Генерация второй гармоники

Схема уровней энергии процесса SHG.

Генерация второй гармоники (SHG, также называемый удвоением частоты ) - это нелинейно-оптический процесс, в котором два фотона с одинаковой частотой взаимодействуют с нелинейным материалом, «объединяются» и генерируют новый фотон с удвоенной энергией исходных фотонов (эквивалентно удвоенной частоте и половине длины волны ), который сохраняет когерентность возбуждения. Это частный случай генерации суммарной частоты (2 фотона) и, в более общем смысле, генерации гармоник.

. Нелинейная восприимчивость среды второго порядка характеризует ее склонность вызывать ГВГ. Генерация второй гармоники, как и другие нелинейно-оптические явления четного порядка, недопустима в средах с инверсионной симметрией (ведущим электрическим дипольным вкладом). Однако такие эффекты, как сдвиг Блоха – Зигерта (колебание), обнаруживаемый, когда двухуровневые системы управляются на частотах Раби, сравнимых с их частотами переходов, приведут к генерации второй гармоники в центросимметричных системах. Кроме того, в нецентросимметричных кристаллах, принадлежащих точечной кристаллографической группе 432, ГВГ невозможна, и в условиях Клейнмана ГВГ в 422 и 622 точечных группах должна исчезает, хотя существуют некоторые исключения.

В некоторых случаях почти 100% световой энергии может быть преобразовано во вторую гармонику. В этих случаях обычно используются интенсивные импульсные лазерные лучи, проходящие через большие кристаллы, и тщательная юстировка для получения фазового согласования. В других случаях, таких как микроскопия изображений второй гармоники, только малая часть световой энергии преобразуется во вторую гармонику, но этот свет, тем не менее, можно обнаружить с помощью оптических фильтров.

Генерация второй гармоники, часто называемая удвоением частоты, также является процессом в радиосвязи; он был разработан в начале 20 века и использовался с частотами в мегагерцовом диапазоне. Это частный случай умножения частоты.

. Электрон (фиолетовый) толкается из стороны в сторону под действием синусоидально -колебающейся силы, то есть электрического поля света. Но поскольку электрон находится в ангармонической среде с потенциальной энергией (черная кривая), движение электрона не является синусоидальным. Три стрелки показывают ряд Фурье движения: синяя стрелка соответствует обычной (линейной) восприимчивости, зеленая стрелка соответствует генерации второй гармоники, а красная стрелка соответствует оптическое выпрямление.

• 1 История
• 2 Типы кристаллов
  • 2.1 Критическое согласование фаз
  • 2.2 Некритическое согласование фаз
• 3 Генерация второй оптической гармоники
  • 3.1 С плоских поверхностей
  • 3.2 С неплоских поверхностей
• 4 Диаграмма направленности
• 5 Коммерческое использование
• 6 Другие применения
  • 6.1 Измерение ультракоротких импульсов
  • 6.2 Микроскопия генерации второй гармоники
  • 6.3 Характеристика кристаллических материалов
• 7 Теоретический вывод (плоская волна)
  • 7.1 При низкой конверсии
  • 7.2 С истощением
• 8 Теоретическое выражение с гауссовыми пучками
  • 8.1 С синхронизацией
  • 8.2 Отсутствие согласования фаз
• 9 Материалы, используемые для генерации второй гармоники
• 10 См. Также
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки
  • 12.1 Arti cles

Генерация второй гармоники была впервые продемонстрирована Питером Франкеном, AE Hill, CW Peters и G. Weinreich в Мичиганском университете, Анн-Арбор, 1961 год. Демонстрация стала возможной благодаря изобретению лазера, который создавал требуемый когерентный свет высокой интенсивности. Они сфокусировали рубиновый лазер с длиной волны 694 нм в кварцевый образец. Они пропускали выходной свет через спектрометр , записывая спектр на фотобумаге, что указывало на получение света с длиной волны 347 нм. Известно, что при публикации в журнале Physical Review Letters редактор принял тусклое пятно (при 347 нм) на фотобумаге за пятнышко грязи и удалил его из публикации. Состав SHG был первоначально описан Н. Блумберген и П. С. Першан в Гарварде в 1962 году. В их обширной оценке уравнений Максвелла на плоской границе раздела между линейной и нелинейной средами были выяснены несколько правил взаимодействия света в нелинейных средах.

Критическое фазовое согласование

Различные типы фазового согласования когерентного света для генерации второй гармоники для сильного преобразования. Случай отрицательных кристаллов ($no>ne\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{o\}>n\_\; \{e\}\}$) учитывается, инвертировать индексы, если положительный кристалл ($ne>no\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{e\}>n\_\; \{o\}\}$).

Генерация второй гармоники происходит трех типов для критического согласования фаз, обозначаемых 0, I и II. В ГВГ типа 0 два фотона, обладающие необычной поляризацией по отношению к кристаллу, объединятся, чтобы сформировать один фотон с удвоенной частотой / энергией и необычной поляризацией. В ГВГ типа I два фотона, имеющие обычную поляризацию по отношению к кристаллу, объединятся, чтобы сформировать один фотон с удвоенной частотой и необычной поляризацией. В ГВГ типа II два фотона с ортогональной поляризацией объединяются, чтобы сформировать один фотон с удвоенной частотой и обычной поляризацией. Для данной ориентации кристалла имеет место только один из этих типов ГВГ. В общем, для использования взаимодействий типа 0 потребуется кристалл типа с квазисинхронизацией по фазе, например ниобат лития с периодической полярностью (PPLN).

Схема процесса генерации второй гармоники.

Некритическое согласование фаз

Поскольку процесс согласования фаз в основном означает адаптацию оптических индексов n при ω и 2ω, его также можно выполнить с помощью контроля температуры в некоторых кристаллах с двойным лучепреломлением, потому что n изменяется с температурой. Например, LBO обеспечивает идеальное согласование фаз при 25 ° C для ГВГ, возбуждаемой на 1200 или 1400 нм, но его необходимо увеличить при 200 ° C для ГВГ с обычной лазерной линией 1064 нм. Он называется «некритическим», потому что он не зависит от ориентации кристалла, как обычный синхронизм.

Поскольку средам с инверсионной симметрией запрещено генерировать свет второй гармоники через электрический дипольный вклад первого порядка (в отличие от третьего генерация гармоник ), поверхности и границы раздела - интересные предметы для изучения с SHG. Фактически, генерация второй гармоники и генерация суммарной частоты различают сигналы от основной массы, неявно маркируя их как методы, специфичные для поверхности. В 1982 году Т. Ф. Хайнц и Ю. Р. Шен впервые явно продемонстрировали, что ГВГ может использоваться в качестве спектроскопического метода для исследования молекулярных монослоев, адсорбированных на поверхности. Хайнц и Шен адсорбировали монослои лазерного красителя родамина на плоскую поверхность плавленого кварца ; затем покрытая поверхность накачивалась сверхбыстрым наносекундным лазером. Свет SH с характеристическими спектрами адсорбированной молекулы и ее электронных переходов измерялся как отражение от поверхности и демонстрировал квадратичную зависимость мощности от мощности лазера накачки.

В спектроскопии ГВГ каждый фокусируется на измерении удвоенной частоты падающего излучения 2ω при входящем электрическом поле $E\; (\omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (\backslash \; omega)\}$, чтобы выявить информация о поверхности. Просто (более подробный вывод см. Ниже) индуцированный диполь второй гармоники на единицу объема, $P\; (2)\; (2\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{(2)\}\; (2\; \backslash \; omega)\}$, можно записать как

$E\; (2\; \omega )\; \propto \; P\; (2)\; (2\; \omega )\; =\; \chi \; (2)\; E\; (\omega )\; E\; (\omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; \backslash \; propto\; P\; ^\; \{(2)\}\; (2\; \backslash \; omega)\; =\; \backslash \; chi\; ^\; \{(2)\}\; E\; (\backslash \; omega)\; E\; (\backslash \; omega)\}$

где $\chi \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{(2)\}\}$известен как тензор нелинейной восприимчивости и является характеристикой материалов на границе исследования. Сгенерированный $E\; (2\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (2\; \backslash \; omega)\}$и соответствующий $\chi \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{(2)\}\}$Было показано, что раскрывает информацию об ориентации молекул на поверхности / интерфейсе, межфазной аналитической химии поверхностей и химических реакциях на границах раздела.

С плоских поверхностей

Изображение установки генерации второй гармоники для измерения ориентации фенола на границе раздела воздух-вода.

Ранние эксперименты в этой области продемонстрировали генерацию второй гармоники на металлических поверхностях. В конце концов, ГВГ был использован для исследования границы раздела воздух-вода, что позволило получить подробную информацию об ориентации молекул и упорядочении на одной из самых распространенных поверхностей. Можно показать, что конкретные элементы $\chi \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{(2)\}\}$:

$\chi \; zzz\; (2)\; =\; N\; s\; ⟨cos\; 3\; \; (\theta )⟩\; \alpha \; zzz\; (\; 2)\; \chi \; xzx\; (2)\; знак\; равно\; 1\; 2\; N\; s\; ⟨соз\; \; (\theta )\; грех\; 2\; \; (\theta )⟩\; \alpha \; zzz\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{zzz\}\; ^\; \{(2)\; \}\; =\; N\_\; \{s\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{zzz\}\; ^\; \{(2)\}\; \backslash \backslash \backslash \; chi\; \_\; \{xzx\}\; ^\; \{(2)\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; N\_\; \{s\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{zzz\}\; ^\; \{(\; 2)\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где N s - плотность адсорбата, θ - угол, который молекулярная ось z составляет с нормалью к поверхности Z, и $\alpha \; zzz\; (\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{zzz\}\; ^\; \{(2)\}\}$является доминирующим элементом нелинейной поляризуемости молекулы на границе раздела, позволяет определить θ, учитывая лабораторные координаты (x, у, z). Используя метод интерференционной ГВГ для определения этих элементов χ (2), первое измерение молекулярной ориентации показало, что гидроксильная группа фенола направлена ​​вниз в воду на границе раздела воздух-вода (как и ожидалось, из-за способности гидроксильных групп образовывать водородные связи). Кроме того, ГВГ на плоских поверхностях выявила различия в pK и вращательных движениях молекул на границах раздела.

С неплоских поверхностей

Мультфильм, изображающий упорядоченные молекулы на небольшой сферической поверхности. Сверхбыстрый лазер накачки накачивает свет с частотой ω, который генерирует свет с частотой 2ω от локально нецентросимметричной среды.

Свет второй гармоники также может генерироваться от поверхностей, которые являются «локально» плоскими, но могут иметь инверсионную симметрию (центросимметричную) в большем масштабе. В частности, недавняя теория продемонстрировала, что ГВГ от малых сферических частиц (в микро- и нанометровом масштабе) допускается при правильном рассмотрении рэлеевского рассеяния. На поверхности небольшой сферы инверсионная симметрия нарушена, что позволяет возникать ГВГ и другим гармоникам четного порядка.

Для коллоидной системы микрочастиц при относительно низких концентрациях общий сигнал SH $I\; 2\; \omega \; total\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{total\}\}\}$, определяется по формуле:

$I\; 2\; \omega \; всего\; \propto \; \sum \; j\; =\; 1\; n\; (E\; j\; 2\; \omega )\; 2\; =\; n\; (E\; 2\; \omega )\; 2\; =\; n\; I\; 2\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{total\}\}\; \backslash \; propto\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (E\_\; \{j\}\; ^\; \{2\; \backslash \; omega\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; n\; \backslash \; left\; (E\; ^\; \{2\; \backslash \; omega\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; nI\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\}$

где $E\; j\; 2\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{j\}\; ^\; \{2\; \backslash \; omega\}\}$- электрическое поле ВГ, создаваемое j-й частицей, n - плотность частиц. Свет SH, генерируемый каждой частицей, является когерентным, но некогерентно добавляется к свету SH, генерируемому другими (при достаточно низкой плотности). Таким образом, свет SH генерируется только на границах раздела сфер и их окружения и не зависит от взаимодействий частицы с частицами. Также было показано, что электрическое поле второй гармоники $E\; (2\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (2\; \backslash \; omega)\}$масштабируется с радиусом частицы в кубе a.

Помимо сфер, другие маленькие частицы, такие как стержни, были исследованы аналогичным образом SHG. Можно исследовать как иммобилизованные, так и коллоидные системы мелких частиц. Недавние эксперименты с использованием генерации второй гармоники неплоских систем включают кинетику переноса через мембраны живых клеток и демонстрацию ГВГ в сложных наноматериалах.

Диаграмма излучения ГВГ, возбуждаемая гауссовым пучком в однородном среды (A), или на границе раздела между противоположными полярностями, параллельного распространению (B). Представлена ​​только прямая ГВГ. Диаграмма направленности ГВГ в прямом (F) и обратном (B) положении от различных диполей: (a) одиночные диполи, таким образом, F = B; (б) небольшой набор диполей, F>B; (в) большой пакет диполей, F>>B; (d) фазовый сдвиг Гуи подавляет ГВГ, FB слабый

Диаграмма излучения ГВГ, генерируемая возбуждающим гауссовым пучком, также имеет (однородный) двухмерный гауссов профиль, если возбуждаемая нелинейная среда однородна (A). Однако, если возбуждающий луч расположен на границе раздела между противоположными полярностями (+/- граница, B), которая параллельна распространению луча (см. Рисунок), ГВГ будет разделена на два лепестка, амплитуды которых имеют противоположный знак, т.е. $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$со сдвигом по фазе.

Эти границы можно найти, например, в саркомерах из мышц (белок = миозин ). Обратите внимание, что здесь мы рассмотрели только прямое поколение.

Кроме того, SHG согласование фаз также может привести к $k\; 2\; \omega \; \to \; =\; -\; 2\; k\; \omega \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{\{k\}\; \_\; \{2\; \backslash \; omega\; \}\}\}\; =\; -\; 2\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{\{k\}\; \_\; \{\backslash \; omega\}\}\}\}$: некоторое количество SHG также излучается в обратном направлении (направление epi). Когда фазовое согласование не выполняется, как в биологических тканях, обратный сигнал исходит из достаточно высокого фазового рассогласования, что позволяет компенсировать небольшой обратный вклад. В отличие от флуоресценции, пространственная когерентность процесса ограничивает его излучение только в этих двух направлениях, но длина когерентности в обратном направлении всегда намного меньше, чем в прямом, то есть всегда больше прямого сигнала ГВГ.

Отношение прямого (F) к обратному (B) зависит от расположения различных диполей (зеленый на рисунке), которые возбуждаются. При наличии только одного диполя ((a) на рисунке) F = B, но F становится выше, чем B, когда больше диполей укладывается в стопку вдоль направления распространения (b и c). Однако фазовый сдвиг Гуи гауссова луча будет подразумевать $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$фазовый сдвиг между ГВГ, генерируемыми при края фокального объема и, таким образом, могут привести к деструктивным помехам (нулевой сигнал), если на этих краях есть диполи, имеющие одинаковую ориентацию (случай (d) на рисунке).

Генерация второй гармоники используется в лазерной промышленности для создания зеленых лазеров с длиной волны 532 нм из источника с длиной волны 1064 нм. Свет 1064 нм проходит через массивный кристалл KDP. В высококачественных диодных лазерах кристалл со стороны выхода покрыт инфракрасным фильтром для предотвращения утечки интенсивного инфракрасного света 1064 нм или 808 нм в луч. Обе эти длины волн невидимы и не вызывают защитной реакции «мигания-рефлекса» в глазу и поэтому могут представлять особую опасность для глаз человека. Кроме того, некоторые защитные очки, предназначенные для работы с аргоном или другими зелеными лазерами, могут отфильтровывать зеленый компонент (создавая ложное ощущение безопасности), но пропускать инфракрасный свет. Тем не менее, на рынке стали доступны некоторые продукты с "зеленой лазерной указкой ", в которых отсутствует дорогой инфракрасный фильтр, часто без предупреждения. Генерация второй гармоники также используется для измерения сверхкороткой длительности импульса с помощью автокорреляторов.

Измерение ультракоротких импульсов

Определение характеристик ультракороткого импульса (например, измерение его временной ширины) не может быть выполнено напрямую только с электроникой, так как шкала времени ниже 1ps ($10-12\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{-\; 12\}\}$sec): необходимо использовать сам импульс, поэтому часто используется автокорреляционная функция. SHG имеет преимущество смешивания двух входных полей для генерации гармонического поля, таким образом, это хороший кандидат (но не единственный) для выполнения такого импульсного измерения. Оптическая автокорреляция, в версии интенсивности или версии с разрешением полос (интерферометрический ), в отличие от автокорреляции поля, используется ГСП. Кроме того, большинство версий FROG (называемых SHG-FROG) используют SHG для смешивания полей с задержкой.

Микроскопия генерации второй гармоники

В биологических и медицинских науках, эффект генерации второй гармоники используется в оптической микроскопии высокого разрешения. Из-за ненулевого коэффициента второй гармоники только нецентросимметричные структуры способны излучать свет ГВГ. Одна из таких структур - коллаген, который содержится в большинстве тканей, несущих нагрузку. Используя лазер с короткими импульсами, такой как фемтосекундный лазер, и набор соответствующих фильтров, возбуждающий свет можно легко отделить от излучаемого сигнала ГВГ с удвоенной частотой. Это обеспечивает очень высокое осевое и поперечное разрешение, сравнимое с разрешением конфокальной микроскопии, без необходимости использования точечных отверстий. ГВГ-микроскопию использовали для исследования роговицы и lamina cribrosa sclerae, которые в основном состоят из коллагена. Генерация второй гармоники может быть произведена несколькими нецентросимметричными органическими красителями; однако большинство органических красителей также генерируют побочную флуоресценцию вместе с сигналами генерации второй гармоники. До сих пор были показаны только два класса органических красителей, которые не производят побочной флуоресценции и работают исключительно на генерации второй гармоники. Недавно группа исследователей из Оксфордского университета с помощью двухфотонно-возбужденной флуоресценции и микроскопии на основе генерации второй гармоники показала, что молекулы типа органических порфиринов могут иметь разные дипольные моменты перехода для двухфотонной флуоресценции и генерации второй гармоники, которые в противном случае считается, что это происходит из того же дипольного момента перехода.

Микроскопия генерации второй гармоники также используется в материаловедении, например, для характеристики наноструктурированных материалов.

Характеристика кристаллических материалов

Генерация второй гармоники также важна для характеристики органических или неорганических кристаллов, поскольку является одним из наиболее дискриминантных и быстрых методов обнаружения нецентросимметрии. Кроме того, этот метод можно использовать как на монокристаллах, так и на порошковых образцах. Напомним, что ГВГ возможна (из объема) только в нецентросимметричных (NC) кристаллах. Доля нецентроизмметричных кристаллов в природе намного ниже, чем центросимметричных кристаллов (около 22% Кембриджской структурной базы данных), но частота кристаллов NC увеличивается в фармацевтической, биологической и электронной области из-за особых свойств этих кристаллов. кристаллы (пьезоэлектричество, пироэлектричество, полярные фазы, хиральность,...).

В 1968 году (через 7 лет после первого экспериментального доказательства ГВГ на монокристалле) Курц и Перри начали программу анализатора ГВГ для быстрого обнаружения наличия или отсутствия центра инверсии в порошкообразных кристаллических образцах. Было показано, что обнаружение сигнала ГВГ является надежным и чувствительным тестом для обнаружения кристаллической нецентросимметрии с уровнем достоверности выше 99%. Это подходящий инструмент для разрешения неоднозначности пространственных изображений, которые могут быть из-за групп закона Фриделя при дифракции рентгеновских лучей на монокристаллах. Кроме того, этот метод используется в Международных статистических диаграммах и описывается как мощный метод кристаллических материалов на отсутствие центра симметрии.

Одним из агентов приложений также является быстрое распознавание хиральных фаз, таких как конгломерат, представляющий особый интерес для фармацевтической промышленности. Его также можно использовать в методе исследования структурной чистоты материала, если одна из примесей является NC, достигла порога обнаружения всего 1 ppm с использованием прибора Куртца и до одной части на 10 миллиардов по объему с использованием микроскопа SHG.

Из-за высокой диагностики метода точного определения фазовой диаграммы, а также может установить фазовых переходов (полиморфный переход, дегидратация,...), когда хотя бы одна из фаз - NC.

При низком преобразовании

Простейший случай для анализа генерации второй гармоники представляет собой плоскую волну амплитуды E (ω), бегущую в нелинейной среде в направлении ее вектор к. Поляризация генерируется на частоте второй гармоники:

$P\; (2\; \omega )\; =\; ϵ\; 0\; \chi \; (2)\; E\; 2\; (\omega )\; =\; 2\; ϵ\; 0\; d\; eff\; (2\; \omega ;\; \omega ,\; \omega )\; E\; 2\; (\omega ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (2\; \backslash \; omega)\; =\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; chi\; ^\; \{(2)\}\; E\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega)\; =\; 2\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; (2\; \backslash \; омега;\; \backslash \; omega,\; \backslash \; omega)\; E\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega),\; \backslash ,\}$

где $d\; eff\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}$- эффективный нелинейно-оптический коэффициент, который зависит от конкретных компонентов $\chi \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{(2)\}\}$, участвуют в этом конкретном взаимодействии. Волновое уравнение при 2ω (предполагаемая пренебрежимо малые потери и утверждая приближение медленно меняющейся огибающей ):

$\partial \; E\; (2\; \omega )\; \partial \; z\; =\; -\; i\; \omega \; n\; 2\; \omega \; cd\; eff\; E\; 2\; (\omega )\; ei\; \Delta \; kz\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; E\; (2\; \backslash \; omega)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{я\; \backslash \; omega\}\; \{n\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; c\}\}\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\; \}\}\; E\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega)\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; Delta\; kz\}\}$

где $\Delta \; k\; =\; k\; (2\; \omega )\; -\; 2\; k\; (\omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; k\; =\; k\; (\; 2\; \backslash \; omega)\; -2k\; (\backslash \; omega)\}$.

При низкой эффективности преобразования (E (2ω) ≪ E (ω)) амплитуда $E\; (\omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (\backslash \; omega)\}$остается практически постоянным на всем протяжении взаимодействия, $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$. Тогда с граничным условием $E\; (2\; \omega ,\; z\; =\; 0)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (2\; \backslash \; omega,\; z\; =\; 0)\; =\; 0\}$получаем

$E\; (2\; \omega ,\; z\; =\; l)\; =\; -\; i\; \omega \; d\; eff\; n\; 2\; \omega \; c\; E\; 2\; (\omega )\; \int \; 0\; lei\; \Delta \; kzdz\; =\; -\; i\; \omega \; d\; eff\; n\; 2\; \omega \; c\; E\; 2\; (\omega )\; l\; sin\; \; (1\; 2\; \Delta \; kl)\; 1\; 2\; \Delta \; klei\; 2\; \Delta \; kl\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (2\; \backslash \; omega,\; z\; =\; l)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{я\; \backslash \; omega\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}\; \{n\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; c\}\}\; E\; ^\; \{2\; \}\; (\backslash \; omega)\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{l\}\; \{e\; ^\; \{i\; \backslash \; Delta\; kz\}\; dz\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; omega\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}\; \{n\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; c\}\}\; E\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega)\; l\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; Delta\; kl\; \backslash \; right)\}\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; Delta\; kl\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2\}\}\; \backslash \; Delta\; kl\}\}$

Что касается оптической мощности, $I\; =\; n\; /\; 2\; ϵ\; 0\; /\; \mu \; 0\; |\; E\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; n\; /\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; /\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; |\; E\; |\; ^\; \{2\}\}$, это,

$I\; (2\; \omega ,\; l)\; знак\; равно\; 2\; \omega \; 2\; d\; эфф\; 2\; l\; 2\; N\; 2\; \omega \; n\; \omega \; 2\; c\; 3\; ϵ\; 0\; (грех\; \; (1\; 2\; \Delta \; kl)\; 1\; 2\; \Delta \; kl)\; 2\; I\; 2\; (\omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (2\; \backslash \; omega,\; l)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; ^\; \{2\}\; l\; ^\; \{2\}\}\; \{n\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; n\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{3\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; Delta\; kl\; \backslash \; right)\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; Delta\; kl\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; I\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega)\}$

Эта интенсивность максимальна для условий фазового согласования Δk = 0. Если процесс не согласован по фазе, управляющая поляризация входит и выходит из фазы с генерируемой волной E (2ω), и преобразование колеблется как sin (Δkl / 2). Длина когерентности определяется как $l\; c\; =\; \pi \; \Delta \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; Delta\; k\}\}\}$. Не стоит использовать нелинейный кристалл, длина которого намного большей длины когерентности. (Периодический опрос и квазисинхронизация предоставит другой подход к этой проблеме.)

С истощением

Схема генерации второй гармоники с идеальным согласованием $\Delta \; k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; k\; =\; 0\}$. Схема генерации второй гармоники при несовершенном согласовании фазы $\Delta \; k\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; k\; \backslash \; neq\; 0\}$. В этом случае энергия течет вперед и назад от насоса к сигналу с удвоенной величиной, и наличие толстого кристалла может привести к меньшему количеству производимой ГВГ.

Когда преобразование во вторую гармонику становится значительным, становится обязательным обеднение фундаментальный. Преобразование энергии утверждает, что все задействованные поля подтверждают соотношения Мэнли - Роу. Тогда связаны связанные уравнения:

$\partial \; E\; (2\; \omega )\; \partial \; z\; =\; -\; i\; \omega \; n\; 2\; \omega \; cd\; eff\; E\; 2\; (\omega )\; ei\; ∆\; kz,\; \partial \; E\; (\omega )\; \partial \; z\; =\; -\; i\; \omega \; n\; \omega \; cd\; eff\; \ast \; E\; (2\; \omega )\; E\; \ast \; (\omega )\; e\; -\; я\; \Delta \; kz,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; E\; (2\; \backslash \; omega)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; omega\}\; \{n\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; c\}\}\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; E\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega)\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; Delta\; kz\},\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичный\; E\; (\backslash \; omega)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; omega\}\; \{n\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; c\}\}\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; ^\; \{*\}\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; E\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega)\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; Delta\; kz\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, где $\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; *\}$обозначает комплексное сопряжение. Для простоты предположим, что генерация синхронизации по фазе ($\Delta \; k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; k\; =\; 0\}$). Тогда для сохранения энергии требуется, чтобы

$n\; 2\; \omega \; [E\; \ast \; (2\; \omega )\; \partial \; E\; (2\; \omega )\; \partial \; z\; +\; c.\; c.\; ]\; =\; -\; n\; \omega \; [E\; (\omega )\; \partial \; E\; \ast \; (\omega )\; \partial \; z\; +\; c.\; c.\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; \backslash \; left\; [E\; ^\; \{*\}\; (2\; \backslash \; omega)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; E\; (2\; \backslash \; omega)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; +\; cc\; \backslash \; right]\; =\; -\; n\_\; \{\backslash \; omega\}\; \backslash \; left\; [E\; (\backslash \; omega)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; E\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; +\; cc\; \backslash \; right]\}$

где $c.\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; c.c.\}$- комплексное сопряжение другого члена, или

$n\; 2\; \omega \; |\; E\; (2\; \omega )\; |\; 2\; +\; n\; \omega \; |\; E\; (\omega )\; |\; 2\; знака\; равно\; N\; 2\; \omega \; E\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; |\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; |\; ^\; \{2\}\; +\; n\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; |\; E\; (\backslash \; omega)\; |\; ^\; \{2\}\; =\; n\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; E\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}$.

ГВГ с фазовым согласованием с истощением источника (синий) и соответствующим возбуждением (оранжевый). L - длина столкновения (l в тексте).

Теперь решаем уравнение с мишенью

$E\; (\omega )\; =\; |\; E\; (\omega )\; |\; e\; i\; \varphi \; (\omega )\; E\; (2\; \omega )\; =\; |\; E\; (2\; \omega )\; |\; ei\; \varphi \; (2\; \omega )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; E\; (\backslash \; omega)\; =\; |\; E\; (\backslash \; omega)\; |\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; phi\; (\backslash \; omega)\}\; \backslash \backslash \; E\; (2\; \backslash \; omega)\; =\; |\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; |\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; phi\; (2\; \backslash \; omega)\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и получаем

$d\; |\; E\; (2\; \omega )\; |\; d\; z\; =\; -\; i\; \omega \; d\; eff\; n\; \omega \; c\; [E\; 0\; 2\; -\; |\; E\; (2\; \omega )\; |\; 2]\; е\; 2\; я\; \varphi \; (\omega )\; -\; я\; \varphi \; (2\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; |\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; |\}\; \{dz\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; omega\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}\; \{n\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; c\}\}\; \backslash \; left\; [E\_\; \{0\}\; ^\; \{\; 2\}\; -\; |\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; phi\; (\backslash \; omega)\; -i\; \backslash \; phi\; (2\; \backslash \; omega)\}\}$

, что приводит к:

$\int \; 0\; |\; E\; (2\; \omega )\; |\; l\; d\; |\; E\; (2\; \omega )\; |\; E\; 0\; 2\; -\; |\; E\; (2\; \omega )\; |\; 2\; знак\; равно\; -\; \int \; 0\; ли\; \omega \; d\; эфф\; N\; \omega \; ce\; 2\; я\; \varphi \; (\omega )\; -\; я\; \varphi \; (2\; \omega )\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{|\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; |\; l\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; |\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; |\}\; \{E\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; -\; |\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{l\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; omega\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}\; \{n\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; c\}\}\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; phi\; (\backslash \; omega)\; -i\; \backslash \; phi\; (2\; \backslash \; omega)\}\; dz\}\}$

Использование

$\int \; dxa\; 2\; -\; x\; 2\; =\; 1\; a\; tanh\; -\; 1\; \; xa\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; \}\; \{a\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; \backslash \; tanh\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{a\}\}\}$

получаем

$|\; E\; (2\; \omega )\; |\; Z\; знак\; равно\; L\; знак\; равно\; E\; 0\; tanh\; \; (-\; я\; E\; 0\; l\; \omega \; d\; эфф\; N\; \omega \; ce\; 2\; я\; \varphi \; (\omega )\; -\; я\; \varphi \; (2\; \omega ))\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; E\; (2\; \backslash \; omega)\; |\; \_\; \{z\; =\; l\}\; =\; E\_\; \{0\}\; \backslash \; tanh\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-iE\_\; \{0\}\; l\; \backslash \; omega\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}\}\; \{n\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; c\}\}\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; phi\; (\backslash \; omega)\; -i\; \backslash \; phi\; (2\; \backslash \; omega)\}\; \backslash \; right)\}\}$

Если мы предположим реальное $d\; eff\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}$, относительные фазы реального гармонического роста должны быть такими, чтобы $e\; 2\; i\; \varphi \; (\omega )\; -\; i\; \varphi \; (2\; \omega )\; =\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; phi\; (\backslash \; omega)\; -\; я\; \backslash \; фи\; (2\; \backslash \; омега)\}\; =\; я\}$. Тогда

$I\; (2\; \omega ,\; l)\; знак\; равно\; I\; (\omega ,\; 0)\; tanh\; 2\; \; (E\; 0\; \omega \; d\; eff\; ln\; \omega \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (2\; \backslash \; omega,\; l)\; =\; I\; (\backslash \; omega,\; 0)\; \backslash \; tanh\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{0\}\; \backslash \; omega\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; l\}\; \{n\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; c\}\}\; \backslash \; right)\}\}$

или

$Я\; (2\; \omega ,\; l)\; знак\; равно\; I\; (\omega ,\; 0)\; tanh\; 2\; \; (\Gamma \; l),\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (2\; \backslash \; omega,\; l)\; =\; I\; (\backslash \; omega,\; 0)\; \backslash \; tanh\; ^\; \{\; 2\}\; \{(\backslash \; Gamma\; l)\},\}$

где $\Gamma \; =\; \omega \; d\; eff\; E\; 0\; /\; nc\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \backslash \; omega\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; E\_\; \{0\}\; /\; NC\}$. Из $я\; (2\; \omega ,\; l)\; +\; я\; (\omega ,\; l)\; =\; I\; (\omega ,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (2\; \backslash \; omega,\; l)\; +\; I\; (\backslash \; omega,\; l)\; =\; I\; (\backslash \; omega,\; 0)\}$, также следует, что

$I\; (\omega ,\; l)\; =\; I\; (\omega ,\; 0)\; sech\; 2\; \; (\Gamma \; l).\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (\backslash \; omega,\; l)\; =\; I\; (\backslash \; omega,\; 0)\; \backslash \; operatorname\; \{sech\}\; ^\; \{2\}\; \{(\backslash \; Gamma\; l)\}.\}$

Предполагается, что возбуждение представляет собой гауссов пучок с амплитудой: $A\; 1\; =\; A\; 0\; 2\; \pi \; z\; R\; iq\; (z)\; exp\; \; (ik\; 1\; x\; 2\; +\; y\; 2\; 2\; q\; (z))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{A\}\; \_\; \{1\}\}\; =\; \{\{A\}\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{z\}\; \_\; \{R\}\}\; \{\; iq\; (z)\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (i\; \{\{k\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\{x\}\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{\{y\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \{2q\; (z)\; \}\}\; \backslash \; right)\}$

с $q\; (z)\; =\; z\; -\; iz\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (z)\; =\; z-iz\_\; \{R\}\}$, $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$распространение распространения, $z\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{R\}\}$диапазон Рэлея, $k\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{k\}\; \_\; \{1\}\}$волновой вектор .

Каждая волна проверяет волновое уравнение : $[\partial \; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; \partial \; y\; 2\; +\; 2\; ik\; 1\; \partial \; \partial \; z]\; A\; (x,\; y,\; z;\; k\; 1)\; =\; |\; 0\; для\; фундаментальной\; \omega \; N\; 2\; c\; 2\; \chi \; (n)\; A\; (x,\; y,\; z;\; k\; 1)\; ei\; \Delta \; kz\; для\; n-й\; гармоники\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{y\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; 2i\; \{\{k\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{z\}\; \}\}\; \backslash \; right]\; \{A\}\; (x,\; y,\; z;\; \{\{k\}\; \_\; \{1\}\})\; =\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; \{\backslash \; text\; \{для\; основного\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\{c\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\{\backslash \; chi\}\; ^\; \{(\; n)\}\}\; \{A\}\; (x,\; y,\; z;\; \{\{k\}\; \_\; \{1\}\})\; \{\{e\}\; ^\; \{i\; \backslash \; Delta\; kz\}\}\; \{\backslash \; text\; \{для\; n-й\; гармоники\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{матрица\}\}\; \backslash \; справа.\}$

где $\Delta \; k\; =\; kn\; -\; k\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; k\; =\; k\_\; \{n\}\; -k\_\; \{1\}\}$.

С фазовым согласованием

показать, что: $A\; n\; =\; -\; i\; \omega \; n\; 2\; nn\; \omega \; с\; (A\; 0\; 2\; \pi )\; nz\; R\; 2\; \int \; -\; \infty \; z\; \chi \; (n)\; (u)\; q\; (u)\; 2\; du\; exp\; \; (\; iknx\; 2\; +\; y\; 2\; 2\; q\; (z))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{A\}\; \_\; \{n\}\}\; =\; -\; я\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; omega\}\; \_\; \{n\}\}\; \{2\; \{\{n\}\; \_\; \{n\; \backslash \; omega\; \}\}\; c\}\}\; \{\{\backslash \; left\; (\{\{A\}\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{n\}\}\; z\_\; \{R\}\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{z\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{\{\{\backslash \; chi\}\; ^\; \{(n)\}\}\; (u)\}\; \{q\; \{\{(u)\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; дю\; \}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (i\; \{\{k\}\; \_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\{x\}\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{\{y\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \{2q\; (z)\}\}\; \backslash \; right)\; \}$

(гауссовский ), является решением уравнения (n = 2 для ГВГ).

Нет согласования по фазе

Интенсивность ГВГ, согласованная или нет. Ширина среды должна быть намного больше, чем z, диапазон Рэлея на уровне 20 мкм, длина возбуждения 0,8 мкм и оптический индекс 2,2.

Неидеальное согласование фаз является более реалистичным состоянием на практике, особенно в биологических образцах. Однако принято, что параксиальное приближение еще действует: $kn\; =\; nk\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{k\}\; \_\; \{n\}\; =\; n\; \{k\}\; \_\; \{1\}\}$, а в гармоническом выражении $\chi \; (N)\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; chi\}\; ^\; \{(n)\}\}\; (z)\}$теперь $\chi \; (n)\; (z)\; ei\; \Delta \; kz\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; chi\}\; ^\; \{(n)\}\}\; (z)\; \{\{e\}\; ^\; \{i\; \backslash \; Delta\; kz\}\}\}$.

В особом случае SHG (n = 2), при средней длине L и положении фокуса $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\}$, интенсивность записывается: $I\; 2\; \omega \; =\; 2\; \omega \; 2\; \pi \; c\; 2\; ϵ\; 0\; w\; 0\; 2\; n\; 2\; \omega \; n\; \omega \; 2\; I\; \omega \; 2\; (\chi \; (2))\; 2\; (\int \; Z\; 0\; Z\; 0\; +\; L\; ei\; \Delta \; kz\; 1\; +\; iz\; /\; z\; R)\; 2\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; omega\}\; ^\; \{2\}\; \}\; \{\backslash \; pi\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; w\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; n\_\; \{2\; \backslash \; omega\}\; n\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; ^\; \{2\}\}\}\; I\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; ^\; \{2\}\; (\; \{\backslash \; chi\}\; ^\; \{(2)\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{z\_\; \{0\}\}\; ^\; \{z\_\; \{0\}\; +\; L\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{i\; \backslash \; Delta\; kz\}\}\; \{\; 1\; +\; iz\; /\; z\_\; \{R\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; dz\}$.

где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- скорость света в вакуум, $ϵ\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}$вакуум диэлектрическая проницаемость, $n\; n\; \omega \; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; \{\{n\}\; \_\; \{n\; \backslash \; omega\}\}\}$оптический индекс среды в $n\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; omega\}$и $w\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{0\}\}$размер талии возбуждения.

Таким образом, интенсивность ГВГ быстро спадает в объеме () из-за сдвига фазы Гуи гауссова пучка .

В соответствии с экспериментами, сигнал ГВГ исчезает в объеме (если толщина среды слишком велика), и ГВГ должна генерироваться на поверхности материала: поэтому преобразование не строго масштабируется с квадратом количества рассеивателей, в отличие от того, что модель плоской волны указывает. Интересно, что сигнал также полностью исчезает для более высоких порядков, например, THG.

Материалы, способные генерировать вторую гармонику, представляют собой кристаллы без инверсионной симметрии. Это исключает воду, кристаллы кубической симметрии и стекло.

Вот некоторые кристаллы, используемые с определенными типами лазеров для преобразования ГВГ:

• Фундаментальное возбуждение при 600–1500 нм: BiBO (BiB 3O6)
• Фундаментальное возбуждение при 570–4000 нм: Иодат лития LiIO 3.
• Фундаментальное возбуждение при 800–1100, часто 860 или 980 нм: Ниобат калия KNbO 3
• Фундаментальное возбуждение при 410–2000 нм: BBO (β-BaB 2O4)
• Фундаментальное возбуждение при 984–3400 нм: KTP (KTiOPO 4) или KTA,
• Фундаментальное возбуждение при 1064 нм: монофосфат калия KDP (KH 2PO4), триборат лития (LiB 3O5), CsLiB 6O10и Борат бария BBO (β-BaB 2O4).
• Фундаментальное возбуждение при 1319 нм: KNbO 3, BBO (β-BaB 2O4), монокалиевый фосфат KDP (KH 2PO4), LiIO 3, LiNbO 3 и титанилфосфат калия KTP (KTiOPO 4).
• Фундаментальное возбуждение при ~ 1000-2000 нм: периодически поляризованные кристаллы, например PPLN.

Нет Например, нитчатые биологические белки с цилиндрической симметрией, такие как коллаген, тубулин или миозин, но также некоторые углеводы (например, крахмал или целлюлоза ) также являются неплохими преобразователями ГВГ (основной в ближней инфракрасной области).

• Генерация полугармоник
• Нелинейная оптика
• Оптический умножитель частоты
• Визуализирующая микроскопия второй гармоники
• Спонтанное параметрическое преобразование с понижением частоты
• Генерация второй поверхностной гармоники
• Генерация гармоник

Статьи

• Парамешваран, КР; Kurz, J. R.; Русев, М. М.; Фейер (2002). «Наблюдение 99% -ного истощения накачки при однопроходной генерации второй гармоники в волноводе из ниобата лития с периодической полярностью». Письма об оптике. 27 (1): 43–45. Bibcode : 2002OptL... 27... 43P. doi : 10.1364 / ol.27.000043. PMID 18007710.
• «Удвоение частоты». Энциклопедия лазерной физики и техники. Проверено 4 ноября 2006 г.