Последовательность чисел с постоянной разницей между последовательными числами
Визуальное доказательство вывода формул арифметической прогрессии - выцветшие блоки представляют собой повернутую копию арифметической прогрессии
В математике знак арифметическая прогрессия (AP) или арифметическая последовательность - это последовательность из чисел, такая, что разница между последовательными членами является постоянной. Например, последовательность 5, 7, 9, 11, 13, 15,... представляет собой арифметическую прогрессию с общей разницей в 2.
Если начальный член арифметической прогрессии равен и общая разница последовательные члены - d, то n-й член последовательности () определяется как:
- ,
и в целом
- .
Конечная часть арифметической прогрессии называется конечной арифметической прогрессией, а иногда просто арифметической прогрессией. сумма конечной арифметической прогрессии называется арифметическим рядом .
Содержание
- 1 сумма
- 2 Продукт
- 3 Стандартное отклонение
- 4 Пересечения
- 5 См. Также
- 6 Ссылки
- 7 Внешние ссылки
Сумма
2 | + | 5 | + | 8 | + | 11 | + | 14 | = | 40 |
14 | + | 11 | + | 8 | + | 5 | + | 2 | = | 40 |
|
16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | = | 80 |
Вычисление сумма 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Когда последовательность переворачивается и добавляется к себе почленно, в результирующей последовательности содержится одно повторяющееся значение, равное сумме первого и последнего чисел (2 + 14 = 16). Таким образом, 16 × 5 = 80 - это удвоенная сумма.
сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметической серией . Например, рассмотрим сумму:
Эту сумму можно быстро найти, взяв число n добавляемых членов. (здесь 5), умножение на сумму первого и последнего числа в последовательности (здесь 2 + 14 = 16) и деление на 2:
В приведенном выше случае это дает уравнение:
Эта формула работает для любых действительных чисел и . Например:
Вывод
Анимированное доказательство формулы, дающей сумму первых целых чисел 1 + 2 +... + n.
Чтобы вывести приведенную выше формулу, начните с выражения арифметического ряда двумя разными способами :
Сложив обе части двух уравнений, все члены, содержащие d, сокращаются:
Разделив обе части на 2, получаем уравнение общей формы:
Альтернативная форма получается в результате повторной вставки замены: :
Кроме того, среднее значение ряда можно вычислить с помощью: :
Формула очень похожа на среднее значение дискретного равномерного распределения.
В 499 году нашей эры Арьябхата, выдающийся математик - астроном из классической эпохи индийской математики и индийской астрономии. дал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.19).
Согласно анекдоту с сомнительной достоверностью, молодой Карл Фридрих Гаусс в начальной школе заново изобрел этот метод для вычисления суммы целых чисел от 1 до 100.
Продукт
произведение членов конечной арифметической прогрессии с начальным элементом a 1, общими разностями d и всего n элементами определяется в закрытом выражении
где обозначает гамма-функцию. Формула недействительна, если отрицательно или равно нулю.
Это обобщение того факта, что произведение прогрессии дается коэффициентом и что произведение
для целых положительных чисел и задается как
Вывод
где обозначает возрастающий факториал.
По рекуррентной формуле , действительно для комплексного числа ,
- ,
- ,
, так что
вместо положительное целое число и положительное комплексное число.
Таким образом, если ,
- ,
и, наконец,
Примеры
пример 1 На примере , произведение членов арифметической прогрессии по формуле до 50-го члена составляет
пример 2 Произведение первых 10 нечетных чисел определяется выражением
Стандартное отклонение
Стандартное отклонение любой арифметической прогрессии можно рассчитать как
где - количество терминов в прогрессии, а - общее различие между терминами. Формула очень похожа на стандартное отклонение дискретного равномерного распределения.
пересечения
пересечение любых двух вдвойне бесконечных арифметических прогрессий либо пусто, либо другая арифметическая прогрессия, которое можно найти с помощью китайской теоремы об остатках. Если каждая пара прогрессий в семействе дважды бесконечных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует общее для всех них число; то есть бесконечные арифметические прогрессии образуют семейство Хелли. Однако пересечение бесконечного множества бесконечных арифметических прогрессий может быть одним числом, а не бесконечной прогрессией.
См. Также
Ссылки
- ^Хейс, Брайан (2006). "День расплаты Гаусса". Американский ученый. 94(3): 200. doi : 10.1511 / 2006.59.200. Архивировано из оригинала 12 января 2012 г. Получено 16 октября 2020 г.
- ^Duchet, Pierre (1995), «Hypergraphs», в Graham, R.L.; Grötschel, M. ; Ловас, Л. (ред.), Справочник по комбинаторике, Vol. 1, 2, Амстердам: Elsevier, стр. 381–432, MR 1373663. См., В частности, Раздел 2.5 «Собственность Хелли», стр. 393–394.
- Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002). Liber Abaci Фибоначчи. Springer-Verlag. Стр. 259 –260. ISBN 0-387-95419-8.
Внешние ссылки