Обезразмерение

редактировать

метод математического упрощения в физических науках

Обезразмерение - это частичное или полное удаление физических размеров из уравнения , включающего физические величины, путем подходящей подстановки переменных. Этот метод может упростить и параметризовать задачи, в которых задействованы измеренные единицы. Это тесно связано с анализом размеров. В некоторых физических системах термин масштабирование используется взаимозаменяемо с обезразмериванием, чтобы предположить, что определенные величины лучше измеряются относительно некоторых подходящих единиц. Эти единицы относятся к величинам , присущим системе, а не к таким единицам, как единицы СИ. Обезразмеривание - это не то же самое, что преобразование экстенсивных количеств в уравнении в интенсивные количества, поскольку последняя процедура приводит к переменным, которые все еще содержат единицы измерения.

Обезразмерение может также восстановить характерные свойства системы. Например, если система имеет внутреннюю резонансную частоту , длину или постоянную времени, обезразмеривание может восстановить эти значения. Этот метод особенно полезен для систем, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Одно из важных применений - анализ систем управления. Одной из простейших единиц измерения является время удвоения системы, испытывающей экспоненциальный рост, или, наоборот, период полураспада системы, испытывающей экспоненциальный распад. ; более естественной парой характеристических единиц является средний возраст / средний срок службы, которые соответствуют основанию e, а не основанию 2.

Многие иллюстративные примеры обезразмеривания происходят из упрощения дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что большое количество физических проблем можно сформулировать в терминах дифференциальных уравнений. Обратите внимание на следующее:

Хотя обезразмеривание хорошо адаптировано для этих задач, оно не ограничивается ими. Примером применения недифференциального уравнения является анализ размерностей; другой пример - нормализация в статистике.

Измерительные приборы - практические примеры обезразмеривания, происходящие в повседневной жизни. Измерительные приборы калибруются относительно известной единицы. Последующие измерения производятся относительно этого стандарта. Затем абсолютное значение измерения восстанавливается путем масштабирования относительно стандарта.

Содержание

1 Обоснование
2 Шаги обезразмеривания
- 2.1 Условные обозначения
- 2.2 Подстановки
  - 2.2.1 Дифференциальные операторы
  - 2.2.2 Форсирующая функция
3 Линейные дифференциальные уравнения с константой коэффициенты
- 3.1 Система первого порядка
- 3.2 Система второго порядка
  - 3.2.1 Шаг замещения
  - 3.2.2 Определение характеристических единиц
- 3.3 Системы высшего порядка
- 3.4 Примеры восстановления характеристических единиц
  - 3.4.1 Механические колебания
  - 3.4.2 Электрические колебания
    - 3.4.2.1 Последовательная RC-цепь первого порядка
    - 3.4.2.2 Последовательная RLC-цепь второго порядка
- 3.5 Квантовая механика
  - 3.5. 1 Квантовый гармонический осциллятор
4 Статистические аналоги
5 См. Также
6 Внешние ссылки

Обоснование

Предположим, маятник качается с определенным периодом . Т. Для такой системы выгодно выполнять вычисления, относящиеся к качанию относительно T. В некотором смысле это нормализация измерения по периоду.

Измерения, сделанные относительно внутреннего свойства системы, будут применяться к другим системам, которые также имеют такое же внутреннее свойство. Это также позволяет сравнивать общее свойство различных реализаций одной и той же системы. Обезразмеривание систематически определяет характеристические единицы системы для использования, не полагаясь в значительной степени на предварительное знание внутренних свойств системы (не следует путать характеристические единицы системы с естественными единицами природы). Фактически, обезразмеривание может предложить параметры, которые следует использовать для анализа системы. Однако необходимо начать с уравнения, которое надлежащим образом описывает систему.

Шаги обезразмеривания

Чтобы обезразмерить систему уравнений, нужно сделать следующее:

Определить все независимые и зависимые переменные;
Заменить каждую из них на величина, масштабированная относительно характеристической единицы измерения, подлежащей определению;
разделить на коэффициент полинома высшего порядка или производного члена;
выбрать разумно определение характеристической единицы для каждой переменной так, чтобы коэффициенты при максимально возможном числе членов равнялись 1;
Перепишите систему уравнений в терминах их новых безразмерных величин.

Последние три шага обычно относятся к проблеме, в которой применяется обезразмеривание. Однако почти все системы требуют выполнения первых двух шагов.

Условные обозначения

Нет никаких ограничений на имена переменных, используемых для замены «x» и «t». Однако обычно они выбираются таким образом, чтобы их было удобно и интуитивно понятно использовать для решения поставленной задачи. Например, если «x» представляет массу, буква «m» может быть подходящим символом для представления безразмерной величины массы.

В этой статье использовались следующие условные обозначения:

t - представляет независимую переменную - обычно количество времени. Его безразмерный аналог: $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$ .
x - представляет зависимую переменную - может быть массой, напряжением или любой измеримой величиной. Его безразмерный аналог - $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\chi$ .

Нижний индекс c, добавленный к имени переменной величины, используется для обозначения единицы характеристики, используемой для масштабирования этой величины. Например, если x - величина, то x c - это характеристика, используемая для ее масштабирования.

. В качестве иллюстративного примера рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами :

a d x d t + b x = A f (t). {\ displaystyle a {\ frac {dx} {dt}} + bx = Af (t).}

a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).

В этом уравнении независимой переменной является t, а зависимой переменной - x.
Установить $Икс = ХХС, Т = ТТС {\ Displaystyle Х = \ Чи Х_ {С}, \ Т = \ Тау Т_ {С}}$ $x=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c}$ . Это приводит к уравнению
$a x c t c d χ d τ + b x c χ = A f (τ t c) = d e f A F (τ). {\ displaystyle a {\ frac {x_ {c}} {t_ {c}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + bx_ {c} \ chi = Af (\ tau t_ {c}) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ AF (\ tau).}$ $a{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ AF(\tau).$
Коэффициент наивысшего упорядоченного члена стоит перед первым членом производной. Деление на это дает
$d χ d τ + b t c a χ = A t c a x c F (τ). {\ displaystyle {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + {\ frac {bt_ {c}} {a}} \ chi = {\ frac {At_ {c}} {ax_ {c}}} F (\ tau).}$ ${\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{c}}{a}}\chi ={\frac {At_{c}}{ax_{c}}}F(\tau).$
Коэффициент перед χ содержит только одну характеристическую переменную t c, поэтому проще всего сначала установить ее равной единице:
$btca = 1 ⇒ tc = ab. {\ displaystyle {\ frac {bt_ {c}} {a}} = 1 \ Rightarrow t_ {c} = {\ frac {a} {b}}.}$ ${\frac {bt_{c}}{a}}=1\Rightarrow t_{c}={\frac {a}{b}}.$ Впоследствии $A tcaxc = A bxc = 1 ⇒ xc = A b. {\ displaystyle {\ frac {At_ {c}} {ax_ {c}}} = {\ frac {A} {bx_ {c}}} = 1 \ Rightarrow x_ {c} = {\ frac {A} {b }}.}$ ${\frac {At_{c}}{ax_{c}}}={\frac {A}{bx_{c}}}=1\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{b}}.$
Окончательное безразмерное уравнение в этом случае становится полностью независимым от каких-либо параметров с единицами измерения:
$d χ d τ + χ = F (τ). {\ displaystyle {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}$ ${\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau).$

Замены

Предположим для простоты, что некоторая система характеризуется двумя переменными - зависимая переменная x и независимая переменная t, где x - это функция от t. И x, и t представляют величины с единицами измерения. Чтобы масштабировать эти две переменные, предположим, что существуют две внутренние единицы измерения x c и t c с теми же единицами, что и x и t соответственно, так что выполняются следующие условия:

τ = ttc ⇒ t = τ tc {\ displaystyle \ tau = {\ frac {t} {t_ {c}}} \ Rightarrow t = \ tau t_ {c}}

\tau ={\frac {t}{t_{c}}}\Rightarrow t=\tau t_{c}

χ = xxc ⇒ x = χ xc. {\ displaystyle \ chi = {\ frac {x} {x_ {c}}} \ Rightarrow x = \ chi x_ {c}.}

\chi ={\frac {x}{x_{c}}}\Rightarrow x=\chi x_{c}.

Эти уравнения используются для замены x и t при обезразмеривании. Если для описания исходной системы необходимы дифференциальные операторы, их масштабированные аналоги становятся безразмерными дифференциальными операторами.

Дифференциальные операторы

Рассмотрим соотношение

t = τ t c ⇒ d t = t c d τ ⇒ d τ d t = 1 t c. {\ displaystyle \, \! t = \ tau t_ {c} \ Rightarrow dt = t_ {c} d \ tau \ Rightarrow {\ frac {d \ tau} {dt}} = {\ frac {1} {t_ { c}}}.}

\,\!t=\tau t_{c}\Rightarrow dt=t_{c}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{c}}}.

Безразмерный дифференциальный оператор относительно независимой переменной принимает вид

ddt = d τ dtdd τ = 1 tcdd τ ⇒ dndtn = (ddt) n = (1 tcdd τ) n = 1 tcndnd τ н. {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} = {\ frac {d \ tau} {dt}} {\ frac {d} {d \ tau}} = {\ frac {1} {t_ {c} }} {\ frac {d} {d \ tau}} \ Rightarrow {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} = \ left ({\ frac {d} {dt}} \ right) ^ {n} = \ left ({\ frac {1} {t_ {c}}} {\ frac {d} {d \ tau}} \ right) ^ {n} = {\ frac {1} {t_ {c} ^ {n}}} {\ frac {d ^ {n}} {d \ tau ^ {n}}}.}

{\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{t_{c}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.

Функция принуждения

Если в системе есть функция принуждения $f (t) {\ displaystyle \, \! f (t)}$ $\,\!f(t)$ , затем

f (t) = f (τ tc) = f (t (τ)) = F (τ). {\ displaystyle \, \! f (t) = f (\ tau t_ {c}) = f (t (\ tau)) = F (\ tau).}

\,\!f(t)=f(\tau t_{c})=f(t(\tau))=F(\tau).

Следовательно, новая функция принуждения $F {\ displaystyle \, \! F}$ $\,\!F$ зависит от безразмерной величины $τ {\ displaystyle \, \! \ Tau}$ $\,\!\tau$ .

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Система первого порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение для системы первого порядка:

adxdt + bx = A f (t). {\ displaystyle a {\ frac {dx} {dt}} + bx = Af (t).}

a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).

Вывод характеристических единиц для этой системы дает

tc = ab, xc = А б. {\ displaystyle t_ {c} = {\ frac {a} {b}}, \ x_ {c} = {\ frac {A} {b}}.}

t_{c}={\frac {a}{b}},\ x_{c}={\frac {A}{b}}.

Система второго порядка

A Система второго порядка имеет вид

ad 2 xdt 2 + bdxdt + cx = A f (t). {\ displaystyle a {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + b {\ frac {dx} {dt}} + cx = Af (t).}

a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).

Шаг замещения

Замените переменные x и t их масштабированными величинами. Уравнение принимает вид

a x c t c 2 d 2 χ d τ 2 + b x c t c d χ d τ + c x c χ = A f (τ t c) = A F (τ). {\ displaystyle a {\ frac {x_ {c}} {t_ {c} ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + b {\ frac {x_ {c}} {t_ {c}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + cx_ {c} \ chi = Af (\ tau t_ {c}) = AF (\ tau).}

a{\frac {x_{c}}{t_{c}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})=AF(\tau).

Это новое уравнение не безразмерно, хотя все переменные с единицами измерения изолированы в коэффициентах. Разделив на коэффициент при наивысшем упорядоченном члене, уравнение принимает вид

d 2 χ d τ 2 + t c b a d χ d τ + t c 2 c a χ = A t c 2 a x c F (τ). {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + t_ {c} {\ frac {b} {a}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + t_ {c} ^ {2} {\ frac {c} {a}} \ chi = {\ frac {At_ {c} ^ {2}} {ax_ {c}}} F (\ tau).}

{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{c}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+t_{c}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}F(\tau).

Теперь необходимо определить величины x c и t c, чтобы коэффициенты стали нормализованными. Поскольку имеется два свободных параметра, самое большее только два коэффициента могут быть равны единице.

Определение единиц характеристики

Рассмотрим переменную t c:

Если $tc = ab {\ displaystyle t_ {c} = {\ frac {a} {b}}}$ $t_{c}={\frac {a}{b}}$ член первого порядка нормализован.
Если $tc = ac {\ displaystyle t_ {c} = {\ sqrt {\ frac {a} {c}}}}$ $t_{c}={\sqrt {{\frac {a}{c}}}}$ член нулевого порядка нормализован.

Обе замены действительны. Однако по педагогическим причинам последняя замена используется для систем второго порядка. Выбор этой замены позволяет определить x c путем нормализации коэффициента функции принуждения:

1 = A t c 2 a x c = A c x c ⇒ x c = A c. {\ displaystyle 1 = {\ frac {At_ {c} ^ {2}} {ax_ {c}}} = {\ frac {A} {cx_ {c}}} \ Rightarrow x_ {c} = {\ frac { A} {c}}.}

1={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}={\frac {A}{cx_{c}}}\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{c}}.

Дифференциальное уравнение принимает вид

d 2 χ d τ 2 + bacd χ d τ + χ = F (τ). {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + {\ frac {b} {\ sqrt {ac}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}

{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{{\sqrt {ac}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau).

Коэффициент члена первого порядка безразмерен. Определим

2 ζ = d e f b a c. {\ displaystyle 2 \ zeta \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {b} {\ sqrt {ac}}}.}

2\zeta \ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\frac {b}{{\sqrt {ac}}}}.

Фактор 2 присутствует, так что решения можно параметризовать через ζ. В контексте механических или электрических систем ζ известен как коэффициент демпфирования и является важным параметром, необходимым при анализе систем управления. 2ζ также известен как ширина линии системы. Результатом определения является уравнение универсального осциллятора.

d 2 χ d τ 2 + 2 ζ d χ d τ + χ = F (τ). {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}

{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau).

Системы высшего порядка

Общее линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

andnx (t) dtn + an - 1 dn - 1 x (t) dtn - 1 +… + a 1 dx (t) dt + a 0 x (t) = ∑ k = 0 nakdkx (t) dtk = A f (t). {\ displaystyle a_ {n} {\ frac {d ^ {n} x (t)} {dt ^ {n}}} + a_ {n-1} {\ frac {d ^ {n-1} x (t)} {dt ^ {n-1}}} + \ ldots + a_ {1} {\ frac {dx (t)} {dt}} + a_ {0} x (t) = \ sum _ {k = 0 } ^ {n} a_ {k} {\ frac {d ^ {k} x (t)} {dt ^ {k}}} = Af (t).}

a_{n}{\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}+a_{{n-1}}{\frac {d^{{n-1}}x(t)}{dt^{{n-1}}}}+\ldots +a_{1}{\frac {dx(t)}{dt}}+a_{0}x(t)=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}{\frac {d^{k}x(t)}{dt^{k}}}=Af(t).

Функция f (t) известна как функция принуждения .

Если дифференциальное уравнение содержит только действительные (не комплексные) коэффициенты, то свойства такой системы ведут себя как смесь систем только первого и второго порядка. Это связано с тем, что корни его характеристического многочлена являются либо действительными, либо комплексно-сопряженными парами. Следовательно, понимание того, как обезразмеривание применяется к первой и второй упорядоченным системам, позволяет определять свойства систем более высокого порядка с помощью суперпозиции.

. Число свободных параметров в безразмерной форме системы увеличивается с ее порядком. По этой причине обезразмеривание редко используется для дифференциальных уравнений более высокого порядка. Потребность в этой процедуре также уменьшилась с появлением символьных вычислений.

Примерывосстановления характеристических единиц

Множество систем можно аппроксимировать как системы первого или второго порядка. К ним относятся механические, электрические, гидравлические, калорические и крутильные системы. Это связано с тем, что фундаментальные физические величины, используемые в каждом из этих примеров, связаны производными первого и второго порядка.

Механические колебания

Масса, прикрепленная к пружине и амортизатору.

Предположим, у нас есть масса, прикрепленная к пружине и амортизатору, которые, в свою очередь, прикреплены к стене, и действует сила на массу по той же линии. Определите

x {\ displaystyle x}

x

= смещение от равновесия [м]

t {\ displaystyle t}

t

= время [с]

f {\ displaystyle f}

f

= внешняя сила или "возмущение", приложенное к системе [кг мс]

м {\ displaystyle m}

m

= масса блока [кг]

B { \ displaystyle B}

B

= демпфирующая постоянная демпфирования демпфера [кг / с]

k {\ displaystyle k}

k

= силовая постоянная пружины [кг / с]

Предположим, приложенная сила является синусоидой F = F 0 cos (ωt), дифференциальное уравнение, описывающее движение блока, имеет вид

md 2 xdt 2 + B dxdt + kx = F 0 cos ⁡ (ω t) {\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + B {\ frac {dx} {dt}} + kx = F_ {0} \ cos (\ omega t)}

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)

обезразмеривание этого уравнения таким же образом, как описано в разделе система второго порядка, дает несколько характеристик системы.

Внутренняя единица x c соответствует расстоянию, на которое блок перемещается на единицу силы

x c = F 0 k. {\ displaystyle x_ {c} = {\ frac {F_ {0}} {k}}.}

x_{c}={\frac {F_{0}}{k}}.

Характеристическая переменная t c равна периоду колебаний

tc = mk {\ displaystyle t_ {c} = {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}

t_{c}={\sqrt {{\frac {m}{k}}}}

, а безразмерная переменная 2ζ соответствует ширине линии системы. Сама ζ является коэффициентом затухания.

2 ζ = B mk {\ displaystyle 2 \ zeta = {\ frac {B} {\ sqrt {mk}}}}

2\zeta ={\frac {B}{{\sqrt {mk}}}}

Электрические колебания

Последовательная RC-цепь первого порядка

Для серии RC, подключенной к источнику напряжения

R d Q dt + QC = V (t) ⇒ d χ d τ + χ знак равно F (τ) {\ Displaystyle R {\ frac {dQ} {dt}} + {\ frac {Q} {C}} = V (t) \ Rightarrow {\ frac {d \ chi} {d \ tau }} + \ chi = F (\ tau)}

R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau)

с заменами

Q = χ xc, t = τ tc, xc = CV 0, tc = RC, F = V. {\ displaystyle Q = \ chi x_ {c}, \ t = \ tau t_ {c}, \ x_ {c} = CV_ {0}, \ t_ {c} = RC, \ F = V.}

Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}=RC,\ F=V.

Первая характеристическая единица соответствует общему заряду в цепи. Вторая характеристика соответствует постоянной времени системы.

RLC-цепь второго порядка

Для последовательной конфигурации компонентов R, C, L, где Q - заряд в системе

L d 2 Q dt 2 + R d Q dt + QC знак равно В 0 соз ⁡ (ω t) ⇒ d 2 χ d τ 2 + 2 ζ d χ d τ + χ = соз ⁡ (Ω τ) {\ displaystyle L {\ frac {d ^ {2} Q} {dt ^ {2}}} + R {\ frac {dQ} {dt}} + {\ frac {Q} {C}} = V_ {0} \ cos (\ omega t) \ Rightarrow {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = \ cos (\ Omega \ tau)}

L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau)

с заменами

Q = χ xc, t = τ tc, xc = CV 0, tc = LC, 2 ζ = RCL, Ω = tc ω. {\ displaystyle Q = \ chi x_ {c}, \ t = \ tau t_ {c}, \ \ x_ {c} = CV_ {0}, \ t_ {c} = {\ sqrt {LC}}, \ 2 \ zeta = R {\ sqrt {\ frac {C} {L}}}, \ \ Omega = t_ {c} \ omega.}

Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ \ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {{\frac {C}{L}}}},\ \Omega =t_{c}\omega.

Первая переменная соответствует максимальному заряду, хранящемуся в цепи. Резонансная частота определяется величиной, обратной характеристическому времени. Последнее выражение - это ширина линии системы. Ω можно рассматривать как нормированную частоту вынуждающей функции.

Квантовая механика

Квантовый гармонический осциллятор

Уравнение Шредингера для одномерного не зависящего от времени квантового гармонического осциллятора равно

(- ℏ 2 2 md 2 dx 2 + 1 2 m ω 2 x 2) ψ (x) = E ψ (x). {\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + {\ frac {1} {2}) } m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ right) \ psi (x) = E \ psi (x).}

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).

Квадрат модуля волновой функции | ψ (x) | представляет собой плотность вероятности, которая при интегрировании по x дает безразмерную вероятность. Следовательно, | ψ (x) | имеет единицы обратной длины. Чтобы сделать это безразмерным, его необходимо переписать как функцию безразмерной переменной. Для этого мы подставляем

x ~ ≡ xxc, {\ displaystyle {\ tilde {x}} \ Equiv {\ frac {x} {x _ {\ text {c}}}},}

{\tilde x}\equiv {\frac {x}{x_{{{\text{c}}}}}},

где x c - некоторая характерная длина этой системы. Это дает нам безразмерную волновую функцию $ψ ~ {\ displaystyle {\ tilde {\ psi}}}$ ${\tilde \psi }$ , определяемую через

ψ (x) = ψ (x ~ xc) = ψ (x (xc)) = ψ ~ (x ~). {\ displaystyle \ psi (x) = \ psi ({\ tilde {x}} x _ {\ text {c}}) = \ psi (x (x _ {\ text {c}})) = {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}).}

\psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

(- ℏ 2 2 m 1 xc 2 d 2 dx ~ 2 + 1 2 m ω 2 xc 2 x ~ 2) ψ ~ (x ~) = E ψ ~ (x ~) ⇒ (- d 2 dx ~ 2 + m 2 ω 2 xc 4 ℏ 2 x ~ 2) ψ ~ (x ~) = 2 mxc 2 E ℏ 2 ψ ~ (х ~). {\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {1} {x _ {\ text {c}} ^ {2}}} {\ frac {d ^ { 2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} x _ {\ text {c}} ^ {2} {\ тильда {x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = E \, {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) \ Rightarrow \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ frac {m ^ {2} \ omega ^ {2} x _ {\ текст {c}} ^ {4}} {\ hbar ^ {2}}} {\ tilde {x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = {\ frac {2mx _ {\ text {c}} ^ {2} E} {\ hbar ^ {2}}} {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}).}

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).

Чтобы сделать член перед $x ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {2}}$ ${\tilde x}^{2}$ безразмерным, установите

m 2 ω 2 xc 4 ℏ 2 = 1 ⇒ xc = ℏ m ω. {\ displaystyle {\ frac {m ^ {2} \ omega ^ {2} x _ {\ text {c}} ^ {4}} {\ hbar ^ {2}}} = 1 \ Rightarrow x _ {\ text {c }} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {m \ omega}}}.}

{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{{{\text{c}}}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{{{\text{c}}}}={\sqrt {{\frac {\hbar }{m\omega }}}}.

Полностью безразмерное уравнение:

(- d 2 dx ~ 2 + x ~ 2) ψ ~ (x ~) Знак равно Е ~ ψ ~ (Икс ~), {\ Displaystyle \