Оптическая аберрация

Отклонение от идеального параксиального оптического поведения

v t Оптическая аберрация
Расфокусировка. Наклон. Сферическая аберрация. Астигматизм. Кома. Искажение. Кривизна поля Пецваля. Хроматическая аберрация

В оптике, аберрация является свойством оптических систем, таких как линзы, которые заставляют свет распространяться по некоторой области пространства, а не фокусироваться в точку. Аберрации приводят к размытию или искажению изображения, сформированного линзой, причем характер искажения зависит от типа аберрации. Аберрацию можно определить как отклонение характеристик оптической системы от прогнозов параксиальной оптики. В системе формирования изображений это происходит, когда свет из одной точки объекта не сходится (или не расходится) в одной точке после прохождения через систему. Аберрации возникают из-за того, что простая параксиальная теория не является полностью точной моделью воздействия оптической системы на свет, а не из-за дефектов в оптических элементах.

Оптическая система формирования изображения с аберрацией будет производить изображение нечеткое. Изготовителям оптических инструментов необходимо исправить оптические системы, чтобы компенсировать аберрацию.

Аберрации можно проанализировать с помощью методов геометрической оптики. В статьях по отражению, преломлению и каустике обсуждаются общие характеристики отраженных и преломленных лучей.

• 1 Обзор
  • 1.1 Монохроматические аберрации
  • 1.2 Хроматические аберрации
• 2 Теория монохроматических аберраций
  • 2.1 Аберрация осевых точек (сферическая аберрация в ограниченном смысле)
    • 2.1.1 Аберрация элементов, то есть самых маленьких объектов под прямым углом к ось
  • 2.2 Аберрация боковых точек объекта (точек за осью) узкими карандашами - астигматизм
  • 2.3 Аберрация боковых точек объекта широкими карандашами - кома
  • 2.4 Кривизна поля изображения
  • 2.5 Искажение изображения
  • 2.6 Модель аберраций Цернике
• 3 Аналитическая обработка аберраций
• 4 Практическое устранение аберраций
• 5 Хроматические или цветовые аберрации
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Отражение от сферического зеркала. Падающие лучи (красные) от центра зеркала создают отраженные лучи (зеленые), которые не попадают в точку фокусировки F. Это происходит из-за сферической аберрации.

С идеальной линзой свет из любой заданной точки на объекте будет проходить через линзу и объединяться в единственной точке на плоскости изображения (или, в более общем смысле, на поверхности изображения). Однако настоящие линзы не фокусируют свет точно в одну точку, даже если они идеально сделаны. Эти отклонения от идеальных характеристик линзы называются аберрациями линзы.

Аберрации делятся на два класса: монохроматические и хроматические. Монохроматические аберрации вызваны геометрией линзы или зеркала и возникают как при отражении света, так и при его преломлении. Они появляются даже при использовании монохроматического света, отсюда и название.

Хроматические аберрации вызваны дисперсией, изменением показателя преломления линзы с длиной волны. Из-за дисперсии световые волны различной длины фокусируются в разных точках. Хроматическая аберрация не появляется при использовании монохроматического света.

Монохроматические аберрации

Наиболее распространенные монохроматические аберрации:

• Расфокусировка
• Сферическая аберрация
• Кома
• Астигматизм
• Кривизна поля
• Искажение изображения

Хотя расфокусировка технически относится к оптическим аберрациям самого низкого порядка, она обычно не рассматривается как аберрация линзы, поскольку ее можно исправить, перемещая линзу (или плоскость изображения), чтобы привести плоскость изображения к оптическому фокусу объектива. линза.

В дополнение к этим аберрациям, поршень и наклон - это эффекты, которые смещают положение фокальной точки. Поршень и наклон не являются истинными оптическими аберрациями, поскольку, когда идеальный волновой фронт изменяется поршнем и наклоном, он все равно будет формировать идеальное изображение без аберраций, только смещенное в другое положение.

Хроматические аберрации

Сравнение идеального изображения кольца (1) и изображений с только аксиальной (2) и только поперечной (3) хроматической аберрацией

Хроматическая аберрация возникает, когда разные длины волн не сфокусированы в ту же точку. Типы хроматической аберрации:

• Осевая (или «продольная») хроматическая аберрация
• Боковая (или «поперечная») хроматическая аберрация

В идеальном оптическом система в классической теории оптики, лучи света, исходящие из любой точки объекта, объединяются в точку изображения; и, следовательно, пространство объекта воспроизводится в пространстве изображения. Введение простых вспомогательных терминов из-за Гаусса, названного фокусными расстояниями и фокальными плоскостями, позволяет определять изображение любого объекта для любой системы. Гауссова теория, однако, верна только до тех пор, пока углы, составляющие все лучи с оптической осью (симметричной осью системы), бесконечно малы, то есть с бесконечно малыми объектами, изображениями и линзами; на практике эти условия могут быть не реализованы, и изображения, проецируемые неисправленными системами, в целом, нечеткие и часто размытые, если апертура или поле зрения выходят за определенные пределы.

Исследования Джеймс Клерк Максвелл и Эрнст Аббе показали, что свойства этих репродукций, то есть относительное положение и величина изображений, не являются особыми свойствами оптических систем, а являются необходимыми следствиями предположения (согласно Аббе) воспроизведения всех точек пространства в точках изображения и не зависят от способа воспроизведения. Однако эти авторы показали, что никакая оптическая система не может оправдать эти предположения, поскольку они противоречат фундаментальным законам отражения и преломления. Следовательно, теория Гаусса предоставляет только удобный метод приближения реальности; реалистичные оптические системы не соответствуют этому недостижимому идеалу. В настоящее время все, что можно сделать, это проекция одной плоскости на другую; но даже в этом случае всегда возникают аберрации, и маловероятно, что они когда-либо будут полностью исправлены.

Аберрация осевых точек (сферическая аберрация в ограниченном смысле)

Рисунок 1

Пусть S ( рис. 1) для любой оптической системы лучи, исходящие из точки оси O под углом u1, объединятся в точке оси O'1; и под углом u2 в точке оси O'2. Если есть рефракция на коллективной сферической поверхности или через тонкую положительную линзу, O'2 будет лежать перед O'1, пока угол u2 больше, чем u1 (при коррекции); и наоборот с дисперсионной поверхностью или линзами (избыточная коррекция). Каустика в первом случае напоминает знак>(больше); во втором < (less than). If the angle u1 is very small, O'1 is the Gaussian image; and O'1 O'2 is termed the longitudinal aberration, and O'1R the lateral aberration of the карандаши с отверстием u2. Если карандаш с углом u2 соответствует максимальной аберрации всех прошедших пучков карандашей, то в плоскости, перпендикулярной оси в точке O'1, находится круговой диск нерезкости радиуса O'1R, а в параллельной плоскости в точке O'1. O'2 другой радиусом O'2R2; между этими двумя расположен диск наименьшего смешения.

Наибольшее отверстие карандашей, которые участвуют в воспроизведении O, т.е. угол u, обычно определяется краем одной из линз или через отверстие в тонкой пластине, расположенной между, перед или за линзами системы. Это отверстие называется упором или диафрагмой; Аббе использовал термин диафрагма диафрагма как для отверстия, так и для ограничивающего поля объектива. Компонент S1 системы, расположенный между ограничителем диафрагмы и объектом O, проецирует изображение диафрагмы, которое Аббе назвал входным зрачком; выходной зрачок - это изображение, сформированное компонентом S2, который помещен за ограничителем диафрагмы. Все лучи, выходящие из точки O и проходящие через диафрагму, также проходят через входной и выходной зрачки, так как это изображения диафрагмы. Поскольку максимальная апертура карандашей, выходящих из точки O, представляет собой угол u, который образует входной зрачок в этой точке, величина аберрации будет определяться положением и диаметром входного зрачка. Если система полностью находится за упором диафрагмы, то это сам входной зрачок (передний упор); если полностью впереди, то это выходной зрачок (задний упор).

Если точка объекта бесконечно удалена, все лучи, принимаемые первым членом системы, параллельны, и их пересечения после пересечения системы, варьируются в зависимости от высоты падения перпендикуляра, то есть расстояния от оси. Это расстояние заменяет угол u в предыдущих рассуждениях; а апертура, то есть радиус входного зрачка, является его максимальным значением.

Аберрация элементов, т.е. самые маленькие объекты, расположенные под прямым углом к ​​оси

Если лучи, исходящие из точки O (рис. 1) совпадают, из этого не следует, что точки в части плоскости, перпендикулярной оси O к оси, будут также совпадать, даже если часть плоскости очень мала. По мере увеличения диаметра линзы (т. Е. С увеличением диафрагмы_ соседняя точка N будет воспроизводиться, но с ней будут наблюдаться аберрации, сравнимые по величине с ON. Эти аберрации можно избежать, если, согласно Аббе, условие синуса sin u'1 / sin u1 = sin u'2 / sin u2, выполняется для всех лучей, воспроизводящих точку O. Если точка объекта O бесконечно удалена, u1 и u2 должны быть заменены на h1 и div class="ht", перпендикулярные высоты падения; синус тогда условие превращается в sin u'1 / h1 = sin u'2 / div class="ht". Система, удовлетворяющая этому условию и свободная от сферической аберрации, называется апланатической (греч. a-, привативный, план, блуждающий). Это слово впервые было использовано Роберт Блэр, чтобы охарактеризовать превосходный ахроматизм, и, впоследствии, многими авторами, чтобы обозначить свободу от сферической аберрации.

Поскольку аберрация увеличивается с увеличением расстояния луча от центра линзы аберрация увеличивается с увеличением диаметра линзы (или, соответственно, с увеличением th e диаметр апертуры), и, следовательно, может быть минимизирован за счет уменьшения апертуры, за счет также уменьшения количества света, попадающего в плоскость изображения.

Аберрация боковых точек объекта (точек за осью) узкими карандашами - астигматизм

Рисунок 2

Точка O (рис. 2) на конечном расстоянии от оси (или с бесконечно удаленный объект (точка, которая образует конечный угол с системой), как правило, даже в этом случае не воспроизводится резко, если пучок лучей, выходящих из него и проходящих через систему, сделать бесконечно узким путем уменьшения диафрагмы; такой карандаш состоит из лучей, которые могут проходить от точки объекта через теперь бесконечно маленький входной зрачок. Видно (без учета исключительных случаев), что карандаш не встречается с преломляющей или отражающей поверхностью под прямым углом; следовательно, это астигматизм (греч. a-, привативный, стигмия, точка). Называя центральный луч, проходящий через входной зрачок, осью карандаша или главным лучом, можно сказать: лучи карандаша пересекаются не в одной точке, а в двух фокальных линиях, которые можно предположить, находящимися под прямым углом. к главному лучу; из них один лежит в плоскости, содержащей главный луч и ось системы, то есть в первом главном или меридиональном разрезе, а другой - под прямым углом к ​​нему, то есть во втором главном или сагиттальном разрезе. Следовательно, мы не получаем ни в одной плоскости перехвата за системой, как, например, фокусирующий экран, изображение точки объекта; с другой стороны, в каждой из двух плоскостей отдельно формируются прямые O 'и O "(в соседних плоскостях образуются эллипсы), а в плоскости между O' и O" - круг наименьшего смешения. Интервал O'O ", называемый астигматической разницей, увеличивается, как правило, с углом W, составляющим главный луч OP с осью системы, то есть с полем зрения. Две поверхности астигматического изображения соответствуют одной плоскости объекта. ; и они соприкасаются в точке оси; на одной лежат фокальные линии первого типа, на другой - фокальные линии второго. Системы, в которых две астигматические поверхности совпадают, называются анастигматическими или стигматическими.

Сэр Исаак Ньютон был, вероятно, первооткрывателем астигмации; положение линий астигматического изображения было определено Томасом Янгом; и теория была развита Аллваром Гуллстрандом. Библиография П. Калманна дана в Moritz von Рор Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten.

Аберрация боковых точек объекта с помощью широких карандашей - кома

При более широком открытии стопора возникают аналогичные отклонения для боковых точек, как уже обсуждалось для осевых точек; но в данном случае они мю ч посложнее. Направление лучей в меридиональном сечении больше не симметрично главному лучу карандаша; и на плоскости пересечения вместо светящейся точки появляется пятно света, несимметричное относительно точки и часто имеющее сходство с кометой, хвост которой направлен к оси или от нее. От этого внешнего вида он получил свое название. Несимметричная форма меридионального карандаша - ранее единственная рассматриваемая - это кома только в более узком смысле; другие ошибки комы были обработаны Артуром Кенигом и Морицем фон Рором, а затем Аллваром Гуллстрандом.

Кривизна поля изображения

Если указанные выше ошибки необходимо устранить, объединить две астигматические поверхности и получить резкое изображение с широкой апертурой - остается необходимость скорректировать кривизну поверхности изображения, особенно когда изображение должно быть получено на плоской поверхности, например в фотографии. В большинстве случаев поверхность вогнута к системе.

Искажение изображения

Рис. 3a: Бочкообразное искажение Рис. 3b: Подушкообразное искажение

Даже если изображение резкое, оно может быть искажено по сравнению с идеальной точечной проекцией. В проекции точечного отверстия увеличение объекта обратно пропорционально его расстоянию до камеры вдоль оптической оси, так что камера, направленная прямо на плоскую поверхность, воспроизводит эту плоскую поверхность. Искажение можно представить как неравномерное растяжение изображения или, что эквивалентно, изменение увеличения по полю. Хотя «искажение» может включать в себя произвольную деформацию изображения, наиболее выраженными видами искажения, создаваемыми обычной оптикой формирования изображений, являются «бочкообразное искажение», при котором центр изображения увеличивается больше, чем периметр (рисунок 3a). Реверс, на котором периметр увеличен больше, чем центр, известен как «подушкообразное искажение» (рис. 3b). Этот эффект называется искажением линзы или искажением изображения, и существуют алгоритмы для его исправления.

Системы без искажений называются ортоскопическими (ортоскопические, вправо, скопейн, чтобы смотреть) или прямолинейными (прямые линии).

Рис. 4

Эта аберрация весьма отличается от аберрации резкости воспроизведения; при нерезком воспроизведении возникает вопрос об искажении, если на рисунке можно распознать только части объекта. Если на нерезком изображении пятно света соответствует точке объекта, центр тяжести пятна можно рассматривать как точку изображения, это точка, где плоскость, принимающая изображение, например, фокусирующий экран, пересекает луч, проходящий через середину остановки. Это предположение оправдано, если плохое изображение на фокусировочном экране остается неподвижным при уменьшении диафрагмы; на практике это обычно происходит. Этот луч, названный Аббе главным лучом (не путать с главными лучами теории Гаусса), проходит через центр входного зрачка до первого преломления и центр выходного зрачка после последнего преломления. Из этого следует, что правильность рисования зависит только от главных лучей; и не зависит от резкости или кривизны поля изображения. Ссылаясь на рис. 4, у нас O'Q '/ OQ = a' tan w '/ a tan w = 1 / N, где N - масштаб или увеличение изображения. Для того чтобы N было постоянным для всех значений w, «tan w» / a tan w также должны быть постоянными. Если отношение a '/ a является достаточно постоянным, как это часто бывает, указанное выше соотношение сводится к условию Эйри, то есть tan w' / tan w = константа. Это простое соотношение (см. Camb. Phil. Trans., 1830, 3, p. 1) выполняется во всех системах, которые являются симметричными относительно их диафрагмы (кратко называемыми симметричными или голосимметричными объективами) или которые состоят из двух одинаковых, но разноразмерные компоненты, расположенные от диафрагмы пропорционально их размеру и имеющие одинаковую кривизну (полусимметричные объективы); в этих системах tan w '/ tan w = 1.

Постоянство a' / a, необходимое для сохранения этого отношения, было указано RH Bow (Brit. Journ. Photog., 1861) и Thomas Саттон (Фотографические заметки, 1862 г.); его рассматривали О. Люммер и М. фон Рор (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17 и 1898, 18, стр. 4). Для этого требуется, чтобы середина диафрагмы воспроизводилась в центрах входного и выходного зрачков без сферической аберрации. М. фон Рор показал, что для систем, не удовлетворяющих ни условию Эйри, ни условию Боу-Саттона, отношение a 'cos w' / a tan w будет постоянным на одном расстоянии от объекта. Это комбинированное условие точно выполняется голосимметричными объективами, воспроизводящимися с масштабом 1, и полусимметричными, если масштаб воспроизведения равен отношению размеров двух компонентов.

Модель аберраций Цернике

Круговые профили волнового фронта, связанные с аберрациями, могут быть математически смоделированы с использованием полиномов Цернике. Разработанные Фрицем Зернике в 1930-х годах, многочлены Цернике ортогональны по окружности единичного радиуса. Сложный аберрированный профиль волнового фронта может быть аппроксимирован кривой с помощью полиномов Цернике для получения набора подгоночных коэффициентов, которые индивидуально представляют различные типы аберраций. Эти коэффициенты Цернике являются линейно независимыми, поэтому вклад отдельных аберраций в общий волновой фронт может быть выделен и количественно определен отдельно.

Существуют четные и нечетные многочлены Цернике. Четные полиномы Цернике определяются как

$Z\; nm\; (\rho ,\; \varphi )\; =\; R\; nm\; (\rho )\; cos\; \; (m\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; rho,\; \backslash \; phi)\; =\; R\_\; \{\; n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; rho)\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; (m\; \backslash ,\; \backslash \; phi)\; \backslash !\}$

и нечетные многочлены Цернике как

$Z\; n\; -\; m\; (\rho ,\; \varphi )\; =\; R\; nm\; (\rho )\; грех\; \; (м\; \varphi ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\_\; \{n\}\; ^\; \{-\; m\}\; (\backslash \; rho,\; \backslash \; phi)\; =\; R\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; rho)\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; (m\; \backslash ,\; \backslash \; phi),\; \backslash !\}$

где m и n неотрицательные целые числа с $n\; \ge \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; m\}$, Φ - азимутальный угол в радианах, а ρ - нормализованное радиальное расстояние. Радиальные многочлены $R\; нм\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}$не имеют азимутальной зависимости и определяются как

$R\; нм\; (\rho )\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; (n\; -\; м)\; /\; 2\; (-\; 1)\; к\; (п\; -\; к)!\; к!\; ((п\; +\; м)\; /\; 2\; -\; к)!\; ((п\; -\; м)\; /\; 2\; -\; к)!\; \rho \; n\; -\; 2\; k,\; если\; n\; -\; m\; четное\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; rho)\; =\; \backslash !\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{(nm)\; /\; 2\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; !\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{k\}\; \backslash ,\; (nk)!\}\; \{k!\; \backslash ,\; ((n\; +\; m)\; /\; 2-k)!\; \backslash ,\; ((nm)\; /\; 2-k)!\}\; \}\; \backslash ;\; \backslash \; rho\; ^\; \{n-2\; \backslash ,\; k\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; nm\; \{\backslash \; t\_dv\; \{is\; even\}\}\}$

и $R\; nm\; (\rho )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; rho)\; =\; 0\}$, если $n\; -\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; nm\}$нечетно.

Первые несколько многочленов Цернике, умноженные на их соответствующие коэффициенты подгонки, следующие:

$a\; 0\; \times \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; \backslash \; times\; 1\}$	«Поршень», равный среднее значение волнового фронта
$a\; 1\; \times \; \rho \; cos\; \; (\varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; rho\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\}$	«X-Tilt», отклонение всего луча в сагиттальном направлении
$a\; 2\; \times \; \rho \; sin\; \; (\varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; rho\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\}$	"Y -Tilt ", отклонение всего луча в тангенциальном направлении
$a\; 3\; \times \; (2\; \rho \; 2\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; times\; (2\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; -1)\}$	«Расфокусировка», параболический волновой фронт, возникающий из-за того, что он не в фокусе
$a\; 4\; \times \; \rho \; 2\; cos\; \; (2\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{4\}\; \backslash \; times\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; (2\; \backslash \; phi)\}$	«Астигматизм 0 °», цилиндрическая форма вдоль оси X или Y
$5\; \times \; \rho \; 2\; sin\; \; (2\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{5\}\; \backslash \; times\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; phi)\}$	«астигматизм 45 °», цилиндрическая форма, ориентированная под углом ± 45 ° от оси X
$a\; 6\; \times \; (3\; \rho \; 2\; -\; 2)\; \rho \; соз\; \; (\varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{6\}\; \backslash \; times\; (3\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; -2)\; \backslash \; rho\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\}$	«X-Coma», коматическое изображение, вспыхивающее в горизонтальное направление
$a\; 7\; \times \; (3\; \rho \; 2\; -\; 2)\; \rho \; sin\; \; (\varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{7\}\; \backslash \; times\; (3\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; -2)\; \backslash \; rho\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\}$	"Y-Coma", коматическое изображение, расширяющееся в вертикальном направлении
$a\; 8\; \times \; (6\; \rho \; 4\; -\; 6\; \rho \; 2\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{8\}\; \backslash \; times\; (6\; \backslash \; rho\; ^\; \{4\}\; -6\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; +1)\}$	«Сферическая аберрация третьего порядка»

, где $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$- нормализованный радиус зрачка с $0\; \le \; \rho \; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; rho\; \backslash \; leq\; 1\}$, $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$- азимутальный угол вокруг зрачка при $0\; \le \; \varphi \; \le \; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; phi\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; pi\}$и коэффициенты подгонки $a\; 0,\dots ,\; a\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{8\}\; \}$- ошибки волнового фронта в длинах волн.

Как и в синтезе Фурье с использованием синусов и косинусов, волновой фронт может быть идеально представлен достаточно большим количеством полиномов Цернике более высокого порядка. Однако волновые фронты с очень крутыми градиентами или очень высокой пространственной частотой структурой, например, созданной распространением через атмосферную турбулентность или аэродинамические поля потока плохо моделируются полиномами Цернике, которые имеют тенденцию к фильтру нижних частот точному пространственному определению в волновом фронте. В этом случае другие методы подгонки, такие как фракталы или разложение по сингулярным числам, могут дать улучшенные результаты подгонки.

Круговые полиномы были введены Фрицем Зернике для оценки точечного изображения аберрированной оптической системы с учетом эффектов дифракции. Идеальное точечное изображение в присутствии дифракции было описано Эйри еще в 1835 году. Потребовалось почти сто лет, чтобы прийти к всеобъемлющей теории и моделировать точечное изображение аберрированных систем (Зернике и Ниджбоэр). Анализ Nijboer и Zernike описывает распределение интенсивности, близкое к оптимальной фокальной плоскости. Недавно была разработана расширенная теория, которая позволяет рассчитывать амплитуду и интенсивность точечного изображения в гораздо большем объеме в фокальной области (Расширенная теория Нейбоэра-Цернике ). Эта расширенная теория Ниджбора-Цернике точечного изображения или формирования `` функции рассеяния точки '' нашла применения в общих исследованиях формирования изображения, особенно для систем с высокой числовой апертурой , а также для характеристики оптических систем в отношении их аберрации.

Предыдущий обзор нескольких ошибок воспроизведения принадлежит теории аберраций Аббе, в которой определенные аберрации обсуждаются отдельно; он хорошо подходит для практических нужд, так как при создании оптического прибора стараются устранить определенные ошибки, выбор которых обоснован опытом. Однако в математическом смысле этот выбор произвольный; воспроизведение конечного объекта с конечной апертурой, по всей вероятности, влечет за собой бесконечное количество аберраций. Это число конечно только в том случае, если объект и апертура считаются бесконечно малыми определенного порядка; и с каждым порядком бесконечной малости, то есть с каждой степенью приближения к реальности (к конечным объектам и отверстиям), связано определенное количество аберраций. Эта связь обеспечивается только теориями, которые рассматривают аберрации в целом и аналитически с помощью неопределенных рядов.

Рисунок 5

Луч, исходящий из точки O объекта (рис. 5), можно определить с помощью координат (ξ, η). Из этой точки O на плоскости объекта I, перпендикулярной оси, и двух других координат (x, y), точка, в которой луч пересекает входной зрачок, то есть плоскость II. Аналогичным образом соответствующий луч изображения может быть определен точками (ξ ', η') и (x ', y') в плоскостях I 'и II'. Начало этих четырех плоских систем координат может быть коллинеарно оси оптической системы; и соответствующие оси могут быть параллельны. Каждая из четырех координат ξ ', η', x ', y' является функцией ξ, η, x, y; и если предположить, что поле зрения и апертура бесконечно малы, то ξ, η, x, y имеют один и тот же порядок бесконечно малых; следовательно, разлагая ξ ', η', x ', y' по возрастанию степеней ξ, η, x, y, получаются ряды, в которых необходимо рассматривать только младшие степени. Легко видеть, что если оптическая система симметрична, начала систем координат коллинеарны оптической оси, а соответствующие оси параллельны, то при изменении знаков ξ, η, x, y значения ξ ', η', x ', y' должны также изменить свой знак, но сохранить свои арифметические значения; это означает, что ряды ограничены нечетными степенями немаркированных переменных.

Природа воспроизведения состоит в том, что лучи, исходящие из точки O, объединяются в другую точку O '; в общем, это не так, поскольку ξ ', η' меняются, если ξ, η постоянны, а x, y - переменные. Можно предположить, что плоскости I 'и II' нарисованы там, где изображения плоскостей I и II образованы лучами вблизи оси по обычным правилам Гаусса; и в результате расширения этих правил, но не соответствующего реальности, точка изображения Гаусса O '0 с координатами ξ' 0, η '0, из точки O на некотором расстоянии от оси можно было построить. Если записать Dξ '= ξ'-ξ' 0 и Dη '= η'-η' 0, тогда Dξ 'и Dη' - аберрации, принадлежащие ξ, η и x, y и являются функциями этих величин, которые при последовательном разложении содержат только нечетные степени по тем же причинам, что указаны выше. Из-за аберраций всех лучей, проходящих через точку O, в плоскости I 'образуется пятно света, размер которого зависит от наименьших степеней ξ, η, x, y, содержащихся в аберрациях. Эти степени, названные Дж. Petzval (Bericht uber die Ergebnisse einiger dioptrischer Untersuchungen, Buda Pesth, 1843; Akad. Sitzber., Wien, 1857, vols. Xxiv. Xxvi.) Числовые порядки изображения, следовательно, являются лишь нечетными степенями; условием формирования образа m-го порядка является то, что в рядах для Dξ 'и Dη' коэффициенты при степенях 3-й, 5-й... (m-2) -й степени должны обращаться в нуль. Поскольку образы теории Гаусса относятся к третьему порядку, следующая задача - получить изображение 5-го порядка или сделать коэффициенты при степенях 3-й степени равными нулю. Это требует выполнения пяти уравнений; другими словами, имеется пять изменений 3-го порядка, при исчезновении которых получается изображение 5-го порядка.

Выражение этих коэффициентов через константы оптической системы, то есть радиусы, толщины, показатели преломления и расстояния между линзами решались L. Зайдель (Astr. Nach., 1856, стр. 289); В 1840 г. Й. Петцваль построил свой портретный объектив на основе подобных расчетов, которые никогда не публиковались (см. М. фон Рор, Теория и методы фотографирования, Берлин, 1899, стр. 248). Теория была разработана С. Финтерсвальдером (Munchen. Acad. Abhandl., 1891, 17, p. 519), который также опубликовал посмертную статью Зайделя, содержащую краткий обзор его работы (München. Akad. Sitzber., 1898, 28, с. 395); более простая форма была дана А. Кербером (Beiträge zur Dioptrik, Leipzig, 1895-6-7-8-9). А. Кениг и М. фон Рор (см. M. von Rohr, Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten, стр. 317–323) представили метод Кербера и вывели формулы Зейделя из геометрических соображений, основанных на методе Аббе, и интерпретировали аналитические результаты геометрически (стр. 212–316).

Аберрации также могут быть выражены с помощью характеристической функции системы и ее дифференциальных коэффициентов, а не с помощью радиусов и т. д. линз ; эти формулы не применимы непосредственно, но дают, однако, соотношение между количеством аберраций и порядком. Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (British Assoc. Report, 1833, стр. 360), таким образом, вывел аберрации третьего порядка; а в более поздние времена этот метод продолжал клерк Максвелл (Proc. London Math. Soc., 1874–1875; (см. также трактаты Р.С. Хита и Л.А. Германа), М. Тизен (Berlin. Akad. Sitzber., 1890, p. 35, p. 804), H. Bruns (Leipzig. Math. Phys. Ber., 1895, 21, p. 410), и особенно успешно К. Шварцшильдом (Göttingen. Akad. Abhandl., 1905, 4, No. 1), который таким образом открыл аберрации 5-го порядка (которых девять), и, возможно, самое короткое доказательство практических (Зейдельских) формул. A. Gullstrand (см. Выше, и Ann. D. Phys., 1905, 18, p. 941) основал свою теорию аберраций на дифференциальной геометрии поверхностей.

Аберрации третьего порядка: (1) аберрация точки оси; (2) аберрация точек, удаленных от ось очень мала, меньше третьего порядка - отклонение от синусоидального состояния и кома здесь попадают в один класс; (3) астигматизм; (4) кривизна поля; (5) искажение.

( 1) Аберрация го Третий порядок расположения точек осей рассматривается во всех учебниках по оптике. Это очень важно в конструкции телескопа. В телескопах апертурой принято считать линейный диаметр объектива. Это не то же самое, что апертура микроскопа, которая основана на входном зрачке или поле зрения, если смотреть со стороны объекта, и выражается как угловое измерение. Аберрациями высших порядков в конструкции телескопа можно по большей части пренебречь. Для микроскопов этим нельзя пренебрегать. Для одиночной линзы очень малой толщины и заданной оптической силы аберрация зависит от отношения радиусов r: r 'и является минимумом (но никогда не равна нулю) для определенного значения этого отношения; он изменяется обратно пропорционально показателю преломления (сила линзы остается постоянной). Общая аберрация двух или более очень тонких линз в контакте, являющаяся суммой индивидуальных аберраций, может быть равна нулю. Это также возможно, если линзы имеют одинаковый алгебраический знак. Из тонких положительных линз с n = 1,5 четыре необходимы для коррекции сферической аберрации третьего порядка. Однако эти системы не имеют большого практического значения. В большинстве случаев комбинируются две тонкие линзы, одна из которых имеет столь же сильную положительную аберрацию (недокоррекцию, см. Выше), а другая - отрицательную; первая должна быть положительной линзой, а вторая - отрицательной линзой; однако сила света может отличаться, так что желаемый эффект линзы сохраняется. Как правило, преимуществом является обеспечение большого эффекта преломления несколькими линзами более слабыми, чем одной линзой с большим увеличением. С помощью одной, а также нескольких и даже бесконечного числа соприкасающихся тонких линз можно воспроизвести не более двух точек оси без аберрации третьего порядка. Отсутствие аберрации для двух точек оси, одна из которых бесконечно удалена, известно как состояние Гершеля. Все эти правила действительны, поскольку толщина и расстояние линз не должны приниматься во внимание.

(2) Условие отсутствия комы в третьем порядке также важно для объективов телескопов; это известно как состояние Фраунгофера. (4) После устранения аберрации на оси, комы и астигматизма соотношение для плоскостности поля в третьем порядке выражается уравнением Петцваля, S1 / r (n'-n) = 0, где r - радиус преломляющей поверхности, n и n 'показатели преломления соседних сред и S знак суммирования для всех преломляющих поверхностей.

Лазерные направляющие звезды помогают в устранении атмосферное искажение.

Классическая задача построения изображений - идеально воспроизвести конечную плоскость (объект) на другой плоскости (изображение) через конечную апертуру. Невозможно сделать это идеально для более чем одной такой пары самолетов (это было все более широко доказано Максвеллом в 1858 г., Брунсом в 1895 г. и Каратеодори в 1926 г., см. резюме в Walther, A., J. Opt. Soc. Am. A 6, 415–422 (1989)). Однако для одной пары плоскостей (например, для одной настройки фокуса объектива) проблема в принципе может быть решена идеально. Примеры такой теоретически совершенной системы включают линзу Люнебурга и рыбий глаз Максвелла.

. Практические методы решают эту проблему с точностью, которая в основном достаточна для специального назначения каждого вида инструментов. Проблема поиска системы, которая воспроизводит данный объект на данной плоскости с заданным увеличением (в той мере, в какой должны быть приняты во внимание аберрации), может быть решена с помощью теории приближения; в большинстве случаев, однако, аналитические трудности были слишком велики для старых методов расчета, но их можно было уменьшить, применив современные компьютерные системы. Однако решения были получены в особых случаях (см. A. Konig в "Die Bilderzeugung" М. фон Рора, стр. 373; K. Schwarzschild, Göttingen. Akad. Abhandl., 1905, 4, Nos. 2 и 3). В настоящее время конструкторы почти всегда используют обратный метод: они составляют систему из определенного, часто довольно личного опыта, и проверяют, путем тригонометрического расчета траекторий нескольких лучей, дает ли система желаемое воспроизведение (примеры приведены в A. Gleichen, Lehrbuch der geometrischen Optik, Лейпциг и Берлин, 1902 г.). Радиусы, толщины и расстояния постоянно изменяются до тех пор, пока ошибки изображения не станут достаточно малыми. Этим методом исследуются только определенные ошибки воспроизведения, особенно отдельные члены или все из перечисленных выше. Теория аналитического приближения часто используется временно, поскольку ее точности обычно недостаточно.

Чтобы сделать сферическую аберрацию и отклонение от синусоидального состояния малыми по всей апертуре, направляется луч с конечный угол раскрытия u * (ширина бесконечно удаленных объектов: при конечной высоте падения h *) такое же расстояние пересечения ion, и такое же соотношение синусов, что и для одного, соседнего с осью (u * или h * могут быть не намного меньше, чем самая большая апертура U или H, которая будет использоваться в системе). Лучи с углом раскрытия меньше u * не будут иметь одинакового расстояния пересечения и такого же отношения синусов; эти отклонения называются зонами, и конструктор старается свести их к минимуму. То же самое относится к ошибкам в зависимости от угла поля зрения, w: астигматизм, кривизна поля и искажения устраняются для определенного значения, w *, зоны астигматизма, кривизны поля и искажения, присутствуют меньшие значения w. Практик-оптик называет такие системы: с поправкой на угол раскрытия u * (высота падения h *) или угол поля зрения w *. Сферическая аберрация и изменения соотношений синусов часто представляются графически как функции апертуры, точно так же, как отклонения двух поверхностей астигматического изображения плоскости изображения точки оси представлены как функции углов поля зрения..

Следовательно, окончательная форма практической системы основывается на компромиссе; увеличение апертуры приводит к уменьшению доступного поля зрения, и наоборот. Но чем больше диафрагма, тем больше разрешение. Следующее может считаться типичным:

(1) Наибольшая апертура; необходимые поправки - для точки оси и условия синуса; ошибки поля зрения практически не принимаются во внимание; пример - объективы мощного микроскопа.

(2) Широкоугольный объектив ; необходимые исправления - астигматизм, кривизна поля и искажения; ошибки диафрагмы учитываются незначительно; примеры - фотографические широкоугольные объективы и окуляры.

Между этими крайними примерами стоит нормальный объектив : это больше исправлено в отношении диафрагмы; Объективы для групп, в большей степени относящиеся к полю зрения.

(3) Длиннофокусные линзы имеют небольшие поля зрения, и аберрации по оси очень важны. Поэтому зоны должны быть как можно меньше, а дизайн должен подчеркивать простоту. По этой причине эти линзы лучше всего подходят для аналитических вычислений.

В оптических системах, состоящих из линз, положение, величина и ошибки изображения зависят от показателей преломления используемого стекла. (см. Линза (оптика) и Монохроматическая аберрация выше). Поскольку показатель преломления зависит от цвета или длины волны света (см. дисперсия ), отсюда следует, что система линз (без коррекции) проецирует изображения разных цветов в несколько разных местах и ​​размерах и с разными аберрациями. ; То есть есть хроматические различия расстояний пересечения, увеличения и монохроматических аберраций. Если использовать смешанный свет (например, белый свет), все эти изображения формируются, и они вызывают путаницу, называемую хроматической аберрацией; например, вместо белого поля на темном фоне воспринимается цветное поле или узкий спектр. Отсутствие этой ошибки называется ахроматизмом, а исправленная таким образом оптическая система называется ахроматической. Система называется хроматически недокорректированной, если она показывает тот же тип хроматической ошибки, что и тонкая положительная линза, в противном случае говорят, что она чрезмерно скорректирована.

Если, во-первых, пренебречь монохроматическими аберрациями - другими словами, следует принять гауссову теорию - тогда каждое воспроизведение определяется положениями фокальных плоскостей и величиной фокусных расстояний или, если фокусные расстояния, как обычно бывает, равны, тремя константами воспроизведения. Эти константы определяются данными системы (радиусы, толщины, расстояния, индексы и т. Д. Линз); поэтому их зависимость от показателя преломления и, следовательно, от цвета поддается расчету. Для каждого типа стекла необходимо знать показатели преломления для разных длин волн. Таким образом, поддерживаются условия, при которых любая одна постоянная воспроизведения одинакова для двух разных цветов, то есть эта постоянная ахроматизирована. Например, можно с помощью одной толстой линзы в воздухе ахроматизировать положение фокальной плоскости на величину фокусного расстояния. Если все три константы воспроизведения быть ахроматизированными, то гауссовское изображение для всех расстояний до объектов будет одинаковым для двух цветов, и говорят, что система находится в стабильном ахроматизме.

На практике это более выгодно ( после Аббе), чтобы определить хроматическую аберрацию (например, аберрацию расстояния пересечения) для фиксированного положения объекта и выразить ее суммой, в которой каждый компонент содержит величину, обусловленную каждой преломляющей поверхностью. На плоскости, содержащей точку изображения одного цвета, другой цвет создает диск замешательства; это похоже на путаницу, вызванную двумя зонами сферической аберрации. Для бесконечно удаленных объектов радиус хроматического диска нерезкости пропорционален линейной апертуре и не зависит от фокусного расстояния (см. Выше, Монохроматическая аберрация точки оси); и поскольку этот диск становится менее вредным с увеличением изображения данного объекта или с увеличением фокусного расстояния, отсюда следует, что ухудшение изображения пропорционально отношению апертуры к фокусному расстоянию, то есть относительной апертуре. (Это объясняет гигантские фокусные расстояния, которые были в моде до открытия ахроматизма.)

Примеры:

(a) В очень тонкой линзе, в воздухе, только одна постоянная воспроизведения должна быть наблюдается, так как фокусное расстояние и расстояние фокусной точки равны. Если показатель преломления для одного цвета равен $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, а для другого $n\; +\; dn\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; dn\}$, а степени, или величина, обратная фокусному расстоянию: $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $f\; +\; df\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; +\; df\}$, затем (1) $dff\; =\; dn\; (n\; -\; 1)\; =\; 1\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dfrac\; \{df\}\; \{f\}\}\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{dn\}\; \{(n-1)\}\}\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{n\; \}\}\}$; $dn\; \{\backslash \; displaystyle\; dn\}$называется дисперсией, а $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$дисперсионной способностью стекла.

( б) Две тонкие линзы в контакте: пусть $f\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\}$и $f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{2\}\}$- силы, соответствующие показателям преломления линз $n\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{1\}\}$и $n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{2\}\}$и радиусы $r\; 1\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \text{'}\_\; \{1\}\}$, $r\; 1\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; r\text{'}\; \text{'}\_\; \{1\}\}$и $r\; 2\; \prime \; \{\; \backslash \; displaystyle\; r\; \text{'}\_\; \{2\}\}$, $r\; 2\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; r\text{'}\; \text{'}\_\; \{2\}\}$соответственно; пусть $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$обозначает общую мощность, а $df\; \{\backslash \; displaystyle\; df\}$, $dn\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; dn\_\; \{1\}\}$, $dn\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; dn\_\; \{2\}\}$изменения $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, $n\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{1\}\}$и $n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{2\}\}$с цветом. Тогда выполняются следующие соотношения:

(2) $f\; =\; f\; 1\; -\; f\; 2\; =\; (n\; 1\; -\; 1)\; (1\; /\; r\; 1\; \prime \; -\; 1\; /\; r\; 1\; ″)\; +\; (n\; 2\; -\; 1)\; (\; 1\; /\; r\; 2\; \prime \; -\; 1\; /\; r\; 2\; ″)\; =\; (n\; 1\; -\; 1)\; k\; 1\; +\; (n\; 2\; -\; 1)\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; f\_\; \{1\}\; -f\_\; \{2\}\; =\; (n\_\; \{1\}\; -1)\; (1\; /\; r\; \text{'}\_\; \{1\}\; -1\; /\; r\text{'}\; \text{'}\_\; \{1\})\; +\; (n2-1)\; (1\; /\; r\text{'}\; \_\; \{2\}\; -1\; /\; r\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{2\})\; =\; (n\_\; \{1\}\; -1)\; k\_\; \{1\}\; +\; (n\_\; \{2\}\; -1)\; k\_\; \{2\}\}$; и

(3) $df\; =\; k\; 1\; dn\; 1\; +\; k\; 2\; dn\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; =\; k\_\; \{1\}\; dn\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\}\; dn\_\; \{2\}\}$. Для ахроматизма $df\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; =\; 0\}$, следовательно, из (3),

(4) $k\; 1\; /\; k\; 2\; =\; -\; dn\; 2\; /\; dn\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{1\}\; /\; k\_\; \{2\}\; =\; -\; dn\_\; \{2\}\; /\; dn\_\; \{1\}\}$или $f\; 1\; /\; f\; 2\; =\; -\; n\; 1\; /\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; /\; f\_\; \{2\}\; =\; -\; n\_\; \{1\}\; /\; n\_\; \{2\}\}$. Следовательно, $f\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\}$и $f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{2\}\}$должны иметь разные алгебраические знаки, или система должна состоять из коллективной и рассеивающей линз. Следовательно, их степени должны быть разными (для того, чтобы $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$не равнялось нулю (уравнение 2)), и дисперсионные способности также должны быть разными (согласно 4)

Ньютон не осознавал существования сред с различной дисперсионной способностью, необходимой для ахроматизма; следовательно, он построил большие рефлекторы вместо рефракторов. Джеймс Грегори и Леонард Эйлер пришли к правильному взгляду на основе ложного представления об ахроматизме глаза; это было определено Честером Мором Холлом в 1728 году, Клингеншерной в 1754 году и Доллондом в 1757 году, построившими знаменитые ахроматические телескопы. (См. телескоп.)

Стекло с более низкой рассеивающей способностью (больше $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$) называется коронное стекло ; стекло с большей рассеивающей способностью бесцветное стекло. Для построения ахроматической коллективной линзы ($f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$позитивный) с помощью уравнения (4) следует, что коллективная линза I.из коронного стекла и рассеивающей линзы II. из бесцветного стекла; последняя, ​​хотя и более слабая, исправляет другую хроматически за счет большей рассеивающей способности. Для ахроматической дисперсионной линзы необходимо принять обратное. в настоящее время это обычный тип, например, объектив телескопа; значения четырех радиусов должны удовлетворять уравнениям (2) и (4). Можно также постулировать два других условия: одно - это всегда устранение аберрации на оси ; второе - либо условие Гершеля, либо условие Фраунгофера, последнее является лучшим vide supra, монохроматической аберрацией). На практике, однако, часто бывает полезнее избежать второго условия, сделав линзы контактирующими, то есть равными радиусами. Согласно П. Рудольфу (Eder's Jahrb. F. Photog., 1891, 5, p. 225; 1893, 7, p. 221), цементированные объективы тонких линз позволяют устранить сферическую аберрацию на оси, если, как указано выше, коллективная линза имеет меньший показатель преломления; с другой стороны, они позволяют устранить астигматизм и кривизну поля, если коллективная линза имеет больший показатель преломления (это следует из уравнения Петцваля; см. L. Seidel, Astr. Nachr., 1856, p. 289). Если цементированная система положительна, то более мощная линза должна быть положительной; и, согласно (4), большей мощности принадлежит более слабая дисперсионная способность (большая $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$), то есть коронное стекло; следовательно, стекло короны должно иметь больший показатель преломления для астигматических и плоских изображений. Однако во всех более ранних видах стекла дисперсионная способность увеличивалась с увеличением показателя преломления; то есть $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$уменьшилось, а $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$увеличилось; но некоторые из йенских очков Э. Аббе и О. Шотта были коронными стеклами с высоким показателем преломления, а ахроматические системы из таких коронных стекол с кремневыми стеклами с более низким показателем преломления называются новыми ахроматами и использовались П. Рудольф в первых анастигматах (фотографических объективах).

Вместо того, чтобы заставить $df\; \{\backslash \; displaystyle\; df\}$исчезнуть, ему может быть присвоено определенное значение, которое даст добавление двух линз, любое желаемое хроматическое отклонение, например достаточно, чтобы исключить один из других частей системы. Если линзы I. и II. быть цементированным и иметь одинаковый показатель преломления для одного цвета, тогда его эффект для этого одного цвета будет эффектом цельной линзы; путем такого разложения линзы ее можно по желанию сделать хроматической или ахроматической, не изменяя ее сферического эффекта. Если его хроматический эффект ($df\; /\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; /\; f\}$) больше, чем у того же объектива, так как это связано с более дисперсионным из двух используемых очков, это называется гиперхроматический.

Для двух тонких линз, разделенных расстоянием $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$, условие ахроматизма: $D\; =\; v\; 1\; f\; 1\; +\; v\; 2\; е\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; v\_\; \{1\}\; f\_\; \{1\}\; +\; v\_\; \{2\}\; f\_\; \{2\}\}$; если $v\; 1\; =\; v\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{1\}\; =\; v\_\; \{2\}\}$(например, если линзы сделаны из одного и того же стекла), это сокращается до $D\; =\; (\; f\; 1\; +\; f\; 2)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; (f\_\; \{1\}\; +\; f\_\; \{2\})\; /\; 2\}$, известное как условие для окуляров.

Если константа Если, например, фокусное расстояние должно быть одинаковым для двух цветов, то оно не будет одинаковым для других цветов, если используются два разных стекла. Например, условие ахроматизма (4) для двух соприкасающихся тонких линз выполняется только в одной части спектра, поскольку $dn\; 2\; /\; dn\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; dn\_\; \{2\}\; /\; dn\_\; \{1\}\}$изменяется в пределах спектра. Этот факт впервые установил Дж. Фраунгофер, определивший цвета по темным линиям в солнечном спектре; и показали, что соотношение дисперсии двух стекол варьируется примерно на 20% от красного до фиолетового (изменение для стекла и воды составляет примерно 50%). Таким образом, если для двух цветов a и b $fa\; =\; fb\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{a\}\; =\; f\_\; \{b\}\; =\; f\}$, то для третьего цвета c, фокусное расстояние другое; то есть, если c находится между a и b, то , и наоборот; Эти алгебраические результаты вытекают из того факта, что в сторону красного преобладает дисперсия положительного коронного стекла, в сторону фиолетового - дисперсия отрицательного кремня. Эти хроматические ошибки систем, которые являются ахроматическими для двух цветов, называются вторичным спектром и зависят от апертуры и фокусного расстояния так же, как и первичные хроматические ошибки.

На рис. На фиг.6, взятой из книги М. фон Рора Theorie und Geschichte deshotoischen Objectivs, абсциссы представляют собой фокусные расстояния, а ординаты - длины волн. Используемые линии фраунгофера показаны в соседней таблице.

A'	C	D	Зеленый Hg.	F	G'	Фиолетовый Hg.
767,7	656,3	589,3	546,1	486,2	454,1	405,1 нм

Рис. 6

Фокусные расстояния для прямых C и F. Уравнены. В окрестности 550 нм касательная к кривой параллельна оси длин волн; а фокусное расстояние меньше всего меняется в довольно большом диапазоне цветов, поэтому в этом районе цветовое объединение является наилучшим. Более того, эта область спектра является той, которая кажется наиболее яркой для человеческого глаза, и, следовательно, эта кривая вторичной обмотки на спектре, полученная путем выполнения $f\; C\; =\; f\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{C\}\; =\; f\_\; \{F\}\; \}$, согласно экспериментам сэра Г.Г. Стокса (Proc. Roy. Soc., 1878), наиболее подходит для визуальных инструментов (оптический ахроматизм). Аналогичным образом для систем, используемых в фотографии, вершина цветовой кривой должна быть помещена в положение максимальной чувствительности пластин; обычно предполагается, что это точка G '; и для этого объединены линии F и фиолетовой ртути. Эта уловка специально используется в объективах для астрономической фотографии (чистый актинический ахроматизм). Однако для обычной фотографии существует такой недостаток: изображение на фокусировочном экране и правильная настройка фотографической чувствительной пластины не совпадают; в астрономической фотографии это различие постоянно, но в других видах оно зависит от расстояния до объектов. По этой причине линии D и G 'объединены для обычных фотографических объективов; оптическое и актиническое изображение хуже хроматически, но оба лежат в одном и том же месте; и, следовательно, лучшая коррекция находится в F (это известно как актиническая коррекция или свобода от химического фокуса).

Если две линзы соприкасаются с одинаковыми фокусными расстояниями для трех цветов a, b и c, т.е. $fa\; =\; fb\; =\; fc\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{a\}\; =\; f\_\; \{b\}\; =\; f\_\; \{c\}\; =\; f\}$, тогда относительная частичная дисперсия $(nc\; -\; nb)\; (na\; -\; nb)\; \{\backslash \; displaystyle\; (n\_\; \{c\}\; -n\_\; \{b\})\; (n\_\; \{a\}\; -n\_\; \{b\})\}$должно быть одинаковым для двух используемых видов стекла. Это следует из рассмотрения уравнения (4) для двух пар цветов ac и bc. До недавнего времени не было известно очков с пропорциональной степенью абсорбции; но Р. Блэр (Trans. Edin. Soc., 1791, 3, p. 3), П. Барлоу и Ф. С. Арчер преодолели трудность, построив жидкие линзы между стеклянными стенками. Фраунгофер приготовил очки, которые уменьшали вторичный спектр; но постоянный успех был обеспечен только после того, как Э. Аббе и О. Шотт представили очки Jena. При использовании очков, не обладающих пропорциональной дисперсией, отклонение третьего цвета может быть устранено двумя линзами, если между ними допускается интервал; или тремя контактными линзами, которые могут не состоять из старых очков. При объединении трех цветов получается ахроматизм высшего порядка; есть еще остаточный третичный спектр, но им всегда можно пренебречь.

Теория Гаусса является лишь приближением; монохроматические или сферические аберрации все равно возникают, которые будут разными для разных цветов; и если бы они были компенсированы для одного цвета, изображение другого цвета оказалось бы тревожным. Наиболее важным является хроматическая разница аберрации точки оси, которая все еще присутствует, чтобы нарушить изображение, после того, как параксиальные лучи разных цветов объединяются соответствующей комбинацией очков. Если коллективную систему скорректировать по точке оси для определенной длины волны, то из-за большей дисперсии отрицательных компонентов - кремневых стекол - возникнет чрезмерная коррекция для более коротких длин волн (это ошибка отрицательных составляющих), и недостаточная коррекция для более длинных волн (ошибка линз из коронного стекла преобладает в красном цвете). Эта ошибка была рассмотрена Жаном ле Рондом Даламбером и, особенно, К. Ф. Гауссом. Он быстро увеличивается с увеличением апертуры и более важен для средних апертур, чем вторичный спектр параксиальных лучей; следовательно, сферическая аберрация должна быть устранена для двух цветов, а если это невозможно, то она должна быть устранена для тех конкретных длин волн, которые наиболее эффективны для рассматриваемого инструмента (графическое представление этой ошибки дано в M. von Rohr, Theorie und Geschichte deshotoischen Objectivs).

Условие воспроизведения элемента поверхности на месте резко воспроизводимой точки - константа синусоидальной связи также должна выполняться с большими апертурами для нескольких цветов. Э. Аббе удалось вычислить объективы микроскопа, свободные от погрешности точки оси и удовлетворяющие условию синуса для нескольких цветов, которые, следовательно, согласно его определению, были апланатическими для нескольких цветов; такие системы он назвал апохроматическими. Хотя, однако, увеличение отдельных зон одинаково, оно не такое же для красных и синих; и есть хроматическая разница в увеличении. Оно производится в том же количестве, но в противоположном смысле, окулярами, которые Аббе использовал с этими объективами (компенсирующие окуляры), так что оно устраняется на изображении всего микроскопа. Лучшие объективы телескопов и фотографические объективы, предназначенные для трехцветной работы, также апохроматичны, даже если они не обладают таким же качеством коррекции, как объективы микроскопов. Хроматические различия других ошибок воспроизведения редко имеют практическое значение.

• Аберрации глаза
• Оптический телескоп # Пять аберраций Зейделя
• Кодирование волнового фронта

• Объективы микроскопа: раздел оптических аберраций на веб-сайте Molecular Expressions, Майкл У. Дэвидсон, Мортимер Абрамовиц, Olympus America Inc. и Университет штата Флорида