Основная лемма вариационного исчисления

В математике, особенно в вариационном исчислении, изменение δf функции f может быть сосредоточено на сколь угодно малом интервале, но не в одной точке. Соответственно, необходимое условие экстремума ( функциональная производная равна нулю) появляется в слабой формулировке (вариационной форме), интегрированной с произвольной функцией δf. Основная лемма вариационного исчисления, как правило, использует для трансформации этой слабой композиции в сильную формулировку ( дифференциальное уравнение ), свободную от интеграции с произвольной функцией. Доказательство обычно использует возможность выбрать δf сосредоточенным на интервале, на котором f сохраняет знак (положительный или отрицательный). Используются несколько версий леммы. Базовые версии легко сформулировать и доказать. При необходимости используются более мощные версии.

• 1 Базовая версия
• 2 Версия для двух данных функций
• 3 Версии для прерывных функций
• 4 Высшие производные
• 5 векторнозначные функции
• 6 функций с несколькими переменными
• 7 приложений
• 8 Примечания
• 9 ссылки

Если непрерывная функция на открытом интервале удовлетворяет равенству ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle (а, б)}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) час (х) \, \ mathrm {d} х = 0}$

для всех гладких функций с компактным носителем на, то тождественно равна нулю.${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle (а, б)}$${\ displaystyle f}$

Здесь «гладкий» может быть интерпретирован как «бесконечно дифференцируемый», но часто интерпретируется как «дважды непрерывно дифференцируемый» или «непрерывно дифференцируемый» или даже просто «непрерывный», поскольку эти более слабые утверждения могут быть достаточно сильными для данной задачи. «Компактно поддерживается» означает « для некоторых исчезает наружу, так что »; но часто более слабое утверждение хватает, только в предположении, что (или и ряд его производных) обращается в нуль на концах, ; в этом случае используется закрытый интервал. ${\ displaystyle [c, d]}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle a lt;c lt;d lt;b}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle [а, б]}$

Если пара непрерывных функций f, g на интервале ( a, b) удовлетворяет равенству

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (е (х) \, h (x) + g (x) \, h '(x)) \, \ mathrm {d} x = 0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на ( a, b), то g дифференцируема и g ' = f  всюду.

Частный случай для g = 0 - это просто базовая версия.

Вот частный случай для f = 0 (часто достаточно).

Если непрерывная функция g на интервале ( a, b) удовлетворяет равенству

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, h '(x) \, \ mathrm {d} x = 0}$

для всех гладких функций ч на (, б) таким образом, что, то г является постоянным. ${\ Displaystyle ч (а) = ч (Ь) = 0}$

Если, кроме того, непрерывная дифференцируемость из г предполагаются, то интегрирование по частям уменьшает оба утверждения в базовую версию; этот случай приписывается Жозефу-Луи Лагранжу, а доказательство дифференцируемости g принадлежит Полю дю Буа-Реймону.

Данные функции ( f, g) могут быть разрывными при условии, что они локально интегрируемы (на заданном интервале). В данном случае имеется в виду интегрирование Лебега, выводы справедливы почти всюду (таким образом, во всех точках непрерывности), а дифференцируемость g интерпретируется как локальная абсолютная непрерывность (а не как непрерывная дифференцируемость). Иногда данные функции предполагаются кусочно-непрерывными, и в этом случае достаточно интегрирования Римана, и выводы формулируются везде, кроме конечного множества точек разрыва.

Если набор непрерывных функций на интервале ( a, b) удовлетворяет равенству ${\ displaystyle f_ {0}, f_ {1}, \ dots, f_ {n}}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (f_ {0} (x) \, h (x) + f_ {1} (x) \, h '(x) + \ dots + f_ {n}) (х) \, h ^ {(n)} (x)) \, \ mathrm {d} x = 0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на ( a, b) существуют непрерывно дифференцируемые функции на ( a, b) такие, что ${\ displaystyle u_ {0}, u_ {1}, \ dots, u_ {n-1}}$

${\ displaystyle f_ {0} = u '_ {0}, \; f_ {1} = u_ {0} + u' _ {1}, \; \ dots, \; f_ {n-1} = u_ { n-2} + u '_ {n-1}, \; f_ {n} = u_ {n-1}}$

везде.

Этого необходимого условия также достаточно, поскольку подынтегральное выражение принимает вид ${\ displaystyle (u_ {0} h) '+ (u_ {1} h') '+ \ dots + (u_ {n-1} h ^ {(n-1)})'.}$

Случай n = 1 - это всего лишь вариант для двух данных функций, так как и, следовательно,${\ displaystyle f = f_ {0} = u '_ {0}}$${\ displaystyle f_ {1} = u_ {0},}$${\ displaystyle f_ {0} -f '_ {1} = 0.}$

Напротив, случай n = 2 не приводит к соотношению, поскольку функция не должна быть дифференцируемой дважды. Достаточное условие не является обязательным. Скорее, необходимое и достаточное условие можно записать как для n = 2, для n = 3 и так далее; в общем, скобки раскрыть нельзя из-за недифференцируемости. ${\ displaystyle f_ {0} -f '_ {1} + f' '_ {2} = 0,}$${\ displaystyle f_ {2} = u_ {1}}$${\ displaystyle f_ {0} -f '_ {1} + f' '_ {2} = 0}$${\ displaystyle f_ {0} - (f_ {1} -f '_ {2})' = 0}$${\ displaystyle f_ {0} - (f_ {1} - (f_ {2} -f '_ {3})') '= 0}$

Обобщение на векторные функции несложно; один применяет результаты для скалярных функций к каждой координате отдельно или рассматривает векторнозначный случай с самого начала. ${\ Displaystyle (а, Ь) \ к \ mathbb {R} ^ {d}}$

Если непрерывная функция многих переменных f на открытом множестве удовлетворяет равенству ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} е (х) \, час (х) \, \ mathrm {d} х = 0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на Ω, то f тождественно равна нулю.

Аналогично базовой версии, можно рассматривать непрерывную функцию f на замыкании Ω, предполагая, что h обращается в нуль на границе Ω (а не с компактным носителем).

Вот версия для разрывных функций с несколькими переменными.

Пусть - открытое множество и удовлетворяет равенству ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} е (х) \, час (х) \, \ mathrm {d} х = 0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на Ω. Тогда е = 0 (в L ², то есть почти везде).

Эта лемма используется для доказательства того, что экстремумы из функционала

${\ displaystyle J [y] = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} L (t, y (t), {\ dot {y}} (t)) \, \ mathrm {d } t}$

являются слабыми решениями (для подходящего векторного пространства) уравнения Эйлера – Лагранжа ${\ displaystyle y: [x_ {0}, x_ {1}] \ to V}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle {\ partial L (t, y (t), {\ dot {y}} (t)) \ over \ partial y} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ частичное L (t, y (t), {\ dot {y}} (t)) \ over \ partial {\ dot {y}}}.}$

Уравнение Эйлера – Лагранжа играет важную роль в классической механике и дифференциальной геометрии.

1. ^ ^{a b c} Jost amp; Li-Jost 1998, лемма 1.1.1 на стр.6
2. ^ ^{a b c} Гельфанд и Фомин 1963 г., лемма 1 на стр. 9 (и замечание)
3. ↑ Гельфанд и Фомин, 1963, лемма 4 на стр.
4. ^ ^{a b} Hestenes 1966, лемма 15.1 на стр.50
5. ↑ Гельфанд и Фомин, 1963, лемма 2 на стр.
6. ↑ Jost amp; Li-Jost 1998, лемма 1.2.1 на стр.13
7. ^ Giaquinta amp; Хильдебрандт 1996, раздел 2.3: Мягчители
8. ^ Хестенса 1966, лемма 13.1 на стр.105
9. ↑ Гельфанд и Фомин, 1963, с.35.
10. ^ Йост и Ли-Йост 1998
11. ↑ Гельфанд и Фомин, 1963, лемма на стр. 22; доказательство применимо в обеих ситуациях.
12. ^ Jost amp; Li-Jost 1998, лемма 3.2.3 на стр.170

• Йост, Юрген; Ли-Йост, Сяньцин (1998), Вариационное исчисление, Кембриджский университет
• Гельфанд И.М.; Фомин, С. В. (1963), Вариационное исчисление, Прентис-Холл. (пер. с русского).
• Хестенс, Магнус Р. (1966), Вариационное исчисление и теория оптимального управления, Джон Вили.
• Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление I, Springer