Политроп

Решение уравнения давления-плотности Лейна-Эмдена для астрофизических тел Нормированная плотность как функция длины шкалы для широкого диапазона индексов политропы

В астрофизике политроп относится к решению уравнения Лейна – Эмдена, в котором давление зависит от плотности в виде

$P\; =\; K\; \rho \; (\; n\; +\; 1)\; /\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; K\; \backslash \; rho\; ^\; \{(n\; +\; 1)\; /\; n\},\}$

где P- давление, ρ- плотность и Kпредставляет собой константу пропорциональности. Константа nизвестна как индекс политропы; однако обратите внимание, что индекс политропы имеет альтернативное определение, например, с n в качестве показателя степени.

Это соотношение не нужно интерпретировать как уравнение состояния, в котором P определяется как функция как ρ, так и T (температура ); однако в частном случае, описанном уравнением политропы, существуют другие дополнительные отношения между этими тремя величинами, которые вместе определяют уравнение. Таким образом, это просто соотношение, которое выражает предположение об изменении давления с радиусом с точки зрения изменения плотности с радиусом, приводя к решению уравнения Лейна – Эмдена.

Иногда слово политроп может относиться к уравнению состояния, которое похоже на приведенное выше термодинамическое соотношение, хотя это потенциально сбивает с толку, и его следует избегать. Самую жидкость (в отличие от решения уравнения Лейна – Эмдена) предпочтительно называть политропной жидкостью. Уравнение состояния политропной жидкости является достаточно общим, чтобы такие идеализированные жидкости находили широкое применение за пределами ограниченной проблемы политропов.

Показатель политропы (политропы), как было показано, эквивалентен давлению производной от модуля объемной упругости, где его отношение к уравнению Мурнагана состояния также было продемонстрировано. Соотношение политропы поэтому лучше всего подходит для условий относительно низкого давления (ниже 10 Па ) и высокого давления (более 10 Па), когда производная по давлению модуля объемной упругости, которая эквивалентна индексу политропы, почти постоянный.

Плотность (нормализованная по средней плотности) в зависимости от радиуса (нормализованная по внешнему радиусу) для политропа с индексом n = 3.

• Индекс nПолитроп = 0 также часто используется для моделирования каменистых планет.
• Нейтронные звезды хорошо моделируются политропами с индексом от n = 0,5 до n = 1.
• Политроп с индексом n= 1.5 является хорошей моделью для полностью конвективных звездных ядер (например, красных гигантов ), коричневые карлики, гигантские газообразные планеты (например, Юпитер ). С этим индексом показатель политропы равен 5/3, что соответствует коэффициенту теплоемкости (γ) для одноатомного газа. Для недр газовых звезд (состоящих из ионизированного водорода или гелия ) это следует из приближения идеального газа для условия естественной конвекции.
• Политроп с индексом n= 1,5 также является хорошей моделью для белых карликов малой массы, согласно уравнение состояния не- релятивистской вырожденной материи.
• Политроп с индексом n= 3 является хорошей моделью для ядер белых карликов высших масс, согласно уравнению состояния релятивистской вырожденной материи.
• Политроп с индексом n= 3 обычно также используется для моделирования главной последовательности звезд, таких как наше Солнце, по крайней мере, в зоне излучения, соответствующей стандартной модели Эддингтона звездной структуры.
• Политроп с индексом n= 5 имеет бесконечный радиус. Он соответствует простейшей правдоподобной модели самосогласованной звездной системы, впервые изученной Артуром Шустером в 1883 году, и имеет точное решение.
• Политроп с индексом n= ∞ соответствует так называемой изотермической сфере, то есть изотермической самогравитирующей сфере газа, структура которой идентична структуре бесстолкновительной системы звезд, подобных шаровое скопление. Это связано с тем, что для идеального газа температура пропорциональна ρ, поэтому бесконечное n соответствует постоянной температуре.

Как правило, по мере увеличения индекса политропы распределение плотности более сильно отягощается к центру (r= 0) тела.

• Политропный процесс
• Уравнение состояния
• Уравнение состояния Мурнагана