Капиллярная волна

редактировать

Волна на поверхности жидкости с преобладанием поверхностного натяжения

Капиллярная волна (рябь) в воде

Капиллярные волны, создаваемые ударами капли на границу раздела между водой и воздухом.

A капиллярная волна - это волна, движущаяся вдоль фазовой границы жидкости, динамика и фазовая скорость преобладают за счет эффектов поверхностного натяжения.

Капиллярные волны обычны в природе и часто называются рябью . Длина волны капиллярных волн на воде обычно меньше нескольких сантиметров, а фазовая скорость превышает 0,2–0,3 м / с.

Более длинная длина волны на границе раздела жидкостей приведет к гравитационно-капиллярным волнам, на которые влияют как эффекты поверхностного натяжения, так и гравитация, а также жидкость. инерция. Обычные гравитационные волны имеют еще большую длину волны.

Когда они генерируются легким ветром на открытой воде, морское название для них - кошачья лапа волны. Легкий ветерок, вызывающий такую мелкую рябь, также иногда называют кошачьими лапками. В открытом океане гораздо более крупные поверхностные волны океана (моря и волны ) могут возникать в результате слияния более мелких волновых волн, вызванных ветром.

Содержание

1 Соотношение дисперсии
- 1.1 Капиллярные волны, собственно
- 1.2 Гравитационно-капиллярные волны
  - 1.2.1 Режим гравитационных волн
  - 1.2.2 Режим капиллярных волн
  - 1.2.3 Минимум фазовой скорости
  - 1.2.4 Вывод
2 См. Также
3 Галерея
4 Примечания
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Отношение дисперсии

дисперсионное соотношение описывает соотношение между длиной и частотой в волнах. Можно провести различие между чистыми капиллярными волнами, в которых полностью преобладают эффекты поверхностного натяжения, и гравитационно-капиллярными волнами, на которые также влияет сила тяжести.

Капиллярные волны, собственно

Дисперсионное соотношение для капиллярных волн:

ω 2 = σ ρ + ρ ′ | k | 3, {\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {\ sigma} {\ rho + \ rho '}} \, | k | ^ {3},}

\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},

где ω - угловой частота, σ поверхностное натяжение, ρ плотность более тяжелой жидкости, ρ 'плотность более легкой жидкости и k волновое число. длина волны равна $λ = 2π k. {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}.}$ $\ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}.$ Для границы между жидкостью и вакуумом (свободная поверхность) дисперсионное соотношение сводится к

ω 2 = σ ρ | k | 3. {\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {\ sigma} {\ rho}} \, | k | ^ {3}.}

\ omega ^ {2} = {\ frac {\ sigma} {\ rho}} \, | k | ^ {3}.

Гравитационно-капиллярные волны

Рассеивание гравитационно-капиллярных волн на поверхность глубокой воды (нулевая массовая плотность верхнего слоя, ρ ′ = 0). Фаза и групповая скорость, разделенные на

g σ / ρ 4 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{4}] {g \ sigma / \ rho}}}

\ script стиль \ sqrt [4] {g \ sigma / \ rho}

как функция обратной относительной длины волны

1 λ σ / (ρ g) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {\ lambda}} {\ sqrt {\ sigma / (\ rho g)}}}

\ scriptstyle \ frac { 1} {\ lambda} \ sqrt {\ sigma / (\ rho g)}

.. • Синие линии (A): фазовая скорость, Красные линии (B): групповая скорость.. • Рисованные линии: дисперсионное соотношение для гравитационно-капиллярных волн.. • Пунктирные линии: дисперсионное соотношение для глубоководных гравитационных волн.. • Штрих -пунктирные линии: соотношение дисперсии, действующее для глубоководных капиллярных волн.

В общем, волны также подвержены влиянию силы тяжести и в этом случае называются гравитационно-капиллярными волнами. Их соотношение дисперсии для волн на границе раздела двух жидкостей бесконечной глубины имеет вид:

ω 2 = | k | (ρ - ρ ′ ρ + ρ ′ г + σ ρ + ρ ′ К 2), {\ displaystyle \ omega ^ {2} = | k | \ left ({\ frac {\ rho - \ rho '} {\ rho + \ rho '}} g + {\ frac {\ sigma} {\ rho + \ rho'}} k ^ {2} \ right),}

\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),

где g - ускорение от силы тяжести, ρ и ρ '- массовая плотность двух жидкостей (ρ>ρ'). Множитель $(ρ - ρ ′) / (ρ + ρ ′) {\ displaystyle (\ rho - \ rho ') / (\ rho + \ rho')}$ $(\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')$ в первом члене равен число Атвуда.

Режим гравитационных волн

Для больших длин волн (малое k = 2π / λ) имеет значение только первый член, а у одного есть гравитационные волны. В этом пределе волны имеют групповую скорость половину фазовой скорости : следуя гребню одной волны в группе, можно увидеть волну, появляющуюся позади группы, растущую и наконец исчезнув впереди группы.

Режим капиллярных волн

Более короткие (большие k) волны (например, 2 мм для границы раздела вода-воздух), которые являются собственно капиллярными волнами, действуют наоборот: отдельная волна появляется на фронте группы, увеличивается по мере продвижения к центру группы и, наконец, исчезает позади группы. В этом пределе фазовая скорость составляет две трети групповой скорости.

Минимум фазовой скорости

Между этими двумя пределами находится точка, в которой дисперсия, вызванная гравитацией, нейтрализует дисперсию из-за капиллярного эффекта. На определенной длине волны групповая скорость равна фазовой скорости, и дисперсии нет. Именно на этой длине волны фазовая скорость гравитационно-капиллярных волн как функция длины волны (или волнового числа) имеет минимум. Волны с длинами волн, намного меньшими, чем эта критическая длина волны λ м, подвержены преобладанию поверхностного натяжения и намного выше гравитации. Значение этой длины волны и соответствующая минимальная фазовая скорость c m равны:

λ m = 2 π σ (ρ - ρ ′) g и cm = 2 (ρ - ρ ′) g σ ρ + ρ ′. {\ displaystyle \ lambda _ {m} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {\ sigma} {(\ rho - \ rho ') g}}} \ quad {\ text {and}} \ quad c_ {m } = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(\ rho - \ rho ') g \ sigma}}} {\ rho + \ rho'}}}.}

\lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.

Для воздуха - вода, λ м составляет 1,7 см (0,67 дюйма), а c м составляет 0,23 м / с (0,75 фут / с).).

Если уронить небольшой камень или каплю в жидкость, волны распространятся за пределы расширяющегося круга жидкости в состоянии покоя; этот круг представляет собой каустику, которая соответствует минимальной групповой скорости.

Вывод

Как сказал Ричард Фейнман, "[волны воды], легко видны каждому, и которые обычно используются в качестве примера волн на начальных курсах [...] являются наихудшим примером [...]; они имеют все сложности, которые могут быть у волн ». Таким образом, вывод общего дисперсионного соотношения весьма сложен.

Есть три вклада в энергию, обусловленную гравитацией, в поверхностное натяжение и в гидродинамику. Первые два являются потенциальными энергиями и отвечают за два члена в скобках, как видно из появления g и σ. Для гравитации предполагается, что плотность жидкостей постоянна (то есть несжимаемость), а также g (волны недостаточно высоки для того, чтобы гравитация могла заметно измениться). Для поверхностного натяжения отклонения от планарности (измеренные по производным поверхности) должны быть небольшими. Для обычных волн оба приближения достаточно хороши.

Третий вклад включает кинетическую энергию флюидов. Он самый сложный и требует гидродинамической структуры. Снова возникает несжимаемость (которая удовлетворяется, если скорость волн намного меньше скорости звука в среде) вместе с потоком безвихревым - тогда поток потенциал. Обычно это также хорошие приближения для обычных ситуаций.

Результирующее уравнение для потенциала (которое является уравнением Лапласа ) может быть решено с соответствующими граничными условиями. С одной стороны, скорость должна исчезать глубоко под поверхностью (в случае «глубокой воды», который мы рассматриваем, иначе получается более сложный результат, см. Океанские поверхностные волны.) во-вторых, его вертикальная составляющая должна соответствовать движению поверхности. Этот вклад в конечном итоге отвечает за дополнительный k за скобками, что приводит к тому, что все режимы являются дисперсионными, как при низких значениях k, так и при высоких (кроме одного значения, при котором две дисперсии сокращаются. out.)

Соотношение дисперсии для гравитационно-капиллярных волн на границе раздела двух полубесконечных жидких областей
Рассмотрим две жидкие области, разделенные границей раздела с поверхностным натяжением. Среднее положение интерфейса - горизонтальное. Он отделяет верхнюю жидкость от нижней, обе имеют различную постоянную плотность массы, ρ и ρ ’для нижней и верхней области соответственно. Предполагается, что жидкость невязкая и несжимаемая, а поток считается безвихревым. Тогда потоки имеют потенциал, и скорость в нижнем и верхнем слое может быть получена из Φ и ∇ Φ ’, соответственно. Здесь Φ (x, y, z, t) и Φ ’(x, y, z, t) - потенциалы скорости. В энергию вовлечены три составляющих: потенциальная энергия Vg, обусловленная гравитацией, потенциальная энергия V st, обусловленная поверхностным натяжением и кинетическая энергия T потока. Часть V g, обусловленная гравитацией, является самой простой: интегрирование плотности потенциальной энергии, обусловленной силой тяжести, ρ gz (или ρ 'gz) от исходной высоты до положения поверхности, z = η (x, y, t): $V g = ∬ dxdy ∫ 0 η dz (ρ - ρ ′) gz = 1 2 (ρ - ρ ′) g ∬ dxdy η 2, {\ displaystyle V _ {\ mathrm {g} } = \ iint dx \, dy \; \ int _ {0} ^ {\ eta} dz \; (\ rho - \ rho ') gz = {\ frac {1} {2}} (\ rho - \ rho ') g \ iint dx \, dy \; \ eta ^ {2},}$ $V_{{\mathrm {g}}}=\iint dx\,dy\;\int _{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={\frac {1}{2}}(\rho -\rho ')g\iint dx\,dy\;\eta ^{2},$ при условии, что средняя позиция границы раздела находится в z = 0. Увеличение площади поверхности вызывает пропорциональное увеличение энергии из-за поверхностного натяжения: $V st = σ ∬ dxdy [1 + (∂ η ∂ x) 2 + (∂ η ∂ y) 2-1] ≈ 1 2 σ ∬ dxdy [(∂ η ∂ x) 2 + (∂ η ∂ y) 2], {\ displaystyle V _ {\ mathrm {st}} = \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [{\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right] \ приблизительно {\ frac {1} {2}} \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [\ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right],}$ $V _ {{\ mathrm {st}}} = \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [{\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right] \ приблизительно {\ frac {1} {2}} \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [\ left ({\ frac {\ partial \ eta} { \ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right],$ , где первое равенство - это площадь в этом представлении (Monge ), а второе применяется для малых значений производных (поверхности не слишком грубые). Последний вклад включает кинетическую энергию жидкости: $T = 1 2 ∬ d x d y [∫ - ∞ η d z ρ \| ∇ Φ \| 2 + ∫ η + ∞ d z ρ ′ \| ∇ Φ ′ \| 2]. {\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ iint dx \, dy \; \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ eta} dz \; \ rho \, \ left \| \ mathbf {\ nabla} \ Phi \ right \| ^ {2} + \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} dz \; \ rho '\, \ left \| \ mathbf {\ nabla} \ Phi' \ right \| ^ {2} \ right].}$ $T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left\|\mathbf {\nabla } \Phi \right\|^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left\|\mathbf {\nabla } \Phi '\right\|^{2}\right].$ Используется несжимаемая жидкость и безвихревой поток (часто разумные приближения). В результате и Φ (x, y, z, t), и Φ '(x, y, z, t) должны удовлетворять уравнению Лапласа : $∇ 2 Φ = 0 {\ displaystyle \ nabla ^ { 2} \ Phi = 0}$ $\ nabla ^ {2} \ Phi = 0$ и $∇ 2 Φ ′ = 0. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi '= 0.}$ $\nabla ^{2}\Phi '=0.$ Эти уравнения можно решить с помощью надлежащие граничные условия: Φ и Φ 'должны исчезать далеко от поверхности (в случае «глубокой воды», который мы и рассматриваем). Используя тождество Грина и предполагая, что отклонения высоты поверхности малы (так что z-интегрирования могут быть аппроксимированы интегрированием до z = 0 вместо z = η), кинетическая энергия может быть записана как: $T ≈ 1 2 ∬ dxdy [ρ Φ ∂ Φ ∂ z - ρ ′ Φ ′ ∂ Φ ′ ∂ z] при z = 0. {\ Displaystyle Т \ приблизительно {\ гидроразрыва {1} {2}} \ iint dx \, dy \; \ left [\ rho \, \ Phi \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \; - \; \ rho '\, \ Phi' \, {\ frac {\ partial \ Phi '} {\ partial z}} \ right] _ {{\ text {at}} z = 0}.}$ $T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{{\text{at }}z=0}}.$ Чтобы найти дисперсионное соотношение, достаточно рассмотреть синусоидальную волну на границе раздела, распространяющуюся в направлении x: $η = a cos (kx - ω t) = a cos θ, {\ displaystyle \ eta = a \, \ cos \, (kx- \ omega t) = a \, \ cos \, \ theta,}$ $\ eta = a \, \ cos \, (kx- \ omega t) = a \, \ cos \, \ theta,$ с амплитудой a и фазой волны θ = kx - ωt. Кинематическое граничное условие на границе, связывающее потенциалы с движением границы, состоит в том, что компоненты вертикальной скорости должны соответствовать движению поверхности: $∂ Φ ∂ z = ∂ η ∂ t {\ displaystyle {\ frac {\ частичный \ Phi} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}}}$ ${\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t }}$ и $∂ Φ ′ ∂ z = ∂ η ∂ t {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi '} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}}}$ ${\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}$ при z = 0. Чтобы справиться с задача нахождения потенциалов, можно попробовать разделение переменных, когда оба поля могут быть выражены как: $Φ (x, y, z, t) = + 1 \| k \| е + \| k \| z ω a sin θ, Φ ′ (x, y, z, t) = - 1 \| k \| е - \| k \| z ω a sin θ. {\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi (x, y, z, t) = + {\ frac {1} {\| k \|}} {\ text {e}} ^ {+ \| k \| z} \, \ omega a \, \ sin \, \ theta, \\\ Phi '(x, y, z, t) = - {\ frac {1} {\| k \|}} {\ text {e}} ^ {- \| k \| z} \, \ omega a \, \ sin \, \ theta. \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\Phi (x,y,z,t)=+{\frac {1}{\|k\|}}{\text{e}}^{{+\|k\|z}}\,\omega a\,\sin \,\theta,\\\Phi '(x,y,z,t)=-{\frac {1}{\|k\|}}{\text{e}}^{{-\|k\|z}}\,\omega a\,\sin \,\theta.\end{aligned}}$ Тогда вклады в энергию волны, интегрированные по горизонтали по одной длине волны λ = 2π / k в направлении x и на единицу ширины в направлении y принимают следующий вид: $V g = 1 4 (ρ - ρ ′) ga 2 λ, V st = 1 4 σ k 2 a 2 λ, T = 1 4 (ρ + ρ ′) ω 2 \| k \| а 2 λ. {\ displaystyle {\ begin {align} V _ {\ text {g}} = {\ frac {1} {4}} (\ rho - \ rho ') ga ^ {2} \ lambda, \\ V _ {\ текст {st}} = {\ frac {1} {4}} \ sigma k ^ {2} a ^ {2} \ lambda, \\ T = {\ frac {1} {4}} (\ rho + \ rho ') {\ frac {\ omega ^ {2}} {\| k \|}} a ^ {2} \ lambda. \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}V_{{\text{g}}}={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda,\\V_{{\text{st}}}={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda,\\T={\frac {1}{4}}(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{\|k\|}}a^{2}\lambda.\end{aligned}}$ Теперь дисперсионное соотношение можно получить из Лагранжиан L = T - V, где V - сумма потенциальных энергий силы тяжести V g и поверхностного натяжения V st: $L = 1 4 [(ρ + ρ ′) ω 2 \| k \| - (ρ - ρ ′) g - σ k 2] a 2 λ. {\ displaystyle L = {\ frac {1} {4}} \ left [(\ rho + \ rho ') {\ frac {\ omega ^ {2}} {\| k \|}} - (\ rho - \ rho ') g- \ sigma k ^ {2} \ right] a ^ {2} \ lambda.}$ $L={\frac {1}{4}}\left[(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{\|k\|}}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\right]a^{2}\lambda.$ Для синусоидальных волн и теории линейных волн усредненный по фазе лагранжиан всегда имеет вид L = D (ω, k) a², так что изменение по единственному свободному параметру a дает дисперсионное соотношение D (ω, k) = 0. В нашем случае D (ω, k) - это просто выражение в квадратные скобки, так что дисперсионное соотношение имеет вид: $ω 2 = \| k \| (ρ - ρ ′ ρ + ρ ′ г + σ ρ + ρ ′ К 2), {\ displaystyle \ omega ^ {2} = \| k \| \ left ({\ frac {\ rho - \ rho '} {\ rho + \ rho '}} \, g + {\ frac {\ sigma} {\ rho + \ rho'}} \, k ^ {2} \ right),}$ $\omega ^{2}=\|k\|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,k^{2}\right),$ то же, что и выше. В результате средняя энергия волны на единицу горизонтальной площади (T + V) / λ составляет: $E ¯ = 1 2 [(ρ - ρ ′) g + σ k 2] а 2. {\ displaystyle {\ bar {E}} = {\ frac {1} {2}} \, \ left [(\ rho - \ rho ') \, g + \ sigma k ^ {2} \ right] \, а ^ {2}.}$ ${\bar {E}}={\frac {1}{2}}\,\left[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\right]\,a^{2}.$ Как обычно для линейных волновых движений, потенциальная и кинетическая энергия равны (равнораспределение выполняется): T = V.

Соотношение дисперсии для гравитационно-капиллярных волн на границе раздела двух полубесконечных жидких областей

Рассмотрим две жидкие области, разделенные границей раздела с поверхностным натяжением. Среднее положение интерфейса - горизонтальное. Он отделяет верхнюю жидкость от нижней, обе имеют различную постоянную плотность массы, ρ и ρ ’для нижней и верхней области соответственно. Предполагается, что жидкость невязкая и несжимаемая, а поток считается безвихревым. Тогда потоки имеют потенциал, и скорость в нижнем и верхнем слое может быть получена из Φ и ∇ Φ ’, соответственно. Здесь Φ (x, y, z, t) и Φ ’(x, y, z, t) - потенциалы скорости.

В энергию вовлечены три составляющих: потенциальная энергия Vg, обусловленная гравитацией, потенциальная энергия V st, обусловленная поверхностным натяжением и кинетическая энергия T потока. Часть V g, обусловленная гравитацией, является самой простой: интегрирование плотности потенциальной энергии, обусловленной силой тяжести, ρ gz (или ρ 'gz) от исходной высоты до положения поверхности, z = η (x, y, t):

V g = ∬ dxdy ∫ 0 η dz (ρ - ρ ′) gz = 1 2 (ρ - ρ ′) g ∬ dxdy η 2, {\ displaystyle V _ {\ mathrm {g} } = \ iint dx \, dy \; \ int _ {0} ^ {\ eta} dz \; (\ rho - \ rho ') gz = {\ frac {1} {2}} (\ rho - \ rho ') g \ iint dx \, dy \; \ eta ^ {2},}

V_{{\mathrm {g}}}=\iint dx\,dy\;\int _{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={\frac {1}{2}}(\rho -\rho ')g\iint dx\,dy\;\eta ^{2},

при условии, что средняя позиция границы раздела находится в z = 0.

Увеличение площади поверхности вызывает пропорциональное увеличение энергии из-за поверхностного натяжения:

V st = σ ∬ dxdy [1 + (∂ η ∂ x) 2 + (∂ η ∂ y) 2-1] ≈ 1 2 σ ∬ dxdy [(∂ η ∂ x) 2 + (∂ η ∂ y) 2], {\ displaystyle V _ {\ mathrm {st}} = \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [{\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right] \ приблизительно {\ frac {1} {2}} \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [\ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right],}

V _ {{\ mathrm {st}}} = \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [{\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right] \ приблизительно {\ frac {1} {2}} \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [\ left ({\ frac {\ partial \ eta} { \ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right],

, где первое равенство - это площадь в этом представлении (Monge ), а второе применяется для малых значений производных (поверхности не слишком грубые).

Последний вклад включает кинетическую энергию жидкости:

T = 1 2 ∬ d x d y [∫ - ∞ η d z ρ | ∇ Φ | 2 + ∫ η + ∞ d z ρ ′ | ∇ Φ ′ | 2]. {\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ iint dx \, dy \; \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ eta} dz \; \ rho \, \ left | \ mathbf {\ nabla} \ Phi \ right | ^ {2} + \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} dz \; \ rho '\, \ left | \ mathbf {\ nabla} \ Phi' \ right | ^ {2} \ right].}

T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left|\mathbf {\nabla } \Phi \right|^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left|\mathbf {\nabla } \Phi '\right|^{2}\right].

Используется несжимаемая жидкость и безвихревой поток (часто разумные приближения). В результате и Φ (x, y, z, t), и Φ '(x, y, z, t) должны удовлетворять уравнению Лапласа :

∇ 2 Φ = 0 {\ displaystyle \ nabla ^ { 2} \ Phi = 0}

\ nabla ^ {2} \ Phi = 0

∇ 2 Φ ′ = 0. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi '= 0.}

\nabla ^{2}\Phi '=0.

Эти уравнения можно решить с помощью надлежащие граничные условия: Φ и Φ 'должны исчезать далеко от поверхности (в случае «глубокой воды», который мы и рассматриваем).

Используя тождество Грина и предполагая, что отклонения высоты поверхности малы (так что z-интегрирования могут быть аппроксимированы интегрированием до z = 0 вместо z = η), кинетическая энергия может быть записана как:

T ≈ 1 2 ∬ dxdy [ρ Φ ∂ Φ ∂ z - ρ ′ Φ ′ ∂ Φ ′ ∂ z] при z = 0. {\ Displaystyle Т \ приблизительно {\ гидроразрыва {1} {2}} \ iint dx \, dy \; \ left [\ rho \, \ Phi \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \; - \; \ rho '\, \ Phi' \, {\ frac {\ partial \ Phi '} {\ partial z}} \ right] _ {{\ text {at}} z = 0}.}

T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{{\text{at }}z=0}}.

Чтобы найти дисперсионное соотношение, достаточно рассмотреть синусоидальную волну на границе раздела, распространяющуюся в направлении x:

η = a cos (kx - ω t) = a cos θ, {\ displaystyle \ eta = a \, \ cos \, (kx- \ omega t) = a \, \ cos \, \ theta,}

\ eta = a \, \ cos \, (kx- \ omega t) = a \, \ cos \, \ theta,

с амплитудой a и фазой волны θ = kx - ωt. Кинематическое граничное условие на границе, связывающее потенциалы с движением границы, состоит в том, что компоненты вертикальной скорости должны соответствовать движению поверхности:

∂ Φ ∂ z = ∂ η ∂ t {\ displaystyle {\ frac {\ частичный \ Phi} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}}}

{\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t }}

∂ Φ ′ ∂ z = ∂ η ∂ t {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi '} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}}}

{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}

при z = 0.

Чтобы справиться с задача нахождения потенциалов, можно попробовать разделение переменных, когда оба поля могут быть выражены как:

Φ (x, y, z, t) = + 1 | k | е + | k | z ω a sin θ, Φ ′ (x, y, z, t) = - 1 | k | е - | k | z ω a sin θ. {\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi (x, y, z, t) = + {\ frac {1} {| k |}} {\ text {e}} ^ {+ | k | z} \, \ omega a \, \ sin \, \ theta, \\\ Phi '(x, y, z, t) = - {\ frac {1} {| k |}} {\ text {e}} ^ {- | k | z} \, \ omega a \, \ sin \, \ theta. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\Phi (x,y,z,t)=+{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{{+|k|z}}\,\omega a\,\sin \,\theta,\\\Phi '(x,y,z,t)=-{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{{-|k|z}}\,\omega a\,\sin \,\theta.\end{aligned}}

Тогда вклады в энергию волны, интегрированные по горизонтали по одной длине волны λ = 2π / k в направлении x и на единицу ширины в направлении y принимают следующий вид:

V g = 1 4 (ρ - ρ ′) ga 2 λ, V st = 1 4 σ k 2 a 2 λ, T = 1 4 (ρ + ρ ′) ω 2 | k | а 2 λ. {\ displaystyle {\ begin {align} V _ {\ text {g}} = {\ frac {1} {4}} (\ rho - \ rho ') ga ^ {2} \ lambda, \\ V _ {\ текст {st}} = {\ frac {1} {4}} \ sigma k ^ {2} a ^ {2} \ lambda, \\ T = {\ frac {1} {4}} (\ rho + \ rho ') {\ frac {\ omega ^ {2}} {| k |}} a ^ {2} \ lambda. \ end {align}}}

{\begin{aligned}V_{{\text{g}}}={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda,\\V_{{\text{st}}}={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda,\\T={\frac {1}{4}}(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}a^{2}\lambda.\end{aligned}}

Теперь дисперсионное соотношение можно получить из Лагранжиан L = T - V, где V - сумма потенциальных энергий силы тяжести V g и поверхностного натяжения V st:

L = 1 4 [(ρ + ρ ′) ω 2 | k | - (ρ - ρ ′) g - σ k 2] a 2 λ. {\ displaystyle L = {\ frac {1} {4}} \ left [(\ rho + \ rho ') {\ frac {\ omega ^ {2}} {| k |}} - (\ rho - \ rho ') g- \ sigma k ^ {2} \ right] a ^ {2} \ lambda.}

L={\frac {1}{4}}\left[(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\right]a^{2}\lambda.

Для синусоидальных волн и теории линейных волн усредненный по фазе лагранжиан всегда имеет вид L = D (ω, k) a², так что изменение по единственному свободному параметру a дает дисперсионное соотношение D (ω, k) = 0. В нашем случае D (ω, k) - это просто выражение в квадратные скобки, так что дисперсионное соотношение имеет вид:

ω 2 = | k | (ρ - ρ ′ ρ + ρ ′ г + σ ρ + ρ ′ К 2), {\ displaystyle \ omega ^ {2} = | k | \ left ({\ frac {\ rho - \ rho '} {\ rho + \ rho '}} \, g + {\ frac {\ sigma} {\ rho + \ rho'}} \, k ^ {2} \ right),}

\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,k^{2}\right),

то же, что и выше.

В результате средняя энергия волны на единицу горизонтальной площади (T + V) / λ составляет:

E ¯ = 1 2 [(ρ - ρ ′) g + σ k 2] а 2. {\ displaystyle {\ bar {E}} = {\ frac {1} {2}} \, \ left [(\ rho - \ rho ') \, g + \ sigma k ^ {2} \ right] \, а ^ {2}.}

{\bar {E}}={\frac {1}{2}}\,\left[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\right]\,a^{2}.

Как обычно для линейных волновых движений, потенциальная и кинетическая энергия равны (равнораспределение выполняется): T = V.

См. Также

Галерея

Рябь на воде, созданная водомеры
Легкая рябь на поверхности озера

Примечания

Литература

Longuet-Higgins, M. С. (1963). «Генерация капиллярных волн крутыми гравитационными волнами». Журнал гидромеханики. 16 (1): 138–159. Полномочный код : 1963JFM.... 16..138L. doi : 10.1017 / S0022112063000641. ISSN 1469-7645.
Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9.
Филлипс, О.М. (1977). Динамика верхнего слоя океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29801-6.
Дингеманс, М. У. (1997). Распространение водной волны по неровному дну. Продвинутая серия по океанской инженерии. 13 . World Scientific, Сингапур. С. 2 Части, 967 стр. ISBN 981-02-0427-2.
Safran, Samuel (1994). Статистическая термодинамика поверхностей, границ раздела и мембран. Аддисон-Уэсли.
Туфилларо, Н.Б.; Ramshankar, R.; Голлуб, Дж. П. (1989). «Переход порядок-беспорядок в капиллярной ряби». Письма с физическим обзором. 62 (4): 422–425. Bibcode : 1989PhRvL..62..422T. doi : 10.1103 / PhysRevLett.62.422. PMID 10040229.

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Рябь (волны на воде).

Запись капиллярных волн на sklogwiki