Цикл Раби

редактировать

Квантово-механический феномен

Осцилляции Раби, показывающие вероятность двухуровневой системы изначально в

| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}

|1\rangle

, чтобы попасть в

| 2⟩ {\ displaystyle | 2 \ rangle}

| 2 \ rangle

при разных отстройках Δ.

В физике цикл Раби (или флоп Раби ) представляет собой циклическое поведение двухуровневой квантовой системы в присутствии осциллирующего управляющего поля. Большое разнообразие физических процессов, относящихся к областям квантовых вычислений, конденсированного состояния, атомной и молекулярной физики, ядерной физики и физики элементарных частиц, можно удобно изучить в термины двухуровневых квантово-механических систем, и демонстрируют срыв Раби при взаимодействии с колеблющимся движущим полем. Эффект важен в квантовой оптике, магнитном резонансе и квантовых вычислениях и назван в честь Исидора Исаака Раби.

Двухуровневая система. тот, который имеет два возможных уровня энергии. Эти два уровня представляют собой основное состояние с более низкой энергией и возбужденное состояние с более высокой энергией. Если энергетические уровни не вырождены (т.е. не имеют равных энергий), система может поглотить квант энергии и перейти из основного состояния в «возбужденное» состояние. Когда атом (или какая-либо другая двухуровневая система ) освещается когерентным пучком фотонов, он циклически поглощает фотоны. и повторно испускать их с помощью стимулированного излучения. Один такой цикл называется циклом Раби, а обратная его длительности - частотой Раби пучка фотонов. Эффект можно смоделировать с помощью модели Джейнса – Каммингса и формализма вектора Блоха.

Содержание

1 Математическое рассмотрение
2 Как подготовить осцилляционный эксперимент в квантовой системе
3 Вывод формулы Раби в непертурбативной процедуре с помощью матриц Паули
4 Осцилляции Раби в квантовой вычисления
5 См. также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Математическая обработка

Подробное математическое описание эффекта можно найти на странице задачи Раби. Например, для атома с двумя состояниями (атом, в котором электрон может находиться либо в возбужденном, либо в основном состоянии) в электромагнитном поле с частотой, настроенной на энергию возбуждения, находится вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии из уравнений Блоха быть:

| c b (t) | 2 ∝ грех 2 ⁡ (ω t / 2) {\ displaystyle | c_ {b} (t) | ^ {2} \ propto \ sin ^ {2} (\ omega t / 2)}

|c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2)

где $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - частота Раби.

В более общем плане можно рассматривать систему, в которой два рассматриваемых уровня не являются энергетическими собственными состояниями. Следовательно, если система инициализируется на одном из этих уровней, временная эволюция заставит населенность каждого из уровней колебаться с некоторой характеристической частотой, чья угловая частота также известна как частота Раби. Состояние квантовой системы с двумя состояниями может быть представлено как векторы двумерного комплексного гильбертова пространства, что означает, что каждый вектор состояния $| ψ⟩ {\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle}$ $\ vert \ psi \ rangle$ представлен хорошими комплексными координатами.

| ψ⟩ = (c 1 c 2) = c 1 (1 0) + c 2 (0 1); {\ displaystyle | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {pmatrix}} = c_ {1} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} }} + c_ {2} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}};}

| \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {pmatrix}} = c_ {1} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + c_ {2} {\ begin {pmatrix} 0 \ \ 1 \ end {pmatrix}};

где

c 1 {\ displaystyle c_ {1}}

c_{1}

c 2 {\ displaystyle c_ {2}}

c_ {2}

- координаты.

Если векторы нормализованы, $c 1 {\ displaystyle c_ {1}}$ $c_{1}$ и $c 2 {\ displaystyle c_ {2}}$ $c_ {2}$ связаны между собой $| c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {\ displaystyle {| c_ {1} |} ^ {2} + {| c_ {2} |} ^ {2} = 1}$ ${| c_ {1} |} ^ {2} + {| c_ {2} |} ^ {2} = 1$ . Базисные векторы будут представлены как $| 0⟩ знак равно (1 0) {\ displaystyle | 0 \ rangle = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$ $| 0 \ rangle = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}$ и $| 1⟩ = (0 1) {\ displaystyle | 1 \ rangle = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$ $|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Все наблюдаемые физические величины, связанные с этими системами, являются 2 $× {\ displaystyle \ times}$ $\times$ 2 Эрмитовы матрицы, что означает, что гамильтониан системы также является аналогичной матрицей.

Как подготовить эксперимент по осцилляции в квантовой системе

Можно построить эксперимент по осцилляции, выполнив следующие шаги:

Подготовить систему в фиксированное состояние; например, $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$
Пусть состояние развивается свободно в соответствии с гамильтонианом H в течение времени t
Найдите вероятность P (t) того, что состояние в $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$

Если $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ - это собственное состояние H, P (t) = 1, и колебаний не будет. Также, если два состояния $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $| 0 \ rangle$ и $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ являются вырожденными, каждое состояние, включая $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ является собственным состоянием H. В результате колебаний не будет.

С другой стороны, если H не имеет вырожденных собственных состояний, и начальное состояние не является собственным состоянием, тогда будут колебания. Наиболее общая форма гамильтониана системы с двумя состояниями дается

H = (a 0 + a 3 a 1 - ia 2 a 1 + ia 2 a 0 - a 3) {\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {pmatrix} a_ {0} + a_ {3} a_ {1} -ia_ {2} \\ a_ {1} + ia_ {2} a_ {0} -a_ {3} \ end {pmatrix} }}

\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}

здесь $a 0, a 1, a 2 {\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}}$ $a_{0},a_{1},a_{2}$ и $a 3 {\ displaystyle a_ {3}}$ $a_ {3}$ - действительные числа. Эта матрица может быть разложена как,

H = a 0 σ 0 + a 1 ⋅ σ 1 + a 2 ⋅ σ 2 + a 3 ⋅ σ 3; {\ displaystyle \ mathbf {H} = a_ {0} \ cdot \ sigma _ {0} + a_ {1} \ cdot \ sigma _ {1} + a_ {2} \ cdot \ sigma _ {2} + a_ { 3} \ cdot \ sigma _ {3};}

\ mathbf {H} = a_ {0} \ cdot \ sigma _ {0} + a_ {1} \ cdot \ sigma _ {1} + a_ {2} \ cdot \ sigma _ {2} + a_ {3} \ cdot \ sigma _ {3};

Матрица $σ 0 {\ displaystyle \ sigma _ {0}}$ $\ sigma _ {0}$ - это 2 $× {\ displaystyle \ times }$ $\times$ 2 единичная матрица и матрицы $σ k (k = 1, 2, 3) {\ displaystyle \ sigma _ {k} \; (k = 1,2,3)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {k} \; (k = 1,2,3)}$ - это матрицы Паули. Это разложение упрощает анализ системы, особенно в независимом от времени случае, когда значения $a 0, a 1, a 2 {\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}}$ $a_{0},a_{1},a_{2}$ и $a 3 {\ displaystyle a_ {3}}$ $a_ {3}$ - константы. Рассмотрим случай частицы со спином 1/2 в магнитном поле $B = B z ^ {\ displaystyle \ mathbf {B} = B \ mathbf {\ hat {z}}}$ $\mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}}$ . Гамильтониан взаимодействия для этой системы равен

H = - μ ⋅ B = - γ S ⋅ B = - γ BS z {\ displaystyle \ mathbf {H} = - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf { B} = - \ gamma \ mathbf {S} \ cdot \ mathbf {B} = - \ gamma \ B \ S_ {z}}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = - {\ boldsymbol {\ mu }} \ cdot \ mathbf {B} = - \ gamma \ mathbf {S} \ cdot \ mathbf {B} = - \ gamma \ B \ S_ {z}}

S z = ℏ 2 σ 3 = ℏ 2 (1 0 0 - 1) {\ displaystyle S_ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} \, \ sigma _ {3} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 - 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle S_ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} \, \ sigma _ {3} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \ end {pmatrix}}}

где $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\mu$ - величина магнитного момента частицы, $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\gamma$ - это гиромагнитное отношение, а $σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$ - вектор Паули матрицы. Здесь собственные состояния гамильтониана - это собственные состояния $σ 3 {\ displaystyle \ sigma _ {3}}$ $\ sigma_3$ , то есть $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $| 0 \ rangle$ и $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ , с соответствующими собственными значениями $E + = ℏ 2 γ B, E - = - ℏ 2 γ B {\ displaystyle E _ {+} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ gamma B \, \ E _ {-} = - {\ frac {\ hbar} {2}} \ gamma B}$ $E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B$ . Вероятность того, что система в состоянии $| ψ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ можно найти в произвольном состоянии $| ϕ⟩ {\ displaystyle | \ phi \ rangle}$ $|\phi \rangle$ задается как $| ⟨Φ | ψ⟩ | 2 {\ displaystyle {| \ langle \ phi | \ psi \ rangle |} ^ {2}}$ ${|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}$ .

Пусть система будет подготовлена в состоянии $| + Икс⟩ {\ displaystyle \ left | + X \ right \ rangle}$ $\left|+X\right\rangle$ в момент $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ . Обратите внимание, что $| + Икс⟩ {\ displaystyle \ left | + X \ right \ rangle}$ $\left|+X\right\rangle$ является собственным состоянием $σ 1 {\ displaystyle \ sigma _ {1}}$ $\ sigma _ {1}$ :

| ψ (0)⟩ знак равно 1 2 (1 1) = 1 2 (1 0) + 1 2 (0 1) {\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2} }} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

Здесь гамильтониан не зависит от времени. Таким образом, решая стационарное уравнение Шредингера, состояние после времени t определяется как $| ψ (t)⟩ = ехр ⁡ [- i H t ℏ] | ψ (0)⟩ = (ехр ⁡ [- i E + t ℏ] 0 0 ехр ⁡ [- i E - t ℏ]) | ψ (0)⟩ {\ displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = \ exp \ left [{\ frac {-i \ mathbf {H} t} {\ hbar}} \ right] \ left | \ psi (0) \ right \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ exp \ left [{\ tfrac {-iE _ {+} t} {\ hbar}} \ right] 0 \\ 0 \ exp \ left [{ \ tfrac {-iE _ {-} t} {\ hbar}} \ right] \ end {pmatrix}} | \ psi (0) \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = \ exp \ left [{\ frac {-i \ mathbf {H} t} {\ hbar}} \ right] \ left | \ psi (0) \ right \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ exp \ left [{\ tfrac {-iE _ {+} t} {\ hbar}} \ right] 0 \\ 0 \ exp \ left [{\ tfrac {-iE _ {- } t} {\ hbar}} \ right] \ end {pmatrix}} | \ psi (0) \ rangle}$ , с полной энергией системы $E {\ displaystyle E}$ $E$ . Таким образом, состояние после времени t определяется выражением:

| ψ (t)⟩ = e - i E + t ℏ 1 2 | 0⟩ + e - i E - t ℏ 1 2 | 1⟩ {\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {\ frac {-iE _ {+} t} {\ hbar}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} | 0 \ rangle + e ^ {\ frac {-iE _ {-} t} {\ hbar}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} | 1 \ rangle}

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {\ frac {-iE _ {+} t} {\ hbar}} {\ frac {1} {\ sqrt {2 }}} | 0 \ rangle + e ^ {\ frac {-iE _ {-} t} {\ hbar}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} | 1 \ rangle}

Теперь предположим, что вращение измеряется в x- направление в момент времени t. Вероятность обнаружения раскрутки определяется как:

| ⟨+ X | ψ (t)⟩ | 2 = | ⟨0 | + ⟨1 | 2 (1 2 ехр ⁡ [- i E + t ℏ] | 0⟩ + 1 2 ехр ⁡ [- i E - t ℏ] | 1⟩) | 2 знак равно соз 2 ⁡ (ω T 2), {\ Displaystyle {\ left | \ langle + X | \ psi (t) \ rangle \ right |} ^ {2} = {\ left | {\ frac {\ left \ langle 0 \ right | + \ left \ langle 1 \ right |} {\ sqrt {2}}} \ left ({{\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ exp \ left [{\ frac { -iE _ {+} t} {\ hbar}} \ right] \ left | 0 \ right \ rangle + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ exp \ left [{\ frac {-iE_ { -} t} {\ hbar}} \ right] \ left | 1 \ right \ rangle} \ right) \ right |} ^ {2} = \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ omega t} {2}} \ right),}

{\ Displaystyle {\ left | \ langle + X | \ psi (t) \ rangle \ right |} ^ {2} = {\ left | {\ frac {\ left \ langle 0 \ right | + \ left \ langle 1 \ right |} {\ sqrt {2}}} \ left ({{\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ exp \ left [{\ frac {-iE _ {+} t} {\ hbar }} \ right] \ left | 0 \ right \ rangle + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ exp \ left [{\ frac {-iE _ {-} t} {\ hbar}} \ right] \ left | 1 \ right \ rangle} \ right) \ right |} ^ {2} = \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ omega t} {2}} \ right),}

где

ω {\ displaystyle \ omega}

\ omega

- характеристическая угловая частота, заданная как

ω = E + - E - ℏ = γ B {\ displaystyle \ omega = {\ frac {E _ {+} - E _ {-}} {\ hbar}} = \ gamma B}

{\ отображает Тайл \ omega = {\ гидроразрыв {E _ {+} - E _ {-}} {\ hbar}} = \ gamma B}

, где предполагалось, что

E - ≤ E + {\ displaystyle E _ {-} \ leq E _ {+}}

E_{-}\leq E_{+}

. Таким образом, в этом случае вероятность обнаружения раскрутки в направлении x колеблется во времени

t {\ displaystyle t}

t

, когда вращение системы изначально находится в

| + X⟩ {\ displaystyle \ left | + X \ right \ rangle}

\left|+X\right\rangle

направление. Аналогично, если мы измеряем спин в

| + Z⟩ {\ displaystyle \ left | + Z \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ left | + Z \ right \ rangle}

-направление, вероятность измерения вращения как

ℏ 2 {\ displaystyle {\ tfrac {\ hbar} {2}} }

{\tfrac {\hbar }{2}}

системы:

1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}

{\ tfrac {1} {2} }

. В вырожденном случае, когда

E + = E - {\ displaystyle E _ {+} = E _ {-}}

{\ displaystyle E _ {+} = E _ {-}}

, характеристическая частота равна 0 и колебания отсутствуют.

Обратите внимание, что если система находится в собственном состоянии данного гамильтониана, система остается в этом состоянии.

Это верно даже для гамильтонианов, зависящих от времени. Возьмем, к примеру, $H ^ = - γ S z B sin ⁡ (ω t) {\ textstyle {\ hat {H}} = - \ gamma \ S_ {z} B \ sin (\ omega t)}$ ${\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)}$ ; если начальное состояние вращения системы $| + Y⟩ {\ displaystyle \ left | + Y \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | + Y \ right \ rangle}$ , тогда вероятность того, что измерение вращения в направлении Y приведет к $+ ℏ 2 {\ displaystyle + { \ tfrac {\ hbar} {2}}}$ ${\ displaystyle + {\ tfrac {\ hbar} {2}}}$ в момент времени $t {\ displaystyle t}$ $t$ равно $| ⟨+ Y | ψ (t)⟩ | 2 знак равно соз 2 ⁡ (γ В 2 ω соз ⁡ (ω T)) {\ textstyle {\ left | \ left \ langle \, + Y | \ psi (t) \ right \ rangle \ right |} ^ {2} \, = \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ gamma B} {2 \ omega}} \ cos \ left ({\ omega t} \ right) \ right)}$ ${\ textstyle {\ left | \ left \ langle \, + Y | \ psi (t) \ right \ rangle \ right |} ^ {2} \, = \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ gamma B} {2 \ omega}} \ cos \ left ({\ omega t} \ right) \ right)}$ .

Пример колебания Раби между двумя состояниями в ионизированной молекуле водорода.
Ионизированная молекула водорода состоит из двух протонов $P 1 {\ displaystyle P_ {1}}$ $P_{1}$ и $P 2 {\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ и один электрон. Два протона из-за их больших масс можно считать фиксированными. Назовем R расстоянием между ними и $\| 1⟩ {\ displaystyle \| 1 \ rangle}$ $\|1\rangle$ и $\| 2⟩ {\ displaystyle \| 2 \ rangle}$ $\| 2 \ rangle$ состояния, в которых электрон локализован вокруг $P 1 {\ displaystyle P_ {1}}$ $P_{1}$ or $P 2 {\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ . Предположим, что в определенный момент электрон локализован около протона $P 1 {\ displaystyle P_ {1}}$ $P_{1}$ . Согласно результатам предыдущего раздела мы знаем, что он будет колебаться между двумя протонами с частотой, равной частоте Бора, связанной с двумя стационарными состояниями $\| E +⟩ {\ displaystyle \| E _ {+} \ rangle}$ $\|E_{+}\rangle$ и $\| E -⟩ {\ displaystyle \| E _ {-} \ rangle}$ $\|E_{-}\rangle$ молекулы. Это колебание электрона между двумя состояниями соответствует колебанию среднего значения электрического дипольного момента молекулы. Таким образом, когда молекула не находится в стационарном состоянии, может возникнуть осциллирующий электрический дипольный момент. Такой колеблющийся дипольный момент может обмениваться энергией с электромагнитной волной той же частоты. Следовательно, эта частота должна присутствовать в спектре поглощения и излучения ионизированной молекулы водорода.

Пример колебания Раби между двумя состояниями в ионизированной молекуле водорода.

Ионизированная молекула водорода состоит из двух протонов

P 1 {\ displaystyle P_ {1}}

P_{1}

P 2 {\ displaystyle P_ {2}}

P_ {2}

и один электрон. Два протона из-за их больших масс можно считать фиксированными. Назовем R расстоянием между ними и

| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}

|1\rangle

| 2⟩ {\ displaystyle | 2 \ rangle}

| 2 \ rangle

состояния, в которых электрон локализован вокруг

P 1 {\ displaystyle P_ {1}}

P_{1}

P 2 {\ displaystyle P_ {2}}

P_ {2}

. Предположим, что в определенный момент электрон локализован около протона

P 1 {\ displaystyle P_ {1}}

P_{1}

. Согласно результатам предыдущего раздела мы знаем, что он будет колебаться между двумя протонами с частотой, равной частоте Бора, связанной с двумя стационарными состояниями

| E +⟩ {\ displaystyle | E _ {+} \ rangle}

|E_{+}\rangle

| E -⟩ {\ displaystyle | E _ {-} \ rangle}

|E_{-}\rangle

молекулы.

Это колебание электрона между двумя состояниями соответствует колебанию среднего значения электрического дипольного момента молекулы. Таким образом, когда молекула не находится в стационарном состоянии, может возникнуть осциллирующий электрический дипольный момент. Такой колеблющийся дипольный момент может обмениваться энергией с электромагнитной волной той же частоты. Следовательно, эта частота должна присутствовать в спектре поглощения и излучения ионизированной молекулы водорода.

Вывод формулы Раби в непертурбативной процедуре с помощью матриц Паули

Рассмотрим гамильтониан вида

H ^ = E 0 ⋅ σ 0 + W 1 ⋅ σ 1 + W 2 ⋅ σ 2 + Δ ⋅ σ 3 = (E 0 + Δ W 1 - i W 2 W 1 + i W 2 E 0 - Δ). {\ displaystyle {\ hat {H}} = E_ {0} \ cdot \ sigma _ {0} + W_ {1} \ cdot \ sigma _ {1} + W_ {2} \ cdot \ sigma _ {2} + \ Delta \ cdot \ sigma _ {3} = {\ begin {pmatrix} E_ {0} + \ Delta W_ {1} -iW_ {2} \\ W_ {1} + iW_ {2} E_ {0} - \ Delta \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = E_ {0} \ cdot \ sigma _ {0} + W_ {1} \ cdot \ sigma _ {1} + W_ {2} \ cdot \ sigma _ {2} + \ Delta \ cdot \ sigma _ {3} = {\ begin {pmatrix} E_ {0} + \ Delta W_ {1} -iW_ {2} \\ W_ {1} + iW_ {2} E_ {0} - \ Delta \ end {pmatrix}}.}

Собственные значения этой матрицы задаются следующим образом:

λ + = E + = E 0 + Δ 2 + W 1 2 + W 2 2 = E 0 + Δ 2 + | W | 2 {\ displaystyle \ lambda _ {+} = E _ {+} = E_ {0} + {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {W_ {1}} ^ {2} + {W_ {2}) } ^ {2}}} = E_ {0} + {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {+} = E _ {+} = E_ {0} + {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {W_ {1}} ^ {2} + {W_ {2}} ^ {2}}} = E_ {0} + {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}}}

λ - = E - = E 0 - Δ 2 + W 1 2 + W 2 2 = E 0 - Δ 2 + | W | 2 {\ displaystyle \ lambda _ {-} = E _ {-} = E_ {0} - {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {W_ {1}} ^ {2} + {W_ {2}) } ^ {2}}} = E_ {0} - {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {-} = E _ {-} = E_ {0} - {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {W_ {1}} ^ {2} + {W_ {2}} ^ {2}}} = E_ {0} - {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert } ^ {2}}}}

где $W = W 1 + ı W 2 {\ displaystyle \ mathbf {W} = W_ {1} + \ imath W_ {2}}$ $\mathbf {W} =W_{1}+\imath W_{2}$ и $| W | 2 = W 1 2 + W 2 2 = WW ∗ {\ Displaystyle {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2} = {W_ {1}} ^ {2} + {W_ {2}} ^ { 2} = WW ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2} = {W_ {1}} ^ {2 } + {W_ {2}} ^ {2} = WW ^ {*}}$ , поэтому мы можем взять $W = | W | e ı ϕ {\ displaystyle \ mathbf {W} = {\ left \ vert W \ right \ vert} e ^ {\ imath \ phi}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {W} = {\ left \ vert W \ right \ vert} e ^ {\ imath \ phi} }$ .

Теперь собственные векторы для $E + {\ displaystyle E _ {+ }}$ $E_{+}$ можно найти из уравнения

(E 0 + Δ W 1 - i W 2 W 1 + i W 2 E 0 - Δ) (ab) = E + (ab) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E_ {0} + \ Delta W_ {1} -iW_ {2} \\ W_ {1} + iW_ {2} E_ {0} - \ Delta \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} a \\ b \\\ end {pmatrix}} = E _ {+} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E_ {0} + \ Delta W_ {1} -iW_ {2} \\ W_ {1} + iW_ {2} E_ {0} - \ Delta \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\\ end {pmatrix}} = E _ {+} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\\ end {pmatrix}}}

Итак

b = - a ( E 0 + Δ - E +) W 1 - я W 2 {\ displaystyle b = - {\ frac {a \ left (E_ {0} + \ Delta -E _ {+} \ right)} {W_ {1} - iW_ {2}}}}

{\ displaystyle b = - {\ frac {a \ left (E_ {0} + \ Delta -E _ {+} \ right)} {W_ {1} -iW_ {2}}}}

Применение условия нормализации к собственным векторам, $| а | 2 + | б | 2 = 1 {\ displaystyle {\ left \ vert a \ right \ vert} ^ {2} + {\ left \ vert b \ right \ vert} ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle {\ left \ vert a \ right \ vert} ^ {2} + {\ left \ vert b \ right \ vert} ^ {2} = 1}$ . Итак,

| а | 2 + | а | 2 (Δ | W | - Δ 2 + | W | 2 | W |) 2 = 1 {\ Displaystyle {\ left \ vert a \ right \ vert} ^ {2} + {\ left \ vert a \ right \ vert } ^ {2} \ left ({\ frac {\ Delta} {\ left \ vert W \ right \ vert}} - {\ frac {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}} {\ left \ vert W \ right \ vert}} \ right) ^ {2} = 1}

{\ displaystyle {\ left \ vert a \ right \ vert} ^ {2} + {\ left \ vert a \ right \ vert} ^ {2} \ left ({\ frac {\ Delta} {\ left \ vert W \ right \ vert}} - {\ frac {\ sqrt { {\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}} {\ left \ vert W \ right \ vert}} \ right) ^ {2} = 1}

Пусть $sin ⁡ θ = | W | Δ 2 + | W | 2 {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ left \ vert W \ right \ vert} {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2 }}}}}$ $\ sin \ theta = {\ frac {\ left \ vert W \ right \ vert} {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}}}$ и $cos ⁡ θ = Δ Δ 2 + | W | 2 {\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ Delta} {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}}}}$ $\ cos \ theta = {\ frac {\ Delta} {\ sqrt {{\ Delta} ^ { 2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}}}$ . Итак, $tan ⁡ θ = | W | Δ {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ left \ vert W \ right \ vert} {\ Delta}}}$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ left \ vert W \ right \ vert} {\ Delta}}}$ .

Таким образом, мы получаем $| а | 2 + | а | 2 (1 - соз ⁡ θ) 2 грех 2 ⁡ θ = 1 {\ displaystyle {\ left \ vert a \ right \ vert} ^ {2} + {\ left \ vert a \ right \ vert} ^ {2} { \ frac {({1- \ cos \ theta}) ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} = 1}$ ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1$ . То есть $| а | 2 знак равно соз 2 ⁡ (θ 2) {\ Displaystyle {\ left \ vert a \ right \ vert} ^ {2} = \ cos ^ {2} \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle { \ left \ vert a \ right \ vert} ^ {2} = \ cos ^ {2} \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right)}$ . Взяв произвольный фазовый угол $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ , мы можем написать $a = exp ⁡ (ı ϕ / 2) cos ⁡ (θ 2) {\ displaystyle a = \ exp (\ imath \ phi / 2) \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right)}$ $a=\exp(\imath \phi /2)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$ . Аналогично $b = exp (- ı ϕ / 2) sin sin (θ 2) {\ displaystyle b = \ exp (- \ imath \ phi / 2) \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} { 2}} \ right)}$ ${\ displaystyle b = \ exp (- \ imath \ phi / 2) \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right)}$ .

Таким образом, собственный вектор для собственного значения $E + {\ displaystyle E _ {+}}$ $E_{+}$ задается как

| E +⟩ знак равно (соз ⁡ (θ / 2) e ı ϕ sin ⁡ (θ / 2)) {\ displaystyle \ left | E _ {+} \ right \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) \\ e ^ {\ imath \ phi} \ sin \ left (\ theta / 2 \ right) \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ left | E _ {+} \ right \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) \\ e ^ {\ imath \ phi} \ sin \ слева (\ theta / 2 \ right) \ end {pmatrix}}}

Поскольку общая фаза не имеет значения, мы можем написать

| E +⟩ = (cos ⁡ (θ 2) e ı ϕ sin ⁡ (θ 2)) = cos ⁡ (θ 2) | 0⟩ + e ı ϕ sin ⁡ (θ 2) | 1⟩ {\ displaystyle \ left | E _ {+} \ right \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \\ e ^ {\ imath \ phi} \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ end {pmatrix}} = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | 0 \ right \ rangle + e ^ {\ imath \ phi} \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | 1 \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ left | E _ {+} \ right \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \\ e ^ {\ imath \ phi} \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ end {pmatrix}} = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | 0 \ right \ rangle + e ^ {\ imath \ phi} \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | 1 \ right \ rangle}

Аналогично, собственный вектор для собственная энергия

E - {\ displaystyle E _ {-}}

E _ {-}

| E -⟩ = cos ⁡ (θ 2) | 0⟩ - e ı ϕ sin ⁡ (θ 2) | 1⟩ {\ displaystyle \ left | E _ {-} \ right \ rangle = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | 0 \ right \ rangle -e ^ {\ imath \ phi} \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | 1 \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ left | E _ {-} \ right \ rangle = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | 0 \ right \ rangle - e ^ {\ imath \ phi} \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | 1 \ right \ rangle}

Из этих двух уравнений мы можем записать

| 0⟩ = cos ⁡ (θ 2) | E +⟩ + sin ⁡ (θ 2) | E -⟩ {\ displaystyle \ left | 0 \ right \ rangle = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {+} \ right \ rangle + \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {-} \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ left | 0 \ right \ rangle = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {+} \ right \ rangle + \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {-} \ right \ rangle}

| 1⟩ = e - ı ϕ cos ⁡ (θ 2) | E +⟩ - e - ı ϕ sin ⁡ (θ 2) | E -⟩ {\ Displaystyle \ left | 1 \ right \ rangle = e ^ {- \ imath \ phi} \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {+} \ right \ rangle -e ^ {- \ imath \ phi} \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {-} \ right \ rangle}

\left|1\right\rangle =e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle

Предположим, что система запускается в состоянии $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $|0\rang$ в момент $t = 0 {\ textstyle t = 0}$ ${\ textstyle t = 0}$ ; то есть

| ψ (0)⟩ = | 0⟩ = cos ⁡ (θ 2) | E +⟩ + sin ⁡ (θ 2) | Е -⟩ {\ Displaystyle \ left | \ psi \ left (0 \ right) \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {+} \ right \ rangle + \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {-} \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ left | \ psi \ left (0 \ right) \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {+} \ right \ rangle + \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ left | E _ {-} \ right \ rangle}

По истечении времени t, государство развивается как

| ψ (t)⟩ = e - i H ^ t ℏ | ψ (0)⟩ = cos ⁡ (θ 2) e - i E + t ℏ | E +⟩ + sin ⁡ (θ 2) e - i E - t ℏ | Е -⟩ {\ Displaystyle \ left | \ psi \ left (t \ right) \ right \ rangle = e ^ {\ frac {-i {\ hat {H}} t} {\ hbar}} \ left | \ psi \ left (0 \ right) \ right \ rangle = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) e ^ {\ frac {-iE _ {+} t} {\ hbar}} \ left | E _ {+} \ right \ rangle + \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) e ^ {\ frac {-iE _ {-} t} {\ hbar}} \ left | E _ {-} \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ left | \ psi \ left (t \ right) \ right \ rangle = e ^ {\ frac {-i {\ hat {H}} t } {\ hbar}} \ left | \ psi \ left (0 \ right) \ right \ rangle = \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) e ^ {\ frac {-iE_ {+} t} {\ hbar}} \ left | E _ {+} \ righ t \ rangle + \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) e ^ {\ frac {-iE _ {-} t} {\ hbar}} \ left | E _ {-} \ right \ rangle}

Если система находится в одном из собственных состояний $| E +⟩ {\ displaystyle | E _ {+} \ rangle}$ ${\ displaystyle | E _ {+} \ rangle}$ или $| E -⟩ {\ displaystyle | E _ {-} \ rangle}$ ${\ displaystyle | E _ {-} \ rangle}$ , он останется в том же состоянии. Однако для общего начального состояния, как показано выше, эволюция во времени нетривиальна.

Амплитуда вероятности нахождения системы в момент времени t в состоянии $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ задается как $⟨1 | ψ (t)⟩ знак равно е ı ϕ грех ⁡ (θ 2) соз ⁡ (θ 2) (е - ı E + t ℏ - e - ı E - t ℏ) {\ textstyle \ left \ langle \ 1 | \ psi (t) \ right \ rangle = e ^ {\ imath \ phi} \ sin \ left ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ tfrac {\ theta} {2} } \ right) \ left (e ^ {\ frac {- \ imath E _ {+} t} {\ hbar}} - e ^ {\ frac {- \ imath E _ {-} t} {\ hbar}} \ right)}$ ${\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)}$ .

Теперь вероятность того, что система в состоянии $| ψ (t)⟩ {\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}$ $|\psi (t)\rangle$ будет находиться в произвольном состоянии

| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}

|1\rangle

задается как

P 0 → 1 (t) = | ⟨1 | ψ (t)⟩ | 2 = e - ı ϕ sin ⁡ (θ 2) cos ⁡ (θ 2) (e + ı E + t ℏ - e + ı E - t ℏ) e + ı ϕ sin ⁡ (θ 2) cos ⁡ (θ 2) (е - ı E + T ℏ - е - ı E - t ℏ) = грех 2 ⁡ θ 4 (2-2 соз ⁡ ((E + - E -) t ℏ)) {\ displaystyle {\ begin {выровнено } P_ {0 \ to 1} (t) = {| \ langle \ 1 | \ psi (t) \ rangle |} ^ {2} \\ = e ^ {- \ imath \ phi} \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ left (e ^ {\ frac {+ \ imath E _ {+} t} {\ hbar}} - e ^ {\ frac {+ \ imath E _ {-} t} {\ hbar}} \ right) e ^ {+ \ imath \ phi} \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ left (e ^ {\ frac {- \ imath E _ {+} t} {\ hbar} } -e ^ {\ frac {- \ imath E _ {-} t} {\ hbar}} \ right) \\ = {\ frac {\ sin ^ {2} {\ theta}} {4}} \ left (2-2 \ cos \ left ({\ frac {\ left (E _ {+} - E _ {-} \ right) t} {\ hbar}} \ right) \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {0 \ to 1} (t) = {| \ langle \ 1 | \ psi (t) \ rangle |} ^ {2} \\ = e ^ {- \ imath \ phi} \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ left ( e ^ {\ frac {+ \ imath E _ {+} t} {\ hbar}} - e ^ {\ frac {+ \ imath E _ {-} t} {\ hbar}} \ right) e ^ {+ \ imath \ phi} \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ left (e ^ {\ frac { - \ imath E _ {+} t} {\ hbar}} - e ^ {\ frac {- \ imath E _ {-} t} {\ hbar}} \ right) \\ = {\ frac {\ sin ^ { 2} {\ theta}} {4}} \ left (2-2 \ cos \ left ({\ frac {\ left (E _ {+} - E _ {-} \ right) t} {\ hbar}} \ right) \ right) \ end {align}}}

Это можно упростить до

P 0 → 1 (t) = sin 2 ⁡ (θ) sin 2 ⁡ ((E + - E -) t 2 ℏ) = | W | 2 Δ 2 + | W | 2 грех 2 ⁡ ((E + - E -) t 2 ℏ) {\ displaystyle P_ {0 \ to 1} (t) = \ sin ^ {2} (\ theta) \ sin ^ {2} \ left ({ \ frac {(E _ {+} - E _ {-}) t} {2 \ hbar}} \ right) = {\ frac {{\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}} {{\ Delta } ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {(E _ {+} - E _ {-}) t} { 2 \ hbar}} \ right)}

{\ displaystyle P_ {0 \ to 1} (t) = \ sin ^ {2} (\ theta) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {(E _ {+} - E _ {-}) t} {2 \ hbar}} \ right) = {\ frac {{\ left \ vert W \ right \vert }^{2}}{{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)}

......... (1).

Это показывает, что существует конечная вероятность найти систему в состоянии $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ , когда система изначально находится в состоянии $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $|0\rang$ . Вероятность колеблется с угловой частотой $ω = E + - E - 2 ℏ = Δ 2 + | W | 2 ℏ {\ displaystyle \ omega = {\ frac {E _ {+} - E _ {-}} {2 \ hbar}} = {\ frac {\ sqrt {{\ Delta} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}} {\ hbar}}}$ $\ omega = {\ frac {E _ {+} - E _ {-}} {2 \ hbar}} = {\ frac {\ sqrt {{\ Дельта} ^ {2} + {\ left \ vert W \ right \ vert} ^ {2}}} {\ hbar}}$ , которая представляет собой просто уникальную частоту Бора системы и также называется частотой Раби. Формула (1) известна как формула Раби. Теперь по прошествии времени t вероятность того, что система в состоянии $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $|0\rang$ задается как $| ⟨0 | ψ (t)⟩ | 2 знак равно 1 - грех 2 ⁡ (θ) грех 2 ⁡ ((E + - E -) t 2 ℏ) {\ displaystyle {| \ langle \ 0 | \ psi (t) \ rangle |} ^ {2} = 1 - \ sin ^ {2} (\ theta) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {(E _ {+} - E _ {-}) t} {2 \ hbar}} \ right)}$ ${|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta)\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)$ , который также является колебательным.

Эти типы колебаний двухуровневых систем называются колебаниями Раби, которые возникают во многих задачах, таких как колебания нейтрино, ионизированная молекула водорода, Квантовые вычисления, аммиачный мазер и т. Д.

Осцилляция Раби в квантовых вычислениях

Любая квантовая система с двумя состояниями может быть использована для моделирования кубита. Рассмотрим систему со спином - $1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ с магнитным моментом $μ {\ displaystyle {\ boldsymbol { \ mu}}}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ в классическом магнитном поле $B = B 0 z ^ + B 1 (cos ⁡ (ω t) x ^ - sin ⁡ (ω t) y ^) {\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} = B_ {0} \ {\ hat {z}} + B_ {1} \ left (\ cos {(\ omega t)} \ {\ hat {x}} - \ sin { (\ omega t)} \ {\ hat {y}} \ right)}$ ${\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)$ . Пусть $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\gamma$ будет гиромагнитным отношением для системы. Таким образом, магнитный момент равен $μ = ℏ 2 γ σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ gamma {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ boldsymbol {\ mu}} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ gamma {\ boldsymbol {\ sigma}}$ . Гамильтониан этой системы тогда определяется как $H = - μ ⋅ B = - ℏ 2 ω 0 σ z - z 2 ω 1 (σ x cos ⁡ ω t - σ y sin ⁡ ω t) {\ displaystyle \ mathbf {H} = - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B} = - {\ frac {\ hbar} {2}} \ omega _ {0} \ sigma _ {z} - {\ frac {\ hbar} {2}} \ omega _ {1} (\ sigma _ {x} \ cos \ omega t- \ sigma _ {y} \ sin \ omega t)}$ $\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)$ где $ω 0 знак равно γ B 0 {\ displaystyle \ omega _ {0} = \ gamma B_ {0}}$ $\omega _{0}=\gamma B_{0}$ и $ω 1 = γ B 1 {\ displaystyle \ omega _ {1} = \ гамма B_ {1}}$ $\ omega _ {1} = \ gamma B_ {1}$ . С помощью вышеупомянутой процедуры можно найти собственные значения и собственные векторы этого гамильтониана. Теперь пусть кубит находится в состоянии $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ в момент времени $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ . Затем в момент времени $t {\ displaystyle t}$ $t$ вероятность того, что он будет найден в состоянии $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ задается формулой $P 0 → 1 (t) = (ω 1 Ω) 2 sin 2 ⁡ (Ω t 2) {\ displaystyle P_ {0 \ to 1} (t) = \ left ({\ frac {\ omega _ {1}} {\ Omega}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ Omega t } {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle P_ {0 \ to 1} (t) = \ left ({\ frac {\ omega _ {1}} {\ Omega}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ Omega t} {2} } \ right)}$ где $Ω = (ω - ω 0) 2 + ω 1 2 {\ displaystyle \ Omega = {\ sqrt {(\ omega - \ omega _ { 0}) ^ {2} + \ omega _ {1} ^ {2}}}}$ $\ Omega = {\ sqrt {(\ omega - \ omega _ {0}) ^ {2} + \ omega _ {1} ^ {2}}}$ . Это явление называется колебанием Раби. Таким образом, кубит колеблется между $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $|0\rang$ и $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ состояний. Максимальная амплитуда колебаний достигается при $ω = ω 0 {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$ $\omega =\omega _{0}$ , что является условием для резонанса. В резонансе вероятность перехода определяется выражением $P 0 → 1 (t) = sin 2 ⁡ (ω 1 t 2) {\ displaystyle P_ {0 \ to 1} (t) = \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ omega _ {1} t} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle P_ {0 \ to 1} (t) = \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ omega _ { 1} t} {2}} \ right)}$ . Уйти из состояния $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $|0\rang$ в состояние $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ достаточно настроить время $t {\ displaystyle t}$ $t$ , в течение которого вращающееся поле действует так, что $ω 1 t 2 = π 2 {\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {1} t} {2}} = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ omega _ {1} t} {2}} = {\ frac {\ pi} {2}}$ или $t = π ω 1 {\ displaystyle t = {\ frac {\ pi} {\ omega _ {1}}}}$ $t = {\ frac {\ pi} {\ omega _ {1}}}$ . Это называется импульсом $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Если выбрано промежуточное время между 0 и $π ω 1 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ omega _ {1}}}}$ ${\frac {\pi }{\omega _{1}}}$ , мы получаем суперпозицию $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $|0\rang$ и $| 1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}$ $|1\rangle$ . В частности, для $t = π 2 ω 1 {\ displaystyle t = {\ frac {\ pi} {2 \ omega _ {1}}}}$ $t = {\ frac {\ pi} {2 \ omega _ {1}}}$ , мы имеем $π 2 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$ импульс, который действует как: $| 0⟩ → | 0⟩ + i | 1⟩ 2 {\ displaystyle | 0 \ rangle \ to {\ frac {| 0 \ rangle + i | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle \ to {\ frac {| 0 \ rangle + i | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}}}}$ . Эта операция имеет решающее значение в квантовых вычислениях. Уравнения по существу идентичны в случае двухуровневого атома в поле лазера, когда используется обычно хорошо удовлетворяемое приближение вращающейся волны. Тогда $ℏ ω 0 {\ displaystyle \ hbar \ omega _ {0}}$ $\hbar \omega _{0}$ - это разность энергий между двумя атомными уровнями, $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - частота лазерной волны, а частота Раби $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ пропорциональна произведению электрического дипольного момента перехода атома. $d → {\ displaystyle {\ vec {d}}}$ ${\ vec {d}}$ и электрическое поле $E → {\ displaystyle {\ vec {E}}}$ ${\ vec {E}}$ лазера волна, которая равна $ω 1 ∝ ℏ d → ⋅ E → {\ displaystyle \ omega _ {1} \ propto \ hbar \ {\ vec {d}} \ cdot {\ vec {E}}}$ $\omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}$ . Таким образом, осцилляции Раби - это основной процесс, используемый для управления кубитами. Эти колебания получаются путем воздействия на кубиты периодических электрических или магнитных полей в течение подходящих временных интервалов.

См. Также

Ссылки

Квантовая механика, том 1, К. Коэн-Таннуджи, Бернард Диу, Фрэнк Лало, ISBN 9780471164333
Краткое введение в квантовую информацию и квантовые вычисления Мишеля Ле Беллака, ISBN 978-0521860567
Лекции Фейнмана по физике Том 3 Ричарда П. Фейнмана И РБ Лейтон, ISBN 978-8185015842
Современный подход к квантовой механике, Джон С. Таунсенд, ISBN 9788130913148

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-03 05:26:53

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте