Коэффициент демпфирования

редактировать

Недемпфирование система пружина-масса с ζ < 1

Демпфирование - это влияние внутри или на колебательная система, которая уменьшает, ограничивает или предотвращает ее колебания. В физических системах затухание создается процессами, которые рассеивают энергию, запасенную в колебаниях. Примеры включают вязкое сопротивление в механических системах, сопротивление в электронных генераторах, а также поглощение и рассеяние света в оптических генераторах. Демпфирование, не основанное на потерях энергии, может быть важным в других колебательных системах, таких как те, которые встречаются в биологических системах и велосипедах.

Коэффициент демпфирования является безразмерным мера, описывающая, как колебания в системе затухают после возмущения. Многие системы демонстрируют колебательное поведение, когда они выходят из положения статического равновесия. Например, масса, подвешенная на пружине, может, если ее потянуть и отпустить, подпрыгнет вверх и вниз. При каждом отскоке система стремится вернуться в свое положение равновесия, но проскакивает его. Иногда потери (например, фрикционные ) демпфируют систему и могут вызывать постепенное затухание амплитуды колебаний до нуля или ослабление. Коэффициент затухания - это мера, описывающая, насколько быстро колебания затухают от одного отскока к другому.

Коэффициент демпфирования - это системный параметр, обозначаемый ζ (дзета), который может варьироваться от без демпфирования (ζ = 0), с недостаточным демпфированием (ζ < 1) through от критического демпфирования (ζ = 1) до сверхдемпфирования (ζ>1).

Поведение колебательных систем часто представляет интерес в самых разных дисциплинах, включая техника управления, химическая инженерия, машиностроение, структурная инженерия и электротехника. Осциллирующая физическая величина варьируется в значительной степени, и это может быть раскачивание высокого здания на ветру или скорость электродвигателя, но нормализованный или безразмерный подход может быть удобным для описания общих аспектов поведения.

Содержание

1 Случаи колебаний
2 Определение
3 Выведение
4 Коэффициент добротности и скорость затухания
5 Логарифмический декремент
6 Процентное превышение
7 Ссылки

Случаи колебаний

В зависимости от величины демпфирования, система стержень демонстрирует различное колебательное поведение.

Там, где система пружина-масса полностью без потерь, масса будет колебаться бесконечно, причем каждый отскок будет иметь одинаковую высоту с последним. Этот гипотетический случай называется незатухающим.
Если система содержит большие потери, например, если эксперимент с пружиной и массой проводился в вязкой жидкости, масса могла бы медленно вернуться в свое положение покоя. без превышения. Этот случай называется чрезмерным демпфированием.
Обычно масса имеет тенденцию выходить за пределы своего начального положения, а затем возвращается, снова превышая ее. При каждом перерегулировании часть энергии в системе рассеивается, и колебания затухают до нуля. Этот случай называется недостаточным демпфированием.
Между случаями избыточного демпфирования и недостаточного демпфирования существует определенный уровень демпфирования, при котором система просто не сможет выйти за пределы допустимого диапазона и не совершит ни одного колебания. Этот случай называется критическим демпфированием. Ключевое различие между критическим демпфированием и избыточным демпфированием заключается в том, что при критическом демпфировании система возвращается в состояние равновесия за минимальное время.

Определение

Влияние изменения коэффициента демпфирования на систему второго порядка.

Коэффициент демпфирования - это параметр, обычно обозначаемый ζ (дзета), который характеризует частотную характеристику обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Это особенно важно при изучении теории управления. Это также важно в гармоническом осцилляторе .

. Коэффициент демпфирования представляет собой математическое средство выражения уровня демпфирования в системе относительно критического демпфирования. Для демпфированного гармонического осциллятора с массой m, коэффициентом демпфирования c и жесткостью пружины k его можно определить как отношение коэффициента демпфирования в дифференциальном уравнении системы к критическому коэффициенту демпфирования:

ζ = ccc, {\ displaystyle \ zeta = {\ frac {c} {c_ {c}}},}

\ zeta = {\ frac {c} {c_ {c}}},

ζ = фактическое демпфирование, критическое демпфирование, {\ displaystyle \ zeta = {\ frac {\ text {фактическое демпфирование}} {\ text {critical демпфирование}}},}

\ zeta = {\ frac {{\ text {фактическое демпфирование}}} {{\ text {критическое затухание}}}},

где уравнение движения системы равно

md 2 xdt 2 + cdxdt + kx = 0 {\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2} }} + c {\ frac {dx} {dt}} + kx = 0}

m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + c {\ frac {dx} {dt}} + kx = 0

и соответствующий критический коэффициент демпфирования равен

cc = 2 км {\ displaystyle c_ {c} = 2 {\ sqrt {km }}}

{\ displaystyle c_ {c} = 2 {\ sqrt {km}}}

или

cc = 2 мкм = 2 м ω n {\ displaystyle c_ {c} = 2m {\ sqrt {\ frac {k} {m}}} = 2m \ omega _ {n} }

{\ displaystyle c_ {c} = 2m {\ sqrt {\ frac {k} {m}}} = 2m \ omega _ {n}}

где

ω n = km {\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}

- собственная частота системы.

Коэффициент демпфирования безразмерен и представляет собой отношение двух коэффициентов одинаковых единиц.

Выведение

Использование собственной частоты гармонического осциллятора $ω n = km {\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$ и определение коэффициента демпфирования выше, мы можем переписать это как:

d 2 xdt 2 + 2 ζ ω ndxdt + ω n 2 x = 0. {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {n} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {n} ^ {2} x = 0.}

{\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {n} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {n} ^ {2} x = 0.

Это уравнение можно решить с помощью подхода.

x (t) = C est, {\ displaystyle x (t) = Ce ^ {st}, \,}

{\ displaystyle x (t) = Ce ^ {st}, \,}

где C и s оба являются комплексными константами, где s удовлетворяет

s = - ω n (ζ ± i 1 - ζ 2). {\ displaystyle s = - \ omega _ {n} \ left (\ zeta \ pm i {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} \ right).}

{\ displaystyle s = - \ omega _ {n} \ left (\ zeta \ pm i {\ sqrt { 1- \ zeta ^ {2}}} \ right).}

Два таких решения для двух значений из s, удовлетворяющих уравнению, можно объединить, чтобы получить общие реальные решения с колебательными и затухающими свойствами в нескольких режимах:

Незатухающий: Это случай, когда $ζ = 0 {\ displaystyle \ zeta = 0}$ ${\ displaystyle \ zeta = 0}$ соответствует незатухающему простому гармоническому осциллятору, и в этом случае решение выглядит как $exp ⁡ (i ω nt) {\ displaystyle \ exp (i \ omega _ {n} t) }$ $\ exp (i \ omega _ {n} t)$ , как и ожидалось.
Недостаточное демпфирование: Если s - пара комплексных значений, то каждый член комплексного решения представляет собой убывающую экспоненту в сочетании с колеблющейся частью, которая выглядит как $ехр ⁡ (я ω N 1 - ζ 2 T) {\ Displaystyle \ ехр \ влево (я \ omega _ {n} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} т \ справа)}$ ${\ displaystyle \ exp \ left (i \ omega _ {n} {\ sqrt { 1- \ zeta ^ {2}}} t \ right)}$ . Этот случай имеет место для $0 ≤ ζ < 1 {\displaystyle \ 0\leq \zeta <1}$ ${\ displaystyle \ 0 \ leq \ zeta <1}$ и называется недостаточным демпфированием.
Сверхдемпфирование: Если s - пара действительных значений, то решение просто сумма двух убывающих экспонент без колебаний. Этот случай имеет место для $ζ>1 {\ displaystyle \ zeta>1}$ $\zeta>1$ , и называется чрезмерным демпфированием.
Критически демпфировано: Случай, когда $displaystyle = \ zeta = 1}$ $\ zeta = 1$ - это граница между случаями сверхдемпфирования и недостаточного демпфирования, и называется критическим демпфированием. Это оказывается желательным результатом во многих случаях, когда требуется инженерное проектирование демпфированного осциллятора ( например, механизм закрытия двери).

Q-фактор и скорость затухания

Q-фактор, коэффициент демпфирования ζ и экспоненциальная скорость затухания α связаны таким образом, что

ζ = 1 2 Q = α ω n. {\ Displaystyle \ zeta = {\ frac {1} {2Q}} = {\ alpha \ over \ omega _ {n}}.}

{\ displaystyle \ zeta = {\ frac {1} {2Q}} = {\ alpha \ over \ omega _ {n}}.}

Когда система второго порядка имеет $ζ < 1 {\displaystyle \zeta <1}$ $\ zeta <1$ (то есть, когда система недостаточно демпфирована), она имеет два комплексно сопряженных полюса, каждый из которых имеет действительную часть из $- α {\ displaystyle - \ альфа}$ $- \ alpha$ ; то есть параметр скорости затухания $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ представляет скорость экспоненциального затухания колебаний. Более низкий коэффициент демпфирования означает меньшую скорость затухания, и поэтому системы с очень слабым демпфированием колеблются в течение длительного времени. Например, высококачественный камертон с очень низким коэффициентом демпфирования имеет длительные колебания, которые очень медленно затухают после удара молотком.

Логарифмический декремент

Для недостаточно демпфированных колебаний коэффициент демпфирования также связан с логарифмическим декрементом $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ через соотношение

ζ = 1 1 + (2 π δ) 2, где δ ≜ ln ⁡ x 1 x 2 {\ displaystyle \ zeta = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ delta}} \ right) ^ {2}}}} \ qquad {\ text {where}} \ qquad \ delta \ triangleq \ ln {\ frac {x_ {1}} {x_ {2 }}}}

{\ displaystyle \ zeta = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ delta}} \ right) ^ {2}}}} \ qquad {\ text {where}} \ qquad \ delta \ треугольникq \ ln {\ frac {x_ { 1}} {x_ {2}}}}

где $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_{1}$ и $x 2 {\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ - вибрация амплитуды на двух последовательных пиках затухающей вибрации.

Процентное превышение

В теории управления, превышение относится к выходному сигналу, превышающему его конечное установившееся значение. Для ступенчатого входа , процентное превышение (PO) - это максимальное значение минус значение шага, деленное на значение шага. В случае единичного шага перерегулирование - это просто максимальное значение реакции на скачок минус один.

Процентное превышение (PO) связано с коэффициентом демпфирования (ζ) следующим образом:

PO = 100 e - (ζ π 1 - ζ 2) {\ displaystyle PO = 100e ^ {- \ left ( {\ frac {\ zeta \ pi} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}} \ right)}}

{\ displaystyle PO = 100e ^ {- \ left ({\ frac {\ zeta \ pi} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}) } \ right)}}

И наоборот, коэффициент демпфирования (ζ), который дает определенный процент превышения (PO), равен задается по формуле:

ζ = - ln ⁡ (PO 100) π 2 + ln 2 ⁡ (PO 100) {\ displaystyle \ zeta = {\ frac {- \ ln \ left ({\ frac {PO} {100} } \ right)} {\ sqrt {\ pi ^ {2} + \ ln ^ {2} \ left ({\ frac {PO} {100}} \ right)}}}}

{\ displaystyle \ zeta = {\ frac {- \ ln \ left ({\ frac {PO} {100}} \ right)} {\ sqrt {\ pi ^ {2} + \ ln ^ {2} \ left ({\ frac {PO} {100}} \ right)}}}}

Ссылки