Угловое разрешение

Способность любого устройства формирования изображения различать мелкие детали объекта

Угловое разрешение описывает способность любого устройство формирования изображения, такое как оптический или радиотелескоп, микроскоп, камера или глаз, чтобы различать мелкие детали объекта, тем самым делая его основным определяющим фактором разрешения изображения. Он используется в оптике применительно к световым волнам, в теории антенн применительно к радиоволнам и в акустике применительно к звуковым волнам. Тесно связанный термин пространственное разрешение относится к точности измерения относительно пространства, которая напрямую связана с угловым разрешением в приборах визуализации. критерий Рэлея показывает, что минимальный угловой разброс, который может быть разрешен системой формирования изображения, ограничен дифракцией с отношением длины волны волны к ширина диафрагмы. По этой причине системы формирования изображений с высоким разрешением, такие как астрономические телескопы, дальнобойные телеобъективы и радиотелескопы, имеют большую апертуру.

Содержание

• 1 Определение терминов
• 2 Критерий Рэлея
• 3 Конкретные случаи
  • 3.1 Одиночный телескоп
  • 3.2 Телескопическая решетка
  • 3.3 Микроскоп
• 4 См. Также
• 5 Пояснительные примечания
• 6 Цитаты
• 7 Внешние ссылки

Определение терминов

Разрешающая способность - это способность устройства формирования изображений разделять (т. Е. Видеть как отдельные) точки объекта, которые расположены на небольшом угловом расстоянии или это способность оптического прибора разделять далекие объекты, которые расположены близко друг к другу, на отдельные изображения. Термин разрешение или минимальное разрешаемое расстояние - это минимальное расстояние между различимыми объектами на изображении, хотя этот термин широко используется многими пользователями микроскопов и телескопов для описания разрешающей способности. Как поясняется ниже, разрешение, ограниченное дифракцией, определяется критерием Рэлея как угловое разделение двух точечных источников, когда максимум каждого источника находится в первом минимуме дифракционной картины (диск Эйри ) другого источника.. В научном анализе, как правило, термин «разрешение» используется для описания точности, с которой любой прибор измеряет и регистрирует (на изображении или спектре) любую переменную в исследуемом образце или образце.

Критерий Рэлея

дифракционные картины Эйри, генерируемые светом от двух точечных источников, проходящих через круглую апертуру, например, зрачок глаза. Можно выделить точки далеко друг от друга (вверху) или отвечающие критерию Рэлея (в центре). Точки ближе, чем критерий Рэлея (внизу), трудно различить.

Разрешение системы визуализации может быть ограничено либо аберрацией, либо дифракцией, вызывающей размытие изображения. Эти два явления имеют разное происхождение и не связаны между собой. Аберрации могут быть объяснены геометрической оптикой и, в принципе, могут быть устранены путем повышения оптического качества системы. С другой стороны, дифракция возникает из-за волновой природы света и определяется конечной апертурой оптических элементов. линза 'с круговой диафрагмой аналогична двумерной версии эксперимента с одной щелью. Свет, проходящий через линзу , мешает самому себе, создавая кольцевую дифракционную картину, известную как шаблон Эйри, если волновой фронт проходящий свет считается сферическим или плоским над выходной апертурой.

Взаимодействие между дифракцией и аберрацией может быть охарактеризовано функцией рассеяния точки (PSF). Чем уже апертура линзы, тем больше вероятность того, что в PSF преобладает дифракция. В этом случае угловое разрешение оптической системы можно оценить (исходя из диаметра апертуры и длины волны света) по критерию Рэлея, определенному Лордом. Рэлея : два точечных источника считаются разрешенными, когда главный дифракционный максимум диска Эйри одного изображения совпадает с первым минимумом диска Эйри другого изображения, как показано на сопроводительных фотографиях. Если расстояние больше, две точки хорошо разрешены, а если меньше, они считаются неразрешенными. Рэлей защищал этот критерий относительно источников равной мощности.

Рассматривая дифракцию через круглую апертуру, это означает:

$\theta \; =\; 1,22\; \lambda \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; 1,22\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{\; D\}\}\}$

где θ - угловое разрешение (радиан ), λ - длина волны света, а D - диаметр линзы. 'диафрагма. Коэффициент 1,22 получен из расчета положения первого темного круглого кольца, окружающего центральный диск Эйри дифракционной картины . Точнее, это число 1.21966989... (OEIS : A245461 ), первый ноль первого порядка функция Бесселя первого рода $J\; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{1\}\; (x)\}$делить на π.

Формальный критерий Рэлея близок к эмпирическому пределу разрешения, найденному ранее английским астрономом В. Р. Дауэс, который проверял людей-наблюдателей на близких двойных звездах одинаковой яркости. Результат, θ = 4,56 / D, с D в дюймах и θ в угловых секундах, немного уже, чем рассчитанный с помощью критерия Рэлея. Расчет с использованием дисков Эйри в качестве функции рассеяния точки показывает, что при пределе Дауэса существует провал между двумя максимумами на 5%, тогда как при критерии Рэлея падение составляет 26,3%. Современные методы обработки изображений, включая деконволюцию функции рассеяния точки, позволяют разрешать двоичные файлы с еще меньшим угловым разделением.

Угловое разрешение может быть преобразовано в пространственное разрешение, Δℓ, путем умножения угла (в радианах) на расстояние до объекта. Для микроскопа это расстояние близко к фокусному расстоянию f объектива . В этом случае критерий Рэлея выглядит так:

$\Delta \; \ell \; =\; 1,22\; f\; \lambda \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; ell\; =\; 1.22\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \backslash \; lambda\}\; \{D\}\}\}$.

Это радиус в плоскости изображения наименьшего пятна, в которое может быть сфокусирован коллимированный луч света, что также соответствует размеру самого маленького объекта, который может быть разрешить. Размер пропорционален длине волны λ, и, таким образом, например, синий свет может быть сфокусирован в меньшее пятно, чем красный свет. Если линза фокусирует луч света с конечной протяженностью (например, луч лазера ), значение D соответствует диаметру света луч, а не линза. Поскольку пространственное разрешение обратно пропорционально D, это приводит к несколько неожиданному результату: широкий луч света может быть сфокусирован в меньшее пятно, чем узкое. Этот результат связан с свойствами Фурье линзы.

Аналогичный результат справедлив для небольшого датчика, отображающего объект на бесконечности: угловое разрешение можно преобразовать в пространственное разрешение на датчике, используя f в качестве расстояния до датчика изображения; это связывает пространственное разрешение изображения с числом f, f / #:

$\Delta \; \ell \; \approx \; 1,22\; f\; \lambda \; D\; =\; 1,22\; \lambda \; \cdot \; (f\; /\; \#)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; ell\; \backslash \; приблизительно\; 1,22\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \backslash \; lambda\}\; \{D\}\}\; =\; 1,22\; \backslash \; lambda\; \backslash \; cdot\; (f\; /\; \backslash \; \#)\}$.

Поскольку это радиус диска Эйри, разрешение лучше оценивать по диаметру, $2.44\; \lambda \; \cdot \; (f\; /\; \#)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2.44\; \backslash \; lambda\; \backslash \; cdot\; (f\; /\; \backslash \; \#)\}$

Конкретные случаи

Логарифмический график зависимости диаметра апертуры от углового разрешения на дифракционном пределе для различных длины световых волн по сравнению с различными астрономическими инструментами. Например, синяя звезда показывает, что космический телескоп Хаббл почти дифракционно ограничен в видимом спектре на 0,1 угловой секунды, тогда как красный кружок показывает, что человеческий глаз теоретически должен иметь разрешающую способность 20 угловых секунд., хотя обычно всего 60 угловых секунд.

Одиночный телескоп

Точечные источники, разделенные углом, меньшим углового разрешения, не могут быть разрешены. Единственный оптический телескоп может иметь угловое разрешение менее одной угловой секунды, но астрономическое зрение и другие атмосферные эффекты очень затрудняют достижение этого.

Угловое разрешение R телескопа обычно можно приблизительно определить как

$R\; =\; \lambda \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{D\}\}\}$

, где λ - это длина волны наблюдаемого излучения, а D - диаметр объектива телескопа. Результирующий R находится в радианах. Например, в случае желтого света с длиной волны 580 нм для разрешения 0,1 угловой секунды нам потребуется D = 1,2 м. Источники с разрешением, превышающим угловое, называются протяженными источниками или диффузными источниками, а источники меньшего размера - точечными источниками.

Эта формула для света с длиной волны около 562 нм также называется пределом Дауэса.

Решетка телескопа

Максимальное угловое разрешение может быть достигнуто с помощью массивов телескопы, называемые астрономическими интерферометрами : эти инструменты могут достигать углового разрешения 0,001 угловой секунды в оптических длинах волн и гораздо более высоких разрешений на длинах волн рентгеновского излучения. Для получения изображения с синтезом апертуры требуется большое количество телескопов, расположенных в 2-мерном расположении с точностью размеров лучше, чем доля (0,25x) требуемого разрешения изображения.

Угловое разрешение R решетки интерферометра обычно может быть приблизительно равно

$R\; =\; \lambda \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{B\}\}\}$

где λ - длина волны наблюдаемого излучения, а B - длина максимального физического разделения телескопов в массиве, называемая базовой линией. Результирующий R находится в радианах. Источники с разрешением, превышающим угловое, называются протяженными источниками или диффузными источниками, а источники меньшего размера - точечными источниками.

Например, чтобы сформировать изображение в желтом свете с длиной волны 580 нм, с разрешением 1 милли-дуговая секунда, нам нужны телескопы, расположенные в виде массива размером 120 м × 120 м с точность размеров лучше 145 нм.

Микроскоп

Разрешение R (здесь измеряется как расстояние, не путать с угловым разрешением из предыдущего раздела) зависит от угловой апертуры $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$:

$R\; =\; 1,22\; \lambda \; конденсатор\; NA\; +\; объектив\; NA\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1.22\; \backslash \; lambda\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{NA\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{condenser\}\}\; +\; \backslash \; mathrm\; \{\; NA\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{objective\}\}\}\}\}$где $NA\; =\; n\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{NA\}\; =\; n\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}$.

Здесь NA - числовая апертура, $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$составляет половину включенного угла $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$линзы, который зависит от диаметра линзы и ее фокусного расстояния, $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- показатель преломления среды между линзой и образцом, и $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$- длина волны света, излучающего образец или исходящего от него (в случае флуоресцентной микроскопии).

Отсюда следует, что ЧА объектива и конденсора должны быть как можно более высокими для максимального разрешения. В случае, если оба NA одинаковы, уравнение может быть сокращено до:

$R\; =\; 0,61\; \lambda \; NA\; \approx \; \lambda \; 2\; NA\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{0,61\; \backslash \; lambda\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{NA\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{2\; \backslash \; mathrm\; \{NA\}\}\}\}$

Практический предел для $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$составляет около 70 °. В сухом объективе или конденсоре это дает максимальное значение NA 0,95. В масляной иммерсионной линзе с высоким разрешением максимальная числовая апертура обычно составляет 1,45 при использовании иммерсионного масла с показателем преломления 1,52. Из-за этих ограничений предел разрешения светового микроскопа, использующего видимый свет, составляет около 200 нм. Учитывая, что самая короткая длина волны видимого света - фиолетовый ($\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$≈ 400 нм),

$R\; =\; 1,22\; \times \; 400\; нм\; 1,45\; +\; 0,95\; =\; 203\; нм\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1.22\; \backslash \; times\; 400\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{nm\}\}\}\; \{1.45\; \backslash \; +\; \backslash \; 0.95\}\}\; =\; 203\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{nm\}\}\}$

, составляет около 200 нм.

Масляные иммерсионные объективы могут иметь практические трудности из-за их малой глубины резкости и чрезвычайно короткого рабочего расстояния, что требует использования очень тонких (0,17 мм) покровных стекол или, в инвертированном микроскопе, тонкого стекла. -bottomed чашки Петри.

Однако разрешение ниже этого теоретического предела может быть достигнуто с помощью микроскопии сверхвысокого разрешения. К ним относятся оптические ближние поля (сканирующий оптический микроскоп ближнего поля ) или метод дифракции, называемый 4Pi STED-микроскопией. Объекты размером до 30 нм были разрешены с помощью обоих методов. В дополнение к этому фотоактивированная локализационная микроскопия может разрешить структуры такого размера, но также может дать информацию в z-направлении (3D).

См. Также

• Угловой диаметр
• Предел Дауэса
• Система с ограничением дифракции
• Расстояние до наземного образца
• Разрешение изображения
• Оптическое разрешение
• Предел разрешения Sparrow
• Острота зрения

Пояснительные примечания

Цитаты

Внешние ссылки

• «Концепции и формулы в микроскопии: разрешение» Майкла В. Дэвидсона, Nikon MicroscopyU (веб-сайт).
• Техническое руководство Melles Griot.