Соотношение масса – светимость

В астрофизике, то массы-светимость является уравнение дает соотношение между массой звезды и ее светимостью, впервые отмечен Якобом Карлом Эрнстом Халм. Связь представлена ​​уравнением:

${\ displaystyle {\ frac {L} {L _ {\ odot}}} = \ left ({\ frac {M} {M _ {\ odot}}} \ right) ^ {a}}$

где L ⊙ и M ⊙ - светимость и масса Солнца, а 1 lt;  a  lt;6. Значение a  = 3,5 обычно используется для звезд главной последовательности. Это уравнение и обычное значение a  = 3,5 применимо только к звездам главной последовательности с массами 2 M ⊙  lt;  M  lt;55 M ⊙ и не применимо к красным гигантам или белым карликам. Когда звезда приближается к светимости Эддингтона, тогда a  = 1.

Таким образом, отношения для звезд с разным диапазоном масс в хорошем приближении следующие:

${\ displaystyle {\ frac {L} {L _ {\ odot}}} \ приблизительно 0,23 \ left ({\ frac {M} {M _ {\ odot}}}} \ right) ^ {2.3} \ qquad (M lt;0,43 M _ {\ odot})}$

${\ displaystyle {\ frac {L} {L _ {\ odot}}} = \ left ({\ frac {M} {M _ {\ odot}}} \ right) ^ {4} \ qquad \ qquad (0,43M_ { \ odot} lt;M lt;2M _ {\ odot})}$

${\ displaystyle {\ frac {L} {L _ {\ odot}}} \ приблизительно 1,4 \ left ({\ frac {M} {M _ {\ odot}}}} \ right) ^ {3.5} \ qquad (2M _ {\ odot} lt;M lt;55M _ {\ odot})}$

${\ displaystyle {\ frac {L} {L _ {\ odot}}} \ около 32000 {\ frac {M} {M _ {\ odot}}} \ qquad \ qquad (Mgt; 55M _ {\ odot})}$

Для звезд с массами менее 0,43 М ⊙, конвекция является единственным процессом переноса энергии, так что отношение значительно изменяется. Для звезд с массой M  gt; 55 M ⊙ соотношение выравнивается и становится L  ∝  M, но на самом деле эти звезды недолговечны, потому что они нестабильны и быстро теряют материю из-за сильных солнечных ветров. Можно показать, что это изменение связано с увеличением радиационного давления в массивных звездах. Эти уравнения определяются эмпирически путем определения массы звезд в двойных системах, расстояние до которых известно с помощью стандартных измерений параллакса или других методов. После того, как будет нанесено достаточное количество звезд, звезды образуют линию на логарифмическом графике, и наклон линии дает правильное значение a.

Другая форма, действующая для звезд главной последовательности K-типа, которая позволяет избежать разрыва показателя экспоненты, была дана Cuntz amp; Wang; он гласит:

${\ displaystyle {\ frac {L} {L _ {\ odot}}} \ приблизительно \ left ({\ frac {M} {M _ {\ odot}}} \ right) ^ {a (M)} \ qquad \ qquad (0,20 млн _ {\ odot} lt;M lt;0,85 млн _ {\ odot})}$

с

${\ displaystyle a (M) = - 141.7 \ cdot M ^ {4} +232.4 \ cdot M ^ {3} -129.1 \ cdot M ^ {2} +33.29 \ cdot M + 0.215}$

( М в М ⊙). Это соотношение основано на данных Манна и его сотрудников, которые использовали спектры среднего разрешения близких карликов поздних K и M с известными параллаксами и интерферометрически определенными радиусами, чтобы уточнить их эффективные температуры и светимости. Эти звезды также использовались в качестве калибровочной выборки для объектов-кандидатов в Кеплер. Кроме того, во избежание разрыва в показателе степени при М  = 0,43 М ⊙, отношение также восстанавливает а  = 4,0 для M  ≃ 0.85 M ⊙.

Соотношение масса / светимость важно, потому что его можно использовать для определения расстояния до двойных систем, которые слишком далеки для нормальных измерений параллакса, используя метод, называемый « динамический параллакс ». В этом методе массы двух звезд в двойной системе оцениваются, как правило, как масса Солнца. Затем, используя законы Кеплера о небесной механике, расстояние между звездами рассчитываются. Как только это расстояние будет найдено, его можно будет определить по дуге, протянутой в небе, что даст предварительное измерение расстояния. На основе этого измерения и видимых величин обеих звезд можно найти светимости, а также, используя соотношение масса-светимость, массы каждой звезды. Эти массы используются для повторного расчета разделительного расстояния, и процесс повторяется. Процесс повторяется много раз, и точность может достигать 5%. Отношение масса / светимость также можно использовать для определения времени жизни звезд, отметив, что время жизни приблизительно пропорционально M / L, хотя можно найти, что более массивные звезды имеют более короткое время жизни, чем то, что предсказывает соотношение M / L. Более сложные вычисления учитывают потерю массы звезды с течением времени.

• 1 Вывод
• 2 Различение малых и больших звездных масс
• 3 Температура ядра и поверхности
• 4 ссылки

Получение теоретически точного соотношения масса / светимость требует нахождения уравнения генерации энергии и построения термодинамической модели внутренней части звезды. Однако основное соотношение L  ∝  M ³ может быть получено с использованием некоторых основных физических принципов и упрощающих предположений. Первый такой вывод был выполнен астрофизиком Артуром Эддингтоном в 1924 году. Вывод показал, что звезды можно приблизительно смоделировать как идеальные газы, что в то время было новой, несколько радикальной идеей. Далее следует несколько более современный подход, основанный на тех же принципах.

Важным фактором, контролирующим светимость звезды (энергию, излучаемую в единицу времени), является скорость рассеивания энергии через ее объем. Там, где конвекция тепла отсутствует, это рассеяние происходит в основном за счет диффузии фотонов. Интегрируя первый закон Фика по поверхности некоторого радиуса r в зоне излучения (где конвекция пренебрежимо мала), мы получаем полный исходящий поток энергии, равный светимости за счет сохранения энергии :

${\ displaystyle L = -4 \ pi \, r ^ {2} D {\ frac {\ partial u} {\ partial r}}}$

Где D - коэффициент диффузии фотонов, а u - плотность энергии.

Обратите внимание: это предполагает, что звезда не является полностью конвективной, и что все процессы создания тепла ( нуклеосинтез ) происходят в ядре, ниже зоны излучения. Эти два предположения неверны для красных гигантов, которые не подчиняются обычному соотношению масса-светимость. Звезды малой массы также полностью конвективны, поэтому не подчиняются закону.

При приближении звезды черным телом плотность энергии связана с температурой законом Стефана – Больцмана :

${\ displaystyle u = {\ frac {4} {c}} \, \ sigma _ {B} \, T ^ {4}}$

куда

${\ displaystyle \ sigma _ {B} = {\ frac {2 \ pi ^ {5} k_ {B} ^ {4}} {15c ^ {2} h ^ {3}}} = {\ frac {\ pi ^ {2} k_ {B} ^ {4}} {60 \ hbar ^ {3} c ^ {2}}}.}$

- постоянная Стефана – Больцмана, c - скорость света, k B - постоянная Больцмана и - приведенная постоянная Планка. ${\ displaystyle \ hbar}$

Как и в теории коэффициента диффузии в газах, коэффициент диффузии D приблизительно удовлетворяет:

${\ displaystyle D = {\ frac {1} {3}} c \, \ lambda}$

где λ - длина свободного пробега фотона.

Поскольку вещество полностью ионизировано в ядре звезды (а также там, где температура имеет тот же порядок величины, что и внутри ядра), фотоны сталкиваются в основном с электронами, и поэтому λ удовлетворяет

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {1} {n_ {e} \ sigma _ {e \ cdot \ gamma}}}}$

Вот плотность электронов и: ${\ displaystyle n_ {e}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {е \ cdot \ gamma} = {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left ({\ frac {\ alpha \ hbar c} {m_ {e} c ^ {2}} } \ right) ^ {2}}$

- сечение электрон-фотонного рассеяния, равное сечению Томсона. α является постоянной тонкой структуры и т е масса электрона.

Средняя плотность звездных электронов связана с массой звезды M и радиусом R

${\ displaystyle \ langle n_ {e} \ rangle = {\ frac {M} {m_ {n} 4 \ pi R ^ {3} / 3}}}$

Наконец, согласно теореме вириала, полная кинетическая энергия равна половине гравитационной потенциальной энергии E G, поэтому, если средняя масса ядра равна m n, то средняя кинетическая энергия на одно ядро ​​удовлетворяет:

${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} k_ {B} T = {\ frac {1} {2}} E_ {G} {\ frac {m_ {n}} {M}} = C {\ гидроразрыв {3} {10}} {\ frac {GMm_ {n}} {R}}}$

где температура T усреднена по звезде, а C - коэффициент первого порядка, связанный со структурой звезды, и его можно оценить по приближенному индексу политропы звезды. Обратите внимание, что это не выполняется для достаточно больших звезд, где давление излучения больше, чем давление газа в зоне излучения, следовательно, соотношение между температурой, массой и радиусом иное, как описано ниже.

Подводя итоги, мы также принимаем r равным R с точностью до множителя, а n e в r заменяется его звездным средним с точностью до множителя. Комбинированный коэффициент для солнца составляет примерно 1/15, и мы получаем:

${\ Displaystyle L = -4 \ pi \, r ^ {2} D {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ приблизительно 4 \ pi \, R ^ {2} D {\ frac {u} {Р}}}$

${\ displaystyle L \ приблизительно {\ frac {1} {15}} {\ frac {64 \ pi ^ {2}} {9}} {\ frac {\ sigma _ {B}} {\ sigma _ {e \ cdot \ gamma}}} {\ frac {R ^ {4} T ^ {4} m_ {n}} {M}}}$

${\ displaystyle \ приблизительно {\ frac {1} {15}} {\ frac {2 \ pi ^ {3}} {9 \ cdot 5 ^ {5}}} {\ frac {G ^ {4} \, m_ {e} ^ {2} \, m_ {n} ^ {5}} {\ alpha ^ {2} \ hbar ^ {5}}} \, M ^ {3} = 4 \ cdot {10 ^ {26} } _ {W} \, \ left ({\ frac {M} {M _ {\ odot}}} \ right) ^ {3}}$

Добавленный коэффициент фактически зависит от M, поэтому закон имеет приблизительную зависимость. ${\ displaystyle M ^ {3.5}}$

Основная статья: светимость Эддингтона

Можно различить случаи малых и больших звездных масс, если получить приведенные выше результаты с использованием радиационного давления. В этом случае легче использовать оптическую непрозрачность и непосредственно учитывать внутреннюю температуру T I ; точнее можно считать среднюю температуру в зоне излучения. ${\ displaystyle \ kappa}$

Рассмотрение начинается с того, что отмечается связь между радиационным давлением P рад и светимостью. Градиент радиационного давления равен переданному импульсу, поглощенному излучением, что дает:

${\ displaystyle {\ frac {dP_ {rad}} {dr}} = - {\ frac {\ kappa \ rho} {c}} {\ frac {L} {4 \ pi r ^ {2}}},}$

где c - скорость света. Здесь ; длина свободного пробега фотона. ${\ Displaystyle 1 / \ каппа \ rho = l}$

Радиационное давление связано с температурой соотношением, поэтому ${\ displaystyle P_ {rad} = {\ frac {4 \ sigma} {3c}} {T_ {I}} ^ {4}}$

${\ displaystyle {T_ {I}} ^ {3} {\ frac {dT_ {I}} {dr}} = - {\ frac {3 \ kappa \ rho} {16 \ sigma}} {\ frac {L} {4 \ pi r ^ {2}}},}$

откуда непосредственно следует, что

${\ displaystyle L \ varpropto {T_ {I}} ^ {4} {\ frac {R} {\ rho}} \ varpropto {T_ {I}} ^ {4} {\ frac {R ^ {4}} { M}}}$.

В зоне излучения гравитация уравновешивается давлением на газ, исходящим как от самого себя (приблизительно равным давлению идеального газа), так и от излучения. При достаточно малой звездной массе последняя ничтожно мала и получается

${\ displaystyle T_ {I} \ varpropto {\ frac {M} {R}}}$

как прежде. Точнее, так как интегрирование было сделано от 0 до R, так на левой стороне, но температура поверхности Т Е можно пренебречь по отношению к внутренней температуре Т I. ${\ displaystyle T_ {I} -T_ {E}}$

Отсюда непосредственно следует, что

${\ displaystyle L \ varpropto M ^ {3}.}$

При достаточно большой звездной массе радиационное давление больше, чем давление газа в зоне излучения. Добавление давления излучения вместо давления идеального газа, использованного выше, дает

${\ displaystyle {T_ {I}} ^ {4} \ varpropto {\ frac {M ^ {2}} {R ^ {4}}},}$

следовательно

${\ displaystyle L \ varpropto M.}$

В первом приближении звезды представляют собой излучатели черного тела с площадью поверхности 4 π R ². Таким образом, из закона Стефана – Больцмана светимость связана с температурой поверхности T S, а через нее - с цветом звезды, соотношением

${\ Displaystyle L = 4 \ pi R ^ {2} \ sigma _ {B} T_ {S} ^ {4}}$

где σ B - постоянная Стефана – Больцмана, 5,67 10 ⁻⁸ Вт м ⁻² K ⁻⁴.

Светимость равна полной энергии, производимой звездой в единицу времени. Поскольку эта энергия производится путем нуклеосинтеза, обычно в ядре звезды (это не относится к красным гигантам ), температура ядра связана со светимостью скоростью нуклеосинтеза в единице объема:

${\ displaystyle L = {\ frac {dE} {dt}} \ приблизительно \ epsilon \, {\ frac {4 \ pi} {3}} R ^ {3} \, n_ {A} \, n_ {B} \, {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {3m_ {R}}}} \, {\ sqrt {E_ {0} (T)}} {\ frac {S (E_ {0 } (T))} {kT}} e ^ {- {\ frac {3E_ {0} (T)} {kT}}}}$

Здесь ε - полная энергия, выделяемая в цепной реакции или реакционном цикле. - энергия пика Гамова, зависящая от E G, фактора Гамова. Кроме того, S ( E) / E - это поперечное сечение реакции, n - числовая плотность, это приведенная масса для столкновения частиц, а A, B - две частицы, участвующие в предельной реакции (например, оба обозначают протон в протон-протонная цепная реакция, или A протон и B an${\ displaystyle E_ {0} = \ left ({\ sqrt {E_ {G}}} \, kT / 2 \ right) ^ {2/3}}$ ${\ Displaystyle m_ {R} = m_ {A} \ cdot m_ {B} / (m_ {A} + m_ {B})}$ ¹⁴ _7N ядро для цикла CNO ).

Поскольку радиус R сам по себе является функцией температуры и массы, можно решить это уравнение, чтобы получить внутреннюю температуру.