Принцип минимума полной потенциальной энергии

редактировать

Минимальный общий потенциал принцип энергии - это фундаментальное понятие, используемое в физике и инженерии. Оно диктует, что при низких температурах конструкция или тело должны деформироваться или смещаться в положение, которое (локально) минимизирует общая потенциальная энергия, при этом потерянная потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию (в частности, тепло).

Некоторые примеры

Свободный протон и свободный электрон будут стремиться объединиться, чтобы сформировать наименьшую энергию s состояние (основное состояние ) атома водорода, наиболее стабильная конфигурация. Это связано с тем, что энергия этого состояния на 13,6 электрон-вольт (эВ) ниже, чем когда две частицы разделены бесконечным расстоянием. Рассеяние в этой системе принимает форму спонтанного излучения электромагнитного излучения, которое увеличивает энтропию окружающей среды.
Катящийся шар остановится у подножия холма, точки минимума потенциальной энергии. Причина в том, что когда он катится вниз под действием силы тяжести, трение, создаваемое его движением, передает энергию в виде тепла окружающей среде с сопровождающим. увеличение энтропии.
A белок переходит в состояние с наименьшей потенциальной энергией. В этом случае диссипация принимает форму колебаний атомов внутри или рядом с белком.

Структурная механика

Полная потенциальная энергия, $Π {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi} }}$ ${ \ boldsymbol {\ Pi}}$ , представляет собой сумму энергии упругой деформации U, запасенной в деформированном теле, и потенциальной энергии V, связанной с приложенными силами:

Π = U + V (1) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} = \ mathbf {U} + \ mathbf {V} \ qquad \ mathrm {(1)}}

{\ boldsymbol {\ Pi}} = {\ mathbf {U}} + {\ mathbf {V}} \ qquad {\ mathrm {(1)}}

Эта энергия в стационарном положении, когда бесконечно малое отклонение от такого положения не приводит к изменению энергии:

δ Π = δ (U + V) = 0 (2) {\ displaystyle \ delta {\ boldsymbol {\ Pi}} = \ delta (\ mathbf {U} + \ mathbf {V}) = 0 \ qquad \ mathrm {(2)}}

\ delta {\ boldsymbol {\ Pi}} = \ delta ({\ mathbf {U}} + {\ mathbf {V}}) = 0 \ qquad {\ mathrm {(2)}}

Можно вывести принцип минимальной полной потенциальной энергии как частный случай принципа виртуальной работы для упругих систем, подверженных консервативным силам.

Равенство между внешней и внутренней виртуальной работой (из-за виртуального отображения цементов) составляет:

∫ S t δ u TT d S + ∫ V δ u T fd V = ∫ V δ ϵ T σ d V (3) {\ displaystyle \ int _ {S_ {t}} \ delta \ \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {T} dS + \ int _ {V} \ delta \ \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {f} dV = \ int _ {V} \ delta {\ boldsymbol {\ epsilon}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} dV \ qquad \ mathrm {(3)}}

\ int _ {{S_ {t}}} \ delta \ {\ mathbf {u}} ^ {T} {\ mathbf {T}} dS + \ int _ {{V}} \ delta \ {\ mathbf {u}} ^ {T} {\ mathbf {f}} dV = \ int _ {{V}} \ delta {\ boldsymbol {\ epsilon}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} dV \ qquad {\ mathrm {(3)}}

где

u {\ displaystyle \ mathbf {u}}

{\ mathbf {u}}

= вектор перемещений

T {\ displaystyle \ mathbf {T}}

{\ mathbf {T}}

= вектор распределенных сил, действующих на деталь

S t {\ displaystyle S_ {t}}

S_ {t}

поверхности

f {\ displaystyle \ mathbf {f}}

{\ mathbf {f}}

= вектор объемных сил

В частном случае упругих тел правая часть (3) можно принять за изменение $δ U {\ displaystyle \ delta \ mathbf {U}}$ $\ delta {\ mathbf {U}}$ энергии упругой деформации U из-за бесконечно малых вариаций реальных смещений. Кроме того, когда внешние силы равны консервативным силам, левую часть (3) можно рассматривать как изменение функции потенциальной энергии V из сил. Функция V определяется как:

V = - ∫ S tu TT d S - ∫ V u T fd V {\ displaystyle \ mathbf {V} = - \ int _ {S_ {t} } \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {T} dS- \ int _ {V} \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {f} dV}

{\ mathbf {V}} = - \ int _ {{S_ {t}}} {\ mathbf {u}} ^ {T} {\ mathbf {T}} dS- \ int _ {{V}} {\ mathbf {u}} ^ {T} {\ mathbf {f}} dV

где знак минус означает потерю потенциальная энергия, поскольку сила смещается в ее направлении. С этими двумя дополнительными условиями (3) становится:

- δ V = δ U {\ displaystyle - \ delta \ \ mathbf {V} = \ delta \ \ mathbf {U}}

- \ delta \ {\ mathbf {V}} = \ delta \ {\ mathbf {U}}

Это приводит к (2) по желанию. Вариационная форма (2) часто используется в качестве основы для разработки метода конечных элементов в строительной механике.

Ссылки