Плотность поляризации

редактировать

В классическом электромагнетизме, плотность поляризации (или электрическая поляризация, или просто поляризация ) - это векторное поле, которое выражает плотность постоянных или индуцированных электрических дипольных моментов в диэлектрическом материале. Когда диэлектрик помещается во внешнее электрическое поле, его молекулы приобретают электрический дипольный момент, и диэлектрик считается поляризованным. Электрический дипольный момент, индуцированный на единицу объема диэлектрического материала, называется электрической поляризацией диэлектрика.

Плотность поляризации также описывает, как материал реагирует на приложенное электрическое поле, а также то, как материал изменяет электрическую поле, и может использоваться для расчета сил, возникающих в результате этих взаимодействий. Его можно сравнить с намагниченностью, которая является мерой соответствующей реакции материала на магнитное поле в магнетизме. Единица измерения SI составляет кулон на квадратный метр, а плотность поляризации представлена вектором P.

Содержание

1 Определение
2 Другие выражения
3 Закон Гаусса для поля P
- 3.1 Дифференциальная форма
4 Связь между полями P и E
- 4.1 Однородные изотропные диэлектрики
- 4.2 Анизотропные диэлектрики
5 Плотность поляризации в уравнениях Максвелла
- 5.1 Взаимосвязь между E, D и P
- 5.2 Изменяющаяся во времени плотность поляризации
6 Неопределенность поляризации
7 См. Также
8 Ссылки и примечания

Определение

Внешний электрический поле, приложенное к диэлектрическому материалу, вызывает смещение связанных заряженных элементов. Это элементы, которые связаны с молекулами и не могут свободно перемещаться по материалу. Положительно заряженные элементы смещаются в направлении поля, а отрицательно заряженные элементы смещаются противоположно направлению поля. Молекулы могут оставаться нейтральными по заряду, но при этом формируется электрический дипольный момент.

Для определенного элемента объема $Δ V {\ displaystyle \ Delta V}$ $\ Delta V$ в материале, который несет дипольный момент $Δ p {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p}}$ $\ Delta {\ mathbf p}$ , мы определяем плотность поляризации P:

P = Δ p Δ V {\ displaystyle \ mathbf {P} = { \ frac {\ Delta \ mathbf {p}} {\ Delta V}}}

{ \ mathbf P} = {\ frac {\ Delta {\ mathbf p}} {\ Delta V}}

Обычно дипольный момент $Δ p {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p}}$ $\ Delta {\ mathbf p}$ изменяется от точки к точке внутри диэлектрика. Следовательно, плотность поляризации P диэлектрика внутри бесконечно малого объема dV с бесконечно малым дипольным моментом d p равна:

P = dpd V (1) {\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ over \ mathrm {d} V} \ qquad (1)}

{\ displaystyle \ mathbf {P } = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ over \ mathrm {d} V} \ qquad (1)}

Чистый заряд, возникающий в результате поляризации, называется связанным зарядом и обозначается $Q b {\ displaystyle Q_ {b}}$ $Q_b$ .

Это определение плотности поляризации как «дипольного момента на единицу объема» широко распространено, хотя в некоторых случаях может приводить к двусмысленностям и парадоксам.

Другие выражения

Пусть внутри диэлектрика изолирован объем dV. Из-за поляризации положительный связанный заряд $dqb + {\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+}}$ ${\ mathrm d} q_ {b} ^ {+}$ будет смещен на расстояние $d {\ displaystyle \ mathbf { d}}$ ${\ mathbf d}$ относительно отрицательного связанного заряда $dqb - {\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-}}$ ${\ mathrm d} q_ {b} ^ {-}$ , вызывая дипольный момент $dp = dqbd {\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathrm {d} q_ {b} \ mathbf {d}}$ ${\ mathrm d} {\ mathbf p} = {\ mathrm d} q_ {b} {\ mathbf d}$ . Подстановка этого выражения в (1) дает

P = dqbd V d {\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ mathrm {d} q_ {b} \ over \ mathrm {d} V} \ mathbf {d} }

{\ mathbf P} = {{\ mathrm d} q_ {b} \ over {\ mathrm d} V} {\ mathbf d}

Поскольку заряд $dqb {\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b}}$ ${\ mathrm d} q_ {b}$ , ограниченный в объеме dV, равен $ρ bd V {\ displaystyle \ rho _ {b} \ mathrm {d} V}$ $\ rho _ {b} {\ mathrm d} V$ уравнение для P принимает следующий вид:

P = ρ bd (2) {\ displaystyle \ mathbf {P} = \ rho _ {b} \ mathbf {d} \ qquad (2)}

{\ mathbf P} = \ rho _ {b} {\ mathbf d} \ qquad (2)

где $ρ b {\ displaystyle \ rho _ {b}}$ $\ rho _ {b}$ - плотность связанного заряда в объеме под рассмотрение. Из приведенного выше определения ясно, что диполи в целом нейтральны, что $ρ b {\ displaystyle \ rho _ {b}}$ $\ rho _ {b}$ уравновешивается одинаковой плотностью противоположного заряда в объеме. Неуравновешенные платежи являются частью бесплатного сбора, описанного ниже.

Закон Гаусса для поля P

Для данного объема V, окруженного поверхностью S, связанный заряд $Q b {\ displaystyle Q_ {b}}$ $Q_b$ внутри него равно потоку P через S, взятому со знаком минус, или

- Q b = {\ displaystyle -Q_ {b} =}

-Q_ {b} =

$\ oiint$

S {\ displaystyle {\ scriptstyle S}}

{\ scriptstyle S}

P ⋅ d A (3) {\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ qquad (3)}

{\ mathbf {P} } \ cdot {\ mathrm {d}} {\ mathbf {A}} \ qquad (3)

Доказательство:
Пусть площадь поверхности S огибает часть диэлектрика. При поляризации отрицательные и положительные связанные заряды будут смещены. Пусть d 1 и d 2 будут расстояниями связанных зарядов $dqb - {\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-}}$ ${\ mathrm d} q_ {b} ^ {-}$ и $dqb + {\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+}}$ ${\ mathrm d} q_ {b} ^ {+}$ , соответственно, из плоскости, образованной элементом области dA после поляризации. И пусть dV 1 и dV 2 будут объемами, заключенными ниже и выше области dA. Вверху: элементарный объем dV = dV 1 + dV 2 (ограниченный элементом области d A ) настолько мал, что диполь окружает с его помощью можно представить себе, что производятся двумя элементарными противоположными зарядами. Ниже показан вид сверху (щелкните изображение, чтобы увеличить). Отсюда следует, что отрицательный связанный заряд $dqb - = ρ b - d V 1 = ρ b - d 1 d A {\ displaystyle \ mathrm { d} q_ {b} ^ {-} = \ rho _ {b} ^ {-} \ \ mathrm {d} V_ {1} = \ rho _ {b} ^ {-} d_ {1} \ \ mathrm { d} A}$ ${\ mathrm d} q_ {b} ^ {-} = \ rho _ {b} ^ {-} \ {\ mathrm d} V_ {1} = \ rho _ {b} ^ {-} d_ {1} \ {\ mathrm d} A$ перемещается от внешней части поверхности dA внутрь, в то время как положительный связанный заряд $dqb + = ρ bd V 2 = ρ bd 2 d A {\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+} = \ rho _ {b} \ \ mathrm {d} V_ {2} = \ rho _ {b} d_ {2} \ \ mathrm {d} A}$ ${\ mathrm d} q_ {b} ^ {+} = \ rho _ {b} \ {\ mathrm d} V_ {2} = \ rho _ {b} d_ {2} \ {\ mathrm d} A$ перемещается с внутренней части поверхности наружу. По закону сохранения заряда общий связанный заряд $d Q b {\ displaystyle \ mathrm {d} Q_ {b}}$ ${\ mathrm d} Q_ {b}$ остался внутри объема $d V {\ displaystyle \ mathrm {d} V}$ ${\ mathrm d} V$ после поляризации: $d Q b = dq in - dq out = dqb - - dqb + = ρ b - d 1 d A - ρ bd 2 d A {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} = \ mathrm {d} q _ {\ text {in}} - \ mathrm {d} q _ {\ text {out}} \\ = \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-} - \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+} \\ = \ rho _ {b} ^ {-} d_ {1} \ \ mathrm {d} A- \ rho _ {b} d_ {2} \ \ mathrm {d} A \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} = \ mathrm {d} q _ {\ text {in}} - \ mathrm {d} q _ {\ text {out}} \\ = \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-} - \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+} \\ = \ rho _ {b} ^ {-} d_ {1} \ \ mathrm {d} A- \ rho _ {b} d_ {2} \ \ mathrm {d} A \ end {align}}}$ Поскольку $ρ b - = - ρ b {\ displaystyle \ rho _ {b} ^ {-} = - \ rho _ {b}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {b} ^ {-} = - \ rho _ {b}}$ и (см. изображение справа) $d 1 = (d - a) cos ⁡ (θ) d 2 = a cos ⁡ (θ) {\ displaystyle {\ begin {align} d_ {1} = (da) \ cos (\ theta) \\ d_ {2} = a \ cos (\ theta) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} d_ {1} = (да) \ соз (\ тета) \\ d_ {2} = а \ соз (\ тета) \ конец {выровнено}}}$ Приведенное выше уравнение принимает вид $d Q b = - ρ b (d - a) cos ⁡ (θ) d A - ρ ba cos ⁡ (θ) d A = - ρ bdd A cos ⁡ (θ) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} = - \ rho _ {b} (da) \ cos (\ theta) \ \ mathrm { d} A- \ rho _ {b} a \ cos (\ theta) \ \ mathrm {d} A \\ = - \ rho _ {b} d \ \ mathrm {d} A \ cos (\ theta) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {выровнено } \ mathrm {d} Q_ {b} = - \ rho _ {b} (da) \ cos (\ theta) \ \ mathrm {d} A- \ rho _ {b} a \ cos (\ theta) \ \ mathrm {d} A \\ = - \ rho _ {b} d \ \ mathrm {d} A \ соз (\ тета) \ конец {выровнено}}}$ Из (2) следует, что $ρ bd = P {\ displaystyle \ rho _ {b} d = P}$ $\ rho _ {b } d = п$ , поэтому мы получаем: $d Q б знак равно - п d A соз ⁡ (θ) - d Q б знак равно п ⋅ d A {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} = - P \ \ mathrm {d} A \ cos (\ theta) \\ - \ mathrm {d} Q_ {b} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ { b} = - P \ \ mathrm {d} A \ cos (\ theta) \\ - \ mathrm {d} Q_ {b} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ end {align}}}$ И по интегрируя это уравнение по всей замкнутой поверхности S, находим, что $- Q b = {\ displaystyle -Q_ {b} =}$ $-Q_ {b} =$ $\ oiint$ $S {\ displaystyle \ scriptstyle {S}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {S}}$ $P ⋅ d A { \ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}$ что завершает доказательство.

Доказательство:

Пусть площадь поверхности S огибает часть диэлектрика. При поляризации отрицательные и положительные связанные заряды будут смещены. Пусть d 1 и d 2 будут расстояниями связанных зарядов

dqb - {\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-}}

{\ mathrm d} q_ {b} ^ {-}

dqb + {\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+}}

{\ mathrm d} q_ {b} ^ {+}

, соответственно, из плоскости, образованной элементом области dA после поляризации. И пусть dV 1 и dV 2 будут объемами, заключенными ниже и выше области dA.

Вверху: элементарный объем dV = dV 1 + dV 2 (ограниченный элементом области d A ) настолько мал, что диполь окружает с его помощью можно представить себе, что производятся двумя элементарными противоположными зарядами. Ниже показан вид сверху (щелкните изображение, чтобы увеличить).

Отсюда следует, что отрицательный связанный заряд $dqb - = ρ b - d V 1 = ρ b - d 1 d A {\ displaystyle \ mathrm { d} q_ {b} ^ {-} = \ rho _ {b} ^ {-} \ \ mathrm {d} V_ {1} = \ rho _ {b} ^ {-} d_ {1} \ \ mathrm { d} A}$ ${\ mathrm d} q_ {b} ^ {-} = \ rho _ {b} ^ {-} \ {\ mathrm d} V_ {1} = \ rho _ {b} ^ {-} d_ {1} \ {\ mathrm d} A$ перемещается от внешней части поверхности dA внутрь, в то время как положительный связанный заряд $dqb + = ρ bd V 2 = ρ bd 2 d A {\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+} = \ rho _ {b} \ \ mathrm {d} V_ {2} = \ rho _ {b} d_ {2} \ \ mathrm {d} A}$ ${\ mathrm d} q_ {b} ^ {+} = \ rho _ {b} \ {\ mathrm d} V_ {2} = \ rho _ {b} d_ {2} \ {\ mathrm d} A$ перемещается с внутренней части поверхности наружу.

По закону сохранения заряда общий связанный заряд $d Q b {\ displaystyle \ mathrm {d} Q_ {b}}$ ${\ mathrm d} Q_ {b}$ остался внутри объема $d V {\ displaystyle \ mathrm {d} V}$ ${\ mathrm d} V$ после поляризации:

d Q b = dq in - dq out = dqb - - dqb + = ρ b - d 1 d A - ρ bd 2 d A {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} = \ mathrm {d} q _ {\ text {in}} - \ mathrm {d} q _ {\ text {out}} \\ = \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-} - \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+} \\ = \ rho _ {b} ^ {-} d_ {1} \ \ mathrm {d} A- \ rho _ {b} d_ {2} \ \ mathrm {d} A \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} = \ mathrm {d} q _ {\ text {in}} - \ mathrm {d} q _ {\ text {out}} \\ = \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-} - \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+} \\ = \ rho _ {b} ^ {-} d_ {1} \ \ mathrm {d} A- \ rho _ {b} d_ {2} \ \ mathrm {d} A \ end {align}}}

Поскольку

ρ b - = - ρ b {\ displaystyle \ rho _ {b} ^ {-} = - \ rho _ {b}}

{\ displaystyle \ rho _ {b} ^ {-} = - \ rho _ {b}}

и (см. изображение справа)

d 1 = (d - a) cos ⁡ (θ) d 2 = a cos ⁡ (θ) {\ displaystyle {\ begin {align} d_ {1} = (da) \ cos (\ theta) \\ d_ {2} = a \ cos (\ theta) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} d_ {1} = (да) \ соз (\ тета) \\ d_ {2} = а \ соз (\ тета) \ конец {выровнено}}}

Приведенное выше уравнение принимает вид

d Q b = - ρ b (d - a) cos ⁡ (θ) d A - ρ ba cos ⁡ (θ) d A = - ρ bdd A cos ⁡ (θ) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} = - \ rho _ {b} (da) \ cos (\ theta) \ \ mathrm { d} A- \ rho _ {b} a \ cos (\ theta) \ \ mathrm {d} A \\ = - \ rho _ {b} d \ \ mathrm {d} A \ cos (\ theta) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено } \ mathrm {d} Q_ {b} = - \ rho _ {b} (da) \ cos (\ theta) \ \ mathrm {d} A- \ rho _ {b} a \ cos (\ theta) \ \ mathrm {d} A \\ = - \ rho _ {b} d \ \ mathrm {d} A \ соз (\ тета) \ конец {выровнено}}}

Из (2) следует, что $ρ bd = P {\ displaystyle \ rho _ {b} d = P}$ $\ rho _ {b } d = п$ , поэтому мы получаем:

d Q б знак равно - п d A соз ⁡ (θ) - d Q б знак равно п ⋅ d A {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} = - P \ \ mathrm {d} A \ cos (\ theta) \\ - \ mathrm {d} Q_ {b} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ { b} = - P \ \ mathrm {d} A \ cos (\ theta) \\ - \ mathrm {d} Q_ {b} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ end {align}}}

И по интегрируя это уравнение по всей замкнутой поверхности S, находим, что

- Q b = {\ displaystyle -Q_ {b} =}

-Q_ {b} =

$\ oiint$

S {\ displaystyle \ scriptstyle {S}}

{\ displaystyle \ scriptstyle {S}}

P ⋅ d A { \ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}

что завершает доказательство.

Дифференциальная форма

По теореме о расходимости закон Гаусса для поля P может быть сформулирован в дифференциальной форме как:

- ρ b = ∇ ⋅ P {\ displaystyle - \ rho _ {b} = \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}

{\ displaystyle - \ rho _ {b} = \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}

где ∇ · P - дивергенция поля P через заданную поверхность, содержащую границу плотность заряда $ρ b {\ displaystyle \ rho _ {b}}$ $\ rho_b$ .

Доказательство:
По теореме о расходимости $- Q b = ∭ V ∇ ⋅ P d V {\ displaystyle - Q_ {b} = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V}$ ${\ displaystyle -Q_ {b} = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V}$ , для объема V, содержащего связанный заряд $Q b {\ displaystyle Q_ {b}}$ $Q_b$ . И поскольку $Q b {\ displaystyle Q_ {b}}$ $Q_b$ является интегралом плотности связанного заряда $ρ b {\ displaystyle \ rho _ {b}}$ $\ rho_b$ взятое по всему объему V, заключенному в S, приведенное выше уравнение дает $- ∭ V ρ bd V = ∭ V ∇ ⋅ P d V {\ displaystyle - \ iiint \ limits _ {V} \ rho _ {b} \ \ mathrm {d} V = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V}$ ${\ displaystyle - \ iiint \ limits _ {V} \ rho _ {b} \ \ mathrm {d} V = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V}$ , что верно тогда и только тогда, когда $- ρ b = ∇ ⋅ P {\ displaystyle - \ rho _ {b} = \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$ ${\ displaystyle - \ rho _ {b} = \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$

Доказательство:

По теореме о расходимости

- Q b = ∭ V ∇ ⋅ P d V {\ displaystyle - Q_ {b} = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle -Q_ {b} = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V}

для объема V, содержащего связанный заряд $Q b {\ displaystyle Q_ {b}}$ $Q_b$ . И поскольку $Q b {\ displaystyle Q_ {b}}$ $Q_b$ является интегралом плотности связанного заряда $ρ b {\ displaystyle \ rho _ {b}}$ $\ rho_b$ взятое по всему объему V, заключенному в S, приведенное выше уравнение дает

- ∭ V ρ bd V = ∭ V ∇ ⋅ P d V {\ displaystyle - \ iiint \ limits _ {V} \ rho _ {b} \ \ mathrm {d} V = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle - \ iiint \ limits _ {V} \ rho _ {b} \ \ mathrm {d} V = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V}

что верно тогда и только тогда, когда

$- ρ b = ∇ ⋅ P {\ displaystyle - \ rho _ {b} = \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$ ${\ displaystyle - \ rho _ {b} = \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$

Связь между полями P и E

Однородные, изотропные диэлектрики

Силовые линии D-поля в диэлектрической сфере с большей восприимчивостью, чем ее окружение, помещенной в ранее однородное поле. Линии поля поля E не показаны: они указывают в одних и тех же направлениях, но многие линии поля начинаются и заканчиваются на поверхности сферы, где есть связанный заряд. В результате плотность линий электрического поля внутри сферы ниже, чем снаружи, что соответствует тому факту, что внутри сферы электрическое поле слабее, чем снаружи.

В однородном, линейная, недисперсионная и изотропная диэлектрическая среда, поляризация выровнена и пропорциональна электрическому полю E:

P = χ ε 0 E, {\ displaystyle \ mathbf {P} = \ chi \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E},}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ chi \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E},}

, где ε 0 - электрическая постоянная, а χ - электрическая восприимчивость среды. Обратите внимание, что в этом случае χ упрощается до скаляра, хотя в более общем смысле это тензор . Это частный случай из-за изотропии диэлектрика.

Принимая во внимание эту связь между P и E, уравнение (3) принимает следующий вид:

- Q b = χ ε 0 {\ displaystyle -Q_ { б} = \ чи \ varepsilon _ {0} \}

{\ displaystyle -Q_ {b} = \ chi \ varepsilon _ {0} \}

$\ oiint$

S {\ displaystyle \ scriptstyle {S}}

{\ displaystyle \ scriptstyle {S}}

E ⋅ d A {\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}

\ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf { A}

Выражение в интеграле - это закон Гаусса для поля E, который дает полный заряд, оба свободных $(Q f) {\ displaystyle ( Q_ {f})}$ $(Q_ {f})$ и граница $(Q b) {\ displaystyle (Q_ {b})}$ $(Q_ {b})$ в томе V, заключенном в S. Следовательно,

- Q b знак равно χ Q всего = χ (Q е + Q b) ⇒ Q b = - χ 1 + χ Q f, {\ displaystyle {\ begin {align} -Q_ {b} = \ chi Q _ {\ текст {total}} \\ = \ chi \ left (Q_ {f} + Q_ {b} \ right) \\ [3pt] \ Rightarrow Q_ {b} = - {\ frac {\ chi} {1+ \ chi}} Q_ {f}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} -Q_ {b} = \ chi Q _ {\ text {total}} \\ = \ chi \ left (Q_ {f} + Q_ { b} \ right) \\ [3pt] \ Rightarrow Q_ {b} = - {\ frac {\ chi} {1+ \ chi}} Q_ {f}, \ end {align}}}

которые могут быть записаны в терминах плотности свободного заряда и связанной плотности заряда (с учетом взаимосвязи между зарядами, их объемными плотностями заряда и заданным объемом) :

ρ b = - χ 1 + χ ρ f {\ display style \ rho _ {b} = - {\ frac {\ chi} {1+ \ chi}} \ rho _ {f}}

{\ displaystyle \ rho _ {b} = - { \ frac {\ chi} {1+ \ chi}} \ rho _ {f}}

Так как внутри однородного диэлектрика не может быть свободных зарядов $(ρ f = 0) {\ displaystyle (\ rho _ {f} = 0)}$ $(\ rho _ {f} = 0)$ , из последнего уравнения следует, что в материале нет объемного связанного заряда $(ρ b = 0) { \ Displaystyle (\ rho _ {b} = 0)}$ $(\ rho _ {b} = 0)$ . А поскольку свободные заряды могут приближаться к диэлектрику как можно ближе к его верхней поверхности, из этого следует, что поляризация вызывает только поверхностную плотность заряда (обозначается $σ b {\ displaystyle \ sigma _ {b}}$ $\ sigma_b$ во избежание двусмысленности с плотностью связанного по объему заряда $ρ b {\ displaystyle \ rho _ {b}}$ $\ rho_b$ ).

$σ b {\ displaystyle \ sigma _ {b}}$ $\ sigma_b$ может быть связано в P по следующему уравнению:

σ b = n ^ out ⋅ P {\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out} } \ cdot \ mathbf {P}}

{\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}} \ cdot \ mathbf { P}}

где $n ^ out {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}}}$ - это вектор нормали к поверхности S, направленный наружу (строгое доказательство см. плотность заряда )

Анизотропные диэлектрики

Класс диэлектриков, в которых плотность поляризации и электрическое поле не в одном направлении, известны как анизотропные материалы.

В таких материалах i-я компонента поляризации связана с j-й составляющей поляризации. Компонент электрического поля согласно:

P i = ∑ j ϵ 0 χ ij E j, {\ displaystyle P_ {i} = \ sum _ {j} \ epsilon _ {0} \ chi _ {ij} E_ {j},}

{\ displaystyle P_ {i} = \ sum _ {j} \ epsilon _ {0 } \ chi _ {ij} E_ {j},}

Это соотношение показывает, например, что материал может поляризоваться в направлении x, применяя поле в направлении z, и так далее. Случай анизотропной диэлектрической среды описывается полем кристаллооптики.

. Как и в большинстве электромагнетизма, это соотношение имеет дело с макроскопическими средними величинами полей и дипольной плотности, так что мы имеем континуальное приближение диэлектрических материалов. который пренебрегает поведением в атомном масштабе. поляризуемость отдельных частиц в среде может быть связана со средней восприимчивостью и плотностью поляризации с помощью соотношения Клаузиуса-Моссотти.

В общем случае восприимчивость является функцией частоты ω приложенного поля. Когда поле является произвольной функцией времени t, поляризация представляет собой свертку преобразования Фурье χ (ω) с E (t). Это отражает тот факт, что диполи в материале не могут мгновенно реагировать на приложенное поле, и соображения причинности приводят к соотношениям Крамерса – Кронига.

Если поляризация P не является линейно пропорциональным электрическому полю E, среда называется нелинейной и описывается полем нелинейной оптики. В хорошем приближении (для достаточно слабых полей, предполагая отсутствие постоянных дипольных моментов), P обычно задается рядом Тейлора в E, коэффициенты которого равны нелинейные восприимчивости:

P i ϵ 0 = ∑ j χ ij (1) E j + ∑ jk χ ijk (2) E j E k + ∑ jk ℓ χ ijk ℓ (3) E j E k E ℓ + ⋯ {\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {\ epsilon _ {0}}} = \ sum _ {j} \ chi _ {ij} ^ {(1)} E_ {j} + \ sum _ { jk} \ chi _ {ijk} ^ {(2)} E_ {j} E_ {k} + \ sum _ {jk \ ell} \ chi _ {ijk \ ell} ^ {(3)} E_ {j} E_ {k} E _ {\ ell} + \ cdots}

{\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {\ epsilon _ {0}}} = \ сумма _ {j} \ chi _ {ij} ^ {(1)} E_ {j} + \ sum _ {jk} \ chi _ {ijk} ^ {(2)} E_ {j} E_ {k} + \ сумма _ {jk \ ell} \ chi _ {ijk \ ell} ^ {(3)} E_ {j} E_ {k} E _ {\ ell} + \ cdots}

где $χ (1) {\ displaystyle \ chi ^ {(1)}}$ $\ chi ^ {(1)}$ - линейная восприимчивость, $χ (2) {\ displaystyle \ chi ^ {(2)}}$ $\ chi ^ {(2)}$ - восприимчивость второго порядка (описывающая такие явления, как эффект Поккельса, оптическое выпрямление и генерация второй гармоники ), и $χ (3) {\ displaystyle \ chi ^ {(3)}}$ $\ chi ^ {(3)}$ восприимчивость третьего порядка (описывающая третий порядок такие эффекты, как эффект Керра и электрическое поле-i вызванное оптическое выпрямление).

В сегнетоэлектрических материалах нет взаимно однозначного соответствия между P и E из-за гистерезиса.

Плотность поляризации в уравнениях Максвелла

Поведение электрических полей (E, D), магнитных полей (B, H), плотности заряда (ρ) и плотность тока (J) описываются уравнениями Максвелла в веществе.

Соотношения между E, D и P

С точки зрения объемных плотностей заряда, плотность свободного заряда $ρ е {\ Displaystyle \ rho _ {f}}$ $\ rho_f$ определяется выражением

ρ f = ρ - ρ b {\ displaystyle \ rho _ {f} = \ rho - \ rho _ {b}}

\ rho _ {f} = \ rho - \ rho _ {b}

где $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - полная плотность заряда. Рассматривая связь каждого из членов приведенного выше уравнения с расходимостью их соответствующих полей (поля электрического смещения D, Eи P в этом порядке), это можно записать как :

D = ε 0 E + P. {\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}.}

\ mathbf {D} = \ varepsilon_0 \ mathbf {E} + \ mathbf {P}.

Это известно как материальное уравнение для электрических полей. Здесь ε 0 - это электрическая диэлектрическая проницаемость пустого пространства. В этом уравнении P представляет собой (отрицательное значение) поле, индуцированное в материале, когда «фиксированные» заряды, диполи, смещаются в ответ на общее нижележащее поле E, тогда как D - поле из-за оставшихся зарядов, известное как «бесплатные» заряды.

В общем, P изменяется как функция от E в зависимости от среды, как описано далее в статье. Во многих задачах удобнее работать с D и свободными зарядами, чем с E и полным зарядом.

Следовательно, поляризованная среда, кстати, теоремы Грина можно разделить на четыре компонента.

Связанная объемная плотность заряда: $ρ b = - ∇ ⋅ P {\ displaystyle \ rho _ {b} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {b} = - \ nabla \ cdot \ ma thbf {P}}$
Плотность связанного поверхностного заряда: $σ b = n ^ out ⋅ P {\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}} \ cdot \ mathbf {P}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}} \ cdot \ mathbf { P}}$
Бесплатная объемная плотность заряда: $ρ f = ∇ ⋅ D {\ displaystyle \ rho _ {f} = \ nabla \ cdot \ mathbf {D}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {f} = \ nabla \ cdot \ mathbf {D}}$
Плотность свободного поверхностного заряда: $σ f = n ^ out ⋅ D {\ displaystyle \ sigma _ {f} = \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}} \ cdot \ mathbf {D}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {f} = \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}} \ cdot \ mathbf {D }}$

Плотность поляризации, изменяющаяся во времени

Когда плотность поляризации изменяется со временем, зависящая от времени плотность связанного заряда создает поляризационную плотность тока

J p = ∂ P ∂ t {\ displaystyle \ mathbf {J} _ { p} = {\ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}}}

\ mathbf {J} _p = \ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}

, так что полная плотность тока, которая входит в уравнения Максвелла, равна

J = J f + ∇ × M + ∂ п ∂ T {\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} _ {f} + \ nabla \ times \ mathbf {M} + {\ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}}}

\ mathbf {J} = \ mathbf {J} _f + \ nabla \ times \ mathbf {M} + \ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}

где Jf- плотность тока свободного заряда, а второй член - это плотность тока намагничивания (также называемая плотностью связанного тока), вклад магнитных диполей атомного масштаба (если они есть).

Неопределенность поляризации

Пример неоднозначности плотности поляризации в массивном кристалле. (а) Твердый кристалл. (b) Спаривая положительный и отрицательный заряды определенным образом, кристалл, кажется, имеет восходящую поляризацию. (c) Различное спаривание зарядов приводит к тому, что кристалл имеет направленную вниз поляризацию.

Поляризация внутри твердого тела, как правило, не определяется однозначно: она зависит от того, какие электроны спарены с какими ядрами. (См. Рисунок.) Другими словами, два человека, Алиса и Боб, глядя на одно и то же тело, могут вычислить разные значения P, и ни один из них не будет ошибочным. Алиса и Боб согласны с микроскопическим электрическим полем E в твердом теле, но не согласны с величиной поля смещения $D = ε 0 E + P {\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}}$ . Они оба обнаружат, что закон Гаусса верен ( $∇ ⋅ D = ρ f {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}$ ), но они будут не согласны со значением $ρ f {\ displaystyle \ rho _ {f}}$ $\ rho_f$ на поверхности кристалла. Например, если Алиса интерпретирует объемное твердое тело как состоящее из диполей с положительными ионами вверху и отрицательными ионами внизу, но в реальном кристалле отрицательные ионы являются самой верхней поверхностью, тогда Алиса скажет, что на самой верхней поверхности имеется отрицательный свободный заряд. (Она могла бы рассматривать это как вид реконструкции поверхности ).

С другой стороны, даже если значение P не определено однозначно в массивном твердом теле, вариации в P определены однозначно. Если кристалл постепенно изменяется от одной структуры к другой, внутри каждой элементарной ячейки будет ток из-за движения ядер и электронов. Этот ток приводит к макроскопической передаче заряда от одной стороны кристалла к другой, и поэтому его можно измерить амперметром (как и любой другой ток), когда провода прикреплены к противоположным сторонам кристалла. Интеграл по времени тока пропорционален изменению P . Ток можно вычислить с помощью компьютерного моделирования (например, теории функционала плотности ); формула для интегрированного тока оказывается типом фазы Берри.

Неединственность P не вызывает проблем, потому что каждое измеримое следствие P фактически является следствием непрерывного изменения P . Например, когда материал помещается в электрическое поле E, которое нарастает от нуля до конечного значения, электронные и ионные положения материала слегка смещаются. Это изменяет P, и в результате получается электрическая восприимчивость (и, следовательно, диэлектрическая проницаемость ). В качестве другого примера, когда некоторые кристаллы нагреваются, их электронные и ионные положения немного сдвигаются, изменяя P . Результат - пироэлектричество. Во всех случаях интересующие свойства связаны с изменением в P.

. Хотя поляризация в принципе неуникальна, на практике она часто (не всегда) определяется соглашением специфическим, уникальным способом. Например, в идеально центросимметричном кристалле P обычно определяется по соглашению как ровно ноль. В качестве другого примера, в кристалле сегнетоэлектрика обычно существует центросимметричная конфигурация выше температуры Кюри, и P определяется там как соглашение быть нулевым. По мере того, как кристалл охлаждается ниже температуры Кюри, он постепенно переходит во все более и более нецентросимметричную конфигурацию. Поскольку постепенные изменения в P определяются однозначно, это соглашение дает уникальное значение P для сегнетоэлектрического кристалла даже ниже его температуры Кюри.

Другая проблема в определении P связана с произвольным выбором «единицы объема» или, точнее, с масштабом системы. Например, в микроскопическом масштабе плазму можно рассматривать как газ свободных зарядов, поэтому P должно быть равно нулю. Напротив, в макроскопическом масштабе ту же плазму можно описать как сплошную среду с диэлектрической проницаемостью $ε (ω) ≠ 1 {\ displaystyle \ varepsilon (\ omega) \ neq 1}$ ${\ displaystyle \ varepsilon (\ omega) \ neq 1}$ и таким образом чистая поляризация P≠ 0.

См. также

Ссылки и примечания