Кривая брахистохрона

Кривая самого быстрого спуска - это не прямая или многоугольная линия (синяя), а циклоида (красная)

В математике и физике, кривая брахистохрона (от древнегреческого βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) «кратчайшее время»), или кривая самого быстрого спуска, - это кривая, лежащая на плоскости между точкой A и нижней точкой B, где B не находится непосредственно под A, по которой борт скользит без трения под действием однородного гравитационного поля до заданной конечной точки в кратчайшие сроки. Проблема была поставлена ​​Иоганном Бернулли в 1696 году.

Кривая брахистохрона имеет ту же форму, что и кривая таутохроны ; оба являются циклоидами. Однако часть циклоиды, используемая для каждого из двух, различается. Более конкретно, брахистохрона может использовать до полного вращения циклоиды (на пределе, когда А и В находятся на одном уровне), но всегда начинается с куспида. Напротив, задача таутохрон может использовать только до первой половины оборота и всегда заканчивается в горизонтальном направлении. Проблему можно решить с помощью инструментов из вариационного исчисления и оптимального управления.

Кривая не зависит ни от массы тестового тела, ни от местной силы тяжести. Выбирается только параметр таким образом, чтобы кривая соответствовала начальной точке A и конечной точке B. Если телу задана начальная скорость в точке A или если учитывается трение, то кривая, минимизирующая время, будет отличаться от кривой кривая таутохрона.

• 1 История
• 2 Решение Иоганна Бернулли
  • 2.1 Прямой метод
    • 2.1.1 Аналитический раствор
    • 2.1.2 Синтетический раствор
  • 2.2 Косвенный метод
• 3 Решение Якоба Бернулли
• 4 Решение Ньютона
  • 4.1 Введение
  • 4.2 Проблема брахистохрона
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Иоганн Бернулли поставил проблему брахистохрона перед читателями Acta Eruditorum в июне 1696 года. Он сказал:

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам в мире. Для умных людей нет ничего более привлекательного, чем честная, трудная проблема, возможное решение которой принесет славу и останется памятником на всю жизнь. Следуя примеру Паскаля, Ферма и других, я надеюсь заслужить признательность всего научного сообщества, поставив перед лучшими математиками нашего времени задачу, которая проверит их методы и силу их интеллекта. Если кто-то сообщит мне решение предложенной проблемы, я публично объявлю его достойным похвалы

Бернулли написал формулировку проблемы следующим образом:

Учитывая две точки A и B в вертикальной плоскости, какова начерченная кривая? точкой, на которую действует только сила тяжести, которая начинается в точке A и достигает точки B.

Иоганн и его брат Якоб Бернулли получили то же решение, но вывод Иоганна был неверным, и он попытался выдать решение Якоба за свое собственное. Йоханн опубликовал решение в журнале в мае следующего года и отметил, что решение представляет собой ту же кривую, что и кривая таутохрон Гюйгенса. Выведя дифференциальное уравнение для кривой описанным ниже методом, он продолжил показывать, что оно дает циклоиду. Однако его доказательство омрачено тем, что он использовал одну константу вместо трех констант, v m, 2g и D, ниже.

Бернулли выделил шесть месяцев для растворов, но ни один из них не был получен в течение этого периода. По просьбе Лейбница этот срок был публично продлен на полтора года. В 16:00. 29 января 1697 года, когда он вернулся домой с Королевского монетного двора, Исаак Ньютон нашел вызов в письме Иоганна Бернулли. Ньютон не спал всю ночь, чтобы решить эту проблему, и отправил решение анонимно в следующем посте. Прочитав решение, Бернулли сразу же узнал его автора, воскликнув, что он «узнает льва по следу когтя». Эта история дает некоторое представление о силе Ньютона, поскольку Иоганну Бернулли понадобилось две недели, чтобы разгадать ее. Ньютон также написал: «Я не люблю, когда иностранцы дразнят [приставают] и дразнят его математическими вещами...», и Ньютон уже решил задачу минимального сопротивления Ньютона, которая считается первой из вид в вариационном исчислении.

В конце концов, пять математиков ответили решениями: Ньютон, Якоб Бернулли, Готфрид Лейбниц, Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус и Гийом де л'Опиталь. Четыре решения (за исключением L'Hôpital) были опубликованы в том же выпуске журнала, что и Иоганна Бернулли. В своей статье Якоб Бернулли дал доказательство условия на наименьшее время, подобное приведенному ниже, прежде чем показать, что его решением является циклоида. По словам ньютоновского ученого Тома Уайтсайда, в попытке превзойти своего брата Якоб Бернулли создал более сложную версию проблемы брахистохрона. Решая ее, он разработал новые методы, которые были усовершенствованы Леонардом Эйлером в то, что последний назвал (в 1766 году) вариационным исчислением. Жозеф-Луи Лагранж провел дальнейшую работу, результатом которой стало современное исчисление бесконечно малых.

Ранее, в 1638 году, Галилей попытался решить аналогичную задачу для пути наискорейшего спуска из точки в точку стена в его Две новые науки. Он приходит к выводу, что дуга окружности быстрее любого числа ее хорд,

Из предыдущего можно сделать вывод, что самый быстрый путь из всех [lationem omnium velocissimam] от одной точки к другой не является кратчайший путь, а именно прямая линия, но дуга окружности.

...

Следовательно, чем ближе вписанный многоугольник приближается к окружности, тем короче время, необходимое для спуска из A в C. То, что было доказано для квадранта, справедливо и для меньших дуг. ; рассуждения те же.

Сразу после теоремы 6 о двух новых науках Галилей предупреждает о возможных заблуждениях и необходимости «высшей науки». В этом диалоге Галилей рассматривает свою собственную работу. Настоящее решение проблемы Галилея - половина циклоиды. Галилей изучил циклоиду и дал ей название, но связь между этой циклоидой и его проблемой пришлось подождать, пока не появятся успехи в математике.

Прямой метод

В письме Анри Баснажу, хранящемуся в Публичной библиотеке Университета Базеля, от 30 марта 1697 года Иоганн Бернулли заявил, что нашел два метода (всегда называемые «прямым» и «непрямым»), чтобы показать, что брахистохрона была «обычной циклоидой», также называемой «рулеткой». Следуя совету Лейбница, он включил только косвенный метод в Acta Eruditorum Lipsidae от мая 1697 года. Он написал, что это было отчасти потому, что, по его мнению, этого было достаточно, чтобы убедить любого, кто сомневался в выводе, отчасти потому, что он также решал две известные проблемы в оптике. который «покойный мистер Гюйгенс» поднял в своем трактате о свете. В том же письме он критиковал Ньютона за сокрытие своего метода.

В дополнение к своему косвенному методу он также опубликовал пять других ответов на полученную проблему.

Прямой метод Иоганна Бернулли исторически важен, поскольку он был первым доказательством того, что брахистохрон - это циклоида. Метод заключается в определении кривизны кривой в каждой точке. Все остальные доказательства, включая доказательство Ньютона (которое в то время не было обнаружено), основаны на нахождении градиента в каждой точке.

Только в 1718 году Бернулли объяснил, как он решил проблему брахистохрона своим прямым методом.

Он объяснил, что не публиковал ее в 1697 году по причинам, которые больше не применялись в 1718 году. Этот документ в значительной степени игнорировался до 1904 года, когда глубину метода впервые оценил Константин Каратеодори, заявивший, что он показывает, что циклоида - единственная возможная кривая самого быстрого спуска. По его словам, другие решения просто подразумевали, что время спуска для циклоиды стационарное, но не обязательно минимально возможное.

Аналитическое решение

Считается, что тело скользит по любой небольшой дуге окружности Ce между радиусами KC и Ke с фиксированным центром K. Первый этап доказательства заключается в нахождении конкретной дуги окружности Mm, которую тело проходит за минимальное время.

Линия KNC пересекает AL в точке N, а линия Kne пересекает ее в точке n, и они составляют небольшой угол CKe в точке K. Пусть NK = a, и определим переменную точку C на расширенной KN. Из всех возможных дуг окружности Ce необходимо найти дугу Mm, которая требует минимального времени для прохождения между двумя радиусами, KM и Km. Чтобы найти м-м Бернулли, рассуждает следующим образом.

Пусть MN = x. Он определяет m так, чтобы MD = mx, и n так, чтобы Mm = nx + na, и отмечает, что x - единственная переменная, что m конечно, а n бесконечно мало. Малое время прохождения по дуге Mm равно $M\; m\; MD\; 1\; 2\; =\; n\; (x\; +\; a)\; (mx)\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{Mm\}\; \{MD\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (x\; +\; a)\}\; \{(mx)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\}$, которое должно быть минимумом ('un plus petit '). Он не объясняет, что из-за того, что Mm настолько мала, скорость вдоль него можно принять за скорость в точке M, которая равна квадратному корню из MD, вертикального расстояния M ниже горизонтальной линии AL.

Отсюда следует, что при дифференцировании это должно давать

$(x\; -\; a)\; dx\; 2\; x\; 3\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(xa)\; dx\}\; \{2x\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \}\; \{2\}\}\}\}\; =\; 0\}$, так что x = a.

Это условие определяет кривую, по которой тело скользит за минимально возможное время. Для каждой точки M на кривой радиус кривизны MK разрезан на 2 равные части своей осью AL. Это свойство, которое, по словам Бернулли, было известно давно, уникально для циклоиды.

Наконец, он рассматривает более общий случай, когда скорость является произвольной функцией X (x), поэтому время, которое нужно минимизировать, равно $(x\; +\; a)\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(\; x\; +\; a)\}\; \{X\}\}\}$. Тогда минимальное условие становится $X\; =\; (x\; +\; a)\; d\; X\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; +\; a)\; dX\}\; \{dx\}\}\}$, которое он записывает как: $X\; =\; (x\; +\; a)\; \Delta \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; (x\; +\; a)\; \backslash \; Delta\; x\}$, что дает MN (= x) как функцию от NK (= a). Отсюда уравнение кривой может быть получено с помощью интегрального исчисления, хотя он этого не демонстрирует.

Синтетическое решение

Затем он приступает к тому, что он назвал своим синтетическим решением, которое было классическим геометрическим доказательством того, что существует только одна кривая, по которой тело может скользить вниз за минимальное время, и эта кривая - циклоида.

Предположим, что AMmB является частью циклоиды, соединяющей A и B, тело которой скользит вниз за минимальное время. Пусть ICcJ будет частью другой кривой, соединяющей A и B, которая может быть ближе к AL, чем AMmB. Если дуга Mm образует угол MKm в центре кривизны K, пусть дуга на IJ, которая образует тот же угол, будет Cc. Дуга окружности, проходящая через C с центром K, - это Ce. Точка D на AL находится вертикально над M. Соедините K с D, и точка H - это место, где CG пересекает KD, при необходимости расширенная.

Пусть $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$и t - время, за которое тело падает вдоль Mm и Ce соответственно.

$\tau \; \propto \; M\; m\; MD\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; frac\; \{Mm\}\; \{MD\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\}$, $t\; \propto \; C\; e\; CG\; 1\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; frac\; \{Ce\}\; \{CG\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\}$,

Расширить CG до точки F, где $CF\; =\; CH\; 2\; MD\; \{\backslash \; displaystyle\; CF\; =\; \{\backslash \; frac\; \{CH\; ^\; \{2\}\}\; \{MD\}\}\}$и поскольку $M\; m\; C\; e\; =\; MDCH\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{Mm\}\; \{Ce\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; MD\}\; \{CH\}\}\}$, следует, что

$\tau \; t\; =\; M\; m\; C\; e.\; (CGMD)\; 1\; 2\; =\; (CGCF)\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Mm\}\; \{Ce\}\}.\; \backslash \; Left\; (\{\backslash \; frac\; \{CG\}\; \{MD\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{CG\}\; \{CF\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

Поскольку MN = NK, для циклоиды:

$GH\; =\; MD.\; H\; D\; D\; K\; =\; M\; D.\; С\; М\; М\; К\; \{\backslash \; displaystyle\; GH\; =\; \{\backslash \; frac\; \{MD.HD\}\; \{DK\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{MD.CM\}\; \{MK\}\}\}$, $С\; H\; =\; M\; D.\; С\; К\; М\; К\; =\; М\; Д.\; (MK\; +\; CM)\; MK\; \{\backslash \; displaystyle\; CH\; =\; \{\backslash \; frac\; \{MD.CK\}\; \{MK\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{MD.\; (MK\; +\; CM)\}\; \{MK\}\}\}$и $CG\; =\; CH\; +\; GH\; =\; MD.\; (MK\; +\; 2\; CM)\; MK\; \{\backslash \; displaystyle\; CG\; =\; CH\; +\; GH\; =\; \{\backslash \; frac\; \{MD.\; (MK\; +\; 2CM)\}\; \{MK\}\}\}$

Если Ce ближе к K, чем Mm, то

$CH\; =\; MD.\; (M\; K\; -\; C\; M)\; M\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; CH\; =\; \{\backslash \; frac\; \{MD.\; (MK-CM)\}\; \{MK\}\}\}$и $C\; G\; =\; C\; H\; -\; G\; H\; =\; M\; D.\; (MK\; -\; 2\; CM)\; MK\; \{\backslash \; displaystyle\; CG\; =\; CH-GH\; =\; \{\backslash \; frac\; \{MD.\; (MK-2CM)\}\; \{MK\}\}\}$

В любом случае

$CF\; =\; CH\; 2\; MD>CG\; \{\backslash \; displaystyle\; CF\; =\; \{\backslash \; frac\; \{CH\; ^\; \{2\}\}\; \{MD\}\}>CG\}$, и отсюда следует, что

Если дуга Cc, образуемая бесконечно малым углом MKm на IJ, не круговая, она должна быть больше, чем Ce, поскольку Cec становится прямоугольным в пределе, когда угол MKm приближается к нулю.

Обратите внимание, что Бернулли доказывает, что CF>CG аналогичным, но другим аргументом.

Отсюда он делает вывод, что тело проходит циклоидную AMB за меньшее время, чем любая другая кривая ACB.

Косвенный метод

Согласно принципу Ферма, фактический путь между двумя точками, пройденный луч света - это тот, который требует наименьшего времени. В 1697 Иоганн Бернулли использовал этот принцип, чтобы получить кривую брахистохроны путем рассмотрения изменение траектории луча света в среде, где скорость света увеличивается вслед за постоянным вертикальным ускорением (ускорением силы тяжести g).

В соответствии с сохранением энергии мгновенная скорость тела v после падения с высоты y в однородном гравитационном поле определяется как:

$v\; =\; 2\; gy\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2gy\}\}\}$,

Скорость движения тела по произвольная кривая не зависит от горизонтального смещения.

Бернулли отметил, что закон преломления дает постоянную движения для луча света в среде переменной плотности:

$sin\; \; \theta \; v\; =\; 1\; vdxds\; =\; 1\; vm\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{v\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{v\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{ds\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{v\_\; \{m\; \}\}\}\}$,

где v m - константа, а $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- угол траектории по отношению к вертикали.

Из приведенных выше уравнений можно сделать два вывода:

1. Вначале угол должен быть равен нулю, когда скорость частицы равна нулю. Следовательно, кривая брахистохроны является касательной к вертикали в начале координат.
2. Скорость достигает максимального значения, когда траектория становится горизонтальной и угол θ = 90 °.

Предполагая, что простота в том, что частица (или луч) с координатами (x, y) вылетает из точки (0,0) и достигает максимальной скорости после падения на вертикальное расстояние D:

$vm\; =\; 2\; g\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{m\; \}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2gD\}\}\}$.

Перестановка членов в законе преломления и возведения в квадрат дает:

$vm\; 2\; dx\; 2\; =\; v\; 2\; ds\; 2\; =\; v\; 2\; (dx\; 2\; +\; dy\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{m\}\; ^\; \{2\}\; dx\; ^\; \{2\}\; =\; v\; ^\; \{2\}\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; v\; ^\; \{2\}\; (dx\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\})\}$

которую можно решить для dx через dy:

$dx\; =\; vdyvm\; 2\; -\; v\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\; \backslash ,\; dy\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{v\_\; \{m\}\; ^\; \{2\}\; -v\; ^\; \{2\}\}\; \}\}\}$.

Подстановка из выражений для v и v m выше дает:

$dx\; =\; y\; D\; -\; ydy,\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{Dy\; \}\}\}\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,,\}$

, которое является дифференциальным уравнением перевернутой циклоиды, порожденной кругом диаметром eter D = 2r, параметрическое уравнение которого:

$x\; =\; r\; (\phi \; -\; sin\; \; \phi )\; y\; =\; r\; (1\; -\; cos\; \; \phi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; =\; r\; (\backslash \; varphi\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi)\; \backslash \backslash \; y\; =\; r\; (1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где φ - действительное параметр, соответствующий углу поворота катящегося круга. Для данного φ центр круга лежит в точке (x, y) = (rφ, r).

В задаче о брахистохроне движение тела задается временной эволюцией параметра:

$\phi \; (t)\; =\; \omega \; t,\; \omega \; =\; gr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (t)\; =\; \backslash \; omega\; t\; \backslash ,,\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{r\}\}\}\}$

где t - время с момента выхода тела из точки (0,0).

Брат Иоганна Якоб показал, как можно использовать 2-е дифференциалы для получения условия за наименьшее время. Модернизированный вариант доказательства выглядит следующим образом. Если мы сделаем незначительное отклонение от пути наименьшего времени, то для дифференциального треугольника, образованного смещением вдоль пути, а также горизонтальным и вертикальным смещениями,

$ds\; 2\; =\; dx\; 2\; +\; dy\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{\; 2\}\; =\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\}\}$.

При дифференцировании с фиксированным dy получаем,

$2\; dsd\; 2\; s\; =\; 2\; dxd\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 2ds\; \backslash \; d\; ^\; \{2\}\; s\; =\; 2dx\; \backslash \; d\; ^\; \{2\}\; x\}$.

И, наконец, перестановка членов дает,

$dxdsd\; 2\; x\; =\; d\; 2\; s\; =\; vd\; 2\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{ds\}\}\; d\; ^\; \{2\}\; x\; =\; d\; ^\; \{2\}\; s\; =\; v\; \backslash \; d\; ^\; \{2\}\; t\}$

где последняя часть - это смещение для данного изменения времени для 2-го дифференциала. Теперь рассмотрим изменения вдоль двух соседних путей на рисунке ниже, для которых горизонтальное разделение между путями вдоль центральной линии равно dx (одинаково для верхнего и нижнего дифференциальных треугольников). На старом и новом путях различаются части:

$d\; 2\; t\; 1\; =\; 1\; v\; 1\; dx\; 1\; ds\; 1\; d\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{2\}\; t\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{v\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{1\}\}\; \{ds\_\; \{1\}\}\}\; d\; ^\; \{2\}\; x\}$

$d\; 2\; t\; 2\; =\; 1\; v\; 2\; dx\; 2\; ds\; 2\; d\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{2\}\; t\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{v\_\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{2\}\}\; \{ds\_\; \{2\}\}\}\; d\; ^\; \{2\}\; x\}$

Для пути наименьшего времени эти времена равны, поэтому для их разности мы получаем

$d\; 2\; t\; 2\; -\; d\; 2\; t\; 1\; =\; 0\; =\; (1\; v\; 2\; dx\; 2\; ds\; 2\; -\; 1\; v\; 1\; dx\; 1\; ds\; 1)\; d\; 2\; х\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{2\}\; t\_\; \{2\}\; -d\; ^\; \{2\}\; t\_\; \{1\}\; =\; 0\; =\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{v\_\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{2\}\}\; \{ds\_\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{v\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{1\}\}\; \{ds\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; d\; ^\; \{2\; \}\; x\}$

И условие наименьшего времени:

$1\; v\; 2\; dx\; 2\; ds\; 2\; =\; 1\; v\; 1\; dx\; 1\; ds\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{v\_\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{2\}\}\; \{ds\_\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{v\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{1\}\}\; \{ds\_\; \{1\}\}\}\}$

который соглашается с предположением Иоганна, основанным на законе преломления.

Введение

В июне 1696 года Иоганн Бернулли использовал страницы Acta Eruditorum Lipsidae бросить вызов международному математическому сообществу: найти форму кривой, соединяющей две фиксированные точки, так, чтобы масса скользила по ней вниз под действием только силы тяжести за минимальное время. Первоначально решение должно было быть представлено в течение шести месяцев. По предложению Лейбница Бернулли продлил вызов до Пасхи 1697 года с помощью печатного текста под названием «Программа», опубликованного в Гронингене, Нидерланды.

Программа датирована 1 января 1697 года по григорианскому календарю. Это было 22 декабря 1696 года по юлианскому календарю, который использовался в Великобритании. По словам племянницы Ньютона, Кэтрин Кондуитт, Ньютон узнал о проблеме в 16:00 29 января и решил ее к 4:00 следующего утра. Его решение, переданное Королевскому обществу, датировано 30 января. Это решение, позднее анонимно опубликованное в Philosophical Transactions, является правильным, но не указывает метод, с помощью которого Ньютон пришел к своему выводу. Бернулли в письме Анри Баснажу в марте 1697 г. указал, что, хотя его автор «из-за чрезмерной скромности» не раскрыл своего имени, но даже по предоставленным скудным деталям в нем можно было узнать произведение Ньютона, «как лев когтем »(на латыни tanquam ex ungue leonem).

Джон Уоллис, которому в то время было 80 лет, узнал о проблеме в сентябре 1696 года от младшего брата Иоганна Бернулли Иеронима и потратил три месяца, пытаясь найти решение, прежде чем передать его в декабре Дэвид Грегори, который тоже не смог ее решить. После того, как Ньютон представил свое решение, Грегори спросил его о деталях и сделал заметки из их разговора. Их можно найти в библиотеке Эдинбургского университета, рукопись A $78\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 78\; ^\; \{1\}\}$, датированная 7 марта 1697 года. Либо Грегори не понимал аргумент Ньютона, либо объяснение Ньютона. был очень кратким. Однако можно с высокой степенью уверенности построить доказательство Ньютона из заметок Грегори по аналогии с его методом определения твердого тела минимального сопротивления (Принципы, Книга 2, Предложение 34, Схолиум 2). Подробное описание его решения этой последней проблемы включено в черновик письма 1694 года, также к Дэвиду Грегори. В дополнение к проблеме минимальной кривой времени была вторая проблема, которую Ньютон также решил в то же время. Оба решения появились анонимно в «Философских трудах Королевского общества» за январь 1697 года.

Проблема брахистохрона

Рис. 1 показывает диаграмму Грегори (за исключением того, что на ней отсутствует дополнительная линия IF, а Z добавлена ​​начальная точка). Кривая ZVA - циклоида, а CHV - ее образующая окружность. Поскольку кажется, что тело движется вверх от точки е к точке Е, следует предположить, что небольшое тело высвобождается из точки Z и скользит по кривой до точки А без трения под действием силы тяжести.

Рассмотрим небольшую дугу eE, по которой тело поднимается. Предположим, что он пересекает прямую eL до точки L, горизонтально смещенной от E на небольшое расстояние o вместо дуги eE. Обратите внимание, что eL не является касательной в точке e, и что o будет отрицательным, когда L находится между B и E. Проведите линию через E параллельно CH, разрезая eL в точке n. По свойству циклоиды En является нормалью к касательной в E, и аналогично касательная в E параллельна VH.

Поскольку смещение EL невелико, оно мало отличается по направлению от касательной в точке E, так что угол EnL близок к прямому. В пределе, когда дуга eE приближается к нулю, eL становится параллельным VH, при условии, что o мало по сравнению с eE, что делает треугольники EnL и CHV подобными.

Также en приближается к длине хорды eE и увеличению длины, $e\; L\; -\; e\; E\; =\; n\; L\; =\; o.\; CHCV\; \{\backslash \; displaystyle\; eL-eE\; =\; nL\; =\; \{\backslash \; frac\; \{o.CH\}\; \{CV\}\}\}$, игнорируя термины в $o\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; o\; ^\; \{2\}\}$и выше, что представляет собой ошибку из-за приближения, что eL и VH параллельны

Скорость вдоль eE или eL может быть принята как скорость в точке E, пропорциональная $CB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{CB\}\}\}$что означает CH, поскольку $CH\; =\; CB.\; C\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; CH\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{CB.CV\}\}\}$

Похоже, это все, что содержится в записке Грегори.

Пусть t будет дополнительным временем для достижения L,

$t\; \propto \; n\; L\; C\; B\; =\; o.\; C\; H\; C\; V.\; CB\; =\; o\; CV\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; frac\; \{nL\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{CB\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{o.CH\}\; \{CV.\; \{\backslash \; Sqrt\; \{CB\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; o\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{CV\}\}\}\}$

Следовательно, увеличение времени прохождения небольшой дуги, смещенной в одной конечной точке, зависит только от смещения в конечной точке и не зависит от положения дуги. Однако по методу Ньютона это просто условие, необходимое для прохождения кривой за минимально возможное время. Следовательно, он заключает, что минимальная кривая должна быть циклоидой.

Он рассуждает следующим образом.

Теперь предположим, что на рис. 1 минимальная кривая еще не определена, с вертикальной осью CV и удаленной окружностью CHV, а на рис. 2 показана часть кривой между бесконечно малой дугой eE и следующей бесконечно малой дугой Ff конечное расстояние по кривой. Дополнительное время t для прохождения eL (а не eE) равно nL, деленному на скорость в точке E (пропорционально $CB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{CB\}\}\}$) без учета условий в $o\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; o\; ^\; \{2\}\}$и выше:

$t\; \propto \; o.\; D\; E\; e\; E.\; CB\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; frac\; \{o.DE\}\; \{eE.\; \{\backslash \; Sqrt\; \{CB\}\}\}\}\}$,

В точке L частица продолжает путь LM, параллельный исходному EF, до некоторого произвольного точка M. Поскольку скорость в точке L такая же, как и в точке E, время прохождения LM такое же, как и вдоль исходной кривой EF. В точке M он возвращается на исходный путь в точке f. По тем же соображениям сокращение времени T для достижения f от M, а не от F, составляет

$T\; \propto \; o.\; F\; G\; F\; f.\; CI\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; frac\; \{o.FG\}\; \{Ff.\; \{\backslash \; Sqrt\; \{CI\}\}\}\}\}$

Разница (t - T) - это дополнительное время, которое требуется на пути eLMf по сравнению с исходный eEFf:

$(t\; -\; T)\; \propto \; (DE\; e\; ECB\; -\; FGF\; f\; CI).\; о\; \{\backslash \; displaystyle\; (tT)\; \backslash \; propto\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{DE\}\; \{eE\; \{\backslash \; sqrt\; \{CB\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{FG\}\; \{Ff\; \{\backslash \; sqrt\; \{CI\}\}\}\}\; \backslash \; right).o\}$плюс члены в $o\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; o\; ^\; \{2\}\}$и выше (1)

Поскольку eEFf является минимальной кривой, (t - T) должно быть больше нуля, независимо от того, является ли o положительным или отрицательным. Отсюда следует, что коэффициент при o в (1) должен быть равен нулю:

$DE\; e\; ECB\; =\; FGF\; f\; CI\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{DE\}\; \{eE\; \{\backslash \; sqrt\; \{CB\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; FG\}\; \{Ff\; \{\backslash \; sqrt\; \{CI\}\}\}\}\}$(2) в пределе, когда eE и fF стремятся к нулю. Обратите внимание, поскольку eEFf является минимальной кривой, следует предполагать, что коэффициент при $o\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; o\; ^\; \{2\}\}$больше нуля.

Очевидно, должно быть 2 равных и противоположных смещения, иначе тело не вернется к конечной точке A кривой.

Если e фиксировано, и если f считается переменной точкой выше по кривой, то для всех таких точек f, $FGF\; f\; CI\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{FG\}\; \{Ff\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{CI\}\}\}\}\}$является константой (равно $DE\; e\; ECB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{DE\}\; \{eE\; \{\backslash \; sqrt\; \{CB\}\}\}\}\}$). Если оставить f фиксированным и сделать переменную e, становится ясно, что $D\; E\; e\; E\; C\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{DE\}\; \{eE\; \{\backslash \; sqrt\; \{CB\}\}\}\}\}$также является постоянным.

Но, поскольку точки, e и f произвольны, уравнение (2) может быть истинным, только если $DE\; e\; ECB\; =\; constant\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{DE\}\; \{eE\; \{\backslash \; sqrt\; \{CB\; \}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\}$, везде, и это условие характеризует искомую кривую. Это тот же самый прием, который он использует, чтобы найти форму Твердого тела наименьшего сопротивления.

Для циклоиды $DE\; e\; E\; =\; BHVH\; =\; CHCV\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{DE\}\; \{eE\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{BH\}\; \{VH\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{CH\; \}\; \{CV\}\}\}$, так что $DE\; e\; ECB\; =\; CHCV.\; CB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{DE\}\; \{eE\; \{\backslash \; sqrt\; \{CB\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{CH\}\; \{CV.\; \{\backslash \; Sqrt\; \{CB\}\}\}\}\}$который был показан выше быть постоянным, а брахистохрона - циклоидой.

Ньютон не дает никаких указаний на то, как он обнаружил, что циклоида удовлетворяет этому последнему соотношению. Возможно, это было методом проб и ошибок, или он, возможно, сразу понял, что это подразумевает, что кривая была циклоидой.

• Математический портал
• Физический портал

• Парадокс колеса Аристотеля
• Тождество Бельтрами
• Вариационное исчисление
• Цепная связь
• Циклоида
• Задача минимального сопротивления Ньютона
• Таутохронная кривая
• Трохоида
• Равномерно ускоренное движение

На Викискладе есть материалы, относящиеся к Брахистохрону.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. «Проблема брахистохрона». MathWorld.
• Brachistochrone (в MathCurve, с превосходными анимированными примерами)
• The Brachistochrone, Whistler Alley Mathematics.
• Таблица IV из статьи Бернулли в Acta Eruditorum 1697
• Brachistochrones Майкл Тротт и Проблема Брахистохрона Окай Арик, Демонстрационный проект Вольфрама.
• Проблема Брахистохрона в MacTutor
• Возвращение к геодезическим - Введение в геодезические включая два способа вывода уравнения геодезической с брахистохроной как частным случаем геодезической.
• Оптимальное контрольное решение проблемы брахистохроны в Python.
• Прямая линия, цепная связь, брахистохрона, круг и Ферма Единый подход к некоторым геодезическим.