Магнитный резонанс (квантовая механика)

редактировать

‹Приведенный ниже шаблон ( требуется больше ссылок ) рассматривается для объединения. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. ›

Магнитный резонанс - это квантово-механический резонансный эффект, который может возникнуть, когда магнитный диполь подвергается воздействию статического магнитного поля и возмущается другим колеблющимся электромагнитным полем. Из-за статического поля диполь может принимать ряд дискретных собственных состояний энергии, в зависимости от значения его квантового числа углового момента. Тогда осциллирующее поле может заставить диполь переходить между своими энергетическими состояниями с определенной вероятностью и с определенной скоростью. Общая вероятность перехода будет зависеть от частоты поля, а скорость будет зависеть от его амплитуды. Когда частота этого поля приводит к максимально возможной вероятности перехода между двумя состояниями, достигается магнитный резонанс. В этом случае энергия фотонов, составляющих осциллирующее поле, соответствует разнице энергий между упомянутыми состояниями. Если на диполь воздействует поле, колеблющееся вдали от резонанса, переход маловероятен. Это аналогично другим резонансным эффектам, таким как принудительный гармонический осциллятор. Периодический переход между различными состояниями называется Раби цикл и скорость, с которой происходит, что называется частотой Раби. Не следует путать частоту Раби с собственной частотой поля. Поскольку многие атомные ядра виды могут вести себя как магнитный диполь, этот резонанс метод является основой ядерного магнитного резонанса, в том числе ядерной магнитно - резонансной томографии и спектроскопии ядерного магнитного резонанса.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Квантово-механическое объяснение
2 Особый случай для демонстрации приложений
3 метод Раби
4 Соответствие классического и квантово-механического объяснения
5 Магнитно-резонансная томография
6 Магнитный резонанс как квантовое явление
7 См. Также
8 ссылки

Квантово-механическое объяснение

В качестве магнитного диполя используется спиновая система, например протон; в соответствии с квантово-механическим состоянием системы, обозначаемым:, эволюционировавшим под действием унитарного оператора ; результат подчиняется уравнению Шредингера : ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ tfrac {1} {2}}$ ${\ Displaystyle | \ пси (т) \ rangle}$ $| \ Psi (t) \ rangle$ ${\ displaystyle e ^ {- я {{\ hat {H}} t} / \ hbar}}$ ${\ displaystyle e ^ {- я {{\ hat {H}} t} / \ hbar}}$

  $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$  $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$

Состояния с определенной энергией эволюционируют во времени с фазой, () где E - энергия состояния, поскольку вероятность нахождения системы в состоянии = не зависит от времени. Такие состояния называются стационарными состояниями, поэтому, если система подготовлена в стационарном состоянии (т. Е. В одном из собственных состояний оператора Гамильтона ), то P (t) = 1, т. Е. Она остается в этом состоянии неопределенно долго. Это справедливо только для изолированных систем. Когда система в стационарном состоянии возмущается, ее состояние изменяется, поэтому оно больше не является собственным состоянием полного гамильтониана системы. То же самое явление происходит в магнитном резонансе для спиновой системы в магнитном поле. ${\ displaystyle e ^ {- iEt / \ hbar}}$ ${\ displaystyle e ^ {- iEt / \ hbar}}$ ${\ Displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = | \ Psi (0) \ rangle e ^ {- iEt / \ hbar}}$ ${\ Displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = | \ Psi (0) \ rangle e ^ {- iEt / \ hbar}}$ ${\ Displaystyle | \ langle х | \ пси (т) \ rangle | ^ {2}}$ ${\ Displaystyle | \ langle х | \ пси (т) \ rangle | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | \ langle x | \ пси (0) \ rangle | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | \ langle x | \ пси (0) \ rangle | ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ tfrac {1} {2}}$

Гамильтониан магнитного диполя (связанный со спиновой частицей) в магнитном поле: ${\ displaystyle \ mathbf {m}}$ ${\ mathbf {m}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ tfrac {1} {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}} {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}} {\ hat {z}}}$

  ${\hat {H}}=-\mathbf {m} \mathbf {B_{0}} =-{\tfrac {\hbar }{2}}\gamma \sigma _{z}\mathbf {B_{0}} =-{\tfrac {\hbar }{2}}\omega _{0}{\begin{bmatrix}1amp;0\\0amp;-1\end{bmatrix}}$  ${\hat {H}}=-\mathbf {m} \mathbf {B_{0}} =-{\tfrac {\hbar }{2}}\gamma \sigma _{z}\mathbf {B_{0}} =-{\tfrac {\hbar }{2}}\omega _{0}{\begin{bmatrix}1amp;0\\0amp;-1\end{bmatrix}}$

Здесь - частота ларморовской прецессии диполя для магнитного поля и - матрица z Паули. Таким образом, собственные значения являются и. Если система возмущена слабым магнитным полем, вращающимся против часовой стрелки в плоскости xy (перпендикулярно) с угловой частотой, так что, тогда и не являются собственными состояниями гамильтониана, который преобразован в ${\ displaystyle \ omega _ {0}: = \ gamma B_ {0}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}: = \ gamma B_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {z}}$ $\ sigma _ {z}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat {H}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {1}} = {\ hat {i}} B_ {1} \ cos {\ omega t} - {\ hat {j}} B_ {1} \ sin {\ omega t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {1}} = {\ hat {i}} B_ {1} \ cos {\ omega t} - {\ hat {j}} B_ {1} \ sin {\ omega t}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$

  ${\hat {H}}=\gamma {\begin{pmatrix}\mathbf {B_{0}} amp;\mathbf {B_{1}} \ e^{\omega it}\\\mathbf {B_{1}} e^{-\omega it}amp;\mathbf {-B_{0}} \end{pmatrix}}.$  ${\hat {H}}=\gamma {\begin{pmatrix}\mathbf {B_{0}} amp;\mathbf {B_{1}} \ e^{\omega it}\\\mathbf {B_{1}} e^{-\omega it}amp;\mathbf {-B_{0}} \end{pmatrix}}.$

Работать с гамильтонианом, зависящим от времени, неудобно. Для того, чтобы не зависит от времени требует нового опорного кадра вращающегося с, то есть оператор поворота на, что составляет базис изменения в гильбертовом пространстве. Используя это в уравнении Шредингера, гамильтониан становится: ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat {H}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {1}}}$ ${\ Displaystyle {\ шляпа {R}} (т)}$ ${\ Displaystyle {\ шляпа {R}} (т)}$ ${\ Displaystyle | \ пси (т) \ rangle}$ $| \ Psi (t) \ rangle$

  ${\hat {H^{\prime }}}=R(t){\hat {H}}R(t)^{\dagger }+{\tfrac {\hbar }{2}}\omega \sigma _{z}$  ${\hat {H^{\prime }}}=R(t){\hat {H}}R(t)^{\dagger }+{\tfrac {\hbar }{2}}\omega \sigma _{z}$

Запись на основе as- ${\ displaystyle {\ hat {R (t)}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {R (t)}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {z}}$ $\ sigma _ {z}$

  ${\hat {R}}(t)={\begin{pmatrix}e^{-i{\omega }t/2}amp;0\\0amp;e^{i{\omega }t/2}\end{pmatrix}}$  ${\hat {R}}(t)={\begin{pmatrix}e^{-i{\omega }t/2}amp;0\\0amp;e^{i{\omega }t/2}\end{pmatrix}}$

Используя эту форму гамильтониана, найден новый базис :

График вероятности амплитуды переворота спина при резонансе

График вероятности амплитуды переворота спина при отсутствии резонанса

  ${\hat {H^{\prime }}}={\tfrac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}\Delta \omega amp;-\omega _{1}\\-\omega _{1}amp;-\Delta \omega \end{pmatrix}}$  ${\hat {H^{\prime }}}={\tfrac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}\Delta \omega amp;-\omega _{1}\\-\omega _{1}amp;-\Delta \omega \end{pmatrix}}$  where  $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$  $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$  and  $\omega _{1}=\gamma B_{1}$  $\omega _{1}=\gamma B_{1}$

Этот гамильтониан в точности аналогичен гамильтониану системы с двумя состояниями с невозмущенными энергиями amp; с возмущением, выражаемым как ; Согласно осцилляциям Раби, начиная с состояния, диполь параллельно с энергией, вероятность того, что он перейдет в состояние (т.е. он перевернется) равна ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ Delta \ omega}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ Delta \ omega}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ Delta \ omega}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ Delta \ omega}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 amp; - \ omega _ {1} \\ - \ omega _ {1} amp; 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 amp; - \ omega _ {1} \\ - \ omega _ {1} amp; 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {\ hbar} {2}} \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle P_ {12} = {\ frac {| \ omega _ {1} ^ {2} |} {| \ Delta \ omega ^ {2} + \ omega _ {1} ^ {2} |}} \ грех ^ {2} [{\ sqrt {\ omega ^ {2} + \ Delta \ omega ^ {2}}} t / 2]}$ ${\ displaystyle P_ {12} = {\ frac {| \ omega _ {1} ^ {2} |} {| \ Delta \ omega ^ {2} + \ omega _ {1} ^ {2} |}} \ грех ^ {2} [{\ sqrt {\ omega ^ {2} + \ Delta \ omega ^ {2}}} t / 2]}$

Теперь рассмотрим, т.е. поле колеблется с той же скоростью, что и диполь, находящийся в поле. Это случай резонанса. Затем в определенные моменты времени, а именно, диполь перевернется, переходя в другое собственное состояние энергии со 100% вероятностью. Когда, вероятность изменения энергетического состояния мала. Следовательно, условие резонанса можно использовать, например, для измерения магнитного момента диполя или магнитного поля в точке в пространстве. ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$ $\ omega = \ omega_0$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {0}}}$ ${\ displaystyle t = {\ frac {(2n + 1) \ pi} {\ sqrt {\ omega ^ {2} + \ Delta \ omega ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle t = {\ frac {(2n + 1) \ pi} {\ sqrt {\ omega ^ {2} + \ Delta \ omega ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ omega \ not = \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle \ omega \ not = \ omega _ {0}}$

Особый случай для показа приложений

Особый случай возникает, когда система колеблется между двумя нестабильными уровнями, имеющими одинаковое время жизни. Если атомы возбуждены при постоянном, скажем, n / времени, до первого состояния, некоторые из них распадаются, а остальные имеют вероятность перехода во второе состояние, поэтому во временном интервале между t и (t + dt) количество атомов этот переход во второе состояние из первого равен, поэтому в момент времени t количество атомов во втором состоянии равно ${\ Displaystyle \ тау}$ $\тау$ ${\ displaystyle P_ {12}}$ $P _ {{12}}$ ${\ Displaystyle п (1-е ^ {- т / \ тау}) P_ {12} dt}$ ${\ Displaystyle п (1-е ^ {- т / \ тау}) P_ {12} dt}$

График скорости затухания при изменении однородного магнитного поля

{\ displaystyle B_ {0}}

Б_ {0}

График полуширины кривой Лоренца с изменением

{\ displaystyle B_ {1}}

B_ {1}

  $dN=n.e^{-t/\tau }.(1-e^{-t/\tau })P_{12}dt$  $dN=n.e^{-t/\tau }.(1-e^{-t/\tau })P_{12}dt$  = $n.e^{-t/\tau }.P_{12}dt$  $n.e^{-t/\tau }.P_{12}dt$

Скорость распада из состояния два зависит от количества атомов, которые были собраны в этом состоянии за все предыдущие интервалы, поэтому количество атомов в состоянии 2 равно ; Скорость распада атомов из состояния два пропорциональна количеству атомов, присутствующих в этом состоянии, в то время как константа пропорциональности является константой распада. Выполнение интегрирования скорости распада атомов из состояния два получается как: ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {0} ne ^ {- t / \ tau} P_ {12} \ dt}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {0} ne ^ {- t / \ tau} P_ {12} \ dt}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$

  $(n/2)\omega ^{2}/(\delta \omega ^{2}+\omega _{1}^{2}+1/\tau ^{2})$  $(n/2)\omega ^{2}/(\delta \omega ^{2}+\omega _{1}^{2}+1/\tau ^{2})$

Из этого выражения можно извлечь много интересных моментов, например

Варьируя однородное магнитное поле так, что в производит кривую Лоренца (см распределение Коши-Лоренца ), обнаружение пика этой кривой, то по оси абсцисс этого дает, так что теперь (угловая частота вращения =, так что с известным значением и, гиромагнитное отношение диполя может быть измерено; этим методом мы можем измерить ядерный спин, где все электронные спины уравновешены. Правильное измерение ядерного магнитного момента помогает понять характер ядерной силы. ${\ displaystyle B_ {0}}$ $Б_ {0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ ${\ displaystyle \ delta \ omega}$ ${\ displaystyle \ delta \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$ ${\ displaystyle (B_ {0}) _ {max}}$ ${\ displaystyle (B_ {0}) _ {max}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$ ${\ displaystyle (B_ {0}) _ {max}}$ ${\ displaystyle (B_ {0}) _ {max}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$
Если известно, варьируя значение, можно получить. Этот метод измерения достаточно точен для использования в чувствительных магнитометрах. Используя этот метод, можно получить значение магнитного поля, действующего на конкретный узел решетки окружающей средой внутри кристалла. ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$ ${\ displaystyle B_ {0}}$ $Б_ {0}$
Измеряя полуширину кривой, d =, для нескольких значений (т. Е.), Мы можем построить график d vs, а экстраполировав эту линию для, время жизни нестабильных состояний может быть получено из точки пересечения. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ omega _ {1} ^ {2} + 1 / \ tau ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ omega _ {1} ^ {2} + 1 / \ tau ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$

Метод Раби

См. Также: эксперимент Штерна-Герлаха.

Существование спинового углового момента электронов было экспериментально обнаружено в эксперименте Штерна – Герлаха. В этом исследовании пучок нейтральных атомов с одним электроном в валентной оболочке, не несущих орбитального момента (с точки зрения квантовой механики), пропускался через неоднородное магнитное поле. Этот процесс не был приблизительным из-за малого угла отклонения, что приводило к значительной погрешности в измеренном значении расщепленной балки.

Метод Раби был улучшением метода Штерна-Герлаха. Как показано на рисунке, источник испускает пучок нейтральных атомов, имеющих спиновый угловой момент. Луч проходит через серию из трех выровненных магнитов. Магнит 1 создает неоднородное магнитное поле с высоким градиентом (как у Штерна-Герлаха), поэтому атомы, имеющие «восходящий» спин (с), будут отклоняться вниз (путь 1), то есть в область меньшего магнитного поля B, чтобы минимизировать энергия. Атомы со вращением «вниз» с) будут отклоняться вверх аналогичным образом (путь 2). Лучи проходят через щель 1, чтобы уменьшить влияние источника за ее пределами. Магнит 2 создает только однородное магнитное поле в вертикальном направлении, не прикладывая силы к атомному пучку, а магнит 3 фактически является перевернутым магнитом 1. В области между полюсами магнита 3 атомы, имеющие «восходящий» спин, толкаются вверх, и атомы имеющие «нисходящее» вращение ощущают толчок вниз, поэтому их путь остается 1 и 2 соответственно. Эти лучи проходят через вторую щель S2, попадают в детектор и обнаруживаются. ${\ displaystyle \ hbar / 2}$ $\ hbar / 2$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial B} {\ partial z}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial B} {\ partial z}}}$ ${\ Displaystyle S_ {z} = \ hbar / 2}$ ${\ Displaystyle S_ {z} = \ hbar / 2}$ ${\ Displaystyle S_ {z} = - \ hbar / 2}$ ${\ Displaystyle S_ {z} = - \ hbar / 2}$

Если горизонтальное вращающееся поле, угловая частота вращения применяется в области между полюсами магнита 2, создаваемая колеблющимся током в кольцевых катушках, тогда существует вероятность того, что атомы проходят через них из одного состояния спина в другое ( и наоборот)., when =, ларморовская частота прецессии магнитного момента в B. Атомы, которые переходят от «восходящего» к «нисходящему» спину, будут испытывать нисходящую силу при прохождении через магнит 3 и будут следовать по пути 1 '. Точно так же атомы, которые меняют вращение «вниз» на «вверх», будут следовать по пути 2, и эти атомы не достигнут детектора, что приведет к минимуму в детекторе. Если угловая частота из непрерывно изменяться, то будет получен минимум в тока детектора (при =). Из этой известной величины (, где д « земли é г фактор »), „Ланды г фактора“ получается, что позволит одному иметь правильное значение магнитного момента. Этот эксперимент, проведенный Исидором Исааком Раби, более чувствителен и точен по сравнению с экспериментом Штерна-Герлаха. ${\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle S_ {z} = + \ hbar / 2 -gt; - \ hbar / 2}$ ${\ displaystyle S_ {z} = + \ hbar / 2 -gt; - \ hbar / 2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p}}$ $\ omega _ {p}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p}}$ $\ omega _ {p}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle = geB / {2 \ hbar}}$ ${\ displaystyle = geB / {2 \ hbar}}$ ${\ displaystyle \ mu (= gq \ hbar / {4m})}$ ${\ displaystyle \ mu (= gq \ hbar / {4m})}$

Соответствие классического и квантово-механического объяснений

См. Также: Ядерный_магнитный_резонанс § Теория_ядерного_магнитного_резонанса Смотрите также: уравнения Блоха

Хотя понятие спинового углового момента возникает только в квантовой механике и не имеет классического аналога, явления магнитного резонанса можно до некоторой степени объяснить с помощью классической физики. Если смотреть из системы отсчета, прикрепленной к вращающемуся полю, кажется, что магнитный диполь прецессирует вокруг чистого магнитного поля, где - единичный вектор вдоль однородного магнитного поля и тот же самый в направлении вращающегося поля и. ${\ displaystyle (\ Delta \ omega {\ hat {z}} - \ omega _ {1} {\ hat {X}}) / \ gamma}$ ${\ displaystyle (\ Delta \ omega {\ hat {z}} - \ omega _ {1} {\ hat {X}}) / \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ ${\ displaystyle B_ {0}}$ $Б_ {0}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$ ${\ hat X}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ ${\ displaystyle \ delta \ omega = \ omega - \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle \ delta \ omega = \ omega - \ omega _ {0}}$

Доказательство классического выражения прецессии
Графическое изображение классической ларморовской прецессии Классическая электродинамика говорит нам, что крутящий момент на магнитном диполе момента равен, поэтому его уравнение движения имеет вид ${\ displaystyle \ mathbf {m}}$ ${\ mathbf {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ , (где - угловой момент, связанный с диполем), так что - ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ mathbf {L}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} = \ gamma \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} = \ gamma \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ Для рассматриваемого случая диполь находится под действием магнитного поля и, следовательно, ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} = \ gamma \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B} + \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} = \ gamma \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B} + \ mathbf {B} _ {1}}$ Это проще решить, преобразовав систему координат в OXYZ, в которой становится осью OX, в этом кадре - ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m} '} {dt}} = {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} + \ mathbf {m} \ times {\ boldsymbol {\ omega} }}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m} '} {dt}} = {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} + \ mathbf {m} \ times {\ boldsymbol {\ omega} }}$ здесь Используя и, можно увидеть, что - ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ gamma B}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ gamma B}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} = \ gamma B_ {1}}$ $\ omega _ {1} = \ gamma B_ {1}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m} '} {dt}} = \ mathbf {m} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} _ {0} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} - {\ boldsymbol {\ omega}}) = \ mathbf {m} \ times (\ Delta {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1})}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m} '} {dt}} = \ mathbf {m} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} _ {0} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} - {\ boldsymbol {\ omega}}) = \ mathbf {m} \ times (\ Delta {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1})}$ Итак, здесь эффективное поле становится: ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ rm {effective}} = \ Delta {\ boldsymbol {\ omega}} - {\ boldsymbol {\ omega _ {1}}} = \ Delta \ omega {\ hat {z }} - \ omega _ {1} {\ hat {X}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ rm {effective}} = \ Delta {\ boldsymbol {\ omega}} - {\ boldsymbol {\ omega _ {1}}} = \ Delta \ omega {\ hat {z }} - \ omega _ {1} {\ hat {X}}}$

Доказательство классического выражения прецессии

Графическое изображение классической ларморовской прецессии

Классическая электродинамика говорит нам, что крутящий момент на магнитном диполе момента равен, поэтому его уравнение движения имеет вид ${\ displaystyle \ mathbf {m}}$ ${\ mathbf {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ , (где - угловой момент, связанный с диполем), так что - ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ mathbf {L}$

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} = \ gamma \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} = \ gamma \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}

Для рассматриваемого случая диполь находится под действием магнитного поля и, следовательно, ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} = \ gamma \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B} + \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} = \ gamma \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B} + \ mathbf {B} _ {1}}$ Это проще решить, преобразовав систему координат в OXYZ, в которой становится осью OX, в этом кадре - ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m} '} {dt}} = {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} + \ mathbf {m} \ times {\ boldsymbol {\ omega} }}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m} '} {dt}} = {\ frac {d \ mathbf {m}} {dt}} + \ mathbf {m} \ times {\ boldsymbol {\ omega} }}$

здесь Используя и, можно увидеть, что - ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ gamma B}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ gamma B}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} = \ gamma B_ {1}}$ $\ omega _ {1} = \ gamma B_ {1}$

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m} '} {dt}} = \ mathbf {m} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} _ {0} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} - {\ boldsymbol {\ omega}}) = \ mathbf {m} \ times (\ Delta {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1})}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {m} '} {dt}} = \ mathbf {m} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} _ {0} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} - {\ boldsymbol {\ omega}}) = \ mathbf {m} \ times (\ Delta {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1})}

Итак, здесь эффективное поле становится: ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ rm {effective}} = \ Delta {\ boldsymbol {\ omega}} - {\ boldsymbol {\ omega _ {1}}} = \ Delta \ omega {\ hat {z }} - \ omega _ {1} {\ hat {X}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ rm {effective}} = \ Delta {\ boldsymbol {\ omega}} - {\ boldsymbol {\ omega _ {1}}} = \ Delta \ omega {\ hat {z }} - \ omega _ {1} {\ hat {X}}}$

Итак, когда высокая амплитуда прецессии позволяет полностью перевернуть магнитный момент. Классические и квантово-механические предсказания хорошо соответствуют, что можно рассматривать как пример принципа соответствия Бора, согласно которому квантово-механические явления, предсказанные в классическом режиме, должны соответствовать классическому результату. Происхождение этого соответствия состоит в том, что эволюция ожидаемого значения магнитного момента идентична эволюции, полученной с помощью классических рассуждений. Ожидаемое значение магнитного момента составляет. Временная эволюция определяется выражением ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {м} \ rangle = \ гамма \ langle \ mathbf {S} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {м} \ rangle = \ гамма \ langle \ mathbf {S} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {м} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {м} \ rangle}$

  $i\hbar {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {m} \rangle =\langle [\mathbf {m},{\hat {H}}]\rangle$  $i\hbar {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {m} \rangle =\langle [\mathbf {m},{\hat {H}}]\rangle$   ${\hat {H}}=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} (t)$  ${\hat {H}}=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} (t)$

так, ${\ displaystyle [m_ {i}, {\ hat {H}}] = [m_ {i}, - m_ {j} B_ {j}] = [\ gamma \ mathbf {S} _ {i}, - \ гамма \ mathbf {S} _ {j} \ mathbf {B} _ {j}] = - \ gamma ^ {2} [\ mathbf {S} _ {i}, \ mathbf {S} _ {j} \ mathbf {B} _ {j}] = - \ gamma ^ {2} i \ hbar [{\ mathbf {S} _ {k} \ mathbf {B} _ {j} - \ mathbf {S} _ {j} \ mathbf {B} _ {k}}], (я \ neq j, k)}$ ${\ displaystyle [m_ {i}, {\ hat {H}}] = [m_ {i}, - m_ {j} B_ {j}] = [\ gamma \ mathbf {S} _ {i}, - \ гамма \ mathbf {S} _ {j} \ mathbf {B} _ {j}] = - \ gamma ^ {2} [\ mathbf {S} _ {i}, \ mathbf {S} _ {j} \ mathbf {B} _ {j}] = - \ gamma ^ {2} i \ hbar [{\ mathbf {S} _ {k} \ mathbf {B} _ {j} - \ mathbf {S} _ {j} \ mathbf {B} _ {k}}], (я \ neq j, k)}$

Итак, и ${\ displaystyle [m_ {i}, {\ hat {H}}] = i \ hbar \ gamma [\ mathbf {B} _ {j} \ mathbf {m} _ {k} - \ mathbf {B} _ { к} \ mathbf {m} _ {j}]}$ ${\ displaystyle [m_ {i}, {\ hat {H}}] = i \ hbar \ gamma [\ mathbf {B} _ {j} \ mathbf {m} _ {k} - \ mathbf {B} _ { к} \ mathbf {m} _ {j}]}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle \ mathbf {m} (t) \ rangle = \ gamma \ langle \ mathbf {m} (t) \ rangle \ times \ langle \ mathbf {B} ( t) \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle \ mathbf {m} (t) \ rangle = \ gamma \ langle \ mathbf {m} (t) \ rangle \ times \ langle \ mathbf {B} ( t) \ rangle}$

которое выглядит точно так же, как уравнение движения магнитного момента в классической механике - ${\ displaystyle \ mathbf {m}}$ ${\ mathbf {m}}$

  ${\frac {d}{dt}}\mathbf {m} (t)=\gamma \mathbf {m} (t)\times \mathbf {B} (t)$  ${\frac {d}{dt}}\mathbf {m} (t)=\gamma \mathbf {m} (t)\times \mathbf {B} (t)$

Эта аналогия в математическом уравнении эволюции магнитного момента и его математического ожидания помогает понять явления без фона квантовой механики.

Магнитно-резонансная томография

См. Также: Магнитно-резонансная томография.

В магнитно-резонансной томографии (МРТ) используется спиновой угловой момент протона. Самый доступный источник протонов в организме человека - это атомы водорода в воде. Сильное магнитное поле, приложенное к воде, вызывает появление двух разных уровней энергии для спинового углового момента и, используя. ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ Displaystyle + \ гамма \ hbar B / 2}$ ${\ Displaystyle + \ гамма \ hbar B / 2}$ ${\ displaystyle - \ gamma \ hbar B / 2}$ ${\ displaystyle - \ gamma \ hbar B / 2}$ ${\ Displaystyle E = - \ mathbf {\ mu} \ cdot \ mathbf {B}}$ ${\ Displaystyle E = - \ mathbf {\ mu} \ cdot \ mathbf {B}}$

Согласно распределению Больцмана, поскольку количество систем, имеющих энергию вне при температуре, равно (где - постоянная Больцмана ), более низкий уровень энергии, связанный со спином, более заселен, чем другой. В присутствии вращающегося магнитного поля больше протонов переворачивается из в, чем в другую сторону, вызывая поглощение микроволнового или радиоволнового излучения (из вращающегося поля). Когда поле снимается, протоны имеют тенденцию повторно уравновешиваться по распределению Больцмана, поэтому некоторые из них переходят с более высоких уровней энергии на более низкие, испуская микроволновое или радиоволновое излучение на определенных частотах. ${\ displaystyle E}$ $E$ ${\ displaystyle N_ {0}}$ $N_ {0}$ ${\ displaystyle T}$ $Т$ ${\ displaystyle N_ {0} e ^ {- E / kT}}$ ${\ displaystyle N_ {0} e ^ {- E / kT}}$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle \ hbar / 2}$ $\ hbar / 2$ ${\ Displaystyle S_ {z} = + \ hbar / 2}$ ${\ Displaystyle S_ {z} = + \ hbar / 2}$ ${\ Displaystyle S_ {z} = - \ hbar / 2}$ ${\ Displaystyle S_ {z} = - \ hbar / 2}$

Вместо ядерного спина, спиновый угловой момент неспаренных электронов используется в ЭПР ( электронный парамагнитный резонанс ) для обнаружения свободных радикалов и т. Д.

Магнитный резонанс как квантовое явление

Явление магнитного резонанса коренится в существовании спинового углового момента квантовой системы и ее специфической ориентации по отношению к приложенному магнитному полю. Оба случая не имеют объяснения в классическом подходе и могут быть поняты только с помощью квантовой механики. Некоторые люди утверждают, что чисто квантовые явления не могут быть объяснены классическим подходом. Например, явления в микроскопической области, которые можно до некоторой степени описать классической аналогией, на самом деле не являются квантовыми явлениями. Поскольку основные элементы магнитного резонанса не имеют классического происхождения, хотя можно провести аналогию с классической ларморовской прецессией, MR следует рассматривать как квантовое явление.

Смотрите также

использованная литература

Фейнман, Лейтон, Пески. Лекции Фейнмана по физике, Том 3. Издательство Нароса, Нью-Дели, 2008.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Коэн-Таннуджи Клод. Квантовая механика. Wiley-VCH.
Гриффитс Дэвид Дж. Введение в квантовую механику. Pearson Education, Inc.