Метод конечных элементов в строительной механике

Метод конечных элементов (FEM) - мощный метод Первоначально разработанный для численного решения сложных задач в строительной механике, он остается методом выбора для сложных систем. В FEM структурная система моделируется набором соответствующих конечных элементов, соединенных между собой в дискретных точках, называемых узлами. Элементы могут иметь такие физические свойства, как толщина, коэффициент теплового расширения, плотность, модуль Юнга, модуль сдвига и пуассоновский коэффициент.

• 1 История
  • 1.1 Взаимосвязь элементов и смещение
• 2 Практические соображения
• 3 Теоретический обзор формулировки смещения МКЭ: от элементов к системе к решению
• 4 Интерполяция или функции формы
• 5 Внутренняя виртуальная работа в типичном элементе
  • 5.1 Матрицы элементов
  • 5.2 Виртуальная работа элемента в терминах узловых смещений системы
• 6 Виртуальная работа системы
• 7 Сборка системных матриц
• 8 См. Также
• 9 Ссылки

Происхождение конечного метода можно проследить до матричного анализа конструкций, в котором была введена концепция матричного подхода смещения или жесткости. Концепции конечных элементов были разработаны на основе инженерных методов в 1950-х годах. Настоящее развитие метод конечных элементов получил в 1960-х и 1970-х годах благодаря Джону Аргирису и его сотрудникам; в Штутгартском университете, Рэй У. Клаф ; в Калифорнийском университете, Беркли, Ольгерд Зенкевич и его сотрудники Эрнест Хинтон, Брюс Айронс ; в Университете Суонси от Филиппа Дж. Сиарле ; в Парижском университете ; в Корнельском университете, Ричард Галлахер и его сотрудники. Оригинальные работы, такие как работы Аргириса и Клафа, стали основой современных методов структурного анализа методом конечных элементов.

Прямые или изогнутые одномерные элементы с такими физическими свойствами, как осевая жесткость, жесткость на изгиб и скручивание. Этот тип элемента подходит для моделирования кабелей, распорок, ферм, балок, ребер жесткости, решеток и рам. Прямые элементы обычно имеют два узла, по одному на каждом конце, в то время как для изогнутых элементов потребуется не менее трех узлов, включая конечные узлы. Элементы располагаются на центроидной оси фактических элементов.

• Двумерные элементы, которые противостоят только силам в плоскости за счет действия мембраны (плоскость напряжение, плоскость деформация ), и пластины, которые выдерживают поперечные нагрузки за счет поперечного сдвига и изгиба ( пластины и оболочки ). Они могут иметь различную форму, например плоские или изогнутые треугольники и четырехугольники. Узлы обычно размещаются по углам элемента, и, если требуется для большей точности, дополнительные узлы могут быть размещены по краям элемента или даже внутри элемента. Элементы расположены на средней поверхности фактической толщины слоя.
• Элементы в форме тора для осесимметричных задач, таких как мембраны, толстые пластины, оболочки и твердые тела. Поперечное сечение элементов аналогично описанным ранее типам: одномерное для тонких пластин и оболочек и двумерное для твердых тел, толстых пластин и оболочек.
• Трехмерные элементы для моделирования 3- D-твердые тела, такие как детали машин, плотины, насыпи или массы грунта. Общие формы элементов включают в себя тетраэдры и шестигранники. Узлы размещаются в вершинах и, возможно, на гранях элементов или внутри элемента.

Взаимосвязь и смещение элементов

Элементы взаимосвязаны только на внешних узлах, и вместе они должны охватывать всю область с максимальной точностью насколько возможно. Узлы будут иметь узловые (векторные) смещения или степени свободы, которые могут включать смещения, вращения, а для специальных приложений - производные смещений более высокого порядка. Когда узлы смещаются, они будут перемещать элементы определенным образом, определенным формулировкой элемента. Другими словами, смещения любых точек в элементе будут интерполированы из узловых смещений, и это основная причина приближенного характера решения.

С точки зрения приложения, важно моделировать систему таким образом, чтобы:

• Условия симметрии или антисимметрии использовались для уменьшения размера
• Совместимость смещения, включая любую требуемую неоднородность, гарантируется в узлах, а также, предпочтительно, по краям элемента, особенно когда смежные элементы имеют разные типы, материал или толщину. Совместимость перемещений многих узлов обычно может быть наложена через отношения ограничений.
• Поведение элементов должно отражать доминирующие действия фактической системы, как локально, так и глобально.
• Сетка элемента должна быть достаточной штраф для обеспечения приемлемой точности. Для оценки точности сетка уточняется до тех пор, пока важные результаты не покажут небольших изменений. Для большей точности соотношение сторон элементов должно быть как можно ближе к единице, а элементы меньшего размера должны использоваться поверх частей с более высоким напряжением градиент.
• Надлежащие опорные ограничения накладываются специальными внимание уделено узлам на осях симметрии.

Крупномасштабные коммерческие программные пакеты часто предоставляют средства для создания сетки и графического отображения ввода и вывода, что значительно облегчает проверку как входных данных, так и интерпретацию результатов.

Хотя теория МКЭ может быть представлена ​​в разных ракурсах или акцентах, ее развитие для структурного анализа следует более традиционному подходу с помощью принципа виртуальной работы или принципа минимальной полной потенциальной энергии. Принцип виртуальной работы является более общим, поскольку он применим как к линейному, так и к нелинейному поведению материала. Метод виртуальной работы является выражением сохранения энергии : для консервативных систем работа, добавленная к системе набором приложенных сил, равна энергии, запасенной в системе в виде энергии деформации компоненты конструкции.

Принцип виртуальных перемещений для структурной системы выражает математическое тождество внешней и внутренней виртуальной работы:

$Внешняя\; виртуальная\; работа\; =\; \int \; V\; \delta \; ϵ\; T\; \sigma \; d\; V\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Внешняя\; виртуальная\; работа\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; epsilon\}\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash ,\; dV\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(\; 1)\}\}$

Другими словами, сумма работы, совершаемой над системой набором внешних сил, равна работе, накопленной в виде энергии деформации в элементах, составляющих систему.

Виртуальная внутренняя работа в правой части приведенного выше уравнения может быть найдена путем суммирования виртуальной работы, выполненной над отдельными элементами. Последнее требует использования функций «сила-смещение», которые описывают реакцию для каждого отдельного элемента. Следовательно, смещение структуры описывается коллективной реакцией отдельных (дискретных) элементов. Уравнения записываются только для небольшой области отдельных элементов конструкции, а не для одного уравнения, описывающего реакцию системы в целом (континуум). Последнее привело бы к неразрешимой проблеме, отсюда и полезность метода конечных элементов. Как показано в следующих разделах, уравнение (1) приводит к следующему основному уравнению равновесия для системы:

$R\; =\; K\; r\; +\; R\; o\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Kr\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{o\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(2)\}\}$

где

$R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$= вектор узловые силы, представляющие внешние силы, приложенные к узлам системы.

$K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\}$= матрица жесткости системы, которая является коллективным эффектом матриц жесткости отдельных элементов: $ke\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; ^\; \{e\}\}$.

$r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$= вектор узловых смещений системы.

$R\; o\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{o\}\}$= вектор эквивалентных узловых сил, представляющий все внешние эффекты, кроме узловых сил, которые уже включены в предыдущий вектор узловых сил R . Эти внешние воздействия могут включать в себя распределенные или сосредоточенные поверхностные силы, объемные силы, тепловые эффекты, начальные напряжения и деформации.

После учета ограничений опор узловые смещения находятся путем решения системы линейных уравнений (2), символически:

$r\; =\; K\; -\; 1\; (R\; -\; R\; o)\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{o\})\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(3)\}\}$

Впоследствии деформации и напряжения в отдельных элементах могут быть найдены следующим образом:

$ϵ\; =\; B\; q\; (4)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; epsilon\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Bq\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(4)\}\}$

$\sigma \; =\; E\; (ϵ\; -\; ϵ\; o)\; +\; \sigma \; o\; =\; Е\; (В\; Q\; -\; ϵ\; о)\; +\; \sigma \; о\; (5)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; epsilon\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; epsilon\}\; ^\; \{o\})\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; ^\; \{o\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Bq\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; epsilon\}\; ^\; \{o\})\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; ^\; \{o\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(5)\}\}$

где

$q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}$= вектор узловых смещений - подмножество вектора смещения системы r, которое относится к рассматриваемым элементам.

$B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\}$= Деформация- матрица смещения, которая преобразует узловые смещения q в деформации в любой точке элемента.

$E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\}$= матрица упругости, преобразующая эффективные деформации в напряжения в любой точке элемента.

$ϵ\; o\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; epsilon\}\; ^\; \{o\}\}$= вектор начальных деформаций в элементах.

$\sigma \; o\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; ^\; \{o\}\}$= вектор начальных напряжений в элементах.

Применяя уравнение виртуальной работы к системе (1), мы можем установить матрицы элементов $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\}$, $ke\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; ^\; \{e\}\}$, а также метод сборки системных матриц $Р\; о\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{o\}\}$и $K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\}$. Другие матрицы, такие как $ϵ\; o\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; epsilon\}\; ^\; \{o\}\}$, $\sigma \; o\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; ^\; \{o\}\}$, $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$и $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\}$являются известными значениями и могут быть установлены непосредственно из ввода данных.

Пусть $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}$будет вектором узловых смещений типичного элемента. Смещения в любой другой точке элемента можно найти с помощью функций интерполяции как символически:

$u\; =\; N\; q\; (6)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\; N\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(6)\}\}$

где

$u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}$= вектор смещений в любом точка {x, y, z} элемента.

$N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\}$= матрица, служащая функциями интерполяции.

Уравнение ( 6) вызывает другие представляющие интерес величины:

• Виртуальные смещения, которые являются функцией виртуальных узловых смещений: $\delta \; u\; =\; N\; \delta \; q\; (6\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(6b)\}\}$
• Деформации в элементах, возникающие в результате смещения узлов элемента: $ϵ\; =\; D\; u\; =\; DN\; q\; (7)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; epsilon\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Du\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{DNq\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(7)\}\}$

где $D\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\}$= матрица преобразования перемещений в деформации с использованием теории линейной упругости. Уравнение (7) показывает, что матрица B в (4) равна

$B\; =\; DN\; (8)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{DN\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(8)\}\}$

• Виртуальные деформации, соответствующие виртуальным узловым смещениям элемента: $\delta \; ϵ\; =\; B\; \delta \; q\; (9)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; epsilon\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\; B\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(9)\}\}$

Для типичного элемента объема $V\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{e\}\}$, внутренняя виртуальная работа из-за виртуальных смещений получается заменой (5) и (9) в (1):

$Internal\; virtual\; work\; =\; \int \; В\; е\; \delta \; ϵ\; T\; \sigma \; d\; В\; е\; знак\; равно\; \delta \; Q\; T\; \int \; В\; е\; BT\; \{E\; (B\; q\; -\; ϵ\; o)\; +\; \sigma \; o\}\; d\; В\; е\; (10)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Внутренняя\; виртуальная\; работа\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\; ^\; \{e\}\}\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; epsilon\}\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash ,\; dV\; ^\; \{e\}\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; ^\; \{\; T\}\; \backslash \; int\; \_\; \{V\; ^\; \{e\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; big\; \backslash \; \{\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Bq\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; epsilon\}\; ^\; \{o\})\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; ^\; \{o\}\; \{\backslash \; big\; \backslash \}\}\; \backslash ,\; dV\; ^\; \{e\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(10)\}\}$

Матрицы элементов

В первую очередь для удобства справки теперь могут быть определены следующие матрицы, относящиеся к типичным элементам:

Матрица жесткости элементов $К\; е\; знак\; равно\; \int \; В\; е\; BTEB\; d\; В\; е\; (11)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; ^\; \{e\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\; ^\; \{e\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash ,\; dV\; ^\; \{e\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(11)\}\}$

Эквивалентный вектор нагрузки элемента $Q\; oe\; =\; \int \; V\; e\; -\; BT\; (E\; ϵ\; o\; -\; \sigma \; o)\; d\; V\; е\; (12)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{oe\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\; ^\; \{e\}\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; \backslash \; epsilon\}\; ^\; \{o\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; ^\; \{o\}\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash ,\; dV\; ^\; \{e\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(12)\}\}$

Эти матрицы обычно вычисляются численно с использованием Квадратура Гаусса для численного интегрирования. Их использование упрощается (10) до следующего:

$Внутренняя\; виртуальная\; работа\; =\; \delta \; q\; T\; (K\; eq\; +\; Q\; oe)\; (13)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Внутренняя\; виртуальная\; работа\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{q\; \}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; ^\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{oe\}\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(13)\}\}$

Виртуальная работа элемента в терминах узловых смещений системы

Так как вектор узловых смещений q является подмножеством узловых смещений системы r (для совместимости со смежными элементами), мы можем заменить q на r, расширив размер матриц элементов новыми столбцами и строками нулей:

$Внутренняя\; виртуальная\; работа\; =\; \delta \; r\; T\; (K\; er\; +\; Q\; oe)\; (14)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Внутренняя\; виртуальная\; работа\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; ^\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{oe\}\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(14)\}\}$

где для простоты мы используем те же символы для матриц элементов, которые теперь также имеют увеличенный размер как правильно расположенные строки и столбцы.

Суммирование внутренней виртуальной работы (14) для всех элементов дает правую часть (1):

$Внутренняя\; виртуальная\; работа\; системы\; =\; \sum \; e\; \delta \; r\; T\; (ker\; +\; Q\; oe)\; знак\; равно\; \delta \; r\; T\; (\sum \; eke)\; r\; +\; \delta \; r\; T\; \sum \; e\; Q\; oe\; (15)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{внутренняя\; виртуальная\; работа\; системы\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; ^\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{oe\}\; \{\backslash \; big)\}\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{\; r\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; ^\; \{e\}\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{oe\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(15)\}\}$

Теперь, учитывая левую часть (1), внешняя виртуальная работа системы состоит из:

• Работа, совершаемая узловыми силами R: $\delta \; r\; TR\; (16)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(16)\}\}$
• Работа, совершаемая внешними силами $T\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{e\}\}$в части $S\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{e\}\; \}$кромок или поверхностей элементов, а также силами тела $fe\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{e\}\}$

$\sum \; e\; \int \; S\; e\; \delta \; u\; TT\; ed\; S\; e\; +\; \sum \; e\; \int \; V\; e\; \delta \; u\; T\; подано\; V\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\; S\; ^\; \{e\}\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{e\}\; \backslash ,\; dS\; ^\; \{e\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; int\; \_\; \{V\; ^\; \{e\}\; \}\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{e\}\; \backslash ,\; dV\; ^\; \{e\}\}$

Замена (6b) дает:

$\delta \; q\; T\; \sum \; e\; \int \; S\; е\; NTT\; ed\; S\; e\; +\; \delta \; Q\; T\; \sum \; e\; \int \; V\; e\; NT\; с\; питанием\; V\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; int\; \_\; \{S\; ^\; \{e\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{e\}\; \backslash ,\; dS\; ^\; \{e\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; int\; \_\; \{V\; ^\; \{\; e\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{e\}\; \backslash ,\; dV\; ^\; \{e\}\}$

или $-\; \delta \; q\; T\; \sum \; e\; (Q\; te\; +\; Q\; fe)\; (\; 17\; а)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{te\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{fe\})\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(17a)\}\}$

, где мы ввели дополнительные матрицы элементов, определенные ниже:

$Q\; te\; =\; -\; \int \; S\; e\; NTT\; ed\; S\; e\; (18\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{te\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{S\; ^\; \{e\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{e\}\; \backslash ,\; dS\; ^\; \{e\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(18a)\}\}$

$Q\; Фе\; знак\; равно\; -\; \int \; В\; е\; NT\; подается\; В\; е\; (18\; б)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; Q\}\; ^\; \{fe\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{V\; ^\; \{e\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{e\}\; \backslash ,\; dV\; ^\; \{e\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(18b)\}\}$

Опять же, численное интегрирование удобно для их оценки. Аналогичная замена q в (17a) на r дает после перестановки и расширения векторов $Q\; te,\; Q\; fe\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{te\; \},\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{fe\}\}$:

$-\; \delta \; р\; T\; \sum \; е\; (Q\; te\; +\; Q\; fe)\; (17\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{te\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{fe\})\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{(17b)\}\}$

Добавление ( 16), (17b) и приравнивание суммы к (15) дает: $\delta \; r\; TR\; -\; \delta \; r\; T\; \sum \; e\; (Q\; te\; +\; Q\; fe)\; =\; \delta \; r\; T\; (\sum \; eke)\; r\; +\; \delta \; r\; T\; \sum \; e\; Q\; oe\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; -\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{te\; \}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{fe\})\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; ^\; \{e\}\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{oe\}\}$

Поскольку виртуальные смещения $\delta \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; дельта\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$произвольны, предыдущее равенство сводится к:

$R\; =\; (\sum \; eke)\; r\; +\; \sum \; e\; (Q\; oe\; +\; Q\; te\; +\; Q\; fe)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\; \}\; =\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; ^\; \{e\}\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{oe\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{te\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{fe\}\; \{\backslash \; big)\}\}$

Сравнение с (2) показывает, что:

• Матрица жесткости системы получается следующим образом: суммирование матриц жесткости элементов:

$K\; =\; \sum \; eke\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; ^\; \{e\}\}$

• Получен вектор эквивалентных узловых сил путем суммирования векторов нагрузки элементов:

$R\; o\; =\; \sum \; e\; (Q\; oe\; +\; Q\; te\; +\; Q\; fe)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{o\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{oe\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{te\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; ^\; \{fe\}\; \{\backslash \; big)\}\}$

На практике матрицы элементов не расширяются и не переупорядочиваются. Вместо этого матрица жесткости системы $K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\}$собирается путем добавления отдельных коэффициентов $kije\; \{\backslash \; displaystyle\; \{k\}\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{e\}\}$- $K\; kl\; \{\backslash \; displaystyle\; \{K\}\; \_\; \{kl\}\}$где нижние индексы ij, kl означают, что узловые смещения элемента $qie,\; qje\; \{\backslash \; displaystyle\; \{q\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{e\},\; \{q\}\; \_\; \{j\}\; ^\; \{e\}\}$совпадают, соответственно, с узловыми смещениями системы $rk,\; rl\; \{\backslash \; displaystyle\; \{r\}\; \_\; \{k\},\; \{r\}\; \_\; \{l\}\}$. Аналогично, $R\; o\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{o\}\}$собирается путем добавления отдельных коэффициентов $Q\; ie\; \{\backslash \; displaystyle\; \{Q\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{e\; \}\}$до $R\; ko\; \{\backslash \; displaystyle\; \{R\}\; \_\; \{k\}\; ^\; \{o\}\}$где $qie\; \{\backslash \; displaystyle\; \{q\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{e\}\}$соответствует $rk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{r\}\; \_\; \{k\}\}$. Это прямое добавление $kije\; \{\backslash \; displaystyle\; \{k\}\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{e\}\}$в $K\; kl\; \{\backslash \; displaystyle\; \{K\}\; \_\; \{kl\}\}$дает процедуре название Метод прямой жесткости.

• Метод конечных элементов
• Метод гибкости
• Матричный метод жесткости
• Модальный анализ с использованием FEM
• Список программного обеспечения конечных элементов пакеты
• Структурный анализ
• Виртуальная работа
• Интервальный конечный элемент