Циссоида Диокла

Циссоида Диокла, начерченная по точкам M с OM = M 1M2. Анимация, визуализирующая циссоиду Диокла

In геометрия, циссоид Диокла представляет собой кривую кубической плоскости, примечательную тем свойством, что с ее помощью можно построить две средней пропорциональной заданной соотношение. В частности, его можно использовать для удвоения куба. Его можно определить как циссоид окружности и прямую касательную к нему относительно точки на окружности, противоположной точке касания. Фактически, семейство кривых циссоидов названо в честь этого примера, и некоторые авторы называют его просто циссоидом. Он имеет единственный куспид на полюсе и симметричен относительно диаметра окружности, являющейся линией касания куспида. Строка представляет собой асимптоту . Он принадлежит к семейству кривых conchoid de Sluze и по форме напоминает tractrix.

Слово «циссоид» происходит от греческого κισσοειδής kissoeidēs » плющ в форме "от κισσός kissos" плющ "и -οειδής -oeidēs" имеющий подобие ". Кривая названа в честь Диокла, изучавшего ее во II веке до нашей эры.

.

• 1 Построение и уравнения
  • 1.1 Построение с помощью двойной проекции
  • 1.2 Построение Ньютона
• 2 Задача Делиана
• 3 В виде кривой педали
• 4 Инверсия
• 5 Ссылки

Пусть радиус C равен a. Путем сдвига и вращения мы можем взять O за начало координат, а центр круга за (a, 0), так что A будет (2a, 0). Тогда полярные уравнения L и C следующие:

$r\; =\; 2\; a\; sec\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2a\; \backslash \; sec\; \backslash \; theta\}$

$r\; =\; 2\; a\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2a\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}$.

По построению расстояние от начала координат до точки на циссоиде равно разнице расстояний между началом координат и соответствующими точками на L и C. Другими словами, полярное уравнение циссоиды имеет вид

$р\; знак\; равно\; 2\; a\; сек\; \; \theta \; -\; 2\; a\; соз\; \; \theta \; =\; 2\; a\; (сек\; \; \theta \; -\; соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2a\; \backslash \; sec\; \backslash \; theta\; -2a\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; 2a\; (\backslash \; sec\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$.

Если применить некоторые тригонометрические тождества, это эквивалентно

$r\; =\; 2\; a\; sin\; 2\; \theta \; /\; cos\; \; \theta \; =\; 2\; a\; sin\; \; \theta \; tan\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2a\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; \backslash \; theta\; /\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; 2a\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\}$.

Пусть $t\; =\; tan\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\}$в приведенном выше уравнении. Тогда

$x\; =\; r\; cos\; \; \theta \; =\; 2\; a\; sin\; 2\; \theta \; =\; 2\; a\; tan\; 2\; \theta \; sec\; 2\; \theta \; =\; 2\; at\; 2\; 1\; +\; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; 2a\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\; \}\; \backslash !\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2a\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2at\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$y\; =\; tx\; =\; 2\; at\; 3\; 1\; +\; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; tx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2at\; ^\; \{3\}\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\}$

- параметрические уравнения циссоида.

Преобразование полярной формы в декартовы координаты дает

$(x\; 2\; +\; y\; 2)\; x\; =\; 2\; ay\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; x\; =\; 2ay\; ^\; \{\; 2\}\}$

Построение с помощью двойной проекции

Механизм для создания циссоида

A циркуль и линейка Построение различных точек на циссоиде происходит следующим образом. Для прямой L и точки O не на L, постройте прямую L 'через O, параллельную L. Выберите переменную точку P на L и постройте Q, ортогональную проекцию P на L', затем R, ортогональную проекцию Q на ОП. Тогда циссоид - геометрическое место точек R.

Чтобы увидеть это, пусть O - начало координат, а L - прямая x = 2a, как указано выше. Пусть P - точка (2a, 2at); тогда Q равно (0, 2at), а уравнение прямой OP имеет вид y = tx. Прямая, проходящая через Q, перпендикулярная OP:

$t\; (y\; -\; 2\; at)\; +\; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; (y-2at)\; +\; x\; =\; 0\}$.

Чтобы найти точку пересечения R, установите y = tx в этом уравнении, чтобы получить

$t\; (tx\; -\; 2\; at)\; +\; x\; =\; 0,\; x\; (t\; 2\; +\; 1)\; =\; 2\; at\; 2,\; x\; =\; 2\; at\; 2\; t\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; (tx-2at)\; +\; x\; =\; 0,\; \backslash \; x\; (t\; ^\; \{2\}\; +1)\; =\; 2at\; ^\; \{2\},\; \backslash \; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2at\; ^\; \{2\}\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}$

$y\; =\; tx\; =\; 2\; at\; 3\; t\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; tx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2at\; ^\; \{3\}\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}$

, которые являются параметрическими уравнениями, приведенными выше.

Хотя эта конструкция дает сколь угодно много точек на циссоиде, она не может проследить какой-либо непрерывный сегмент кривой.

Конструкция Ньютона

Конструкция Ньютона

Следующая конструкция была дана Исааком Ньютоном. Пусть J - прямая, а B - точка не на J. Пусть BST - прямой угол, который перемещается так, чтобы ST равнялся расстоянию от B до J, и T остается на J, в то время как другая нога BS скользит по B. Тогда средняя точка P ST описывает кривую.

Чтобы увидеть это, пусть расстояние между B и J равно 2a. Путем сдвига и поворота возьмем B = (−a, 0) и J прямую x = a. Пусть P = (x, y) и ψ - угол между SB и осью x; он равен углу между ST и J. По построению PT = a, поэтому расстояние от P до J есть sin ψ. Другими словами, a-x = грех ψ. Кроме того, SP = a является координатой y для (x, y), если он повернут на угол ψ, поэтому a = (x + a) sin ψ + y cos ψ. После упрощения получается параметрическое уравнение

$x\; =\; a\; (1\; -\; sin\; \; \psi ),\; y\; =\; a\; (1\; -\; sin\; \; \psi )\; 2\; cos\; \; \psi .\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\; (1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; psi),\; \backslash ,\; y\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{(1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; psi)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; psi\}\}.\}$

Изменить параметры путем замены ψ на его дополнение, чтобы получить

$x\; =\; a\; (1\; -\; cos\; \; \psi ),\; y\; =\; a\; (1\; -\; cos\; \; \psi )\; 2\; sin\; \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\; (1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi),\; \backslash ,\; y\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{(1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; psi\}\}\}$

или, применяя формулы двойного угла,

$x\; =\; 2\; a\; sin\; 2\; \; \psi \; 2,\; у\; =\; а\; 4\; грех\; 4\; \; \psi \; 2\; 2\; грех\; \; \psi \; 2\; соз\; \; \psi \; 2\; =\; 2\; а\; грех\; 3\; \; \psi \; 2\; соз\; \; \psi \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 2a\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; psi\; \backslash \; over\; 2\},\; \backslash ,\; y\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; \{\backslash \; psi\; \backslash \; over\; 2\}\}\; \{2\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; psi\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; psi\; \backslash \; over\; 2\}\}\}\; =\; 2a\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; psi\; \backslash \; over\; 2\}\}\; \{\backslash \; cos\; \{\backslash \; psi\; \backslash \; over\; 2\}\}\}.\}$

Но это полярное уравнение

$r\; =\; 2\; a\; sin\; 2\; \; \theta \; /\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2a\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; /\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}$

, приведенное выше с θ = Ψ / 2.

Обратите внимание, что, как и в случае конструкции с двумя выступами, ее можно адаптировать для создания механического устройства, генерирующего кривую.

Греческий геометр Диокл использовал циссоиду для получения двух средних, пропорциональных заданному соотношению. Это означает, что при заданных длинах a и b кривую можно использовать для нахождения u и v, так что a относится к u, как u относится к v, как v относится к b, т.е. a / u = u / v = v / b, как обнаружено автор Гиппократ Хиосский. В качестве особого случая это можно использовать для решения проблемы Делиана: на сколько нужно увеличить длину куба, чтобы удвоить его объем ? В частности, если a - сторона куба, а b = 2a, то объем куба со стороной u равен

$u\; 3\; =\; a\; 3\; (ua)\; 3\; =\; a\; 3\; (ua)\; (vu)\; (bv)\; =\; a\; 3\; (ba)\; =\; 2\; a\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{3\}\; =\; a\; ^\; \{3\}\; (\{\backslash \; tfrac\; \{u\}\; \{a\}\})\; ^\; \{3\}\; =\; a\; ^\; \{3\}\; (\{\backslash \; tfrac\; \{u\}\; \{a\}\})\; (\{\backslash \; tfrac\; \{v\}\; \{u\}\})\; (\{\backslash \; tfrac\; \{b\}\; \{v\}\})\; =\; a\; ^\; \{3\}\; (\{\backslash \; tfrac\; \{b\}\; \{a\}\})\; =\; 2a\; ^\; \{3\}\}$

, поэтому u - сторона куба с двойным объемом исходного куба. Обратите внимание, однако, что это решение не подпадает под правила построения компаса и линейки, поскольку оно основывается на существовании циссоиды.

Пусть даны a и b. Требуется найти u так, чтобы u = ab, давая u и v = u / a в качестве средних пропорциональных величин. Пусть циссоида

$(x\; 2\; +\; y\; 2)\; x\; =\; 2\; ay\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; x\; =\; 2ay\; ^\; \{2\}\}$

построена, как указано выше, где O - начало координат, A - точка (2a, 0), а J - прямая x = a, также как указано выше. Пусть C - точка пересечения J с OA. От заданной длины b отметьте B на J, чтобы CB = b. Нарисуйте BA и пусть P = (x, y) будет точкой, в которой он пересекает циссоид. Нарисуйте OP и пусть он пересекает J в U. Тогда u = CU - искомая длина.

Чтобы увидеть это, перепишите уравнение кривой как

$y\; 2\; =\; x\; 3\; 2\; a\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{2a\; -x\}\}\}$

и пусть N = (x, 0), так что PN - это перпендикуляр к OA через P. Из уравнения кривой

$PN\; 2\; =\; ON\; 3\; NA.\; \{\backslash \; displaystyle\; PN\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{ON\; ^\; \{3\}\}\; \{NA\}\}.\}$

Отсюда

$P\; N\; 3\; O\; N\; 3\; =\; P\; N\; N\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{PN\; ^\; \{3\}\}\; \{ON\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{PN\}\; \{NA\}\}.\}$

Подобными треугольниками PN / ON = UC / OC и PN / NA = BC / CA. Таким образом, уравнение выглядит следующим образом:

$UC\; 3\; OC\; 3\; =\; BCCA,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{UC\; ^\; \{3\}\}\; \{OC\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{BC\}\; \{CA\}\},\}$

поэтому

$u\; 3\; a\; 3\; =\; ba,\; u\; 3\; =\; a\; 2\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{u\; ^\; \{3\}\}\; \{a\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\}\},\; \backslash ,\; u\; ^\; \{3\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; b\}$

по мере необходимости.

Диокл на самом деле не решил делийскую проблему. Причина в том, что циссоида Диокла не может быть построена идеально, по крайней мере, с помощью циркуля и линейки. Чтобы построить циссоиду Диокла, нужно построить конечное число ее отдельных точек, а затем соединить все эти точки, чтобы образовать кривую. Проблема в том, что нет четко определенного способа соединения точек. Если они соединены отрезками прямых, то конструкция будет четко определена, но это будет не точная циссоида Диокла, а только приближение. Точно так же, если точки соединены дугами окружности, конструкция будет четко определенной, но неправильной. Или можно просто нарисовать кривую напрямую, пытаясь оценить форму кривой, но результатом будет только неточное предположение.

После того, как был нарисован конечный набор точек на циссоиде, линия PC, вероятно, не будет точно пересекать одну из этих точек, а пройдет между ними, пересекая циссоиду Диокла в некоторой точке, точное местоположение которой не был построен, а был только приблизительно. Альтернативный вариант - продолжать добавлять построенные точки к циссоиде, которые становятся все ближе и ближе к пересечению с линией PC, но количество шагов вполне может быть бесконечным, и греки не признавали приближения как пределы бесконечных шагов (так что они были очень озадачен парадоксами Зенона ).

Можно также построить циссоиду Диокла с помощью механического инструмента, специально разработанного для этой цели, но это нарушает правило использования только циркуля и линейки. Это правило было установлено из соображений логической - аксиоматической - непротиворечивости. Разрешение конструирования с помощью новых инструментов было бы похоже на добавление новых аксиом, но аксиомы должны быть простыми и самоочевидными, а такие инструменты - нет. Таким образом, по правилам классической синтетической геометрии Диокл не решил проблему Делиана, которую на самом деле нельзя решить такими средствами.

С другой стороны, если допустить, что циссоиды Диокла существуют, то должен существовать хотя бы один пример такой циссоиды. Затем этот циссоид можно было перемещать, вращать, увеличивать или уменьшать в размере (без изменения его пропорциональной формы) по желанию, чтобы поместиться в любое положение. Тогда можно было бы легко признать, что такой циссоид можно использовать для правильного решения проблемы Делиана.

педальная кривая параболы относительно ее вершины является циссоидой Диокла. Геометрические свойства кривых педалей в целом создают несколько альтернативных методов построения циссоиды. Это огибающие окружностей, центры которых лежат на параболе и которые проходят через вершину параболы. Кроме того, если две конгруэнтные параболы установлены от вершины к вершине и одна перемещается по другой; вершина катящейся параболы будет следовать за циссоидом.

Пара парабол обращена друг к другу симметрично: одна сверху, другая снизу. Затем верхняя парабола прокатывается без скольжения по нижней, и ее последовательные положения отображаются в анимации. Тогда путь, прослеживаемый вершиной верхней параболы при ее вращении, представляет собой рулетку, показанную красным, которая является циссоидой Диокла.

.

Циссоида Диокла также может быть определена как обратная кривая параболы с центром инверсии в вершине. Чтобы увидеть это, возьмем параболу x = y в полярных координатах $r\; cos\; \; \theta \; =\; (r\; sin\; \; \theta )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; (r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; ^\; \{2\; \}\}$или:

$r\; =\; cos\; \; \theta \; sin\; 2\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash ,.\}$

Таким образом, обратная кривая:

$r\; =\; sin\; 2\; \theta \; cos\; \; \theta \; знак\; равно\; грех\; \; \theta \; загар\; \; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta,\}$

что согласуется с полярным уравнением циссоиды выше.

Wikisource содержит текст 1911 Encyclopædia Britannica статьи Cissoid.

• J. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. С. 95, 98–100. ISBN 0-486-60288-5.
• Вайсштейн, Эрик У. «Циссоид Диокла». MathWorld.
• «Циссоид Диокла» в Визуальном словаре специальных плоских кривых
• «Циссоид Диокла» в списке известных кривых МакТютора
• «Циссоид» на 2dcurves.com
• «Циссоид де Диоклес, оу Cissoïde Droite "в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском языке)
• " The Cissoid "Элементарный трактат о кубических и четвертичных кривых Альфред Барнард Бассет (1901) Кембридж, стр. 85ff