В геометрии трохоида (из греческое слово, обозначающее колесо, «трохо») - это рулетка, образованная кругом, катящимся вдоль линии. Другими словами, это кривая , очерченная точкой, прикрепленной к окружности (где точка может находиться внутри, внутри или вне круга), когда она катится по прямой линии. Если точка находится на окружности, трохоида называется общей (также известна как циклоида ); если острие находится внутри круга, трохоида курчавая; а если точка находится вне круга, трохоида вытянутая. Слово «трохоид» было придумано Жилем де Робервалем.
Как круг радиуса a катится без скользя по линии L, центр C движется параллельно L, и каждая другая точка P во вращающейся плоскости, жестко прикрепленная к окружности, следует по кривой, называемой трохоидой. Пусть CP = b. Параметрические уравнения трохоиды, для которой L является осью x, равны
где θ - переменный угол, на который катится круг.
Если P лежит внутри круга (b < a), on its circumference (b = a), or outside (b>a), трохоид описывается как сокращенный («сокращенный»), общий или вытянутый (« расширенный ") соответственно. Курчавая трохоида отслеживается педалью, когда велосипед с нормальной передачей вращается по прямой. вытянутый трохоид можно проследить кончиком весла, когда лодка движется с постоянной скоростью гребными колесами; эта кривая содержит петли. Обычный трохоид, также называемый циклоидой, имеет бугорки в точках, где P касается L.
Более общий подход определит трохоиду как геометрическое место точки , вращающейся по орбите с постоянной скоростью вокруг оси, расположенной в ,
какая ось переводится в xy-плоскости с постоянной скоростью в любом прямая,
или круговой путь (другая орбита) вокруг (гипотрохоид / эпитрохоид случай),
Отношение скоростей движения и то, перемещается ли движущаяся ось по прямой или круговой траектории, определяет форму трохои d. В случае прямого пути один полный оборот совпадает с одним периодом периодического (повторяющегося) геометрического места. В случае круговой траектории для движущейся оси геометрическое место является периодическим, только если соотношение этих угловых движений, - рациональное число, например, , где являются взаимно простыми, и в этом случае один период состоит из орбит вокруг движущейся оси и орбиты движущейся оси вокруг точки . Особые случаи эпициклоиды и гипоциклоиды, созданные путем отслеживания геометрического места точки на периметре круга радиусом при катании по периметру неподвижной окружности радиуса , иметь следующие свойства:
где - радиус орбиты движущейся оси. Приведенное выше количество бугров также справедливо для любого эпитрохоида и гипотрохоида, при этом «бугорки» заменены либо «радиальными максимумами», либо «радиальными минимумами».