Обычная условная вероятность

редактировать

Альтернативная мера вероятности, обусловленная конкретным значением случайной величины

Обычная условная вероятность - это концепция, которая была разработана для преодоления определенных трудностей при формальном определении условной вероятности связывает для непрерывных распределений вероятностей. Он определяется как альтернативная мера вероятности, обусловленная конкретным значением случайной величины.

Содержание

1 Мотивация
2 Определение
3 Альтернативное определение
4 Пример
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Мотивация

Обычно мы определяем условную вероятность события A с учетом события B как:

P (A | B) = P (A ∩ B) P (B). {\ displaystyle P (A | B) = {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}}.}

P (A | B) = {\ frac {P (A \ cap B)} {P ( B)}}.

Сложность с этим возникает, когда событие B слишком мало для того, чтобы - нулевая вероятность. Например, предположим, что у нас есть случайная величина X с равномерным распределением на $[0, 1], {\ displaystyle [0,1],}$ $[0,1],$ , а B - это событие, при котором $X = 2/3. {\ Displaystyle X = 2/3.}$ $X = 2/3.$ Очевидно, что вероятность B в данном случае равна $P ( B) = 0, {\ displaystyle P (B) = 0,}$ $P (B) = 0,$ , но, тем не менее, мы все равно хотели бы присвоить значение условной вероятности, такой как $P (A | X = 2/3). {\ displaystyle P (A | X = 2/3).}$ $P (A | X = 2/3).$ Для этого строго требуется определение регулярной условной вероятности.

Определение

Пусть $(Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ $(\ Omega, { \ mathcal F}, P)$ будет вероятностное пространство, и пусть $T: Ω → E {\ displaystyle T: \ Omega \ rightarrow E}$ $T: \ Omega \ rightarrow E$ будет случайной величиной, определенной как Borel- измеримая функция от $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ до его пространства состояний $(E, E) {\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$ ${\ displaystyle (E, { \ mathcal {E}})}$ . Следует думать о $T {\ displaystyle T}$ $T$ как о способе «дезинтегрировать» пространство выборки $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ на ${ T - 1 (x)} x ∈ E {\ displaystyle \ {T ^ {- 1} (x) \} _ {x \ in E}}$ ${\ displaystyle \ {T ^ {- 1} (x) \} _ {x \ in E}}$ . Используя теорему распада из теории меры, она позволяет нам «дезинтегрировать» меру $P {\ displaystyle P}$ $P$ на набор мер, по одной для каждой $Икс ∈ Е {\ Displaystyle х \ в Е}$ $x \ in E$ . Формально обычная условная вероятность определяется как функция $ν: E × F → [0, 1], {\ displaystyle \ nu: E \ times {\ mathcal {F}} \ rightarrow [0,1],}$ $\ nu: E \ times {\ mathcal F} \ rightarrow [0,1],$ называется «вероятностью перехода», где:

для каждого $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x \ in E$ , $ν (x, ⋅) {\ displaystyle \ nu (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle \ nu (x, \ cdot)}$ - мера вероятности для $F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ . Таким образом, мы предоставляем одну меру для каждого $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x \ in E$ .
для всех $A ∈ F {\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$ $A \ in {\ mathcal F}$ , $ν (⋅, A) {\ displaystyle \ nu (\ cdot, A)}$ ${\ displaystyle \ nu (\ cdot, A)}$ (отображение $E ↦ [0, 1] {\ displaystyle E \ mapsto [0,1]}$ ${\ displaystyle E \ mapsto [0, 1]}$ ) $E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ -измеримый и
для всех $A ∈ F {\ displaystyle A \ в {\ mathcal {F}}}$ $A \ in {\ mathcal F}$ и все $B ∈ E {\ displaystyle B \ in {\ mathcal {E}}}$ $B \ in {\ mathcal E}$

P (A ∩ T - 1 (B)) = ∫ B ν (x, A) P (T - 1 (dx)). {\ Displaystyle P {\ big (} A \ cap T ^ {- 1} (B) {\ big)} = \ int _ {B} \ nu (x, A) \, P {\ big (} T ^ {-1} (dx) {\ big)}.}

P {\ big (} A \ cap T ^ {{- 1}} (B) {\ big)} = \ int _ {B} \ nu (x, A) \, P {\ big (} T ^ {{-1}} (dx) {\ big)}.

где $P ∘ T - 1 {\ displaystyle P \ circ T ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle P \ circ T ^ {- 1}}$ - это прямая мера $T ∗ P {\ displaystyle T _ {*} P}$ ${\ displaystyle T _ {*} P}$ распределения случайного элемента $T {\ displaystyle T}$ $T$ , $x ∈ supp T, {\ displaystyle x \ in \ mathrm {supp} \, T,}$ $x \ in {\ mathrm {supp}} \, T,$ т.е. топологическая поддержка элемента $T ∗ P {\ displaystyle T _ {*} P}$ ${\ displaystyle T _ {*} P}$ . В частности, если мы возьмем $B = E {\ displaystyle B = E}$ ${\ displaystyle B = E}$ , тогда $A ∩ T - 1 (E) = A {\ displaystyle A \ cap T ^ {- 1 } (E) = A}$ ${\ dis playstyle A \ cap T ^ {- 1} (E) = A}$ , и поэтому

P (A) = ∫ E ν (x, A) P (T - 1 (dx)) {\ displaystyle P (A) = \ int _ {E} \ nu (x, A) \, P {\ big (} T ^ {- 1} (dx) {\ big)}}

{\ displaystyle P (A) = \ int _ {E} \ nu (x, A) \, P {\ big (} T ^ {- 1} (dx) {\ big)}}

где $ν (x, A) {\ displaystyle \ nu (x, A)}$ ${\ displaystyle \ nu (x, A)}$ можно обозначить, используя более знакомые термины $P (A | T = x) {\ displaystyle P (A \ | \ T = x)}$ ${\ displaystyle P (A \ | \ T = x)}$ (это «определено» как условная вероятность $A {\ displaystyle A}$ $A$ с учетом $x {\ displaystyle x}$ $x$ , которая может быть undefined в элементарных конструкциях условной вероятности). Как видно из интеграла выше, значение $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ для точек x вне поддержки случайной величины не имеет смысла; его значение как условная вероятность строго ограничено поддержкой T.

измеримое пространство $(Ω, F) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F }})}$ $( \ Omega, {\ mathcal F})$ имеет свойство обычной условной вероятности, если для всех вероятностных мер $P {\ displaystyle P}$ $P$ на $(Ω, F), {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}),}$ $(\ Omega, {\ mathcal F}),$ все случайные величины на $(Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ $(\ Omega, { \ mathcal F}, P)$ допускают регулярную условную вероятность. Этим свойством, в частности, обладает радоновое пространство.

См. Также условная вероятность и условное распределение вероятностей.

Альтернативное определение

Рассмотрим пространство Радона $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ (то есть вероятностная мера, определенная на пространстве Радона, снабженном сигма-алгеброй Бореля) и вещественной случайной величиной T. Как обсуждалось выше, в этом случае существует регулярная условная вероятность относительно T. Кроме того, мы можем альтернативно определить регулярную условную вероятность для события A с учетом конкретного значения t случайной величины T следующим образом:

P (A | T = t) = lim U ⊃ {T = t} п (A ∩ U) P (U), {\ displaystyle P (A | T = t) = \ lim _ {U \ supset \ {T = t \}} {\ frac {P (A \ cap U)} {P (U)}},}

P (A | T = t) = \ lim _ {{U \ supset \ {T = t \}}} {\ frac {P ( A \ cap U)} {P (U)}},

где предел взят по net из open окрестностей U из t по мере того, как они становятся на меньше по сравнению с включением. Этот предел определяется тогда и только тогда, когда вероятностное пространство равно Радон, и только при поддержке T, как описано в статье. Это ограничение вероятности перехода на поддержку T. Чтобы строго описать этот процесс ограничения:

для каждого $ϵ>0, {\ displaystyle \ epsilon>0,}$ $\epsilon>0,$ существует открытая окрестность U события {T = t}, такое, что для каждого открытого V с ${T = t} ⊂ V ⊂ U, {\ displaystyle \ {T = t \} \ subset V \ subset U,}$ ${\ displaystyle \ {T = t \} \ subset V \ subset U,}$

| P (A ∩ V) P (V) - L | < ϵ, {\displaystyle \left|{\frac {P(A\cap V)}{P(V)}}-L\right|<\epsilon,}

\ left | {\ frac {P (A \ cap V)} {P (V)}} - L \ right | <\ epsilon,

где $L = P (A | T = t) {\ displaystyle L = P (A | T = t)}$ $L = P (A | T = t)$ является пределом.

Пример

Чтобы продолжить наш мотивирующий пример выше, мы рассматриваем случайную величину X с действительным знаком и пишем

P (A | X = x 0) = ν (Икс 0, A) = lim ϵ → 0 + P (A ∩ {x 0 - ϵ < X < x 0 + ϵ }) P ( { x 0 − ϵ < X < x 0 + ϵ }), {\displaystyle P(A|X=x_{0})=\nu (x_{0},A)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0+}{\frac {P(A\cap \{x_{0}-\epsilon

P (A | X = x_ {0}) = \ nu (x_ {0}, A) = \ lim _ {{\ epsilon \ rightarrow 0 +}} {\ frac {P (A \ cap \ { x_ {0} - \ epsilon <X <x_ {0} + \ epsilon \})} {P (\ {x_ {0} - \ epsilon <X <x_ {0} + \ epsilon \})}},

(где $x 0 = 2/3 {\ displaystyle x_ {0} = 2/3}$ $x_ {0} = 2/3$ для данного примера.) Этот предел, если он существует, представляет собой обычную условную вероятность для X, ограниченную до $supp X. {\ Displa ystyle \ mathrm {supp} \, X.}$ ${\ mathrm {supp}} \, X.$

В любом случае легко увидеть, что этот предел не существует для $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ вне поддержка X: поскольку поддержка случайной величины определяется как набор всех точек в ее пространстве состояний, каждая окрестность имеет положительную вероятность для каждой точки $x 0 {\ displaystyle x_ { 0}}$ $x_ {0}$ вне поддержки X (по определению) будет $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ таким образом, чтобы $P ({x 0 - ϵ < X < x 0 + ϵ }) = 0. {\displaystyle P(\{x_{0}-\epsilon$ $P (\ {x_ {0} - \ epsilon <X <x_ {0} + \ epsilon \}) = 0.$

Таким образом если X распределен равномерно на $[0, 1], {\ displaystyle [0,1],}$ $[0,1],$ , действительно бессмысленно обусловливать вероятность « $X = 3/2 { \ Displaystyle X = 3/2}$ $Икс = 3/2$ ".

См. Также

Ссылки

^D. Leao Jr. et al. Регулярная условная вероятность, распад вероятности и радоновые пространства. Proyecciones. Vol. 23, No. 1, pp. 15–29, май 2004 г., Католический университет дель Норте, Антофагаста, Чили PDF

Внешние ссылки

Обычная условная вероятность на PlanetMath