Существенное измерение

редактировать

В математике существенное измерение является инвариантом определены для определенных алгебраических структур, таких как алгебраические группы и квадратичные формы. Он был введен Дж. Бюлер и З. Райхштейн и в самом общем виде, определенный А. Меркурьев.

По сути, существенная размерность измеряет сложность алгебраических структур через их поля определения. Например, квадратичная форма q: V → K над полем K, где V - векторное пространство K- , называется определенной над подполем L поля K, если существует существует K- базис e1,..., e n V такой, что q может быть выражено в форме $q (∑ xiei) = ∑ aijxixj {\ displaystyle q (\ sum x_ {i} e_ {i}) = \ sum a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}$ $q (\ sum x_ {i} e_ {i}) = \ sum a _ {ij}} x_ {i} x_ {j}$ со всеми коэффициентами a ij, принадлежащими L. Если K имеет характеристику, отличную от 2, каждая квадратичная форма диагонализуема. Следовательно, q имеет поле определения, порожденное n элементами. Технически, каждый всегда работает над (фиксированным) базовым полем k, и предполагается, что рассматриваемые поля K и L содержат k. Существенная размерность q тогда определяется как наименьшая степень трансцендентности над k подполя L поля K, над которым определено q.

Содержание

1 Формальное определение
2 Примеры
3 Известные результаты
4 Ссылки

Формальное определение

Зафиксируйте произвольное поле k и пусть Fields / k обозначает категория конечно порожденных расширений поля поля k с включениями в виде морфизмов. Рассмотрим (ковариантный) функтор F: Fields / k → Set. Для расширения поля K / k и элемента a из F (K / k) полем определения a является промежуточное поле K / L / k такое, что a содержится в изображении карты. F (L / k) → F (K / k), индуцированное включением L в K.

Существенная размерность a, обозначенная ed (a), является наименьшей степенью трансцендентности (над k) поля определения для a. Существенная размерность функтора F, обозначаемая ed (F), является супремумом ed (a), взятым по всем элементам a из F (K / k) и объектам K / k из Fields / k.

Примеры

Существенная размерность квадратичных форм : Для натурального числа n рассмотрим функтор Q n : Fields / k → Set с расширением поля K / k на множество классов изоморфизма невырожденных n-мерных квадратичных форм над K и переводящий морфизм L / k → K / k (заданный включением L в K) в отображение, отправляющее класс изоморфизма квадратичной формы q: V → L классу изоморфизма квадратичной формы $q K: V ⊗ LK → K {\ displaystyle q_ {K}: V \ otimes _ {L} K \ to K}$ $q_ {K}: V \ otimes _ {L} K \ to K$ .
Существенная размерность алгебраических групп : для алгебраической группы G над k обозначим через H (-, G): Fields / k → Установить функтор, переводящий расширение поля K / k в множество изоморфизма классы торсоров G- над K (в топологии fppf ). Существенная размерность этого функтора называется существенной размерностью алгебраической группы G и обозначается ed (G).
Существенная размерность расслоенной категории : Пусть $F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F} }$ быть категорией, расслоенной над категорией $A ff / k {\ displaystyle Aff / k}$ $Aff / k$ аффинных k-схем, заданной функтор $p: F → A ff / k. {\ displaystyle p: {\ mathcal {F}} \ to Aff / k.}$ $p: {\ mathcal {F}} \ to Aff / k.$ Например, $F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F} }$ может быть стеком модулей $M g {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$ ${\ mathcal {M}} _ {g}$ кривых рода g или классифицирующим стеком $BG {\ displaystyle {\ mathcal {BG}}}$ ${\ mathcal {BG }}$ алгебраической группы. Предположим, что для каждого $A ∈ A f / k {\ displaystyle A \ in Aff / k}$ $A \ in Aff / k$ классы изоморфизма объектов в слое p (A) образуют набор. Тогда мы получим функтор F p : Fields / k → Set, переводящий расширение поля K / k на множество классов изоморфизма в слое $p - 1 (S pec (K)) {\ displaystyle p ^ {- 1} (Spec (K))}$ $p ^ {{- 1}} (Spec (K))$ . Существенное измерение расслоенной категории $F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F} }$ определяется как существенное измерение соответствующего функтора F p. В случае классифицирующего стека $F = BG {\ displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {BG}}}$ ${\ mathcal {F}} = {\ mathcal {BG}}$ алгебраической группы G значение совпадает с ранее определенным существенным размерность группы G.

Известные результаты

Существенная размерность линейной алгебраической группы G всегда конечна и ограничена минимальной размерностью общего свободного представления минус размерность группы G.
Для G a Спиновая группа над алгебраически замкнутым полем k существенная размерность указана в OEIS : A280191.
Существенная размерность конечной алгебраической p-группа над k равна минимальной размерности точного представления при условии, что базовое поле k содержит примитивный корень p-й степени из единицы.
Существенная размерность симметрической группы S n (рассматривается как алгебраическая группа над k) известен для n≤5 (для каждого базового поля k), для n = 6 (для k характеристики не 2) и для n = 7 (в характеристике 0).
Пусть T алгебраический тор, допускающий ting a поле расщепления Галуа L / k степени степени простого p. Тогда существенная размерность T равна наименьшему рангу ядра гомоморфизма Gal (L / k) - решеток P → X (T) с коядром, конечным и порядком простого в p, где P - решетка перестановок.

Ссылки