Кривая де Рама

В математике кривая де Рама представляет собой определенный тип фрактальная кривая названа в честь Жоржа де Рама.

функция Кантора, кривая Чезаро, функция вопросительного знака Минковского, кривая Леви C, кривая Бланманже, кривая Коха и кривая Осгуда - все это частные случаи общей кривой де Рама.

• 1 Конструкция
• 2 Условие непрерывности
• 3 Свойства
• 4 Классификация и примеры
  • 4.1 Кривые Чезаро
  • 4.2 Кривые Коха – Пеано
  • 4.3 Общие аффинные карты
  • 4.4 Функция вопросительного знака Минковского
• 5 Обобщения
• 6 Мультифрактальные кривые
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература

Считайте некоторые завершенными метрическое пространство $(M,\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; (M,\; d)\}$(обычно $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$с обычное евклидово расстояние), и пара сжимающихся карт на M:

$d\; 0:\; M\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}:\; \backslash \; M\; \backslash \; to\; M\}$

$d\; 1:\; М\; \to \; М.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}:\; \backslash \; M\; \backslash \; to\; M.\}$

По теореме Банаха о фиксированной точке у них есть фиксированные точки $p\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\}$и $p\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\}$соответственно. Пусть x будет действительным числом в интервале $[0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,1]\}$, имеющим двоичное расширение

$x\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; bk\; 2\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{k\}\}\; \{2\; ^\; \{k\}\}\},\}$

где каждый $bk\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{k\}\}$равно 0 или 1. Рассмотрим карту

$cx:\; M\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{x\}:\; \backslash \; M\; \backslash \; to\; M\}$

определено по

$cx\; =\; db\; 1\; \circ \; db\; 2\; \circ \; \cdots \; \circ \; dbk\; \circ \; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{x\}\; =\; d\_\; \{b\_\; \{1\}\}\; \backslash \; circ\; d\_\; \{b\_\; \{2\}\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; cdots\; \backslash \; circ\; d\_\; \{\; b\_\; \{k\}\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; cdots,\}$

где $\circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; circ\}$обозначает композицию функций. Можно показать, что каждый $cx\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{x\}\}$отображает общую область притяжения $d\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\}$и $d\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\}$до одной точки $px\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{x\}\}$в $M\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; M\}$. Набор точек $p\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{x\}\}$, параметризованных одним вещественным параметром x, известен как кривая де Рама.

Когда фиксированные точки спарены так, что

$d\; 0\; (p\; 1)\; =\; d\; 1\; (p\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; (p\_\; \{1\})\; =\; d\_\; \{1\}\; (p\_\; \{0\})\}$

, то можно показать, что результирующая кривая $px\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{x\}\}$является непрерывной функцией x. Когда кривая непрерывная, она, как правило, не дифференцируема.

В оставшейся части этой страницы мы будем предполагать, что кривые непрерывны.

Кривые Де Рама по построению самоподобны, поскольку

$p\; (x)\; =\; d\; 0\; (p\; (2\; x))\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x)\; =\; d\_\; \{0\}\; (p\; (2x))\}$для $x\; \in \; [0,\; 1/2]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [0,1\; /\; 2]\}$и

$p\; (x)\; =\; d\; 1\; (p\; (2\; x\; -\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x)\; =\; d\_\; \{1\}\; (p\; (2x-1))\}$для $x\; \in \; [1/2,\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [1/2,1].\}$

Самосимметрии всех кривых де Рама задаются моноидом, который описывает симметрии бесконечного двоичного дерева или Набор Кантора. Этот так называемый моноид удвоения периода является подмножеством модульной группы.

изображение кривой, т.е. множество точек $\{p\; (x),\; x\; \in \; [\; 0,\; 1]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{p\; (x),\; x\; \backslash \; in\; [0,1]\; \backslash \}\}$, можно получить с помощью итерированной системы функций с использованием набора отображений сокращения $\{d\; 0,\; d\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{d\_\; \{0\},\; \backslash \; d\_\; \{1\}\; \backslash \}\}$. Но результатом итерированной системы функций с двумя сжимающими отображениями является кривая де Рама тогда и только тогда, когда сжимающие отображения удовлетворяют условию непрерывности.

Подробные проработанные примеры самоподобия можно найти в статьях о функции Кантора и о функции вопросительного знака Минковского. Точно такой же моноид самоподобия, диадический моноид, применим к каждой кривой де Рама.

Кривые Чезаро

Кривая Чезаро для a = 0,3 + i 0,3 Кривая Чезаро для a = 0,5 + i 0,5. Это кривая Леви.

Кривые Чезаро (или кривые Чезаро – Фабера ) - это кривые Де Рама, созданные аффинными преобразованиями с сохранением ориентации с фиксированными точками $p\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\; =\; 0\}$и $p\; 1\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; =\; 1\}$.

Из-за этих ограничений кривые Чезаро однозначно определяются комплексным числом $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$таким образом, что и .

Сопоставления сжатия $d\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\}$и $d\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\}$затем определяются как сложные функции в комплексной плоскости по:

$d\; 0\; (z)\; =\; az\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; (z)\; =\; az\}$

$d\; 1\; (z)\; =\; a\; +\; (1\; -\; а)\; з.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; (z)\; =\; a\; +\; (1-a)\; z.\}$

Для значения $a\; =\; (1\; +\; i)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; (1\; +\; i)\; /\; 2\}$, результирующая кривая - это кривая Леви C.

кривые Коха – Пеано

кривая Коха – Пеано для a = 0,6 + i 0,37. Это близко, но не совсем к кривой Коха. кривой Коха – Пеано для a = 0,6 + i 0,45. Это кривая Осгуда.

Аналогичным образом мы можем определить семейство кривых Коха – Пеано как набор кривых Де Рама, порожденных аффинными преобразованиями, меняющими ориентацию, с фиксированными точками $p\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\; =\; 0\}$и $p\; 1\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; =\; 1\}$.

Эти сопоставления выражаются в комплексной плоскости как функция от $z\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\}$, комплексное сопряжение числа $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$:

$d\; 0\; (z)\; =\; аз\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; (z)\; =\; a\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\}$

$d\; 1\; (z)\; =\; a\; +\; (1\; -\; a)\; z\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; (z)\; =\; a\; +\; (1-a)\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}.\}$

Название семейства происходит от двух его самых известных членов. Кривая Коха получается следующим образом:

$a\; Koch\; =\; 1\; 2\; +\; i\; 3\; 6,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Koch\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; i\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{6\}\},\}$

, а кривая Пеано соответствует:

$a\; Пеано\; =\; (1\; +\; i)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Peano\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1\; +\; i)\}\; \{2\}\}.\}$

Общие аффинные отображения

Общая аффинная кривая де Рама Общая аффинная кривая де Рама Общая аффинная кривая де Рама Общая аффинная кривая де Рама

Кривые Чезаро – Фабера и Пеано – Коха являются частными случаями общего случая пары аффинных линейных преобразований на комплексной плоскости. Зафиксировав одну конечную точку кривой на 0, а другую на одной, общий случай получается путем повторения двух преобразований

$d\; 0\; =\; (1\; 0\; 0\; 0\; \alpha \; \delta \; 0\; \beta \; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; alpha\; \backslash \; delta\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; beta\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

и

$d\; 1\; =\; (1\; 0\; 0\; \alpha \; 1\; -\; \alpha \; \zeta \; \beta \; -\; \beta \; \eta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; alpha\; 1-\; \backslash \; alpha\; \backslash \; zeta\; \backslash \backslash \backslash \; beta\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; eta\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Бытие аффинные преобразования, эти преобразования воздействуют на точку $(u,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; (u,\; v)\}$двумерной плоскости, воздействуя на вектор

$(1\; мкв).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; u\; \backslash \backslash \; v\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Как видно, середина кривой расположена в $(u,\; v)\; =\; (\alpha \; \beta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; (и,\; v)\; =\; (\backslash \; альфа,\; \backslash \; бета)\}$; остальные четыре параметра можно изменять для создания большого количества кривых.

Кривая Бланманже параметра $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$может быть получена путем установки $\alpha \; =\; \beta \; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; альфа\; =\; \backslash \; бета\; =\; 1/2\}$, $\delta \; =\; \zeta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; =\; \backslash \; zeta\; =\; 0\}$и $\epsilon \; =\; \eta \; =\; w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; =\; \backslash \; eta\; =\; w\}$. То есть:

$d\; 0\; =\; (1\; 0\; 0\; 0\; 1/2\; 0\; 0\; 1/2\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1/2\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1/2\; w\; \backslash \; конец\; \{pmatrix\}\}\}$

и

$d\; 1\; =\; (1\; 0\; 0\; 1/2\; 1/2\; 0\; 1/2\; -\; 1/2\; w).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1/2\; 1/2\; 0\; \backslash \backslash \; 1/2\; -1\; /\; 2\; w\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Поскольку кривая Бланманже параметра $w\; =\; 1/4\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; 1/4\}$- парабола уравнения $f\; (x)\; =\; 4\; x\; (1\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; 4x\; (1-x)\}$, это иллюстрирует тот факт, что в некоторых случаях кривые де Рама могут быть гладкими.

Функция вопросительного знака Минковского

Функция вопросительного знака Минковского генерируется парой карт

$d\; 0\; (z)\; =\; zz\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{z\; +\; 1\}\}\}$

и

$d\; 1\; (z)\; =\; 1\; z\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; +\; 1\}\}.\}$

Это определение легко обобщить, используя более двух отображений сжатия. Если используется n отображений, то следует использовать n-арное разложение x вместо двоичного разложения действительных чисел . Условие непрерывности должно быть обобщено следующим образом:

$di\; (pn\; -\; 1)\; =\; di\; +\; 1\; (p\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{i\}\; (p\_\; \{n-1\})\; =\; d\_\; \{i\; +\; 1\}\; (p\_\; \{0\})\}$, для $i\; =\; 0\dots \; n\; -\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 0\; \backslash \; ldots\; n-2.\}$

Это условие непрерывности можно понять на следующем примере. Допустим на работает в базе-10. Тогда есть (как известно), что 0,999... = 1.000..., что является уравнением неразрывности, которое должно выполняться в каждом таком промежутке. То есть с учетом десятичных цифр $b\; 1,\; b\; 2,\; \cdots ,\; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\},\; b\_\; \{2\},\; \backslash \; cdots,\; b\_\; \{k\}\}$с $bk\; \ne \; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{k\}\; \backslash \; neq\; 9\}$, один имеет

$b\; 1,\; b\; 2,\; \cdots ,\; bk,\; 9,\; 9,\; 9,\; \cdots \; =\; b\; 1,\; b\; 2,\; \cdots ,\; bk\; +\; 1,\; 0,\; 0,\; 0,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\},\; b\_\; \{2\},\; \backslash \; cdots,\; b\_\; \{k\},\; 9,9,9,\; \backslash \; cdots\; =\; b\_\; \{1\},\; b\_\; \{\; 2\},\; \backslash \; cdots,\; b\_\; \{k\}\; +1,0,0,0,\; \backslash \; cdots\}$

Такое обобщение позволяет, например, получить кривую стрелки Серпинского (изображение которой Треугольник Серпинского ), используя отображение сокращения повторяющейся системы функций, которая производит треугольник Серпинского.

Орнштейн и другие описывают мультифрактальную систему, в которой вместо работы с фиксированной базой работают с переменной базой.

Рассмотрим пространство продукта переменной base- $mn\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{n\}\}$дискретных пространств

$\Omega \; =\; \prod \; n\; \in \; NA\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; A\_\; \{n\}\}$

для $A\; n\; =\; Z\; /\; mn\; Z\; =\; \{0,\; 1,\; \cdots ,\; mn\; -\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; m\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; =\; \backslash \; \{0,1,\; \backslash \; cdots,\; m\_\; \{n\}\; -1\; \backslash \}\}$циклический группа, для $mn\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{n\}\; \backslash \; geq\; 2\}$целое число. Любое действительное число в единичном интервале можно развернуть в последовательности $(a\; 1,\; a\; 2,\; a\; 3,\; \cdots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; a\_\; \{\; 3\},\; \backslash \; cdots)\}$такие, что каждый $an\; \in \; A\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; A\_\; \{n\}\}$. Точнее, действительное число $0\; \le \; x\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; x\; \backslash \; leq\; 1\}$записывается как

$x\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; an\; \prod \; k\; =\; 1\; nmk\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; m\_\; \{k\}\}\}\}$

Это расширение не является уникальным, если все $an\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; 0\}$прошли некоторую точку . В этом случае

$a\; 1,\; a\; 2,\; \cdots ,\; a\; K,\; 0,\; 0,\; \cdots \; =\; a\; 1,\; a\; 2,\; \cdots ,\; a\; K\; -\; 1,\; m\; K\; +\; 1\; -\; 1,\; m\; K\; +\; 2–1,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; cdots,\; a\_\; \{K\},\; 0,0,\; \backslash \; cdots\; =\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; cdots,\; a\_\; \{K\}\; -1,\; m\_\; \{K\; +\; 1\}\; -1,\; m\_\; \{K\; +\; 2\}\; -1,\; \backslash \; cdots\}$

Такие точки аналогичны диадическим рациональным числам в диадическом разложении, и необходимо применять уравнения неразрывности на кривой в этих точках.

Для каждого $A\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\}$необходимо указать две вещи: набор из двух точек $p\; 0\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\; ^\; \{(n)\}\}$и $p\; 1\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{(n)\}\}$и набор $mn\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{n\}\}$функции $dj\; (n)\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{j\}\; ^\; \{(n)\}\; (z)\}$(с $j\; \in \; A\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; A\_\; \{n\}\}$). Тогда условие непрерывности будет таким, как указано выше,

$dj\; (n)\; (p\; 1\; (n\; +\; 1))\; =\; dj\; +\; 1\; (n)\; (p\; 0\; (n\; +\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{j\}\; ^\; \{(\; n)\}\; (p\_\; \{1\}\; ^\; \{(n\; +\; 1)\})\; =\; d\_\; \{j\; +\; 1\}\; ^\; \{(n)\}\; (p\_\; \{0\}\; ^\; \{(n\; +\; 1)\})\}$для $j\; =\; 0,\; \cdots ,\; mn\; -\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; =\; 0,\; \backslash \; cdots,\; m\_\; \{n\}\; -2.\}$

В исходном примере Орнштейна использовался

$\Omega \; =\; (Z\; /\; 2\; Z)\; \times \; (Z\; /\; 3\; Z)\; \times \; (Z\; /\; 4\; Z)\; \times \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{\; Z\}\; /\; 3\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 4\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\}$

• Система итерационных функций
• Уточняемая функция
• Модульная группа
• Фуксова группа

• Жорж де Рам, «О некоторых кривых, определяемых функциональными уравнениями» (1957), перепечатано в «Классике о фракталах», под ред. Джеральд А. Эдгар (Аддисон-Уэсли, 1993), стр. 285–298.
• Жорж де Рам, Sur quelques Courbes определяет par des fonctionnelles уравнений. Univ. e Politec. Турин. Ренд. Сем. Матем., 1957, 16, 101 –113
• Линас Вепстас, Галерея кривых де Рама, (2006).
• Линас Вепстас, Симметрии Карты удвоения периодов, (2006). (Общее исследование симметрии модульной группы во фрактальных кривых.)