Войти
В математике коядро линейного отображения векторных пространств f: X → Y является фактор-пространство Y / im (f) области f по изображению f. Размерность коядра называется корангом f.
Коядра двойственны ядрам теории категорий, отсюда и название: ядро является подобъектом домена (оно отображается на домен), в то время как коядро является частным объектом кодомена (оно отображается из кодомена).
Интуитивно, учитывая уравнение f (x) = y, которое нужно решить, коядро измеряет ограничения, которым y должен удовлетворять, чтобы это уравнение имело решение - препятствия на пути решения - в то время как ядро измеряет степени свободы решения, если оно существует. Это подробно рассматривается в интуиции ниже.
В более общем смысле, коядро морфизма f: X → Y в некоторой категории (например, гомоморфизм между группами или линейный ограниченный оператор между гильбертовыми пространствами ) - это объект Q и морфизм q: Y → Q такой, что композиция qf является нулевым морфизмом категории, и, кроме того, q является универсальным в отношении этого свойства. Часто понимают отображение q, а само Q называется коядром f.
Во многих ситуациях в абстрактной алгебре, например для абелевых групп, векторных пространств или модулей, коядро гомоморфизма f: X → Y - это частное Y на изображение f. В топологических настройках, таких как ограниченные линейные операторы между гильбертовыми пространствами, перед переходом к частному обычно необходимо принять замыкание изображения.
Коядро можно определить в общем основы теории категорий. Чтобы определение имело смысл, рассматриваемая категория должна иметь нулевые морфизмы. коядро морфизма f: X → Y определяется как коувалайзер f и нулевой морфизм 0 XY : X → Ю.
В явном виде это означает следующее. Коядро f: X → Y - это объект Q вместе с морфизмом q: Y → Q таким, что диаграмма
коммутирует. Более того, морфизм q должен быть универсальным для этой диаграммы, т.е. любой другой такой q ′: Y → Q ′ может быть получен компоновкой q с единственным морфизмом u: Q → Q ′:
As со всеми универсальными конструкциями коядро, если оно существует, единственно до единственного изоморфизма, а точнее: если q: Y → Q и q ': Y → Q' являются два коядра f: X → Y, то существует единственный изоморфизм u: Q → Q 'с q = u q.
Как и все соэквалайзеры, коядро q: Y → Q обязательно является эпиморфизмом. И наоборот, эпиморфизм называется нормальным (или конормальным), если он является коядром некоторого морфизма. Категория называется конормальной, если каждый эпиморфизм нормален (например, категория групп конормальна).
В категории групп коядро гомоморфизма групп f: G → H является частным H на нормальное замыкание образа f. В случае абелевых групп, поскольку каждая подгруппа нормальна, коядро - это просто H по модулю образ f:
В предаддитивной категории имеет смысл складывать и вычитать морфизмы. В такой категории соэквалайзер двух морфизмов f и g (если он существует) является просто коядром их разности:
В абелевой категории (особый вид предаддитивной категории) изображение и coimage морфизма f задаются формулами
В частности, каждая абелева категория нормальна (а также конормальна). То есть каждый мономорфизм m можно записать как ядро некоторого морфизма. В частности, m является ядром своего собственного коядра:
Коядро можно рассматривать как пространство ограничений, которым должно удовлетворять уравнение, как пространство препятствий, точно так же, как ядро - это пространство решений.
Формально можно соединить ядро и коядро отображения T: V → W точной последовательностью
Их можно интерпретировать так: задано линейное уравнение T (v) = w для решения,
Размерность коядро плюс размер изображения (ранг) складываются с размером целевого пространства, так как размер частного пространства 
В качестве простого примера рассмотрим карту T: R→ R, заданную как T (x, y) = (0, y). Тогда для того, чтобы уравнение T (x, y) = (a, b) имело решение, мы должны иметь a = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решений равно (x, b) или, что эквивалентно, ( 0, b) + (x, 0), (одна степень свободы). Ядро можно выразить как подпространство (x, 0) ⊆ V: значение x - это свобода в решении. Коядро может быть выражено через вещественнозначное отображение W: (a, b) → (a): для данного вектора (a, b) значение a является препятствием для того, чтобы найти решение.
Кроме того, коядро можно рассматривать как нечто, что «обнаруживает» выбросы так же, как ядро «обнаруживает» инъекции. Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро тривиально, а отображение сюръективно тогда и только тогда, когда его коядро тривиально, или, другими словами, если W = im (T).
