Нормальные координаты

редактировать

В дифференциальной геометрии, нормальные координаты в точке p в дифференцируемое многообразие, снабженное симметричной аффинной связью, является локальной системой координат в окрестности точки p, полученной применением экспоненциальное отображение в касательное пространство на стр. В нормальной системе координат символы Кристоффеля соединения исчезают в точке p, что часто упрощает локальные вычисления. В нормальных координатах, связанных с связностью Леви-Чивиты риманова многообразия, можно дополнительно настроить, чтобы метрический тензор был дельта Кронекера в точке p, и что первые частные производные метрики в точке p равны нулю.

Основной результат дифференциальной геометрии гласит, что нормальные координаты в точке всегда существуют на многообразии с симметричной аффинной связностью. В таких координатах ковариантная производная сводится к частной производной (только в точке p), а геодезические, проходящие через p, являются локально линейными функциями от t (аффинного параметра). Эта идея была фундаментально реализована Альбертом Эйнштейном в общей теории относительности : принцип эквивалентности использует нормальные координаты через инерциальные системы отсчета. Нормальные координаты всегда существуют для связности Леви-Чивиты риманова или псевдориманова многообразия. Напротив, в общем случае нет способа определить нормальные координаты для финслеровых многообразий таким образом, чтобы экспоненциальное отображение было дважды дифференцируемым (Busemann 1955).

Содержание

1 Геодезические нормальные координаты
- 1.1 Свойства
- 1.2 Явные формулы
2 Полярные координаты
3 Ссылки
4 См. Также

Геодезические нормальные координаты

Геодезические нормальные координаты - это локальные координаты на многообразии с аффинной связью, определенные с помощью экспоненциального отображения

$exp p: T p M ⊃ V → M {\ displaystyle \ exp _ {p}: T_ {p } M \ supset V \ rightarrow M}$ $\ exp _ {p}: T _ {{p}} M \ supset V \ rightarrow M$

и изоморфизм

$E: R n → T p M {\ displaystyle E: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow T_ {p} M}$ $E: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow T _ {p}} M$

заданный любым базисом касательного пространства в фиксированной базовой точке p ∈ M. Если наложена дополнительная структура римановой метрики, то может потребоваться, чтобы базис, определяемый E, в дополнение был ортонормированный, и результирующая система координат тогда известна как риманова нормальная система координат .

Нормальные координаты существуют в нормальной окрестности точки p в M. A нормальная окрестность U - это подмножество M такое, что существует собственная окрестность V в касательном пространстве TpM, и exp p действует как диффеоморфизм между U и V. В нормальной окрестности U точки p в M карта задается по формуле:

$φ: = E - 1 ∘ exp p - 1: U → R n {\ displaystyle \ varphi: = E ^ {- 1} \ circ \ exp _ {p} ^ {- 1}: U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ varphi: = E ^ {{- 1}} \ circ \ exp _ {p} ^ {{- 1}}: U \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {n}$

Изоморфизм E может быть любым изоморфизмом между двумя векторными пространствами, поэтому существует столько диаграмм, сколько различных ортонормированных базисов в области определения E.

Свойства

Свойства нормальных координат часто упрощают вычисления. Далее предположим, что $U {\ displaystyle U}$ $U$ является нормальной окрестностью с центром в точке $p {\ displaystyle p}$ $p$ в $M { \ displaystyle M}$ $M$ и $xi {\ displaystyle x ^ {i}}$ $x ^ {i}$ - нормальные координаты на $U {\ displaystyle U}$ $U$ .

Пусть $V {\ displaystyle V}$ $V$ - некоторый вектор из $T p M {\ displaystyle T_ {p} M}$ $T_ {p} M$ с компонентами $V i {\ displaystyle V ^ { i}}$ ${\ displaystyle V ^ {i}}$ в местных координатах, а $γ V {\ displaystyle \ gamma _ {V}}$ $\ gamma _ {V}$ будет геодезической в $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ пройти через точку $p {\ displaystyle p}$ $p$ с вектором скорости $V {\ displaystyle V}$ $V$ , тогда $γ V {\ displaystyle \ gamma _ {V}}$ $\ gamma _ {V}$ представлен в нормальных координатах как $γ V (t) = (t V 1,..., t V n) {\ displaystyle \ gamma _ {V} (t) = (tV ^ {1},..., tV ^ {n})}$ $\ gamma _ {V} (t) = (tV ^ {1},..., tV ^ {n})$ , если он находится в $U { \ displaystyle U}$ $U$ .
Координаты точки $p {\ displaystyle p}$ $p$ равны $(0,..., 0) {\ displaystyle (0,..., 0)}$ ${ \ Displaystyle (0,..., 0)}$
В римановых нормальных координатах в точке $p {\ displaystyle p}$ $p$ компоненты римановой метрики $gij {\ displaystyle g_ {ij}}$ $g_ {ij}$ упростить до $δ ij {\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta _ {ij}$ , т. Е. $gij (p) = δ ij {\ displaystyle g_ {ij} (p) = \ delta _ {ij}}$ ${\ displaystyle g_ {ij} (p) = \ delta _ {ij}}$ .
символы Кристоффеля исчезают при $p {\ displaystyle p}$ $p$ , то есть $Γ ijk (p) = 0 {\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} (p) = 0}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} (p) = 0}$ . В римановом случае так же поступают и первые частные производные от $gij {\ displaystyle g_ {ij}}$ $г _ {{ij}}$ , т. Е. $∂ gij ∂ xk (p) = 0, ∀ i, j, k {\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} (p) = 0, \, \ forall i, j, k}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {ij}} { \ partial x ^ {k}}} (p) = 0, \, \ forall i, j, k}$ .

Явные формулы

В окрестности любой точки $p = (0,… 0) {\ displaystyle p = (0, \ ldots 0)}$ ${\ displaystyle p = (0, \ ldots 0)}$ с локальной ортонормированной системой координат, в которой $g μ ν (0) = δ μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} (0) = \ delta _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} (0) = \ delta _ {\ mu \ nu}}$ и тензор Римана в $p {\ displaystyle p}$ $p$ принимает значение $R μ σ ν τ (0) {\ displaystyle R _ {\ mu \ sigma \ nu \ tau} (0)}$ ${\ displaystyle R _ {\ mu \ sigma \ nu \ tau} (0)}$ мы можно настроить координаты $x μ {\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ так, чтобы компоненты метрического тензора находились вдали от $p {\ displaystyle p}$ $p$ стать

$g μ ν (x) = δ μ ν - 1 3 R μ σ ν τ (0) x σ x τ + O (| x | 3). {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} (x) = \ delta _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {3}} R _ {\ mu \ sigma \ nu \ tau} (0) x ^ {\ sigma} x ^ {\ tau} + O (| x | ^ {3}).}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} (x) = \ delta _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {3}} R _ {\ mu \ sigma \ nu \ tau} (0) x ^ {\ sigma} x ^ {\ tau} + O (| x | ^ {3}).}$

Соответствующие символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты:

$Γ λ μ ν (x) = - 1 3 ( R λ ν μ τ (0) + R λ μ ν τ (0)) x τ + O (| x | 2). {\ displaystyle {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ nu} (x) = - {\ frac {1} {3}} (R _ {\ lambda \ nu \ mu \ tau} (0) + R _ {\ lambda \ mu \ nu \ tau} (0)) x ^ {\ tau} + O (| x | ^ {2}).}$ ${\ displaystyle {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ nu} (x) = - {\ frac {1} {3}} (R _ {\ lambda \ nu \ mu \ tau} (0) + R _ {\ lambda \ mu \ nu \ tau} (0)) x ^ {\ tau} + O (| x | ^ {2}).}$

Аналогичным образом мы можем построить локальные кадры, в которых

$e μ ∗ a (Икс) знак равно δ a μ - 1 6 R a σ μ τ (0) x σ x τ + O (x 2), {\ displaystyle e _ {\ mu} ^ {* a} (x) = \ delta _ {a \ mu} - {\ frac {1} {6}} R_ {a \ sigma \ mu \ tau} (0) x ^ {\ sigma} x ^ {\ tau} + O (x ^ {2})),}$ ${\ displaystyle e _ {\ mu} ^ {* a} (x) = \ delta _ {a \ mu} - {\ frac {1} {6}} R_ {a \ sigma \ mu \ tau} (0) x ^ {\ sigma} x ^ {\ tau} + O (x ^ {2}),}$

, а коэффициенты спиновой связи принимают значения

$ω ab μ (x) = - 1 2 R ab μ τ (0) x τ + O (| x | 2). {\ displaystyle {\ omega ^ {a}} _ {b \ mu} (x) = - {\ frac {1} {2}} {R ^ {a}} _ {b \ mu \ tau} (0) x ^ {\ tau} + O (| x | ^ {2}).}$ ${\ displaystyle {\ omega ^ {a}} _ {b \ mu} (x) = - { \ frac {1} {2}} {R ^ {a}} _ {b \ mu \ tau} (0) x ^ {\ tau} + O (| x | ^ {2}).}$

Полярные координаты

На римановом многообразии нормальная система координат в точке p облегчает введение системы сферические координаты, известные как полярные координаты . Это координаты на M, полученные путем введения стандартной сферической системы координат в евклидовом пространстве T p M. То есть вводится на T p M стандартная сферическая система координат (r, φ), где r ≥ 0 - радиальный параметр, а φ = (φ 1,..., φ n − 1) является параметризацией (n − 1) -сферы. Композиция (r, φ) с отображением, обратным экспоненциальному отображению в p, является полярной системой координат.

Полярные координаты предоставляют ряд фундаментальных инструментов римановой геометрии. Радиальная координата является наиболее важной: геометрически она представляет собой геодезическое расстояние до ближайших точек p. Лемма Гаусса утверждает, что градиент r - это просто частная производная $∂ / ∂ r {\ displaystyle \ partial / \ partial r}$ $\ partial / \ partial r$ . То есть

⟨df, dr⟩ = ∂ f ∂ r {\ displaystyle \ langle df, dr \ rangle = {\ frac {\ partial f} {\ partial r}}}

\ langle df, dr \ rangle = {\ frac {\ partial f} {\ partial r}}

для любой гладкой функции ƒ. В результате метрика в полярных координатах принимает блочную диагональ в виде

g = [1 0 ⋯ 0 0 ⋮ g ϕ ϕ (r, ϕ) 0]. {\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} 1 0 \ cdots \ 0 \\ 0 \\\ vdots g _ {\ phi \ phi} (r, \ phi) \\ 0 \ end {bmatrix}}.}

g = {\ begin {bmatrix} 1 0 \ cdots \ 0 \\ 0 \\\ vdots g _ {{\ phi \ phi}} (r, \ phi) \\ 0 \ end {bmatrix}}.

Ссылки

Busemann, Herbert (1955), «О нормальных координатах в финслеровских пространствах», Mathematische Annalen, 129 : 417–423, doi : 10.1007 / BF01362381, ISSN 0025-5831, MR 0071075.
Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое издание), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
Chern, S.S.; Chen, W. H.; Lam, K. S.; Лекции по дифференциальной геометрии, World Scientific, 2000

См. Также