюйгенса в двух отношениях. Во-первых, неудивительно, что Ньютон указал на взаимосвязь между ПВО и дисперсией : когда луч белого света приближается к границе раздела стекло-воздух с увеличением угла наклона, наиболее сильно преломленные лучи (фиолетовые) оказываются сначала "вынимается" "полным отражением", за ним следуют менее преломленные лучи. Во-вторых, он заметил, что полное отражение может быть нарушено (как мы теперь говорим), если сложить вместе две призмы, одну плоскую, а другую слегка выпуклую; и он объяснил это, просто отметив, что корпускулы будут притягиваться не только к первой призме, но и ко второй.

Однако в двух других отношениях система Ньютона была менее последовательной. Во-первых, его объяснение частичного отражения зависело не только от предполагаемых сил притяжения между корпускулами и средой, но также и от более туманной гипотезы «Приступы легкой рефлексии» и «Приступы легкой передачи». Во-вторых, хотя его тельца предположительно могли иметь «стороны» или «полюса», ориентация которых могла предположительно определять, подвергались ли тельца обычному или необычайному преломлению в «Островном кристалле», его геометрическое описание необычайного преломления было теоретически неподтвержденным и эмпирически неточным.

Лаплас, Малус и коэффициент ослабления полного отражения (ATR)

Уильям Хайд Волластон в первой из пары статей, прочитанных Лондонским королевским обществом в 1802 году, сообщил о своем изобретении рефрактометра , основанного на критическом угле падения внутренней среды с известной «преломляющей силой» (показателем преломления) на внешнюю среду, показатель которой должен был быть измерен. С помощью этого устройства Волластон измерил «преломляющую способность» множества материалов, некоторые из которых были слишком непрозрачными, чтобы можно было напрямую измерить угол преломления. Переводы его статей были опубликованы во Франции в 1803 году и, по-видимому, привлекли внимание Пьера-Симона Лапласа.

Пьера-Симона Лапласа (1749–1827).

Согласно разработанной Лапласом теории рефракции Ньютона корпускула, падающая на плоскую границу раздела двух однородных изотропных сред, подвергалась действию силового поля, симметричного относительно границы раздела. Если бы обе среды были прозрачными, полное отражение произошло бы, если бы корпускула была повернута назад до того, как она покинула поле во второй среде. Но если бы вторая среда была непрозрачной, отражение не было бы полным, если только корпускула не была повернута назад до того, как она покинула первую среду; это потребовалобольшего критического угла, чем тот, который дает закон Снеллиуса, и, следовательно, поставило под сомнение применимость метода Волластона для непрозрачных сред. Лаплас объединил эти два случая в единую формулу для относительного показателя преломления в терминах критического угла (минимальный угол падения для TIR). Формула содержит параметр, который принимает одно значение для прозрачной внешней среды и другое значение для непрозрачной внешней среды. Теория Лапласа также предсказала связь между показателем преломления и плотностью данного вещества.

Этьен-Луи Малюс (1775–1812).

В 1807 году теория Лапласа была экспериментально проверена его протеже Этьен-Луи. Малус. Принимая формулу Лапласа для показателя преломления, как данность и используя ее для измерения показателя преломления пчелиного воска в жидком (прозрачном) состоянии и твердом (твердом (прозрачном) состоянии) при различных температурах (следовательно, различной плотности), Малус подтвердил соотношение Лапласа между показателем преломления и плотности.

Но теория Лапласа подразумевала, что если угол падения превысит его модифицированный критический угол, отражение будет полным, если внешняя среда будет поглощающей даже. Ясно, что это было неправильно: в уравнениях. (12) выше, не существует порогового значения угла θ i, за которым κ становится бесконечным; поэтому глубина проникновения затухающей волны (1 / κ) всегда отлична от нуля, и внешняя среда, если она вообще имеет потери, будет ослаблять отражение. Что касается того, почему Малус явно наблюдал такой угол для непрозрачного воска, мы должны сделать вывод, что существует некоторый угол, за пределами которого ослабление отражения было настолько маленьким, что ATR было визуально неотличимо от МДП.

Френель и фазовый сдвиг

Френель пришел к изучению полного внутреннего отражения благодаря своим исследованиям поляризации. В 1811 году Франсуа Араго обнаружил, что поляризованный свет, по-видимому, «деполяризовался» в зависимости от ориентации и цвета при прохождении через срез кристалла с двойным преломлением: проявляющий свет проявлял цвета, если смотреть через анализатор (второй поляризатор). Хроматическая поляризация, как это явление стали называть, более тщательно исследовал в 1812 году Жан-Батист Био. В 1813 году Био установил, что один случай, изученный Араго, а именно кварц, вырезанный перпендикулярно его оптической оси, на самом деле был уполномоченным поворотом плоскости поляризации с расстояние.

Огюстен-Жан Френель (1788–1827).

В 1816 году Френель использует первую попытку основанной на волнах теории хроматической поляризации. Без (пока) явного обращения к поперечным волнам его теория трактовала свет как состоящий из двух перпендикулярно поляризованных компонентов. В 1817 году он заметил, что плоско-поляризованный свет, кажется, частично деполяризован полным внутренним отражением, если изначально поляризован под острым углом к ​​плоскости падения. Включив полное внутреннее отражение в экспериментальной хроматической поляризации, он обнаружил, что явно деполяризованный свет представляет собой смесь компонентов, поляризованных параллельных и перпендикулярно плоскости падения, и что полное отражение вносит разность фаз между ними. Выбор подходящего угла падения (еще точно не начало) дал разность фаз 1/8 цикла. Два таких отражения от «параллельных граней» «двух связанных призм» дали разность фаз в 1/4 цикла. В этом случае, если свет изначально был поляризован под углом 45 ° к плоскости падения и отражения, он оказался полностью деполяризованным после двух отражений. Эти результаты были представлены в мемуарах, представленных и зачитанных Французской академии наук в ноябре 1817 года.

В 1821 году Френель вывел формулы, эквивалентные его законам синуса и касательной (уравнения (19) и (20), выше) путем моделирования световых волн как поперечных упругих волн с помощью моделирования световых волн колебаниями, перпендикулярными тем, что ранее называлось плоскостью поляризации. Используя старые экспериментальные данные, он быстро подтвердил, что уравнения правильно предсказывают направление поляризации отраженного луча, когда падающий луч поляризован под углом 45 ° к плоскости падения для света, падающего из воздуха на стекло или воду. Об экспериментальном подтверждении сообщалось в «приписке» к работе, в которой Френель изложил свою зрелую теорию хроматической поляризации, вводящей поперечные волны. Подробности вывода были представлены в Академии в 1823 года. Вывод сочетания сохранения энергии с непрерывностью тангенциальной вибрации на границах, но не учитывает каких-либо условий для нормальной вибрации.

Между тем, в мемуарах, представленных в декабре 1822 года, Френель ввел термины линейная поляризация, круговая поляризация и эллиптическая поляризация. Для круговой поляризации две перпендикулярные составляющие были сдвинуты по фазе на четверть цикла (± 90 °).

Новая терминология пригодилась в мемуарах от января 1823 г., максимальные подробные выводы синуса и тангенса: в том же мемуаре Френель обнаружил, что для углов падения, превышающих критический угол, результирующее отражение коэффициенты были комплексными с единичной величиной. Отметив, что величина представляет собой амплитуду, как обычно, он предположил, что аргумент представляет фазовый сдвиг, и проверил гипотезу экспериментально. Проверка включала

  • расчет угла падения, который привел бы к общей разности фаз 90 ° между компонентами и p для различного количества полных внутренних отражений под этим углом (обычно было два решения),
  • подвергается воздействию света тому количеству полных Внутренний отражатель при этом угле падения, с начальной линейной поляризацией под 45 ° плоскости падения, и
  • проверяя, что конечная поляризация была круговой.

Эта процедура была необходима, потому что с помощью технологий того времени нельзя было измерить фазовые сдвиги напрямую, и нельзя было измерить произвольную степень эллиптичности поляризации, которая могла быть вызвана разницей между фазовыми сдвиги. Но можно было убедиться, что поляризация была круговой, потому что яркость света не зависела от ориентации анализатора.

Для стекла с показателем преломления 1,51 Френель рассчитал, что для разности фаз 45 ° между двумя коэффициентами отражения (следовательно, разность 90 ° после двух отражений) требуется угол падения 48 ° 37 'или 54 ° 37 '. Он вырезал ромб под последним углом и обнаружил, что все работает так, как ожидалось. Таким образом, спецификация ромба Френеля была завершена. Точно так же Френель рассчитал и подтвердил угол падения, который даст разность фаз 90 ° после трех отражений под одним и тем же углом и четырех отражений под тем же углом. В каждом случае было два решения, и в каждом случае он сообщил, что больший угол падения дает точную круговую поляризацию (для начальной линейной поляризации под углом 45 ° к плоскости отражения). Для случая трех отражений он также проверил меньший угол, но обнаружил, что он дает некоторую окраску из-за близости критического угла и его небольшой зависимости от длины волны. (Сравните рис. 13 выше, который показывает, что разность фаз δ более чувствительна к показателю преломления для меньших углов падения.)

Для большей уверенности Френель предсказал и подтвердил, что четыре полных внутренних отражения при 68 ° 27 'дало бы точную круговую поляризацию, если бы два отражения имели воду в качестве внешней среды, а два других - воздух, но не если бы все отражающие поверхности были влажными или полностью сухими.

Френелевский вывод фазы сдвиг в МДП считается первым случаем, когда аргументу комплексного числа был придан физический смысл. Хотя это рассуждение было применено без знания того, что световые волны были электромагнитными, оно прошло испытание эксперимента и сохранилось на удивление невредимым после того, как Джеймс Клерк Максвелл изменил предполагаемую природу волн. Между тем успех Френеля вдохновил Джеймса МакКуллага и Огюстена-Луи Коши, начиная с 1836 года, на анализ отражения от металлов с помощью уравнений Френеля с комплексным показателем преломления. Мнимая часть комплексного показателя представляет поглощение.

Термин критический угол, используемый для удобства в приведенном выше повествовании, является анахронизмом: он, по-видимому, восходит к 1873 году.

В 20 веке квантовая электродинамика переосмыслила амплитуду электромагнитной волны с точки зрения вероятности обнаружения фотона. В этой структуре частичное пропускание и нарушение ПВО относятся к вероятности пересечения фотоном границы, а ослабленное полное отражение относится к вероятности того, что фотон будет поглощен на другой стороне.

Исследования более тонких аспектов фазового сдвига в TIR, включая эффекты Гуса – Хэнхена и Имберта – Федорова и их квантовые интерпретации продолжились в 21 веке.

См. также

Примечания

Ссылки

Библиография

  • С. Бохнер (июнь 1963 г.), «Значение некоторых основных математических концепций для физики», Isis, 54 (2): 179–205; JSTOR 228537.
  • M. Борн и Э. Вольф, 1970, Принципы оптики, 4-е изд., Оксфорд: Pergamon Press.
  • С.Б. Бойер, 1959, Радуга: от мифа к математике, Нью-Йорк: Томас Йоселофф.
  • Дж. З. Бухвальд (декабрь 1980 г.), «Экспериментальные исследования двойного лучепреломления от Гюйгенса к Малюсу», Архив истории точных наук, 21 (4): 311–373.
  • Дж. З. Бухвальд, 1989, Расцвет волновой теории света: оптическая теория и эксперимент в начале девятнадцатого века, University of Chicago Press, ISBN 0-226-07886-8.
  • О. Дарригол, 2012, История оптики: от греческой древности до девятнадцатого века, Оксфорд, ISBN 978-0-19-964437-7.
  • R. Фитцпатрик, 2013, Колебания и волны: введение, Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1-4665-6608-8.
  • R. Фитцпатрик, 2013a, «Тотальное внутреннее отражение», Техасский университет в Остине, по состоянию на 14 марта 2018 г.
  • А. Fresnel, 1866 (изд. Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), Oeuvres завершает d'Augustin Fresnel, Париж: Imprimerie Impériale (3 тома, 1866–70), vol. 1 (1866).
  • Э. Hecht, 2002, Оптика, 4-е изд., Addison Wesley, ISBN 0-321-18878-0.
  • C. Гюйгенс, 1690, Traité de la Lumière (Лейден: Ван дер Аа), переведенный С.П. Томпсоном как Трактат о свете, University of Chicago Press, 1912; Project Gutenberg, 2005. (Указанные номера страниц соответствуют изданию 1912 года и изданию Gutenberg HTML.)
  • Ф.А. Дженкинс и Х. White, 1976, Основы оптики, 4-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5.
  • T.H. Левитт, 2013, Короткая яркая вспышка: Августин Френель и рождение современного маяка, Нью-Йорк: W.W. Нортон, ISBN 978-0-393-35089-0.
  • Х. Ллойд, 1834 г., «Отчет о прогрессе и нынешнем состоянии физической оптики», Отчет Четвертого заседания Британской ассоциации развития развития науки (состоявшегося в Эдинбурге в 1834 г.), Лондон: Дж. Мюррей, 1835, с. 295–413.
  • I. Newton, 1730, Opticks: or, Трактат об отражениях, преломлениях, изгибах и цветах света, 4-е изд. (Лондон: Уильям Иннис, 1730; Проект Гутенберг, 2010); переиздан с предисловием А. Эйнштейна и предисловием Э. Уиттакер (Лондон: Джордж Белл и сыновья, 1931); перепечатано с дополнительным предисловием И.Б. Коэна и аналитического содержания Д.Х.Д. Roller, Mineola, NY: Dover, 1952, 1979 (с пересмотренным предисловием), 2012. (Номера соответствуют изданию Gutenberg HTML и изданию Dover.)
  • H.G.J. Руттен и М.А.М. van Venrooij, 1988 (пятое издание, 2002), Telescope Optics: A Complete Manual for Amateur Astronomers, Richmond, VA: Willmann-Bell, ISBN 978-0-943396-18- 7.
  • Дж. А. Страттон, 1941, Электромагнитная теория, Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
  • У. Whewell, 1857, История индуктивных наук: с древнейших времен до наших дней, 3-е изд., Лондон: J.W. Parker Son, т. 2.
  • E. Т. Уиттакер, 1910, [https://archive.org/details/historyoftheorie00whitrich История теорий эфира и электричества: от эпохи Декарта до конца Девятнадцатый век, Лондон: Longmans, Green, Co.

Внешние ссылки

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Тотальным внутренним отражением.
  • Mr. Mangiacapre, «Флуоресценция в жидкости» (видео, 1 м ‍ 28 с), загружено 13 марта 2012 г. (Флуоресценция и ПВО фиолетового лазерного луча в хининовой воде.)
  • SMUPhysics, «Внутреннее отражение» (видео, 12 с), загружено 20 мая 2010 г. (Переход от преломления через критический угол к ПВО в призме 45 ° -90 ° -45 °.)

Последняя правка сделана 2021-06-11 08:13:09
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте