ba пробел - ba space

В математике ba пробел $ba\; (\Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; ba\; (\; \backslash \; Sigma)\}$алгебры множеств $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$- это банахово пространство, состоящее из всех ограниченные и конечно аддитивные меры со знаком на $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$. Норма определяется как вариация, то есть $\Vert \; \nu \; \Vert \; =\; |\; \nu \; |\; (\; ИКС).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; nu\; \backslash \; |\; =\; |\; \backslash \; nu\; |\; (X).\}$(Dunford Schwartz 1958, IV.2.15)

Если Σ является сигма-алгеброй, то пространство $ca\; (\Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; ca\; (\backslash \; Sigma)\}$определяется как подмножество $ba\; (\Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; ba\; (\backslash \; Sigma)\; \}$, состоящий из счетно-аддитивных мер. (Dunford Schwartz 1958, IV.2.16) Обозначение ba - это мнемоника для обозначения ограниченной добавки, а ca - сокращение от счетной добавки.

Если X - это топологическое пространство, а Σ - сигма-алгебра борелевских множеств в X, то $rca\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; rca\; (X)\}$- подпространство $ca\; (\Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; ca\; (\backslash \; Sigma)\}$, состоящее из всех регулярных борелевских измеряет на X. (Dunford Schwartz 1958, IV.2.17)

• 1 Свойства
  • 1.1 Двойник B (Σ)
  • 1.2 Двойник L ( μ)
• 2 Ссылки

Все три пространства полны (они банаховы пространства ) относительно одной и той же нормы, определяемой полным изменением, и, следовательно, $ca\; (\Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; ca\; (\backslash \; Sigma)\}$является закрытым подмножеством $ba\; (\Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; ba\; (\backslash \; Sigma)\}$и $rca\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; rca\; (X)\}$- это закрытый набор $ca\; (\Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; ca\; (\backslash \; Sigma)\}$для Σ алгебра борелевских множеств на X. Пространство простых функций на $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$плотно в $ba\; (\Sigma )\; \{\backslash \; Displaystyle\; ba\; (\backslash \; Sigma)\}$.

Пространство ba в множестве степеней из натуральных чисел, ba (2), часто обозначается просто как $ba\; \{\backslash \; displaystyle\; ba\}$и изоморфен двойному пространству пространства ℓ.

Dual of B (Σ)

Пусть B (Σ) - пространство ограниченных Σ-измеримых функций, снабженное равномерной нормой. Тогда ba (Σ) = B (Σ) * является непрерывным двойственным пространством к B (Σ). Это связано с Hildebrandt (1934) и Fichtenholtz Kantorovich (1934) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFFichtenholtzKantorovich1934 (help ). Это своего рода теорема о представлении Рисса, которая позволяет представить меру в виде линейного функционала от измеримых функций. В частности, этот изоморфизм позволяет определить интеграл относительно конечно-аддитивной меры (заметим, что обычный интеграл Лебега требует счетной аддитивности). Это связано с Dunford Schwartz (1958) и часто используется для определения интеграла относительно векторных мер (Diestel Uhl 1977, глава I) и особенно векторнозначные меры Радона.

Топологическая двойственность ba (Σ) = B (Σ) * легко увидеть. Существует очевидная алгебраическая двойственность между векторным пространством всех конечно-аддитивных мер σ на Σ и векторным пространством простых функций ($\mu \; (A)\; =\; \zeta \; (1\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; \backslash \; zeta\; \backslash \; left\; (1\_\; \{A\}\; \backslash \; right)\}$). Легко проверить, что линейная форма, индуцированная σ, непрерывна в sup-норме тогда и только тогда, когда σ ограничена, и результат следует из того, что линейная форма на плотном подпространстве простых функций продолжается до элемента B (Σ) * тогда и только тогда, когда он непрерывен по sup-норме.

Двойственный L (μ)

Если Σ является сигма-алгеброй и μ является сигма-аддитивной положительной мерой на Σ, то Lp-пространство L (μ), снабженное нормой существенной супремума, по определению является факторным пространством B (Σ) по замкнутому подпространству ограниченного μ-нуля функции:

$N\; \mu :\; =\; \{f\; \in \; B\; (\Sigma ):\; f\; =\; 0\; \mu \; -\; почти\; всюду\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; mu\}:\; =\; \backslash \; \{f\; \backslash \; in\; B\; (\backslash \; Sigma):\; f\; =\; 0\; \backslash \; \backslash \; mu\; \{\backslash \; text\; \{-\; почти\; всюду\}\}\; \backslash \}.\}$

Двойственное банахово пространство L (μ) *, таким образом, изоморфна

$N\; \mu \; \perp \; =\; \{\sigma \; \in \; ba\; (\Sigma ):\; \mu \; (A)\; =\; 0\; \Rightarrow \; \sigma \; (A)\; =\; 0\; для\; любого\; A\; \in \; \Sigma \},\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; ^\; \{\backslash \; perp\}\; =\; \backslash \; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; in\; ba\; (\backslash \; Sigma):\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; 0\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; sigma\; (A)\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{для\; любого\}\}\; A\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma\; \backslash \},\}$

т.е. пространство конечно аддитивных знаковых мер на Σ, которые абсолютно непрерывны относительно μ (для краткости μ-a.c.).

Если пространство меры, кроме того, сигма-конечное, то L (μ), в свою очередь, двойственно L (μ), что по теореме Радона – Никодима равно идентифицируется с набором всех счетно-аддитивных μ-ac меры. Другими словами, включение в двузначное число

$L\; 1\; (\mu )\; \subset \; L\; 1\; (\mu )\; \ast \; \ast \; =\; L\; \infty \; (\mu )\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mu)\; \backslash \; subset\; L\; ^\; \{1\; \}\; (\backslash \; mu)\; ^\; \{**\}\; =\; L\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\backslash \; mu)\; ^\; \{*\}\}$

изоморфно включению пространства счетно аддитивных μ-ac ограниченные меры внутри пространства всех конечно-аддитивных μ-п.н. ограниченные меры.

• Дистел, Джозеф (1984), Последовательности и серии в банаховых пространствах, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859- 5, OCLC 9556781.
• Diestel, J.; Уль, Дж. Дж. (1977), Векторные меры, Mathematical Surveys, 15, Американское математическое общество.
• Dunford, N.; Шварц, Дж. (1958), Линейные операторы, Часть I, Wiley-Interscience.
• Hildebrandt, T.H. (1934), «Об ограниченных функциональных операциях», Труды Американского математического общества, 36 (4): 868–875, doi : 10.2307 / 1989829, JSTOR 1989829.
• Fichtenholz, G; Канторович, Л. (1934), «Sur les opérations linéaires dans l'espace des fonctionsbornées», Studia Mathematica, 5 : 69–98, doi : 10.4064 / sm-5- 1-69-98.
• Yosida, K; Хьюитт, Э. (1952), «Конечно-аддитивные меры», Труды Американского математического общества, 72 (1): 46–66, doi : 10.2307 / 1990654, JSTOR 1990654.